Při návrhu FIR filtru řešíme obvykle následující problémy:

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Při návrhu FIR filtru řešíme obvykle následující problémy:"

Lenka Vlčková
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 Návrh FIR filtrů

2 Při návrhu FIR filtru řešíme obvykle následující problémy: volba frekvenční odezvy požadovaného filtru; nejčastěji volíme ideální charakteristiku normovanou k Nyquistově frekvenci, popř. tzv. toleranční schema stanovení délky (řádu) filtru M; nejčastěji odhadem (první krok) a v dalších krocích se iterativním postupem se zpřesňuje zavedení kriteria kvality posouzení skutečné frekvenční charakteristiky. Jako kritérium pro hodnocení aproximace frekvenční charakteristiky lze použít: a) Průměr kvadratické chyby (kritérium nejmenších čtverců), kterým minimalizujeme chybu E E = N = 1 H ( jω) H d ( jω) 2 k 0 b) Maximální chybu frekvenční charakteristiky ve specifikované oblasti (propustné, popř. nepropustné) - tzv. Čebyševova aproximace c) Kritérium založené na aproximaci Taylorovým rozvojem požadované frekvenční charakteristiky tzv. Butterworthova aproximace volba metody stanovení koeficientů filtru

3 Metody návrhu koeficientů filtru metoda Fourierových řad s využitím funkce okna metoda frekvenčního vzorkování Remezův algoritmus optimalizovaného návrhu používající Čebyševovu aproximaci chyby

4 Metoda Fourierových řad

5 Postup 1 Princip metody vychází z toho, že frekvenční charakteristika filtru je periodická a je ji možné reprezentovat jako Fourierovu řadu, tj. frekvenční odezva se rozvine do Fourierovy řady a tento rozvoj se omezí na konečný počet koeficientů. Výsledná odezva aproximuje originální požadovanou charakteristiku. Algoritmus : 1. Specifikace požadavků na frekvenční charakteristiku filtru H d (jω) 2. Stanovení délky filtru 3. Výpočet koeficientů filtru h[n], pro hodnoty n=0,1,,m s použitím vztahu h d 1 2 [ n] = H ( jω) cos( mω) + ω π 2 d j sin( m ) π kde m=n-m/2 4. Výsledné koeficienty vynásobíme vhodným oknem abychom omezili zákmity ve frekvenční charakteristice (Gibbsův jev) 5. Pro výsledné koeficienty vypočteme skutečnou odezvu filtru, pokud nevyhovuje, zvolíme jiné N a postup opakujeme.

Specifikace požadavků na frekvenční charakteristiku filtru H d (jω) 2. Stanovení délky filtru 3.

6 Příklad 1: Návrh dolní propusti Navrhněte FIR filtr, který bude aproximovat amplitudovou charakteristiku ideálního filtru s dolní mezní frekvencí f d =2kHz při vzorkovací frekvenci f v =8kHz frekvenční charakteristika dolní propusti Řešení: Mezní frekvence ω c normovaná k vzorkovacímu kmitočtu f v bude ω d =2πf d /f v. Aplikujeme rovnici: h d 1 2π ω ω 1 1 d 2π 2π 2π ω ω d d [ n] = H ( jω) cos( mω) + j sin( mω) = cos( mω ) dω + j sin( mω ) dω d d h d = sin( m 2πm ω π / 2 ) π / 2 = sin( πm / 2) πm kde m=n-10

frekvence ω c normovaná k vzorkovacímu kmitočtu f v bude ω d =2πf d /f v.

7 Pro výpočet vzorku h d [n] pro m=0 a n=10 se použije l Hositalovo pravidlo (derivujeme čitatel podle m a dosadíme m=0) h d = d[sin( mω)]/ dm d[2πm]/ dm ( π / 2) cos( πm / 2) = π m= 0 m= 0 = 0.5 koeficienty dolní propusti

8 Příklad 2: Návrh horní propusti Navrhněte filtr FIR délky N=21, který bude aproximovat amplitudovou charakteristiku ideálního filtru typu horní propust s normovanou horní mezní frekvencí ω h = 3π/5. Řešení: Impulsní charakteristika filtru je dána vztahem ωh 1 π pro m = 0 h[n] sin( mωh ) mππ pro m 0 koeficienty horní propusti frekvenční charakteristika horní propusti

9 Příklad 3: Návrh pásmové propusti Navrhněte filtr FIR délky N=21, který bude aproximovat amplitudovou charakteristiku ideálního filtru typu pásmová propust. Normované kmitočty nechť jsou: spodní mez propustného pásma ω h = 2π/5, horní mez propustného pásmaí ω h = 3π/5. Řešení: Impulsní charakteristika je dána vztahem ωh ωd π pro m = 0 h[n] sin( m ω h ) sin( m ω d ) mπ pro m 0 koeficienty pásmové propusti frekvenční charakteristika pásmové propusti

Normované kmitočty nechť jsou: spodní mez propustného pásma ω h = 2π/5, horní mez propustného pásmaí ω h = 3π/5.

