Jan Šindel a matematika ukrytá v pražském orloji
|
|
- Růžena Beránková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Jan Šindel a matematika ukrytá v pražském orloji HMI Alena Šolcová 10. května 2014
2 2
3 3
4 Znamení zvířetníkových souhvězdí: Beran Býk Blíženci Rak Lev Panna Váhy Štír Střelec Kozoroh Vodnář Ryby 4 zodiak = zvěrokruh = zvířetník
5 5
6 Jaké časy lze určit na orloji? Staročeský (italský) čas Rozděluje den a a noc na 24 stejných hodin, Počítá se od západu Slunce. Je vyznačen na vnějším černém okruží gotickými indicko-arabskými číslicemi. Německý čas Den a noc rozděluje na 12 a 12 hodin. Je vyznačen římskými číslicemi. Zavedl jej na orloj Jan Táborský z Klokotské Hory (2. pol. 16. st.) Babylónský čas Světlý den je rozdělen na 12 hodin, v létě jsou delší, v zimě kratší. Je vyznačen indicko-arabskými číslicemi a hodinovými čarami v modrém poli astrolábu. 6
7 7
8 Autor prvního popisu orloje Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
9 9
10 Vyobrazení orloje počátek 20. století květen
11 Jan Táborský z Klokotské Hory Zpráva o orloji pražském,
12
13
14 1794 Výška radniční věže je 59 m = 100 loktů. Začala se stavět ze vlády Jana Lucemburského Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze 14
15 Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze 15
16 Květen
17 Jan Ondřejův, zvaný Šindel Narozen kolem r v Hradci Králové bakalář na Pražské univerzitě 1399 mistr 1406 správce farní školy sv. Mikuláše Do roku 1410 vytvořil model orloje! 1410 rektor pražské univerzity ( ) a doktor lékařství lékař Václava IV. Koncem r zahájil přednášky o Ptolemaiově Almagestu. 17
18 Stoicheia - Základy 18
19 Další osudy Jana Šindela 17. září 1418 kanovník svatovítské kapituly, nepřestal působit na univerzitě, i když v roce 1419 vypukla skutečná revoluce - Olomouc? 1430 odchod do Norimberku, stal se městským fyzikem lékař krále a císaře Zikmunda 1432 jej Zikmund v Sienně přijal do svých služeb Zikmundova korunovace 3. května 1433 Doprovázel Šindel Zikmunda do Říma nebo se vrátil do Norimberku? 19
20 Poslední léta Šindelova života Návrat Zikmunda otevřel Šindelovi brány Prahy. V září 1437 byl vysvěcen na jáhna. Knězem patrně vysvěcen nikdy nebyl děkanem kapituly vyšehradské 1445 kontakty 1448 Účastnil se promoce tří bakalářů. Zůstal na univerzitě i za Jiříka z Poděbrad. Úřad zastává, pokud je známo, do 15. ledna zřídila kapitula z jeho odkazu zádušní mši na jeho památku. 20
21 Původ Jana Šindela hypotéza Josefa Smolíka Nudvojovice, Nudvovice - dnes součást Turnova románský farní kostel sv. Jana Křtitele patronem kostela v r Václav Šindel z Nudvojovic hypotéza F. M. Bartoše Šindel pochází z Prahy, z dosti rozvětvené rodiny, otec Ondřej není v žádném místopisu uveden, HK uvádí teprve 1608 Bacháček, citováno Balbínem hypotéza Eduarda Wintera Šindelovi předkové jsou Němci měšťané 21 v Hradci Králové
22 Dílo Jana Šindela Matematické traktáty 1. Lectio Almagesti iuxta expositionem Thebitis 2. Lectura super Librium de numeris 3. De notitia triangulorum cum notis Iohannis Schindel Astronomická díla tabulky a popisy užívaných symbolů Ostatní 22
23 De numeris,
24 Z Almagestu Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze 24
25 Z Almagestu 25
26 Almagest s komentářem Thabita Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze 26
27 Thabit ibn Qurra - komentátor 826 (836) v Harranu, Mezopotámie, dnes Turecko Eukleida 901 v Bagdadu, Irák, syrský matematik, astronom, lékař a filosof latinizovaný tvar jeho jména: Thebit Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze 27
28 Thabitovo dílo Matematické vzdělání získal u Muhammada bin Musa bin Shakira, Dům moudrosti, Bagdad. Thabit ibn Qurra do arabštiny přeložil řecká díla Archimedova, Apollonia z Pergy do arabštiny a přeložil a komentoval Eukleidovy Základy (19 rukopisů), Ptolemaiův Almagest a Geographii, lékařské práce Galena Pergamonu a Hippokrata z Kosu. 28
