M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci

Transkript

1 M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na

2 ± Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice jsou takové rovnice, které obsahují neznámou v argumentu goniometrické funkce. Při řešení goniometrických rovnic využijeme vztahů mezi goniometrickými funkcemi, znalosti grafů jednotlivých goniometrických funkcí a dále tabulky důležitých hodnot goniometrických funkcí. Vždy musíme vzít v úvahu periodu jednotlivých goniometrických funkcí. Příklad 1: Řešte rovnici sin x 0,5 Z tabulky důležitých hodnot goniometrických funkcí víme, že sin x 0,5 je splněno pro x 30. Platí tedy, že x k.360 Funkce sinus nabývá ale hodnoty 0,5 ještě pro úhel ( ) 150 (k závěru dospějeme nejsnáze, pokud si představíme průběh grafu funkce sinus). Dostáváme tak druhé řešení: x k.360 Obě řešení lze vyjádřit i v obloukové míře: Příklad : Řešte rovnici: sin x - 3 Pokud je hodnota záporná, vytvoříme si nejprve hodnotu pomocnou, a to s kladným znménkem. Řešíme tedy nejprve pomocnou rovnici sin x 3 Vyjde nám tak pomocný úhel x Protože ale hodnota má být ve skutečnosti záporná, určíme z grafu hodnotu neznámých: x 1 ( ) + k k.360 x ( ) + k k.360 I v tomto případě lze oba výsledky vyjádřit v obloukové míře: Příklad 3: Řešte rovnici sin x 0, :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 1 z 9

3 V tomto případě je vhodné použít substituci: y x Řešíme pak rovnici sin y 0,5 Z příkladu č. 1 už víme, že tato rovnice má dvě řešení: y k.360 y k.360 Vrátíme se k substituci a dostaneme: x k.360 a odtud: x k.180 x k.360 a odtud: x 75 + k.180 I tyto výsledky lze vyjádřit oba v obloukové míře: Příklad 4: Řešte rovnici: cos 3x. sin x 0 Využijeme věty, že součin se rovná nule tehdy, je-li roven nule alespoň jeden z činitelů. Proto řešení rovnice rozdělíme na dvě části: 1. část: Řešíme cos 3x 0 Substituce: y 3x Rovnice cos y 0 má řešení: y k. 360 y 70 + k. 360 Vzhledem k tomu, že ale , vidíme, že vlastně lze oba výsledky sloučit do jednoho, protože se vlastně jedná o všechny liché násobky čísla 90. Získáme tak řešení: y 1 (k + 1). 90 Pozn.: Liché násobky vyjadřujeme (k + 1), kde k je libovolné celé číslo, a sudé násobky vyjadřujeme k, kde k je libovolné celé číslo. Vrátíme se k substituci a získáme: 3x 1 (k + 1). 90 neboli x 1 (k + 1). 30. část: Řešíme sin x 0 Substituce: y x Rovnice sin y 0 má dvě řešení: y k. 360 y k. 360 Vzhledem k tomu, že ale a , vidíme, že se vlastně vždy jedná o sudé násobky čísla 90 a při představení si grafu zjistíme, že se jedná o všechny sudé násobky čísla 90. Získáme tak opět jediné řešení: y k. 90 Vrátíme se k substituci a získáme: x k. 90 neboli x k. 90 Oba konečné výsledky lze opět vyjádřit v obloukové míře: Příklad 5: :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( z 9

4 Řešte rovnici: 4cos x + 4cosx Substituce y cos x Získáme tak kvadratickou rovnici 4y + 4y Zjistíme, že tato kvadratická rovnice má kořeny: y 1-1,5 a y 0,5 Vrátíme se k substituci: cos x 1-1,5 Tato rovnice ale nemá řešení, protože obor hodnot funkce y cos x je <-1; 1> cos x 0,5 x 60 + k. 360 x 3 ( ) + k k. 360 Řešením tedy je x k. 360, x k. 360, neboli v obloukové míře: ± Goniometrické rovnice - procvičovací příklady 1. Řešte rovnici: Řešte rovnici: cos x Řešte rovnici: 7sin x + 4cos x Řešte rovnici: 3cos x - sin x - sin x Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 3 z 9