10 Příklad 4: Návrh pásmové zádrže Navrhněte filtr FIR délky N=21, který bude aproximovat amplitudovou charakteristiku ideálního filtru typu pásmová propust. Mezní kmitočty nepropustného pásma jsou 1.6kHz a 2.4kHz. Normované kmitočty nechť jsou: spodní mez propustného pásma ω d = 2π/5, horní mez propustného pásmaí ω h = 3π/5. Řešení: Impulsní charakteristika je dána vztahem ωh ωd 1 pro m = 0 π h[n] sin( mωd ) sin( mωh ) mπ pro m 0 Koeficienty impulsní odezvy frekvenční charakteristika pásmové zádrže

Normované kmitočty nechť jsou: spodní mez propustného pásma ω d = 2π/5, horní mez propustného pásmaí ω h = 3π/5.

11 Příklad 4: Návrh diferenciátoru Ideální diferenciátor může být aproximován filtrem FIR s lineární fází. Frekvenční odezva diferenciátoru je H(jω)=jω. Navrhujeme-li diferenciátor se symetrií typu 3, bude mít lichý počet vzorků. Řešení: Impulsní charakteristika je dána vztahem 1 h d = π ) 2 π [ n ] ω sin( mω d ω = π 0 cos( πn) n pro pro m = 0 m 0 Frekvenční charakteristika Koeficienty impulsní odezvy

Navrhujeme-li diferenciátor se symetrií typu 3, bude mít lichý počet vzorků.

12 Okna používaná k omezení zákmitů frekvenční charakteristiky V uvedených příkladech bylo využito pravoúhlé okno. K většímu omezení zákmitů se však častěji používá některé z následujících oken:

13 Průběhy oken v časové oblasti a jejich frekvenční charakteristiky

15 Speciální typy oken u kterých lze změnou parametrů měnit vlastnosti: Čebyševovo okno 1 n cos M cos α cos π ( ) M 1 1 γ w n = α = cosh cosh CH ( 10 ) cosh[ M cos 1 ( α)] N n=0,1,,m

17 Kaiserovo okno w K ( n ) I [ β (1 [ ( n α ) 0 ( β ) / α ] 2 1 / 2 0 = 0 n M I ) ]

19 Postup 2 Stejný princip jako v předchozím případě, ale umožňuje určit řád filtru a vhodné okno na základě pararametrů A s a A p použitých v tolerančním schématu Parametry filtru (toleranční schéma)

20 Postup návrhu FIR filtru normalizace analogové frekvence vzorkovací frekvencí (převod na digitální frekvenci F <0,1> stanovení F p a F s dolní propusti určení frekvemce F c (cut-off frequency) F c =0.5(F p +F s ) Volba okna (z následující tabulky), které splňuje podmínku A ws A s a A wp A p stanovení délky okna N z hodnoty FT=F s -F p =F ws =C/N (hodnota C z tabulky) výpočet impulsové odezvy filtru h(n)=2f c sinc(2nf c ), n 0.5(N-1) vynásobení odezvy zvoleným oknem h lp (n)=w(n)h(n) provedení spektrální transformace na (pokud je to nutné) Ověření frekvenční charasteristiky a případné doladění N a F c tak, aby odpovídaly specifikaci

5(F p +F s ) Volba okna (z následující tabulky), které splňuje podmínku A ws A s a A wp A p stanovení délky okna N z hodnoty FT=F s -F p =F ws =C/N (hodnota C

21 Tabulky parametrů a vlastnosti používaných oken

24 Metoda frekvenčního vzorkování

25 Princip : Vycházíme z amplitudové frekvenční charakteristiky, kterou navzorkujeme a určíme pro ní impulsovou odezvu. Výhodné, pokud máme složitejší tvar frekvenční charakteristiky Postup: 1. Vybereme M ekvidistantních hodnot (vzorků) požadované amplitudové frekvenční odezvy 2. Pro amplitudové hodnoty určíme hodnoty fázové charakteristiky ze vztahu Ф(k)= (πk(n-1))/n pro k=0,1,, 0.5(N-1), zbývající vzorky doplníme tak aby byly komplexně sdružené pro daný typ symetrie filtru. Podle typu symetrie zvolíme vzorky H(0) a H(N) (u horní a pásmové propusti musí být H(0) popř. H(N), pro N sudé, vždy rovno 0) 3. Na takto získanou poskoupnost aplikujeme IDFT (IFFT) 4. Ze získaných koeficientů určíme frekvenční charakteristiku, porovnáme s požadovanou a popř. upravíme amplitudy koeficientů frekv. Charakteristiky a pokračujeme krokem Výslednou impulsovou odezvu násobíme vhodným oknem

Podobné dokumenty

Při návrhu FIR filtru řešíme obvykle následující problémy:

Návrh FIR filtrů Při návrhu FIR filtru řešíme obvykle následující problémy: volba frekvenční odezvy požadovaného filtru; nejčastěji volíme ideální charakteristiku normovanou k Nyquistově frekvenci, popř.