29 Thabitovo dílo Thabitův překlad Archimedova díla O pravidelném sedmiúhelníku byl objeven v 20. stol. Zobecnění Pythagorovy věty Věnoval se axiomu rovnoběžek Studoval magické čtverce Thabitova (Thebitova) čísla Věta o spřátelených číslech 29
30 Thabit a Pythagorova věta 30
31 Eukleidův důkaz 31
32 Thabit a Pythagorova věta II 32
33 Thabit ibn Qurra Thabit zobecnil Pythagorovu větu (podobně jako Pappos). Zabýval se také trisekcí úhlu. Byl srovnáván s Pappem (v roli komentátora). Zakladatel překladatelské školy (Eukleides, Archimedes, Ptolemaios, Eutocius). Diofantos a Pappos byli Arabům Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze do 10. století neznámí
34 Thabitova čísla Předpokládejme, že (1) h = 3. 2 n - 1 Thabitovo číslo (2) t = 3. 2 n (3) s = n jsou prvočísla. Potom (2 n ht, 2 n s) tvoří dvojici spřátelených čísel, např. 220, 284. Fermat (1636), Descartes (1638), zobecnil Euler. h = 2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, , Thabitova prvočísla. 34
35 Astronomická díla Jana Šindela Tabulky a popisy užívaných přístrojů 1. Tabulae (Alphonsinae) de mediis et veris motibus planetarum super meridianum Pragensem reductae vznik před r Canones pro eclipsibus Solis et Lune per instrumentum adhoc factum inveniendis M. Johanniss Schindel 3. Compositio chilindri 4. De quantitate trium solidorum (Teige, Mnichov) Alena Šolcová, a další FIT ČVUT v Praze 35
36 Botanika Ostatní práce komentovaný herbář podle Macera Florida Mgri Syndel compilatum Finitum a. D IIa feria post Gregorii ( ) k latinským názvům připojeny německé a české názvy Medicina 2 spisy Teologie Opus de decem praeceptis flagellum nuncupatum, Bamberg výklad desatera 36
37 Korespondence Obrana Johna Wykleffa Dopis rektora pražské univerzity papeži Janu XXIII Výměna korespondence s Aenášem Sylviem Poznámky: Jeho Tabulae astronomicae užíval Tycho Brahe, podle Tadeáše Hájka. Planetka č a dalekohled v HK nese jméno Šindel. 37
38 38
39 Rafie a ojnice měsíčního ukazatele 39
40 40
41 Věta 1 (Ptolemaios). Kružnice ležící na kulové ploše a neprocházející středem promítání se při stereografické projekci zobrazí opět na kružnici. Věta 2. Kružnice ležící na kulové ploše a procházející středem promítání se při stereografické projekci zobrazí na přímku. A. Šolcová, M. Křížek: Pražský orloj a stereografická projekce, Matematika-fyzika-informatika,
42 42
43 Pohled z prvního do druhého patra ukazuje spojení všech strojů orloje. Hlavní hodinový stroj (tzv. jicí stroj) reguluje: a. ukazovací stroj b. diferenční stroj c. bicí stroj d. zvonicí stroj e kalendářní stroj Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze 43
44 Bicí stroj byl původně ve věži. Později byl přemístěn do 2. patra a začleněn do hlavního hodinového stroje. To umožnilo vzájemnou synchronizaci obou strojů. Informace o počtu úderů zvonu se do věže předává pomocí drátěných táhel. 44
45 45
46 Ukazovací stroj: První kolo má 365 zubů a otočí ekliptikou jednou za hvězdný den, tj. za 23 hodin 56 minut a 4 sekundy. Druhé kolo, které má 366 zubů, otočí sluneční ukazatel jednou za střední sluneční den, tj. za 24 hodin. Třetí kolo má 379 zubů a rotuje se středním zdánlivým pohybem Měsíce. Měsíční ukazatel se opozdí za slunečním o =13 zubů za den. To odpovídá úhlu (1-366/379).360 = 12,348, což poměrně dobře vystihuje skutečnost, že se Měsíc každý den posune na ekliptice o 12,191 stupňů směrem na východ. Poloha Měsíce se musí několikrát ročně upravovat. 46
47 Věta 4 (Gauss). Nechť p je liché prvočíslo. Pak lze pomocí kružítka a pravítka zkonstruovat pravidelný p-úhelník právě tehdy, když p = 2 2n +1. M. Křížek, F. Luca, L. Somer: 17 Lectures on Fermat numbers, Springer, New York,