5 8. Řešte rovnici: sin x + 1,5cos x,5sin x. cos x Řešte rovnici: Řešte rovnici: sin x. cos x 0, Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: 6sin x + 3sin x. cos x - 5cos x :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 4 z 9

6 18. Řešte rovnici: sin x. cotg x Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: cos x cos x Řešte rovnici: sin x 3cos x Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 5 z 9

7 8. Řešte rovnici: Řešte rovnici: tg x - 3cotg x Řešte rovnici: sin x - sin x. cos x - cos x Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: sin x. (1 + cos x) Řešte rovnici: sin x + sin x Řešte rovnici: 187 Rovnice nemá řešení. 36. Řešte rovnici: Řešte rovnici: sin x 3sin x Řešte rovnici: sin x - cos x + sin x Řešte rovnici: cotg 6x Řešte rovnici: :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 6 z 9

8 41. Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 7 z 9

9 50. Řešte rovnici: Řešte rovnici: tg x Řešte rovnici: cos x cos x Řešte rovnici: 1831 ± Sinová věta Sinová věta Věta: V trojúhelníku ABC platí: a : b : c sina : sinb : sing Lze zapsat i jinak: a sin a b sin b b sin sin b ; c g c a sin sin g ; a nebo a sin a b sin b c sin g Důkaz: :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 8 z 9

10 Volme jednotkovou kružnici. Platí: BC a a r Použijeme pro trojúhelník ZBC Pythagorovu větu: BC r a - cosa..sin a 4sin a 4sin a r sin a + ( 1- cos a ) ( 1- cos a ). ( sin a + cos a - cos a + sin a ) a sin a + 1- cos a + cos a a, r, sina jsou kladné hodnoty, proto můžeme odmocnit a dostaneme: a sin a r Obdobně bychom dokázali: b c r r sin b ; sin g Odtud tedy platí: a b c sin a sin b sin g Slovní vyjádření věty: Poměr dvou stran v trojúhelníku je roven poměru sinů protilehlých úhlů. Užití sinové věty: Známe-li buď dva úhly a jednu stranu nebo dvě strany a úhel ležící proti jedné z nich :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 9 z 9

11 Sinová věta platí pro obecný trojúhelník, nikoliv tedy jen pro trojúhelník pravoúhlý. Příklad 1: Řešte trojúhelník ABC, je-li dáno: a 13,07 m b g Známe stranu a, proto potřebujeme znát i úhel ležící proti ní. Snadno ho vypočteme: a (b + g ) ( ) a b sin a sin b a.sin b b sin a 13,07.sin b sin b 165,9 m a c sin a sin g a.sin g c sin a 13,07.sin c sin c 173,45 m V zadaném trojúhelníku má tedy úhel a velikost 4 7 1, strana b je dlouhá 165,9 metru a strana c má délku 173,45 m. ± Sinová věta - procvičovací příklady 1. Vypočti stranu c, je-li v trojúhelníku ABC dáno: ,35 m. Určete ostatní úhly v trojúhelníku ABC, je-li dáno: :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 10 z 9

12 m 4. Určete délku strany c trojúhelníka ABC, je-li dáno: ,1 m ,3 m 8 19 m 6. Určete velikost vnitřního úhlu při vrcholu A trojúhelníku ABC, je-li dáno: Určete délku strany a trojúhelníka ABC, je-li dáno: ,75 m 8. Určete délku strany b trojúhelníka ABC, je-li dáno: ,6 m m Určete velikost vnitřního úhlu při vrcholu B trojúhelníku ABC, je-li dáno: :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 11 z 9

13 ,3 m m ,8 m ± Kosinová věta Kosinová věta Věta: Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly a, b, g, a stranami a, b, c platí: a b + c - bc.cosa b a + c - ac.cosb c a + b - ab.cosg Důkaz: :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 1 z 9

