Předmět A3B31TES/Př. 13

Transkript

1 Předmět A3B31TES/Př. 13 PS 1 1 Katedra teorie obvodů, místnost č. 523, blok B2 Přednáška 13: Kvantování, modulace, stavový popis PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

2 Obsah 1 Kvantování 2 Modulace 3 Opakování a shrnutí stabilita 4 Opakování a shrnutí význam pólů a nul 5 Opakování a shrnutí astatické systémy 6 Opakování a shrnutí diskretizace 7 Shrnutí a zobecnění stavový popis 8 Stavový popis diskrétních systémů 9 Diskrétní model fakulty PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

3 Kvantování Základní pojmy kvantování typy kvantování (zaokrouhlování, usekávání), kvantizační krok, kvantizační chyba, dynamický rozsah kvantování: signálu kvantizační šum koeficientů filtru změna frekvenční charakteristiky, možnost nestability návrhu filtru mezivýsledků (po součinu) kvantizační šum až limitní cykly (= oscilace = nestability) Definice limitního cyklu (při kvantování mezivýsledků): po zániku vstupního signálu může vzniknout autonomní stejnosměrný nebo periodický signál s různou amplitudou Závěr: kvantizér = zdroj šumu číslicové systémy jsou zdroji šumu :=O PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

4 Kvantování Možnosti analýzy důsledků kvantování Základní typy analýzy a simulace kvantování: deterministická analýza - využívá pravidla pro šíření numerických/kvantizačních chyb statistická analýza - odhad výkonu kvantizačního šumu a výpočet SNR (signal-to-noise ratio) simulace - nejpřesnější, ale nejméně obecná platí pouze pro daný vstupní signál Příslušné modely pro kvantování: realistický pro simulaci kvantování X porovnání s idealizovaným modelem soustavy/filtru linearizovaný pro statistickou analýzu PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

5 Kvantování Kvantování koeficientů filtru Kvantizační mřížka = možné polohy pólů/nul změna frekvenční charakteristiky :-( PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

6 Kvantování Limitní cykly vznikající kvantování mezivýsledků při filtraci: PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

7 Kvantování Chyby vzniklé přetékáním při akumulaci mezivýsledků: PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

8 Kvantování Realizace IIR filtrů Omezení chyb a limitních cyklů A. Rozklad filtru na sekce druhého řádu a jejich kaskádní nebo paralelní zapojení Výhody rozkladu rozsah hodnot koeficientů se zmenší - max. hodnota koeficientů filtru 2. řádu (biquadu) = 2 vyrovnanější úroveň hodnot mezivýsledků při akumulaci redukce limitních cyklů vhodným řazením sekcí B. Lze použít rovněž stavové struktury filtrů, které jsou odolné vůči kvantování Pozn.: Problémy s kvantováním se mohou projevit i při vlastním návrhu filtru získáme nestabilní filtr, proto je vhodné při návrhu použít jako výstup nikoliv koeficienty ale nuly a pólůy. Jejich vhodným uspořádáním lze získat koeficienty filtrů druhého řádu, které lze spojit kaskádně a tím získat výsledný filtr, který je stabilní a odolný vůči kvantování při vlastní filtraci. PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

9 Modulace Princip modulace Modulace = ovlivňování parametrů nosné vlny modulačním signálem Použití: přenos nebo záznam elektrických nebo optických signálů PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

10 Modulace Typy modulací stručný přehled Typy modulací spojité analogové 1 (amplitudová AM, frekvenční FM, fázová PM, QAM kvadraturní 2 nosné) pulsní modulace pulsně amplitudová PAM pulsně šířková PWM pulsně polohová PPM... pulsně kódová PCM (kvantovaná pulsní modulace)... spojité digitální modulace 2 amplitudová ASK (Amplitude Shift Keying) frekvenční FSK (Frequency Shift Keying) fázová PSK (Phase shift keying) složené QAM (kvadraturní amplitudově fázová Quadrature Amplitude Modulation) 1 Názvy se odkazují spojitou na změnu amplitudy, frekvence nebo fáze nosné vlny 2 Názvy se odkazují na kvantovanou změnu amplitudy, frekvence nebo fáze nosné vlny PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