48 Bicí stroj obsahuje velké oběžné kolu s 24 zářezy na vnějším obvodu, jejichž vzdálenosti postupně narůstají. To umožňuje periodické opakování 1-24 úderů zvonu během každého dne. Součástí bicího stroje je i pomocné kolečko, jehož obvod je rozdělen 6 zářezy na segmenty o délkách oblouku 1, 2, 3, 4, 3, 2. Tato čísla se periodicky opakují po každé otočce a jejich součet je s = 15. Na začátku každé hodiny se zvedne západka, obě kola se začnou otáčet a zvon odbíjí příslušný počet hodin. Kola se zastaví, jakmile západka zapadne současně do zářezů na obou kolech. 48
49 je počet úderů zvonu každý den, a protože toto číslo je dělitelné s = 15, bude pomocné kolečko na počátku každého dne vždy ve stejné poloze. 49
50 50
51 Dále ukážeme, jak trojúhelníková čísla T k k souvisí s bicím strojem pražského orloje. Pro periodickou posloupnost a i položme s a a... 2 kde p je délka periody. a p 1, 51
52 T 7 52
53 Definice. Periodická posloupnost {a i } se nazývá šindelovská, jestliže pro každé přirozené číslo k existuje přirozené číslo n tak, že T a a... a k 1 2 n Věta 3. Periodická posloupnost je pro liché číslo s šindelovská, jestliže pro každé k<(s+1)/2 existuje přirozené číslo n tak, že T a a... a k 1 2 n 53
54 Věta 4. Periodická posloupnost je pro sudé číslo s šindelovská, jestliže pro každé k<s existuje přirozené číslo n tak, že T a a... a k 1 2 n Věta 5. Nerovnost k<(s+1)/2, resp. k<s ve větě 3, resp. 4 nelze zlepšit. M. Křížek, L. Somer, A. Šolcová: Jaká matematika se ukrývá v pražském orloji?, Matematika-fyzika-informatika 16 (2006/ 2007),
55 55
56 Věta 7. Periodická posloupnost je šindelovská právě tehdy, když pro každé n = 1, 2,, p a každé j = 1, 2,, je číslo 8( a... a j) 1 1 n kvadratické nereziduum modulo s. a i a n Věta 8 (Plútarchos). Přirozené číslo r je trojúhelníkové právě tehdy, když 8r + 1 je čtvercem. M. Křížek, A. Šolcová, L. Somer: What mathematics is hidden behind the astronomical clock of Prague, Proc. of the IAU XXVI.General Assembly, Cambridge Univ. Press,
57 57
58 Primitivní šindelovské posloupnosti s Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze 58
59 59
60 60
61 61
62 adova ) Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze 62
63 Ulm Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
64 Hampton Court
65 LITERATURA Z. Horský: Pražský orloj, Panorama, Praha, ********************************************************** M. Křížek, A. Šolcová, L. Somer: Construction of Šindel sequences, CMUC 48 (2007) V. Rosický: Staroměstský orloj v Praze, nakl. J. Otto, Praha, J. Smolík: Mathematikové v Čechách od založení university Pražské, Antonín Renn, Praha, K. Teige: Doplňky a nové zprávy k dějinám věd mathematických v Čechách, ČPMF XXII (1893), V. Vojtíšek: Radnice staroměstská v Praze, nakl. A.B. Černý, Praha, a další. 65 Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze
66 Děkuji za pozornost! 66
Historie matematiky a informatiky 2 8. přednáška
Historie matematiky a informatiky 2 8. přednáška Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 12. listopadu 2013 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Čísla speciálních
VíceHistorie matematiky a informatiky Cvičení 4
Historie matematiky a informatiky Cvičení 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Čísla speciálních tvarů a jejich
VíceStaroměstský orloj. Petr Ponížil. Fakulta technologická UTB ve Zlíně 1,2
Staroměstský orloj Petr Ponížil Fakulta technologická UTB ve Zlíně 1,2 Uherské Hradiště 14. 6. 2016 Historie vznik Staroměstský orloj nebo také Pražský orloj středověké astronomické hodiny umístěn na jižní
VíceČtení informací z Pražského orloje. Martin Blažek. Původ orloje. ciferník. Principy. 18. prosince Astronomický.