14 a BC BC b c a c æ b ö ç - cosa è c ø b + 1- cosa c + sin a b c b - cosa + cos c a + sin a a b + c - bc.cosa Je-li a > 90, pak cosa - cos(180 - a) a platí tedy: a b + c +bc.cos(180 - a) Kosinová věta platí též, podobně jako sinová věta, pro obecný trojúhelník. Příklad 1: Řešte trojúhelník, je-li dáno: a 7 cm, c 4 cm, b 78 a 7 cm c 4 cm b 78 b? [cm] a? [ ] g? [ ] b a + c - ac.cosb b cos 78 b cos 78 b 53,3576 b 7,3 cm (po zaokrouhlení) a b sin a sin b a.sin b sin a b 7.sin 78 sin a 0,9379 7,3 a 69 4 a c sin a sin g c.sin a sin g a 4.sin 69 4 sin g 0, :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 13 z 9

15 g 3 4 Závěr: Zbývající prvky trojúhelníka jsou b 7,3 cm, a 69 4, g 3 4. Poznámka: Úhly a a g můžeme též vypočítat podle Kosinové věty: a b + c - bc. cos a b + c - a cosa bc 7, cosa.7,3.4 0,3474 a c a + b - ab. cos g cosg cosg a 7 + b - c ab + 7, ,3 0,8443 g 3 4 Výsledky jsou tedy přibližně stejné. Nepatrná odchylka vznikla zaokrouhlením úhlů na minuty. Kdybychom počítali ve vteřinách, byly by výpočty přesnější. ± Kosinová věta - procvičovací příklady 1. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 40 m, b 3 m, c 3 m ,3 m :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 14 z 9

16 5. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c : 3 : Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 6 m, b 11 m, c 7 m Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c 4 : 5 : ,6 9. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c : 3 : Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c 4 : 5 : Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 40 m, b 3 m, c 3 m Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 40 m, b 3 m, c 3 m Určete velikost strany a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a , b 683,1 m, c 534,7 m 315,5 m :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 15 z 9

17 17. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 6 m, b 11 m, c 7 m ,5 19. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 16,9 m, b 6 m, c 7,3 m Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c 1 : : 3 Trojúhelník neexistuje. 1. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a , b 683,1 m, c 534,7 m Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 16,9 m, b 6 m, c 7,3 m ,6 4. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c 1 : : 3 Trojúhelník neexistuje m 6. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 6 m, b 11 m, c 7 m Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a , b 683,1 m, c 534,7 m :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 16 z 9

18 8. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 16,9 m, b 6 m, c 7,3 m Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c 1 : : 3 Trojúhelník neexistuje 31. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a: b : c : 3 : N 33. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c 4 : 5 : , m ± Komplexní čísla Komplexní čísla Obor komplexních čísel je nejvyšším číselným oborem, s nímž se při studiu na střední škole seznámíme. Je vlastně jakousi nadmnožinou oboru reálných čísel. Znamená to tedy, že reálná čísla jsou zvláštním případem čísel komplexních. Komplexní čísla označujeme C. Na rozdíl od reálných čísel, která můžeme znázornit na číselné ose, čísla komplexní můžeme znázornit pouze tehdy, pokud máme osy svě (na sebe kolmé). Komplexní čísla tedy znázorňujeme uspořádanou dvojicí, podobně jako body v kartézské soustavě souřadnic. Pozn.: Uspořádaná dvojice je dvojice čísel, kde záleží na jejich pořadí. Tuto dvojici čísel zapisujeme do hranaté závorky. Rovina, v níž zobrazujeme komplexní čísla, se nazývá rovina komplexních čísel nebo také Gaussova rovina :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 17 z 9

19 Osa x se v Gaussově rovině nazývá osa reálných čísel (reálná osa) a nanášíse na ni reálná část komplexního čísla (tj. první složka uspořádané dvojice, která komplexní číslo představuje), osa y se nazývá osa ryze imaginárních čísel (imaginární osa) a nanáší se na ni imaginární část komplexního čísla (tj. druhá složka uspořádané dvojice, která komplexní číslo představuje). Komplexní číslo z znázorněné na obrázku tedy můžeme znázornit buď [a 1; a ] nebo způsobem uvedeným v obrázku, a to z a 1 + a i. Tento zápis nazýváme algebraickým zápisem komplexního čísla. Číslo i se nazývá imaginární jednotka a platí: i [0; 1]. Pro imaginární jednotku platí: i -1 i 3 -i i 4 +1 i 5 i i 6-1 atd... Algebraický tvar komplexního čísla Nechť je dáno komplexní číslo a [a 1; a ]. Jeho vyjádření ve tvaru z a 1 + a i se říká algebraický tvar komplexního čísla. Číslo a 1 představuje reálnou část komplexního čísla, číslo a představuje imaginární část komplexního čísla. Výhodou tohoto vyjádření komplexního čísla je to, základní početní operace s :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 18 z 9

