49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie A. BÌlovec, 9.ñ12. dubna 2000
|
|
- Dominika Kovářová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie BÌlovec, 9.ñ. dubna 000
2 . Nechť n je přirozené číslo. Dokažte, že součet 4 n + 4 n je dělitelný třinácti, právě když n je sudé. (J. Šimša) Řešení. Označme a n = 4 n + 4 n. Ukážeme nejprve, že pro každé přirozené číslo n je rozdíl a n+ a n dělitelný třinácti. Po úpravách obdržíme rovnost Položme ve známém vzorci a n+ a n = 4 (8 n n ) + (56 n 4 n ). () p B p = ( B)( p + p B B p ), který platí pro každé přirozené p a pro libovolná dvě reálná čísla a B, nejprve p = n, = 8, B = a poté p = n, = 56, B = 4. Protože je 8 = 78 = 6 a také 56 4 = = (56 4)(56 + 4) = 5 60 = 0 5, jsou oba sčítanci na pravé straně rovnosti () čísla dělitelná. Je proto také rozdíl a n+ a n dělitelný. Číslo a není dělitelné, neboť a = 84 = 6 + 6, kdežto číslo a číslem dělitelné je (a = 09 = 84). Užitím principu matematické indukce již snadno zjistíme, že a n je dělitelné, právě když n je sudé. Tím je důkaz hotov. Jiné řešení. Sestavme tabulku zbytků při dělení čísla a n = 4 n + 4 n n n n n n a n třinácti. Zbytky obou čísel tvaru N n určujeme rekurentně pomocí rovností N n+ = N n N n = ( N n ). Protože = 9 a 9 = 8 (mod ), vidíme, že v druhém i třetím řádku tabulky se pravidelně střídá trojka s devítkou, zbytky čísla a n při dělení třinácti se tedy (vzhledem k číslu n) rovněž opakují s periodou. Číslo a n je tedy dělitelné třinácti, právě když n je sudé.. Je dán rovnoramenný trojúhelník BC se základnou B. Na jeho výšce CD je zvolen bod P tak, že kružnice vepsané trojúhelníku BP a čtyřúhelníku P ECF jsou shodné; přitom bod E je průsečík přímky P se stranou BC a F průsečík přímky BP se stranou C. Dokažte, že i kružnice vepsané trojúhelníkům DP a BCP jsou shodné. (J. Šimša, K. Horák) Řešení. Protože přímka CD je osou souměrnosti dvou vrcholových úhlů P B a EP F, leží střed I kružnice vepsané trojúhelníku BP na úsečce DP a zároveň střed I kružnice vepsané čtyřúhelníku P ECF leží na úsečce CP (obr. ). Navíc platí I P = I P, neboť obě zmíněné kružnice jsou shodné. Středy O, O kružnic vepsaných trojúhelníkům DP a BCP (obr. ) pak leží po řadě na úsečkách I, BI, neboť polopřímky I a BI jsou osy odpovídajících úhlů DP a CBP. Z rovnosti I P = I P navíc plyne, že trojúhelníky P I a BP I mají stejný obsah, protože se rovnají i příslušné výšky D = BD. Označme r, r poloměry kružnic vepsaných trojúhelníkům DP a BCP. Vyjádříme-li pomocí nich oba zmíněné obsahy (S(XYZ) značí obsah trojúhelníku XYZ), dostaneme S(P I ) = S(O P ) + S(O P I ) = P r + I P r = r ( P + I P ), S(BP I ) = S(BO P ) + S(O P I ) = BP r + I P r = r ( BP + I P ).