11 Modulace Několik poznámek k modulacím AM: nevýhodný poměr výkonu nosné k postranním pásmům modulace s potlačeným pásmem (Am, FM rozhlas) PCM: viz vzorkování a digitalizace signálu pomocí A/D převodníku, digitální telefonie OOK (On Off Keying) nejjednodušší příklad dvoustavové digitální modulace 3 QAM možné hodnoty aplitudy a fáze spojité nosné jsou dány stavovým diagramem 4, digitální TV 3 Klíčování nosné: nosná je nebo chybí 4 Příklady stavových diagramů vícestavových modulací viz přednáška PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

12 Opakování a shrnutí stabilita Opakování a shrnutí stabilita Poznali jsme BIBO 5 stabilitu a asymptotickou stabilitu: BIBO stabilita soustavy, jejíž vstupní a výstupní signál je omezený v amplitudě souvisí s vnějším popisem systému: zajímá nás vstup a výstup za nulových počátečních podmínek absolutní integrovatelnost/konvergence impulsové odezvy spojitého/diskrétního systému spojitý: reálná část pólů systému záporná; diskrétní: modul pólů menší než 1 asymptotická stabilita soustavy, která se po poruše vrátí do původního stavu souvisí s vnitřním popisem systému: zajímá nás výstup při nulovém vstupu a nenulových počátečních podmínkách spojitý: reálná část vlastních čísel matice A systému záporná; diskrétní: modul vlastních čísel matice 6 A systému menší než 1 5 Bounded input bounded outpout 6 Vlastní čísla jsou dána determinantem: det(si A), I je jednotková matice PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

13 Opakování a shrnutí význam pólů a nul Opakování a shrnutí význam pólů a nul pól tlačí modul frekvenční charakteristiky nahoru generuje na výstupu systému signál (např. tlumený sinus 7 ) o frekvenci odpovídající poloze pólu na výstupu se objevují sinusovky s frekvencemi, které nemusí být přítomny na vstupu systému má vliv např. na tvar odezvy na jednotkový skok: 1 reálný pól exponenciála, 2 komplexně sdružené póly generují na odezvě kmity nula stahuje modul frekvenční charakteristiky dolů tlumí 8 signály s frekvencí odpovídající poloze nuly na výstupu jsou tlumeny jak vstupní frekvence, tak frekvence generované póly má vliv např. na tvar odezvy na jednotkový skok: nula v levé polorovině s-roviny strmější nárůst a překmit odezvy; nula v pravé polorovině s-roviny odezva na počátku podkmitne do záporných hodnot 7 Platí pouze pro komplexně sdružené póly 8 Viz příklad na přednášce PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

14 Opakování a shrnutí astatické systémy Astatické systémy Pól v nule (počátku s-roviny) má zvláštní význam odpovídá ideálnímu integračnímu členu systémy, které mají póly v počátku s-roviny se nazývají astatické nebo přesněji systémy s astatismem řádu M, kde M je násobnost pólu Příklady: 1 Systém 1. řádu: H(s) = K s+s 0 2 Astatický systém 1. řádu: H(s) = K s 3 Astatický systém 2. řádu: H(s) = K s 2 4 Systém 2. řádu s astatismem 1. řádu: H(s) = K s(s+s 0 ) Poznámka: Astatismus může být vyjádřen méně explicitně, např. H(s) = absolutní člen K s 2 +ss 0... chybí PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

15 Opakování a shrnutí diskretizace Diskretizace poznámky Diskretizace signálu = vzorkování signálu spojitého v čase Důsledky vzorkování periodizace spektra signálu možnost podvzorkování signálu při nedodržení vzorkovacího teorému 9 Diskretizace systému = náhrada systému spojitého v čase systémem diskrétním Důležité: vzorkovací krok T musí být mnohem menší než časová 10 konstanta systému Tatáž podmínka vyjádřená pomocí frekvencí: vzorkovací frekvence f s musí být mnohem vyšší než nejvyšší frekvence obsažená v odezvě (nestačí splnění vzorkovacího teorému na spodní hranici, tedy f s > f max ale je potřeba zaručit f s >> f max ) 9 Viz ukázky na cvičení filtr se spínanými kapacitory 10 Platí pro systém 1. řádu. Systém vyššího řádu má více časových konstant rozhodující je potom ta nejkratší odpovídá nejvyšší frekvenci v odezvě systému PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

