GEODETICKÉ VÝPOČTY I.

Transkript

1 SPŠS Č.Budějovice Obor Geodézie a Katastr nemovitostí 2.ročník GEODETICKÉ VÝPOČTY I. TROJÚHELNÍK PYTHAGOROVA VĚTA

2 TROJÚHELNÍK Geodetické výpočty I. trojúhelník je geometrický rovinný útvar určený třemi body, neležícími v jedné přímce. má 3 vrcholy, 3 strany a 3 vnitřní úhly vrcholy se označují velkým tiskacím písmenem, strany se označují malým písmenem příslušným protějšímu vrcholu, úhly se označují malým řeckým písmenem. typy: podle stran podle úhlů

3 ZÁKLADNÍ PRAVIDLA V TROJÚHELNÍKU A, B, C 3 vrcholy,, - 3 vnitřní úhly (vnější úhly,,,,, ) a, b, c 3 strany PLATÍ: trojúhelníkové nerovnosti a + b > c, b + c > a a c + a > b - součet dvou libovolných stran trojúhelníku je vždy delší než strana třetí + + = součet všech vnitřních úhlů je v každém trojúhelníku 180, + + = součet všech vnějších úhlů je v každém trojúhelníku 360, + = + = + = součet vnitřního a příslušného vnějšího úhlu je 180, + =, + =, + = - součet dvou vnitřních úhlů se rovná vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu

4 DŮLEŽITÉ ÚSEČKY V TROJÚHELNÍKU Výška je kolmice spuštěná z vrcholu na protější stranu. pro výšky platí Těžnice je úsečka, jejímiž krajními body jsou střed strany a protilehlý vrchol trojúhelníku Těžnice se protínají v jednom bodě, který se nazývá těžiště. Těžiště rozděluje každou těžnici na dva díly v poměru 2 : 1 trojúhelníky (ABT, ACT, CBT), všechny tři mají stejný obsah.

5 OBVOD A OBSAH TROJÚHELNÍKU Obvod trojúhelníku o se vypočte jako součet všech jeho stran o = a + b + c Obsah trojúhelníku S se vypočte jako polovina součinu libovolné strany a k ní příslušné výšky: S = (a v a ) / 2 = (b v b ) / 2 = (c v c ) / 2 podle Heronova vzorce kde s = o / 2

6 PYTHAGOROVA VĚTA Geodetické výpočty I. Obsah čtverce nad přeponou pravoúhlého rovinného trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami c 2 = a 2 + b 2 a, b jsou délky odvěsen c je délka přepony

7 c 2 = a 2 + b 2 Geodetické výpočty I. PYTHAGOROVA VĚTA Zadání: Přední strana stanu typu áčko měří u země 150 cm. Boční stěna stanu od země k vrcholu stanu měří 180 cm. Jak vysoký je stan? a c b

8 c 2 = a 2 + b 2 Geodetické výpočty I. PYTHAGOROVA VĚTA Zadání: Čtverci o straně 5,00 cm je opsána a vepsána kružnice. Určete poloměry obou kružnic a = 5 cm R v = a / 2 R o R v. R v R v = 5,00 / 2 = 2,50 cm

9 c 2 = a 2 + b 2 Geodetické výpočty I. PYTHAGOROVA VĚTA Zadání: Určete vzdálenost s mezi body A a B, pokud znáte souřadnice Y a X obou bodů. +Y 5 2 A 1 Y A = 5 m Y B = 2 m X A = 1 m X B = 5 m s? B 5 +X kontrola výsledku: S = 5 m

10 dva Δ jsou si podobné, shodují-li se v úhlech, které si navzájem odpovídají postačí shodují-li se ve dvou úhlech VĚTA UU

11 Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek dvou odpovídajících si stran a shodují se v úhlu jimi sevřeném, jsou podobné. VĚTA SUS

12 každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek všech tří dvojic odpovídajících si stran, jsou podobné VĚTA SSS

13 Zadání: Zapište podobnost a zkratku uvedené věty pro odvození podobnosti Δ UU, SUS, SSS

14 Zadání: Zapište podobnost a zkratku uvedené věty pro odvození podobnosti Δ UU, SUS, SSS ABC ~ MKL (uu) OPQ ~ GEF (sss; k = 2/3) EFG ~ MKL (sus; k = 1/2) ABC ~ PQO ~ MKL ~ EFG

15 platí, že Geodetické výpočty I. jeden trojúhelník je zvětšení druhého stejnolehlé strany a příčky v podobných Δ jsou úměrné, obsahy podobných Δ se mají k sobě jako čtverce stejnolehlých stran nebo příček, dva Δ jsou podobné, jsou-li jejich odpovídající si strany rovnoběžné, nebo navzájem kolmé, dva pravoúhlé Δ jsou podobné, shodují-li se v jednom ostrém úhlu nebo v poměru dvou odpovídajících si stran, dva rovnoramenné Δ jsou podobné, shodují-li se v úhlu při základně nebo v úhlu při vrcholu, každé dva rovnostranné trojúhelníky jsou si podobné.

16 A b D c d C a B M n P o p O m N CA : CB = OM : ON AB : DB = MN : PN b : c = n : o P Δ ABC : P Δ MNO = AB 2 : MN 2

17 Zadání: Určete hodnotu y = AS na základě podobnosti Δ. podobné Δ jsou : Δ ABB = Δ ASS y A b S a = 15,65 m b = 85,62 m x = 11,98 m y =? B b : a = y : x x a nebo y : b = x : a S B =>> y = 65,54 m

18 Zadání : Grafická interpolace Rozdělte úsečku AB neznámé délky na dvě části v poměru 3:2

19 Zadání : Vypočtěte polohu (staničení) průsečíku S spojnice AB s měřickou přímkou A 15,25 45,84 S 98,76 11,87 staničení kolmice s A = 45,84 m k A = -15,25 m s B = 98,76 m k B = 11,87 m s S =? k S =? B

20 Zadání : Vypočtěte polohu (staničení) průsečíku S spojnice AB s měřickou přímkou s B s A : x 1 = k A + k B : k A 52,92 : x 1 = 27,12 : 15,25 staničení kolmice s A = 45,84 m k A = -15,25 m s B = 98,76 m k B = 11,87 m s S =? k S =? s S = 45, ,76 = 75,60 m k S = 0,00 m Ověřte výpočet s S za pomocí trojúhelníka s x 2.

21 ÚVOD, ZÁKLADNÍ POČETNÍ ÚKONY A ZKOUŠKY REKAPITULACE TROJÚHELNÍK, PYTHAGOROVA VĚTA, ZÁKLADNÍ PRAVIDLA V TROJÚHELNÍKU DŮLEŽITÉ ÚSEČKY VÝŠKA, TĚŽNICE OBVOD A OBSAH TROJÚHELNÍKU PYTHAGOROVA VĚTA UU, SUS, SSS Domácí úkol č.2 Trojúhelník Následuje: ÚHLOVÉ JEDNOTKY, PŘEVODY, OBLOUKOVÁ MÍRA