3 C C F I E I P P O r I O I r D B D B Obr. Obr. Vzhledem k tomu, že S(P I ) = S(BP I ), I P = I P a P = BP, plyne odtud r = r, což jsme měli dokázat. Jiné řešení. Vzhledem k souměrnosti trojúhelníku BC podle osy CD stačí dokázat, že se shodují kružnice vepsané trojúhelníkům BDP a BP C. Vnější společné tečny shodných kružnic vepsaných úhelníkům BP a P ECF jsou rovnoběžné se střednou CD, tedy kolmé na přímku B. Uvažujme tu z nich, která protíná úsečky D, P F a polopřímku opačnou CB. Tyto průsečíky označme po řadě D, P, C (obr. ). Ve stejnolehlosti, která zobrazí trojúhelník BD C na trojúhelník BDC, odpovídají trojúhelníkům BD P a BP C trojúhelníky BDP a BP C. Protože kružnice vepsaná čtyřúhelníku P ECF je zároveň vepsána i trojúhelníku BP C a kružnice vepsaná trojúhelníku BP je zároveň vepsána trojúhelníku BD P a obě uvedené kružnice jsou dle předpokladu shodné, jsou shodné i jejich obrazy ve zmíněné stejnolehlosti, tedy kružnice vepsané trojúhelníkům BDP a BP C. C C F P E P D D Obr. B
4 . V rovině je dáno 000 shodných trojúhelníků o obsahu, které jsou obrazy téhož trojúhelníku v různých posunutích. Každý z těchto trojúhelníků obsahuje těžiště všech zbývajících. Dokažte, že obsah sjednocení těchto trojúhelníků je menší než 9. (P. Calábek) Řešení. Nechť trojúhelník BC o obsahu je vzorem všech 000 trojúhelníků k B k C k, k {,,..., 000}, v různých posunutích. Obsahuje-li každý z těchto trojúhelníků těžiště všech zbývajících, plyne z řešení úlohy 49 I 4, že průnikem všech těchto trojúhelníků je trojúhelník 0 B 0 C 0, který je podobný trojúhelníku BC, přičemž jeho strany 0 B 0, B 0 C 0, C 0 0 jsou po řadě rovnoběžné se stranami B, BC, C a pro poměr podobnosti λ navíc platí λ ;. Je-li k B k C k (k {,,..., 000}) libovolný z daných trojúhelníků, je trojúhelník 0 B 0 C 0 jeho částí, proto leží vrchol k v polorovině B 0 C 0 0 ve vzdálenosti nejvýše v a od hraniční přímky B 0 C 0, kde v a je velikost výšky trojúhelníku BC příslušné vrcholu. Na druhou stranu je i vzdálenost strany B k C k od vrcholu 0 nejvýše v a. Protože navíc trojúhelník 0 B 0 C 0 obsahuje těžiště všech takovýchto trojúhelníků k B k C k, nemůže být vzdálenost strany B k C k od strany B 0 C 0 B k C k větší než v a. Vzdálenost vrcholu 0 od strany B 0 C 0 je λv a, dohromady je tedy vzdálenost obou rovnoběžných přímek B k C k, B 0 C 0 nejvýše min(, λ) v a. Vidíme, že všechny dané trojúhelníky leží uvnitř pásu omezeného dvěma rovnoběžkami a 0 a B 0 C 0 (obr. 4), jejichž vzdálenost od B 0 C 0 je v a a min(, λ) v a. nalogické tvrzení můžeme vyslovit i pro další dva směry C 0 0 a 0 B 0. Sjednocení všech daných trojúhelníků musí tedy ležet v průniku všech tří odpovídajících pásů. C k λ c 0 C 0 k 0 B 0 B k a 0 a b a 0 b 0 a c Obr. 4 Obr. 5 Rozlišíme nyní dva případy podle toho, čemu se rovná min(, λ).. Nechť λ <. Průnikem odpovídajících tří pásů je šestiúhelník, který vznikne z troj úhelníku T určeného trojicí přímek (a, b, c ) odstraněním tří trojúhelníčků T a, T b, T c určených trojicemi přímek (a 0, b, c ), (a, b 0, c ) a (a, b, c 0 ). V obr. 5 jsou vyznačeny některé poměrné vzdá lenosti vzhledem k B, s jejichž pomocí zjistíme, že trojúhelník T je podobný trojúhelníku BC s poměrem podobnosti + λ a trojúhelníky T a, T b, T c jsou podobné trojúhelníku BC s poměrem podobnosti λ. Z vypočtených poměrů je zároveň zřejmé, že pro λ = se trojúhelníky T a, T b, T c stáhnou do jediného bodu, takže uvedený šestiúhelník se zredukuje na trojúhelník T. Pro obsah S(λ) vyznačeného útvaru tak pro λ < platí ( S(λ) = ( + λ) λ ) = = λ + 4λ + = (λ ) + 8 < 8 9 = 9. 4