Původ Fyzikální Ústav AV ČR 18. prosince 2017 1 / 30 Obsah Původ 1 Původ 2 3 4 5 6 7 2 / 30 Původ Původ Jan Táborský z Klokotské Hory Zpráva o orloji pražském (1570) - varhaník, krasopisecká dílna v Praze,
VíceHistorie matematiky a informatiky
Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Historie matematiky a informatiky 2014 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze 1 Co je matematika? Matematika
VíceHistorie matematiky a informatiky Cvičení 1
Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitola z teorie čísel Co
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Michal Křížek 600 let pražského orloje Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 54 (2009), No. 4, 265--268 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/141917 Terms
VíceHistorie matematiky a informatiky 2 1. přednáška 24. září 2013. Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze
Historie matematiky a informatiky 2 1. přednáška 24. září 2013 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze Co je matematika? Obor, který se hojně používá v dalších oborech
VíceMatematika pro informatiku 12
Matematika pro informatiku 12 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 2. května 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu L101 Použijte Ératosthenova
VíceHistorie matematiky a informatiky
Historie matematiky a informatiky 2018 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT v Praze 22. 2. 2018 Alena Šolcová, FIT ČVUT v Praze 1 Pýthagorás ze Samu, 6. stol. př. n. l.
VíceMartin Blažek. Astronomický Ústav UK
ORLOJ Martin Blažek Astronomický Ústav UK 1) Principy astrolábu 2) Astronomický ciferník orloje 3) Kalendářní ciferník orloje 4) Co není vidět 5) Původ orloje 6) Pražské povstání 7) QUIZ 1. Principy astrolábu
VíceMatematika - Historie - 1
Matematika - Historie - 1 Vybrali jsme zajímavé jevy z historie matematiky a sestavili z nich jeden test. Doufáme, že se podaří splnit hned několik cílů. Test vás potěší, překvapí a poučí. Odpovědi hledejte
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Michal Křížek Pražský orloj, jak jej neznáte Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 58 (2013), No. 3, 177 180 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/143452 Terms
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Alena Šolcová Mistr Jan Šindel - pravděpodobný tvůrce matematického modelu pražského orloje Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 54 (2009), No. 4, 307--317
VíceGaius Iulius Hyginus O astronomii (De astronomia)
Gaius Iulius Hyginus O astronomii (De astronomia) Úvod, překlad Hyginovy Astronomie a Pseudo-Eratosthenových Zhvězdnění a rejstříky Alena Hadravová Překlad Arátových Jevů na nebi Radislav Hošek ARTEFACTUM
VíceO Eukleidových Základech
Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti O Eukleidových Základech Alena Šolcová KAM FIT ČVUT 2014 Obsah Základů Eukleidovy Základy antická encyklopedie sestávají ze 13 knih, tj.kapitol. Rovinná
VíceREKONSTRUKCE ASTROLÁBU POMOCÍ STEREOGRAFICKÉ PROJEKCE
REKONTRUKCE ATROLÁBU POMOCÍ TEREOGRAFICKÉ PROJEKCE Václav Jára 1 1 tereografická projekce a její vlastnosti tereografická projekce kulové plochy je středové promítání z bodu této kulové plochy do tečné
VíceCo vedlo ke zkoumání řezů kuželové plochy?
Různé přístupy ke kuželosečkám Zdeněk Halas KDM MFF UK Parabola dle Apollónia Elipsa a hyperbola dle Apollónia Konstrukce elipsy proužková součtová Obsah elipsy Zdeněk Halas (KDM MFF UK) 1 / 35 Zdeněk
VíceEukleidés. Leonardo Pisánský
Dělení obrazců Eukleidés Leonardo Pisánský 3. stol. př. n. l. Eukleidés: O dělení obrazců 1220 Leonardo Pisánský Fibonacci: Practica geometriae (část čtvrtá) 3. století př. n. l. Eukleidés: O dělení obrazců
VíceVY_32_INOVACE_Č J5_01_03. Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT PRAHA
VY_32_INOVACE_Č J5_01_03 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT PRAHA VY_32_INOVACE_Č J5_01_03 Anotace - Materiál obsahuje 2 listy úvodu, 8 listů prezentace, 3 pracovní listy s texty,
VíceInovace výuky Člověk a svět práce. Pracovní list
Inovace výuky Člověk a svět práce Pracovní list Čp 07_10 Přírodovědecká fakulta UK Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Tematický okruh: Cílová skupina: Klíčová slova: Očekávaný výstup: Člověk a svět práce
VíceNázev školy: Základní škola a Mateřská škola Žalany. Číslo projektu: CZ. 1.07/1.4.00/ Téma sady: Dějepis pro ročník
Název školy: Základní škola a Mateřská škola Žalany Číslo projektu: CZ. 1.07/1.4.00/21.3210 Téma sady: Dějepis pro 6. 7. ročník Název: DUM: VY_32_INOVACE_4B_2_Kultura_ve_starověkém_Řecku_věda Vyučovací
Vícebecvar
Jindřich Bečvář Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha Banská Bystrica, 11. října 2016 becvar@karlin.mff.cuni.cz www.karlin.mff.cuni.cz/ becvar www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm
VíceHistorie matematiky a informatiky 2 7. přednáška
Historie matematiky a informatiky 2 7. přednáška Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 5. října 2013 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitoly z teorie
VícePřijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2016, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé
VíceUkázkové řešení úloh ústředního kola kategorie GH A) Příklady
Ukázkové řešení úloh ústředního kola kategorie GH A) Příklady 1. Rychlosti vesmírných těles, např. planet, komet, ale i družic, se obvykle udávají v kilometrech za sekundu. V únoru jsme mohli v novinách
VícePolibky kružnic: Archimedes
Obr. 14 Obr. 15 L i t e r a t u r a [1] Odvárko, O. Kadleček, J.: Matematika [3] pro 6. ročník základní školy. Prometheus, Praha, 2011. [2] Odvárko, O. Kadleček, J.: Pracovní sešit z matematiky pro 6.
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Michal Křížek; Lawrence Somer; Alena Šolcová Deset matematických vět o pražském orloji Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 54 (2009), No. 4, 281--300 Persistent
VíceHistorie matematiky a informatiky Cvičení 2
Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic
Vícepro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A
Přijímací zkouška na MFF UK pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé úlohy
VíceČtyři body na kružnici
Čtyři body na kružnici 10. listopadu 2015 Vojtěch Zlámal Čtyři body na kružnici 10. listopadu 2015 1 / 19 Problematika čtyř bodů na kružnici důkazové úlohy matematické soutěže nedostatečná metodika v učebnicích
VíceMatematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů
Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.
Více1. ROTUNDA SVATÉHOVÁCLAVA A JEJÍ OSUDY DO POČÁTKU STAVBY SPYTIHNĚVOVY BAZILIKY 31
OBSAH Předmluva prezidenta republiky Václava Klause 16 Předmluva arcibiskupa pražského Mons. Dominika Duky 17 Úvodem 21 1. ROTUNDA SVATÉHOVÁCLAVA A JEJÍ OSUDY DO POČÁTKU STAVBY SPYTIHNĚVOVY BAZILIKY 31
VíceDokonalá čísla, zvláště to páté
Katedra didaktiky matematiky, Matematicko-fyzikální fakulta UK, Praha Kalsem, Kouty, 2017 becvar@karlin.mff.cuni.cz www.karlin.mff.cuni.cz/ becvar www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm Osnova 1 Dokonalá čísla
VíceMalé závěrkové kolečko na bicím stroji Pražského orloje. Petr Skála, Sadská
Malé závěrkové kolečko na bicím stroji Pražského orloje Petr Skála, Sadská Na bicím stroji orloje se nachází velmi zajímavá konstrukční zvláštnost, obdivovaná především milovníky matematiky. Je to podivuhodná
Více1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další
Kapitola 1 Planimetrie a stereometrie Doplňky ke středoškolské látce 1.1 Základní pojmy prostorové geometrie 1.1.1 Axiomy Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Petr Skála Nepřesnosti v konstrukci původního astrolábu staroměstského orloje Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 58 (2013), No. 3, 187 198 Persistent
VíceUkázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz
Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz U k á z k a k n i h y z i n t e r n e t o v é h o k n i h k u p e c t v í w w w. k o s m a s. c z, U I D : K O S 1 9 6 9 1 1 SLUNEČNÍ ASTROLOGIE
VíceStaroměstské náměstí
Staroměstské náměstí Obsah: 1) Staroměstská radnice 2) Orloj 3) Dům U Kamenného zvonu 4) Dům U Bílého jednorožce 5) Názory na postavení Země ve vesmíru 6) Týnský palác 7) Otázky 8) Obrázky Staroměstská
VíceMATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce
MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem
VíceInterpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze
Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze - role vztažné soustavy - modely Sluneční soustavy stejná pozorování je možné vysvětlit různými modely! heliocentrický x geocentrický model Tanec
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Petr Skála Malé závěrkové kolečko na bicím stroji pražského orloje Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 58 (2013), No. 3, 225 231 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/143461
VícePočítače středověku Nástroje k výpočtům a k řešení otázek filosofických a etických HMI
Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Počítače středověku Nástroje k výpočtům a k řešení otázek filosofických a etických HMI Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky
VíceVY_12_INOVACE_115 HVĚZDY
VY_12_INOVACE_115 HVĚZDY Pro žáky 6. ročníku Člověk a příroda Zeměpis - Vesmír Září 2012 Mgr. Regina Kokešová Slouží k probírání nového učiva formou - prezentace - práce s textem - doplnění úkolů. Rozvíjí
VíceTeorie sférické trigonometrie
Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.
VíceSférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii
Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie
VíceN á z e v š k o l y : Z Š A M Š Ú D O L Í D E S N É, D R U Ž S T E V N Í 125 N á z e v p r o j e k t u : V e s v a z k o v é š k o l e a k t i v n ě
N á z e v š k o l y : Z Š A M Š Ú D O L Í D E S N É, D R U Ž S T E V N Í 125 N á z e v p r o j e k t u : V e s v a z k o v é š k o l e a k t i v n ě - i n t e r a k t i v n ě Č í s l o p r o j e k t u
VíceMaturitní témata profilová část
Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,
VíceInterpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze
Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze - role vztažné soustavy - modely Sluneční soustavy stejná pozorování je možné vysvětlit různými modely! heliocentrický x geocentrický model Tanec
VíceInterpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze
Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze - role vztažné soustavy - modely Sluneční soustavy stejná pozorování je možné vysvětlit různými modely! heliocentrický x geocentrický model Tanec
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Definice (Vzdálenost) Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB
VíceMATEMATIKA Jak matematika se ukr v v pra sk m orloji? MICHAL K EK { LAWRENCE SOMER { ALENA OLCOV Matematick stav AV R, Praha { Stavebn fakulta VUT, Praha 1. vod Pra sk orloj vznikl v dob mistra Jana Husa
VícePražskému staroměstskému orloji je 600 let
Pražskému staroměstskému orloji je 600 let Na otázku, jestli někdo nebo něco dovede spojit do jedinečného celku takové oblasti lidského vědění jako jsou matematika, fyzika, astronomie, mechanika, filozofie,
Více600 let pražského orloje
600 let pražského orloje Michal Křížek, Praha Orloj ten jest rozprávky a chvály hodný ve všech krajinách nad jiné všecky veliké orloje na světě... Jan Táborský z Klokotské Hory Zpráva o orloji pražském,
Více1 Připomenutí vybraných pojmů
1 Připomenutí vybraných pojmů 1.1 Grupa Definice 1 ((Komutativní) grupa). Grupou (M, ) rozumíme množinu M spolu s operací na M, která má tyto vlastnosti: i) x, y M; x y M, Operace je neomezeně definovaná
Více1.2 Sluneční hodiny. 100+1 příklad z techniky prostředí
1.2 Sluneční hodiny Sluneční hodiny udávají pravý sluneční čas, který se od našeho běžného času liší. Zejména tím, že pohyb Slunce během roku je nepravidelný (to postihuje časová rovnice) a také tím, že
VíceČas a kalendář. RNDr. Aleš Ruda, Ph.D.
Čas a kalendář RNDr. Aleš Ruda, Ph.D. Obsah přednášky 1) Čas a způsoby jeho 2) Místní a pásmový čas 3) Datová hranice 4) Kalendář 1. Čas a způsoby jeho podstata určování času rotace Země - druhy časů:
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceMgr. Robert Stuchlík- poradenství, konzultace, kurzy Mobil: , mail:
Zvířata v práci, aneb horoskop jako pomocný nástroj personalisty My víme, že to děláte! My víme, že si vybíráte zaměstnance i podle slunečního znamení. Víme, že na internetu pročítáte horoskopy. Klidně
VíceVlasta Moravcová. Matematicko-fyzikální fakulta & Nad Ohradou 23 Univerzita Karlova v Praze Praha 3. Letní škola geometrie 2018,
KONSTRUKČNÍ ÚLOHY Katedra didaktiky matematiky Gymnázium Na Pražačce Matematicko-fyzikální fakulta & Nad Ohradou 23 Univerzita Karlova v Praze Praha 3 Letní škola geometrie 2018, 4. července 2018, Česká
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní
VíceFibonacciho čísla na střední škole
Fibonacciho čísla na střední škole Martina Jarošová Abstract In this contribution we introduce some interesting facts about Fibonacci nunbers We will prove some identities using different proof methods
VíceGEODETICKÉ VÝPOČTY I.
SPŠS Č.Budějovice Obor Geodézie a Katastr nemovitostí 2.ročník GEODETICKÉ VÝPOČTY I. TROJÚHELNÍK PYTHAGOROVA VĚTA TROJÚHELNÍK Geodetické výpočty I. trojúhelník je geometrický rovinný útvar určený třemi
VíceRůznostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna
16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná
VíceOblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách
Prioritní osa: 1 Počáteční vzdělávání Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918 Název projektu:inovace vzdělávání v
VíceBonboniéry a čokolády
Bonboniéry a čokolády Dárková kolekce bonboniér a čokolád Nabídněte Vašim zákazníkům výbornou čokoládu v nádherných květinových obalech. SELLLOT s.r.o. K Hájům 1309/34, 155 00 Praha 5 - Stodůlky, Telefon:
VíceAstronomie, sluneční soustava
Základní škola Nový Bor, náměstí Míru 128, okres Česká Lípa, příspěvková organizace e mail: info@zsnamesti.cz; www.zsnamesti.cz; telefon: 487 722 010; fax: 487 722 378 Registrační číslo: CZ.1.07/1.4.00/21.3267
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
Více1 Co jste o sluneèních hodinách nevìdìli?