16 Shrnutí a zobecnění stavový popis Stavový popis spojitých systémů Diferenciální rovnice n a i y (i) (t) = i=0 m b j u (j) (t), j=0 m n AY (s) = BU(s) Y (s) = B U(s) A U(s); Substituce: A = X (s) Volbou substituce vybíráme jeden možný stavový popis Stavové proměnné x(t) = x 1 (t) x (1) (t) = x 2 (t) = x (1) 1 (t). x (n 1) (t) = x n (t) = x (1) n 1 (t) x (n) (t) = x n (1) (t) Volbou stavových proměnných určujeme typ stavového popisu PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

17 Shrnutí a zobecnění stavový popis Frobeniova struktura kanonická ke vstupu Platí: AX (s) = U(s) x n (1) (t) = 1 u(t) a n 1 x n (t)... a 0 x 1 (t) a n a n a n Stavové matice 11 A = a 0 a n a 1 a n a n 1 a n, B = a n, 11 Pokud vydělíme DR členem an, potom zmizí ze všech matic. Struktura se nazývá kanonická ke vstupu vzhledem ke tvaru matice B, která má jediný nenulový člen. PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

18 Shrnutí a zobecnění stavový popis Podobně: BX (s) = Y (s) y(t) = b 0 x 1 (t) + b 1 x 2 (t) b n 1 x n (t) + b n x (1) n (t), m = n Dosazením za x n (1) (t) získáme matice C = b 0 a 0 a n b n b 1 a 1 a n b n. b n 1 a n 1 a n b n, D = [ b m ] a n PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

19 Shrnutí a zobecnění stavový popis Schéma PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

20 Shrnutí a zobecnění stavový popis Kanonická k výstupu Stavové matice a n a n A = , B =. a a C = [ 1, 0,..., 0 ], D = [ b n ] b n 1 b n a n 1 b n 2 b n a n 2. b 0 b n a 0, (1) (2) PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

21 Shrnutí a zobecnění stavový popis Schéma PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

22 Stavový popis diskrétních systémů Stavový popis diskrétních systémů Diferenční rovnice 12 : M a i y[n i] = i=0 M b j u[n j] AY (z) = BU(z) Y (z) = B U(z) A U(z); Substituce: A = X (z) Stavové proměnné volíme ve tvaru j=0 x i [n + 1] = x i+1 [n] a tedy x[n M] = x 1 [n] x[n M + 1] = x 1 [n + 1] = x 2 [n]. x[n 1] = x M 1 [n + 1] = x M [n] x[n] = x M [n + 1] 12 Stavový popis odvodíme podobným způsobem jako pro spojité systémy, pouze LT nahradíme ZT PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

23 Stavový popis diskrétních systémů Diskrétní struktura kanonická ke vstupu Stavové matice Frobeniovy struktury (struktura kanonická ke vstupu) stavové veličiny: x i [n + 1] = x i+1 [n] Výsledné stavové matice A = a M a0 a M 1 a a 1 a 0, B = C = [ b M b 0a M a 0,... b 1 b 0a 1 a 0 ], D = [b 0 a 0 ] a 0, 13 Matice mají stejný tvar jako v případě spojitého systému, pouze indexy indexy běží v opačném pořadí. To je způsobeno volbou přiřazení koeficientů ke vzorkům signálu v diferenční rovnici. Pokud bychom koeficieny přiřadili v opačném pořadí, budou rovnice pro spojitý i diskrétní systém formálně zcela stejné PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

24 Stavový popis diskrétních systémů Diskrétní struktura kanonická k výstupu Stavové matice struktury kanonické k výstupu stavové veličiny jsou lineární kombinací vstupní a výstupní veličiny soustavy x 1 [n] = a 0 y[n] b 0 u[n] x 2 [n] = a 1 y[n] b 1 u[n] + a 0 y[n + 1] b 0 u[n + 1]. Výsledné stavové matice a 1 a A = , B = a M a M a C = [ 1, 0,..., 0 ], D = [ b 0 ] a 0 a 0 b 1 b 0a 1 a 0 0. b M b 0a M a 0, PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

25 Diskrétní model fakulty Model fakulty - příklad diskrétního stavového popisu PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

26 Diskrétní model fakulty Příklad fakulta stavové rovnice PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

27 Diskrétní model fakulty Příklad fakulta schema PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28

28 Diskrétní model fakulty Příklad fakulta počty studentů v ročnících a po SZZ PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen / 28