5 . Nechť λ. Průnikem odpovídajících tří pásů je opět šestiúhelník (obr. 6), přičemž c 0 b λ λ a 0 b 0 a Obr. 6 odpovídající trojúhelník T je podobný trojúhelníku BC s poměrem podobnosti λ a trojúhel níky T a, T b, T c jsou podobné trojúhelníku BC s poměrem podobnosti λ (v tomto případě se šestiúhelník zredukuje na trojúhelník T pro λ = ). Pro obsah S(λ) v tomto případě platí S(λ) = ( λ) ( λ) = = λ 6λ + 6 = (λ ) 49 9 = 9 c s rovností pro λ =. Zjistili jsme, že sjednocení všech trojúhelníků k B k C k (k =,,..., 000) je pro λ částí rovinného útvaru, jehož obsah je menší než 9. Pro λ = je pak částí šestiúhelníku s obsahem 9. Strana tohoto šestiúhelníku, která leží např. na přímce a 0, může obsahovat jen konečně mnoho vr cholů i daných trojúhelníků i B i C i, takže v šestiúhelníku určitě najdeme trojúhelníček kladného obsahu, který do uvažovaného sjednocení nepatří. Obsah sjednocení uvažovaných trojúhelníků je proto i v tomto případě menší než 9. Tím je důkaz hotov. 4. Pro které kvadratické funkce f(x) existuje taková kvadratická funkce g(x), že kořeny rovnice g ( f(x) ) = 0 jsou čtyři různé po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti a současně i kořeny rovnice f(x)g(x) = 0? (P. Černek) Řešení. Ze zadání plyne, že každá z rovnic f(x) = 0, g(x) = 0 má dva reálné kořeny, přitom všechny čtyři kořeny obou uvažovaných rovnic jsou navzájem různé. Označme x, x kořeny rovnice f(x) = 0. Platí tedy f(x) = a(x x )(x x ), kde a je reálné číslo, a 0. Číslo x je podle zadání rovněž kořenem rovnice g ( f(x) ) = 0, platí tudíž g ( f(x ) ) = g(0) = 0. Odtud vyplývá, že rovnice g(x) = 0 má jeden kořen 0. Označme b (b 0) druhý kořen této rovnice. Je tedy g(x) = cx(x b), kde c je reálné číslo, c 0. Čísla 0 a b jsou podle zadání rovněž kořeny rovnice g ( f(x) ) = 0: g ( f(0) ) = cf(0) ( f(0) b ) = 0 a g ( f(b) ) = cf(b) ( f(b) b ) = 0. Jelikož čísla 0 a b nemohou být kořeny rovnice f(x) = 0, plyne odtud f(0) = f(b) = b. Na číselné ose jsou proto jak body 0 a b, tak i body x a x souměrně sdružené podle x-ové sou řadnice vrcholu paraboly y = f(x). Čísla 0, b, x a x (tvořící dle zadání aritmetickou posloupnost) mohou tedy být uspořádána dvěma způsoby: 5
6 Čísla x a x leží uvnitř intervalu s krajními body 0 a b. Pak x = b a x = b (při vhodné volbě indexů), tudíž takže b = 9 a a ( b = f(0) = a b )( b ) = ab 9, ( f(x) = a x )( x ) = ax 9 a a x + 9 a. Čísla 0 a b leží uvnitř intervalu s krajními body x a x. Pak x = b a x = b (při vhodné volbě indexů), tudíž b = f(0) = ab( b) = ab, takže b = a a ( f(x) = a x )( x + ) = ax + a a x a. Závěr: Úloze vyhovují všechny kvadratické funkce f tvaru f(x) = ax 9 x + 9 a nebo f(x) = ax + x a, kde a je libovolné nenulové reálné číslo. 5. Monika zhotovila papírový model trojbokého jehlanu, jehož podstavou byl pravoúhlý trojúhelník. Když model rozřízla podél odvěsen podstavy a podél těžnice jedné ze stěn, vznikl po rozvinutí do roviny čtverec o straně a. Určete objem tohoto jehlanu. (P. Leischner) Řešení. Označme BCD uvažovaný jehlan s podstavou BC, kde <) CB = 90. Podle textu úlohy byl model rozříznut podél obou odvěsen C a BC podstavy a dále podél těžnice z vrcholu D jedné ze stěn BCD, CD. Při řezu podél těžnice ve stěně BD by totiž nebylo možné rozvinout model do roviny. Bez újmy na obecnosti předpokládejme dále, že řez je veden podél těžnice DE ve stěně CD (obr. 7), kdy po rozvinutí do roviny vznikne útvar s hranicí BCE DE C B a pravým úhlem u vrcholu C (obr. 8). Protože tento útvar je čtverec (označme ho C), jsou úhly E D a DE C pravé (žádný z nich nemůže být přímý, neboť jejich součet je 80 ). Proto je těžnice DE trojúhelníku CD zároveň jeho výškou a body E, E jsou vrcholy čtverce C. D D E x F E x x x B C E x x B x C C Obr. 7 Obr. 8 6
7 Kdyby vrcholy E a E čtverce C byly sousední, z rovnosti E C = E a z toho, že C má vrchol C, by plynulo, že C = CE E B, a tak BC = BE, což ale odporuje rovnosti BC = BC (obr. 9). Tak jsme (sporem) dokázali, že vrcholy E a E čtverce C nejsou sousední, proto k vrcholům C patří (kromě bodů E, E a C) nutně bod D (z úseku E DE hranice BCE DE C B). Popsané body rozdělují hranici čtverce C = CE DE na úseky, jejichž délky jsou vyznačeny na obr. 8 pomocí výhodného označení x = a. Délky ostatních hran jehlanu spočteme podle Py thagorovy věty: DC = D = (x) + (x) = x 0, DB = (x) + (x) = x, B = x 5. bychom zjistili objem jehlanu BCD, potřebujeme určit velikost jeho tělesové výšky. Označíme-li F střed hrany B, vidíme, že hrana C je kolmá na rovinu EF D, neboť C BC EF a C DE. Rovina EF D je tedy E D kolmá na základnu BC. Tělesová výška jehlanu je proto výškou (z vrcholu D) trojúhelníku DEF. Protože DF tvoří těžnici trojúhelníku BD, ze známého vzorce pro velikost těžnice dostaneme C E DF = D + DB B = 4 x, takže strany trojúhelníku DEF mají délky DF = x 4, DE = x a EF = BC = x. Podle Heronova vzorce je obsah S takového trojúhelníku roven B Obr. 9 C S = x ( )( 4 + )( )( 4 = x 6 (7 )( )( )( ) x =, a tak má jeho výška v z vrcholu D velikost v = roven + ) = S EF = x. Objem V jehlanu BCD je proto V = C BC v = x = 8 a. Závěr: Objem uvažovaného jehlanu je 8 a. Poznámka. Ze čtverce lze popsaným způsobem čtyřstěn BCD požadovaných vlastností vytvořit, když je součet dvou ze tří předpokládaných stěnových úhlů při vrcholu D větší než úhel třetí. Protože jejich součet je 90, stačí ověřit, že každý z těchto tří úhlů je menší než 45. Nerovnost <) CDB < 45 je zřejmá, zbylé dvě nerovnosti jsou důsledkem výpočtů, podle kterých cos <) DB = 9 0 > a tg <) CD = tg( <) C DE ) = 4 <. 7
8 6. Najděte všechna čtyřmístná čísla abcd (v desítkové soustavě), pro něž platí rovnost abcd + = (ac + )(bd + ). (J. Zhouf ) Řešení. Rovnost 000a + 00b + 0c + d + = (0a + c + )(0b + d + ) lze upravit na tvar 00a(9 b) + 0a(9 d) + 0b(9 c) + c(9 d) = 0. Přitom každý ze čtyř sčítanců na levé straně je nezáporné celé číslo, proto bude tato rovnost splněna, právě když bude každý z nich roven nule. Protože je a > 0, musí být b = d = 9 a následně i c = 9. V tom případě rovnici vyhovuje libovolná číslice a, a {,,..., 9}. Řešením úlohy jsou tedy právě všechna následující čtyřmístná čísla: 999, 999, 999, 4 999, 5 999, 6 999, 7 999, a
9 49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie BÌlovec, 0. dubna 000. Nechť n je přirozené číslo. Dokažte, že součet 4 n + 4 n je dělitelný třinácti, právě když n je sudé.. Je dán rovnoramenný trojúhelník BC se základnou B. Na jeho výšce CD je zvolen bod P tak, že kružnice vepsané trojúhelníku BP a čtyřúhelníku P ECF jsou shod né; přitom bod E je průsečík přímky P se stranou BC a F průsečík přímky BP se stranou C. Dokažte, že i kružnice vepsané trojúhelníkům DP a BCP jsou shodné.. V rovině je dáno 000 shodných trojúhelníků o obsahu, které jsou obrazy téhož troj úhelníku v různých posunutích. Každý z těchto trojúhelníků obsahuje těžiště všech zbý vajících. Dokažte, že obsah sjednocení těchto trojúhelníků je menší než 9.
10 49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie BÌlovec,. dubna Pro které kvadratické funkce f(x) existuje taková kvadratická funkce g(x), že kořeny rovnice g ( f(x) ) = 0 jsou čtyři různé po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti a sou časně i kořeny rovnice f(x)g(x) = 0? 5. Monika zhotovila papírový model trojbokého jehlanu, jehož podstavou byl pravoúhlý trojúhelník. Když model rozřízla podél odvěsen podstavy a podél těžnice jedné ze stěn, vznikl po rozvinutí do roviny čtverec o straně a. Určete objem tohoto jehlanu. 6. Najděte všechna čtyřmístná čísla abcd (v desítkové soustavě), pro něž platí rovnost abcd + = (ac + )(bd + ).
(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
63. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete, jaké nejmenší hodnoty může nabýt výraz V = (a b) + (b c) + (c a), splňují-li reálná čísla a, b, c dvojici podmínek a +
VíceÚlohy domácího kola kategorie B
47. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie B 1. Magický čtverec je čtvercová tabulka přirozených čísel, v níž je součet všech čísel v každém řádku, v každém sloupci i na obou úhlopříčkách
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie B
65. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B 1. Kolika způsoby je možno vyplnit čtvercovou tabulku 3 3 čísly,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 tak, aby součet čísel v každém čtverci
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie B
6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Mezi všemi desetimístnými čísly dělitelnými jedenácti, v nichž se žádná číslice neopakuje, najděte nejmenší a největší. Řešení. Uvažovaná
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
68. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Neznámé číslo je dělitelné právě čtyřmi čísly z množiny {6, 15, 20, 21, 70}. Určete, kterými. (Michal Rolínek) Řešení. Pokud by
VíceFAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos
VíceShodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem
Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A
Více64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie A
Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené číslo n takové, že p n + 1 je třetí mocninou některého přirozeného čísla. 1. Určete všechny trojice
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dán trojúhelník ABC s tupým úhlem při vrcholu C. Osa o 1 úsečky AC protíná stranu AB v bodě K, osa o 2 úsečky BC protíná stranu AB
VíceÚlohy krajského kola kategorie C
6. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C. Pro libovolná reálná čísla x, y, z taková, že x < y < z, dokažte nerovnost x 2 y 2 + z 2 > (x y + z) 2. 2. Honza má tři kartičky, na každé
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 1. V obdélníku ABCD o stranách AB = 9, BC = 8 leží vzájemně se dotýkající kružnice k 1 (S 1, r 1 ) a k 2 (S 2, r 2 ) tak,
VíceÚlohy domácího kola kategorie A
49. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie A 1. Nechť P (x), Q(x) jsou kvadratické trojčleny takové, že tři z kořenů rovnice P (Q(x)) = 0 jsou čísla 22, 7, 13. Určete čtvrtý kořen této
VíceRozpis výstupů zima 2008 Geometrie
Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...
Vícepro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p
KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,
VíceÚlohy domácího kola kategorie B
50. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie B 1. Řešte v oboru kladných čísel soustavu rovnic 3x + y = 598,6, x + y = 73,4, v níž x a y označují po řadě čísla x a y zaokrouhlená na desítky.
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie C
Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,
Více65. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Pardubice, dubna 2016
65. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A Pardubice, 3. 6. dubna 2016 MO 1. Nechť p > 3 je dané prvočíslo. Určete počet všech uspořádaných šestic (a, b, c, d, e, f) kladných celých čísel,
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie B
Návody k domácí části I. kola kategorie B 1. Najděte všechna osmimístná čísla taková, z nichž po vyškrtnutí některé čtveřice sousedních číslic dostaneme čtyřmístné číslo, které je 2 019krát menší. (Pavel
VíceZajímavé matematické úlohy
Zajímavé matematické úlohy Pokračujeme v uveřejňování dalších nových úloh tradiční rubriky Zajímavé matematické úlohy. V tomto čísle uvádíme zadání další dvojice úloh. Jejich řešení můžete zaslat nejpozději
VíceZajímavé matematické úlohy
Poděkování. Tento článek vznikl v rámci projektu SVV 2014-260105. Výzkum byl podpořen Grantovou agenturou Univerzity Karlovy v Praze (projekt č. 1250213). L i t e r a t u r a [1] Hejný, M. a kol.: Teória
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie B
67. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B 1. Najděte všechny mnohočleny tvaru ax 3 + bx + cx + d, které při dělení dvojčlenem x + 1 dávají zbytek x + a při dělení dvojčlenem
VíceTéma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30
Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,
VícePřijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2016, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé
Více9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b
008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly
VíceA STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.
PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie
Více66. ročníku MO (kategorie A, B, C)
Příloha časopisu MATEMATIKA FYZIKA INFORMATIKA Ročník 25 (2016), číslo 3 Úlohy I. kola (domácí část) 66. ročníku MO (kategorie A, B, C) KATEGORIE A A I 1 Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené
VíceInternetová matematická olympiáda listopadu 2008
Internetová matematická olympiáda - 5. listopadu 008 ŘEŠENÍ ÚLOH 1. Obrazec na Obrázku 1 je složen z 44 čtverců o straně 6 mm. Bodem A veďte jedinou přímku, která daný obrazec rozdělí na dva obrazce o
Více63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice
63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice (x y)(x + y 6) = 0, (y z)(y + z 6) = 0, které spolu s
VíceTrojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy
5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,
Více- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:
1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie B
66. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B 1. Každému vrcholu pravidelného 66úhelníku přiřadíme jedno z čísel 1 nebo 1. Ke každé úsečce spojující dva jeho vrcholy (straně nebo
Více( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )
6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie B
64. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic x 5 + y 9 = 6, x 2 9 + y 2 5 = 52. Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne y 9
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie A
6. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic y + 3x = 4x 3, x + 3y = 4y 3. 2. V rovině uvažujme lichoběžník ABCD se základnami
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
Více5. P L A N I M E T R I E
5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceMATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce
MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie A
63 ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1 Dokažte, že pro každé celé číslo n 3 je n-místné číslo s dekadickým zápisem druhou mocninou některého celého čísla 1 1 8
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie A
6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie. Označme n součet všech desetimístných čísel, která mají ve svém dekadickém zápise každou z číslic 0,,..., 9. Zjistěte zbytek po dělení
VíceÚlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem
Úlohy MO z let 1994 2012 navržené dr. Jaroslavem Švrčkem 1. Je dána polokružnice o středu S sestrojená nad průměrem AB. Sestrojte takovou její tečnu t s dotykovým bodem T (A T B), aby platilo P BCS =
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VíceCVIČNÝ TEST 40. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 40 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte pro a 1; 3 hodnotu výrazu 4 + a 3 + a 3 ( 2). 1 bod VÝCHOZÍ TEXT
VíceRůznostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna
16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná
Více[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]
Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.
Vícec jestliže pro kladná čísla a,b,c platí 3a = 2b a 3b = 5c.
Úloha 1 1 b. Od součtu neznámého čísla a čísla 17 odečteme rozdíl těchto čísel v daném pořadí. Vypočtěte a zapište výsledek v. Úloha 2 1 b. 25 Na číselné ose jsou obrazy čísel 0 a 1 vzdáleny 5 mm. Určete
Více2. Vyšetřete všechny možné případy vzájemné polohy tří různých přímek ležících v jedné rovině.
ZS1BK_PGE1 Geometrie I: Vybrané úlohy z elementární geometrie 1. Které geometrické útvary mohou vzniknout a) jako průnik dvou polopřímek téže přímky, b) jako průnik dvou polorovin téže roviny? V případě
VíceČtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník
Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky
VíceSyntetická geometrie II
Mnohoúhelníky Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Čtyřúhelníky Definice (Čtyřúhelník) Jsou dány čtyři body A, B, C, D v rovině, z nichž žádné tři nejsou kolineární. Čtyřúhelník ABCD
Více2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:
KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku
VíceCVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde
VíceOpakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <
8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím
Více55. ročník matematické olympiády
. ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě
VíceCVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka
Více64. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Praha, března 2015
64. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Praha, 22. 25. března 2015 O 1. Najděte všechna čtyřmístná čísla n taková, že zároveň platí: i) číslo n je součinem tří různých prvočísel; ii) součet
VíceCVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec
VícePLANIMETRIE úvodní pojmy
PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést
VíceSOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ
Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.001 SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ SOUŘADNICE BODU NA PŘÍMCE ČÍSELNÁ OSA na přímce je určena počátkem O a jednotkou měření. Libovolný bod A na číselné ose
VíceGEODETICKÉ VÝPOČTY I.
SPŠS Č.Budějovice Obor Geodézie a Katastr nemovitostí 2.ročník GEODETICKÉ VÝPOČTY I. TROJÚHELNÍK PYTHAGOROVA VĚTA TROJÚHELNÍK Geodetické výpočty I. trojúhelník je geometrický rovinný útvar určený třemi
Více67. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Přerov, března 2018
67. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Přerov, 8.. března 08 MO . Ve společnosti lidí jsou některé dvojice spřátelené. Pro kladné celé číslo k 3 řekneme, že společnost je k-dobrá, pokud
VíceNávody k domácí části I. kola kategorie C
61. ročník Matematické olympiády Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Najděte všechny trojčleny p(x) = ax 2 + bx + c, které dávají při dělení dvojčlenem x + 1 zbytek 2 a při dělení dvojčlenem x
VícePřípravný kurz - Matematika
Přípravný kurz - Matematika Téma: Konstrukční úlohy Klíčová slova: rozbor, náčrt, popis, diskuse počtu řešení, kružnice opsaná a vepsaná Autor: trojúhelníku Mlynářová 12 19 9:02 Kontrukční úlohy Výsledkem
Více56. ročník Matematické olympiády. tedy číslice 1, 2, a 3. Dále nám zbývají zlomky. Má-li být jejich součet co nejmenší,
6 ročník Matematické olympiády Komentáře k domácímu kolu kategorie Z8 1 Z číslic 1,2,,9 jsme vytvořili tři smíšená čísla a b c Potom jsme tato tři čísla správně sečetli Jaký nejmenší součet jsme mohli
VíceCVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE
VíceCVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 49 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Kolik hodnot proměnné a R existuje takových, že diference aritmetické
VíceÚlohy krajského kola kategorie C
67. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C 1. Najděte nejmenší přirozené číslo končící čtyřčíslím 2018, které je násobkem čísla 2017. 2. Pro celá čísla x, y, z platí x 2 + y z =
VícePřijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 017, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1. Určete počet cest délky 14, které vedou po hranách sítě na obrázku z bodu do bodu. élka každé hrany je jedna.. Je dán rovnoběžník,
VícePředmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny
VíceKlauzurní část školního kola kategorie A se koná
56. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1. rčete všechna reálná čísla s, pro něž má rovnice 4x 4 20x 3 + sx 2 + 22x 2 = 0 čtyři různé reálné kořeny, přičemž součin
VíceObecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Definice (Vzdálenost) Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB
VíceOmezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.
MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
Více61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Hradec Králové, března 2012
61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Hradec Králové, 5. 8. března 01 MO 1. Najděte všechna celá čísla n, pro něž je n 4 3n + 9 prvočíslo. (leš Kobza) Řešení. Zadaný výraz lze jednoduchou
VíceMgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje
Více2) Přednáška trvala 80 minut a skončila v 17:35. Jirka na ni přišel v 16:20. Kolik úvodních minut přednášky Jirka
Téma 4: (převody jednotek, funkce, konstrukční úlohy, osová a středová souměrnost) Převody jednotek 1) Kolik gramů je pět třetin z 2,1 kilogramu? a) 1 260 g b) 3 500 g c) 17 000 g d) 700 g 2) Přednáška
VíceM - Pythagorova věta, Eukleidovy věty
M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
VíceCVIČNÝ TEST 12. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21
CVIČNÝ TEST 12 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písmena A, B, C a D vyjadřují každé jednu z číslic
VíceGeometrie. 1 Metrické vlastnosti. Odchylku boční hrany a podstavy. Odchylku boční stěny a podstavy
1 Metrické vlastnosti 9000153601 (level 1): Úhel vyznačený na obrázku znázorňuje: eometrie Odchylku boční hrany a podstavy Odchylku boční stěny a podstavy Odchylku dvou protilehlých hran Odchylku podstavné
VíceÚlohy krajského kola kategorie B
65. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie B 1. Určete všechny trojice celých kladných čísel k, l a m, pro které platí 3l + 1 3kl + k + 3 = lm + 1 5lm + m + 5. 2. Je dána úsečka AB,
VícePRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná
PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků
VíceKapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
Více2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. Výsledky pište čitelně do vyznačených bílých polí. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám
MATEMATIKA+ DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu
Vícen =5, potom hledejte obecný vztah. 4.5 Mnohoúhelníky PŘÍKLAD 4.2. Kolik úhlopříček má n úhelník? Vyřešte nejprve pro Obrázek 28: Tangram
4.5 Mnohoúhelníky Obrázek 28: Tangram Mnohoúhelník můžeme charakterizovat jako část roviny ohraničenou uzavřenou lomenou čarou (tj. čarou, která se skládá z na sebe navazujících úseček). Již víme, že rozlišujeme
VíceMgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných
VíceP L A N I M E T R I E
M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie A
62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie A. Najděte všechny dvojice prvočísel p, q, pro které existuje přirozené číslo a takové, že pq p + q = a2 + a +. Řešení. Budeme se nejprve
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VícePODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PODOBNÁ
VíceShodná zobrazení v rovině
Shodná zobrazení v rovině Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz. Zapisujeme Z: X X. Množinu obrazů všech
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2017
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Matematika T DUBNA 07 : 9. dubna 07 D : 830 P P P : 30 M. M. : 30 : 8,8 M. :, % S : -7,5 M. P : -,5 :,4 Zopakujte si základní informace ke zkoušce: n Test obsahuje 30 úloh a
Více