1 Co jste o sluneèních hodinách nevìdìli? 1.1 Měsíční hodiny Drahomíra Pecinová Sluneční hodiny různých typů můžeme doplnit měsíčními hodinami a rozšířit tak jejich použití i na noci, kdy svítí Měsíc.
VíceAplikace matematiky. aneb Nedokonalosti dokonalé matematiky
Aplikace matematiky aneb Nedokonalosti dokonalé matematiky Petr Pupík 21. září 2015 K čemu je nám matematika? Matematika je jen počítání K čemu je nám matematika? Matematika je jen počítání Vše v matematice
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
Více65. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Pardubice, dubna 2016
65. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A Pardubice, 3. 6. dubna 2016 MO 1. Nechť p > 3 je dané prvočíslo. Určete počet všech uspořádaných šestic (a, b, c, d, e, f) kladných celých čísel,
VícePrvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13,... Základní věta aritmetiky. Jestliže. kde p 1 < p 2 < < p r, q 1 < q 2 < < q s jsou prvočísla a
Přirozená čísla: 1, 2, 3,... = {1, 2, 3,... } Prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13,... Základní věta aritmetiky. Jestliže p α 1 1 pα 2 2 pα r r = q β 1 1 qβ 2 2 qβ s s, kde p 1 < p 2 < < p r, q 1 < q 2 < < q
VíceČAS. Anotace: Materiál je určen k výuce zeměpisu v 6. ročníku základní školy. Seznamuje žáky s pohyby Země, počítáním času a časovými pásmy.
ČAS Anotace: Materiál je určen k výuce zeměpisu v 6. ročníku základní školy. Seznamuje žáky s pohyby Země, počítáním času a časovými pásmy. Pohyby Země v minulosti si lidé mysleli, že je Země centrem Sluneční
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceNástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918
Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých zemích do roku 1918 Matematika na pražské univerzitě In: Jiří Mikulčák (author): Nástin dějin vyučování v matematice (a také školy) v českých
VíceHlavolamy a teorie grafů
Hlavolamy a teorie grafů Petr Kovář 1 petr.kovar@vsb.cz 1 Vysolá škola báňská Technická univerzita Ostrava, Škola matematického modelování, 2009 Přehled přednášky Úloha hanojských věží Část 1. Co není
VíceIdentifikace vzdělávacího materiálu VY_52_INOVACE_F.9.A.35 EU OP VK. Fyzika Orientace na obloze
Identifikace vzdělávacího materiálu VY_52_INOVACE_F.9.A.35 EU OP VK Škola, adresa Autor ZŠ Smetanova 1509, Přelouč Mgr. Ladislav Hejný Období tvorby VM Červen 2012 Ročník 9. Předmět Fyzika Orientace na
VíceM - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
Vícezákladní vzdělávání lehké mentální postižení > Člověk a společnost > Dějepis >čtenářská gramotnost
Cyril a Metoděj základní vzdělávání lehké mentální postižení > Člověk a společnost > Dějepis >čtenářská gramotnost Anotace : Autor: Jazyk: Očekávaný výstup: Speciální vzdělávací potřeby: Klíčová slova:
VícePsací potřeby, pracovní list, text (lze promítnout prostřednictvím interaktivní tabule nebo nakopírovat žákům).
Název školy: ZŠ Vyškov, Na Vyhlídce 12, příspěvková organizace Číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3425 Název materiálu: VY_12_INOVACE_02_Vl_06_Kosmas Tematický okruh: I/2 Čtenářská a informační gramotnost
VícePraha historické památky
Praha historické památky autor výstupu: Mgr. Vlastimil Kořínek datum ověření výstupu: 21. 11. 2012 školní rok 2012-2013 předmět: vlastivěda třída: 4. a 5. třída tematický celek: Kraje České republiky druh
VíceIntegrovaná střední škola, Sokolnice 496
Integrovaná střední škola, Sokolnice 496 Název projektu: Moderní škola Registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.0467 Název klíčové aktivity: III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Kód výstupu:
VíceMatematika pro informatiku 10
Matematika pro informatiku 10 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 4.dubna 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Vybrané problémy teorie čísel Prvočísla
VíceHlubší věty o počítání modulo
Hlubší věty o počítání modulo Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2007: Hlubší věty o počítání modulo 1/17 Příklad Vyřešte: Idea řešení: x = 3 v Z 4 x = 2 v Z 5 x = 6 v Z 21 x = 3 + 2 + 6 Musí být: 1 První
VíceHVĚZDNÁ OBLOHA, SOUHVĚZDÍ
HVĚZDNÁ OBLOHA, SOUHVĚZDÍ Souhvězdí I. Souhvězdí je optické uskupení hvězd různých jasností na obloze, které mají přesně stanovené hranice Podle usnesení IAU je celá obloha rozdělena na 88 souhvězdí Ptolemaios
VíceDefinice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe
Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O
VíceSvobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Trojúhelník III. konstrukce trojúhelníku. Astaloš Dušan. frontální, fixační
METODICKÝ LIST DA35 Název tématu: Autor: Předmět: Ročník: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Získané dovednosti: Stručný obsah: Trojúhelník III. konstrukce trojúhelníku Astaloš Dušan Matematika šestý
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie C
61. ročník Matematické olympiády Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Najděte všechny trojčleny p(x) = ax 2 + bx + c, které dávají při dělení dvojčlenem x + 1 zbytek 2 a při dělení dvojčlenem x
VíceGeometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou
Gymnázium Přírodní škola, o p s Geometrie zakřiveného prostoru aplikace s fyzikální tématikou Jan Pokorný Petr Martiška, Vojtěch Žák 1 11 2012 Obsah 1 Úvod 3 2 Teoretické základy a použité metody 4 21
VícePřijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 017, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé
VíceTematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
VíceMatematický KLOKAN : ( ) = (A) 1 (B) 9 (C) 214 (D) 223 (E) 2 007
Matematický KLOKN 007 kategorie enjamín Úlohy za 3 body. Které číslo patří do prázdného rámečku? 007 : ( + 0 + 0 + 7) 0 0 7 = () () 9 (C) 4 (D) 3 (E) 007. Který z dílů stavebnice musíš přiložit k dílu
VíceEudoxovy modely. Apollónios (225 př. Kr.) ukázal, že oba přístupy jsou při aplikaci na Slunce ekvivalentní. Deferent, epicykl a excentr
Počátek goniometrie Eudoxovy modely Deferent, epicykl a excentr Apollónios (225 př Kr) ukázal, že oba přístupy jsou při aplikaci na Slunce ekvivalentní Zdeněk Halas (KDM MFF UK) Goniometrie v antice 25
VíceLATINSKÉ ČTVERCE předložil LEONHARD EULER ( ) petrohradské akademii proslulou úlohu o 36 důstojnících:
LATINSKÉ ČTVERCE 17. 10. 1776 předložil LEONHARD EULER (1707-1783) petrohradské akademii proslulou úlohu o 36 důstojnících: Sestavte 36 důstojníků 6 různých hodností ze 6 různých pluků do čtverce tak,
Více49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie A. BÌlovec, 9.ñ12. dubna 2000
49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie BÌlovec, 9.ñ. dubna 000 . Nechť n je přirozené číslo. Dokažte, že součet 4 n + 4 n je dělitelný třinácti, právě když n je sudé. (J. Šimša) Řešení.
VíceExpozice času ve Šternberku
Expozice času ve Šternberku Š ternberk od roku 1947, kdy byl ve městě založen podnik Chronotechna, je spojován s výrobou hodin. Nejen sběratelům a znalcům hodin je dobře známá značka hodinek Prim, které,
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2017
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Matematika T DUBNA 07 : 9. dubna 07 D : 830 P P P : 30 M. M. : 30 : 8,8 M. :, % S : -7,5 M. P : -,5 :,4 Zopakujte si základní informace ke zkoušce: n Test obsahuje 30 úloh a
VíceV tomto článku popíšeme zajímavou úlohu (inspirovanou reálnou situací),
L i t e r a t u r a [1] Calábek, P. Švrček, J.: Úvod do řešení funkcionálních rovnic. MFI, roč. 10 (2000/01), č. 3. [2] Engel, A.: Problem-Solving Strategies. Springer-Verlag, New York, Inc., 1998. [3]
VíceČas a kalendář. důležitá aplikace astronomie udržování časomíry a kalendáře
OPT/AST L08 Čas a kalendář důležitá aplikace astronomie udržování časomíry a kalendáře čas synchronizace s rotací Země vzhledem k jarnímu bodu vzhledem ke Slunci hvězdný čas definován jako hodinový úhel
Více