20 komplexními čísly v algebraickém tvaru je možné provádět stejným způsobem jako kdyby šlo o reálné dvojčleny. Absolutní hodnota komplexního čísla Absolutní hodnota komplexního čísla představuje jeho vzdálenost od počátku souřadného systému (průsečíku reálné a imaginární osy). K jejímu určení tedy stačí znalost Pythagorovy věty. Platí vzorec: z a 1 + a Komplexní jednotka Komplexní jednotka je komplexní číslo z, jehož absolutní hodnota je rovna 1. Platí tedy z 1 Čísla komplexně sdružená Čísla komplexně sdružená označujeme. [čteme zet s pruhem] Velikost komplexního čísla z a velikost čísla k němu komplexně sdruženého se sobě rovnají. Součet komplexního čísla a čísla k němu komplexně sdruženého je číslo reálné. Součin komplexního čísla a čísla komplexně sdruženého je opět číslo reálné. Rovnost komplexních čísel Komplexní čísla z 1 a 1 + b 1i a z a + b i jsou si rovna, jestliže jsou si rovny jejich reálné a imaginární části, tj. platí a 1 a a zároveň b 1 b Součet komplexních čísel :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 19 z 9

21 Pro komplexní čísla a [a 1; a ] a b [b 1; b ] ve tvaru a a 1 + a i, b b 1 + b i se definuje jejich součet tak, že se sčítají zvlášť reálné a zvlášť imaginární části obou komplexních čísel. Výsledný součet (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině Rozdíl komplexních čísel Pro komplexní čísla a [a 1; a ] a b [b 1; b ] ve tvaru a a 1 + a i, b b 1 + b i se definuje jejich rozdíl tak, že se odčítají zvlášť reálné a zvlášť imaginární části obou komplexních čísel. Výsledný rozdíl (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině Součin komplexních čísel Pro komplexní čísla a [a 1; a ] a b [b 1; b ] ve tvaru a a 1 + a i, b b 1 + b i se definuje jejich součin tak, že se roznásobí reálné a imaginární části obou komplexních čísel (každý člen každým členem). Výsledný součin má potom následující souřadnice v Gaussově rovině :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 0 z 9

22 Podíl komplexních čísel Pro komplexní čísla a [a 1; a ] a b [b 1; b ] ve tvaru a a 1 + a i, b b 1 + b i se definuje jejich podíl takto: Výsledný podíl (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 1 z 9

23 Je patrné, že podíl dvou komplexních čísel ve tvaru zlomku se vypočte tak, že se zlomek rozšíří číslem komplexně sdruženým ke jmenovateli (děliteli). Goniometrický tvar komplexního čísla :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( z 9

24 Moivreova věta Moivreova věta říká, že součin dvou komplexních jednotek je opět komplexní jednotka, jejíž argument je roven součtu argumentů obou činitelů. Z této věty plyne vztah pro n-tou mocninu komplexní jednotky: a vztah pro n-tou mocninu komplexního čísla: Příklad 1: Příklad : :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 3 z 9

25 Příklad 3: Příklad 4: Příklad 5: Příklad 6: :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 4 z 9

26 Příklad 7: Příklad 8: Vypočtěte i 148 Příklad 9: Příklad 10: :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 5 z 9

27 Příklad 11: ± Komplexní čísla - procvičovací příklady :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 6 z 9

28 x 3; y i :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 7 z 9

29 , i i i 8. i , :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 8 z 9

30 , i :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 9 z 9

31 Obsah Goniometrické rovnice 1 Goniometrické rovnice - procvičovací příklady 3 Sinová věta 8 Sinová věta - procvičovací příklady 10 Kosinová věta 1 Kosinová věta - procvičovací příklady 14 Komplexní čísla 17 Komplexní čísla - procvičovací příklady :33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (