Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava číslo 1, rok 2011, ročník XI, řada stavební článek č.

Transkript

1 Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava číslo 1, rok 2011, ročník X, řada stavební článek č. 28 Martin KREJSA 1, Vladiír TOMCA STANOVENÍ SYSTÉMU PROHLÍDEK KONSTRUKCÍ NAMÁHANÝCH NA ÚNAVU DETERMNATON OF STRUCTURES NSPECTON SUBJECTED TO FATGUE Abstrakt V příspěvku je detailně zpracovaná a na příkladu deonstrovaná etodika pravděpodobnostního posouzení ocelové konstrukce naáhané únavou s ohlede na vznik únavových trhlin z okraje a povrchu, která vede k návrhu systéu prohlídek konstrukce. K řešení je využita nově vyvíjená etoda Příého Optializovaného Pravděpodobnostního Výpočtu POPV. Klíčová slova Příý Optializovaný Pravděpodobnostní Výpočet, POPV, prograový systé ProbCalc, únavová trhlina, lineární loová echanika, přípustný rozěr, ěřitelný rozěr, iniciační rozěr, šíření z okraje, šíření z povrchu, podíněná pravděpodobnost, prohlídka konstrukce. Abstract Paper describes in detail and gives exaple of the probabilistic assessent of a steel construction subject to fatigue load, particular attention being paid to cracks fro the edge and those fro surface. This inforation is used as a basis for proposing a syste of inspections. The newly developed ethod Direct Optiized Probabilistic Calculation (DOProC) is used for solution. Keywords Direct Optiized Probabilistic Calculation, DOProC, software package ProbCalc, fatigue crack, linear fracture echanics, acceptable size, detectable size, initial size, fatigue crack propagation fro the edge, fatigue crack propagation fro surface, conditional probability, inspection of structure. 1 ÚVOD Metodou Příého Optializovaného Pravděpodobnostního Výpočtu - POPV, jejíž podstata spočívá v nuerické integraci konvolutorního integrálu bez aplikace některé ze siulačních technik, lze v současnosti efektivně řešit řadu pravděpodobnostních úloh [8]. Jednou z oblastí, kde byla etodika POPV s úspěche aplikovaná, je i probleatika šíření únavových trhlin cyklicky naáhaných konstrukcí [13]. Následující příspěvek obsahuje detailně zpracovanou a na příkladech (detail náchylný na únavové poškození z [4]) deonstrovanou etodiku pravděpodobnostního posouzení konstrukce naáhané únavou s ohlede na vznik únavových trhlin z okraje i povrchu s ohlede na překročení eze pevnosti základního ateriálu, která vede k návrhu systéu prohlídek konstrukce. Na základě pravděpodobnostního výpočtu etodou POPV lze u ocelových konstrukcí a ostů naáhaných únavou stanovit pravděpodobnosti pro základní jevy, související s růste únavové trhliny, které ohou nastat v libovolné čase t životnosti konstrukce. Tyto pravděpodobnosti určené 1 Doc. ng. Martin Krejsa, CSc., Katedra stavební echaniky, Fakulta stavební, VŠB-Technická univerzita Ostrava, Ludvíka Podéště 1875/17, Ostrava - Poruba, tel.: (+420) , e-ail: artin.krejsa@vsb.cz. 213

2 na základě analýzy funkce spolehlivosti pro každý rok provozu konstrukce jsou výchozí podklade pro stanovení času prohlídek cyklicky naáhané ocelové konstrukce nebo ostu s využití podíněné pravděpodobnosti. 2 PROBLEMATKA ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÉ TRHLNY Spolehlivost nosné konstrukce, naáhané proěnný zatížení, je výrazně ovlivněna degradačníi účinky, způsobenýi zejéna únavou základního ateriálu. V procesu návrhu těchto konstrukcí se vychází z koncepce tzv. Wöhlerových křivek [1, 2], u nichž se připouští oezená životnost do porušení, stanoveného na základě konstantního rozkitu a předpokládaného nožství zatěžovacích cyklů. Problé únavového poškození stavebních ocelových konstrukcí a ostů je řešen dlouhodobě. Rozvíjejí se etody uvažující s podchycení ožných vad a defektů ve forě inicializačních trhlin, které výrazně urychlují šíření únavových trhlin. Jednou z alternativ je lineární loová echanika, jež je předěte zkouání již řadu let zejéna ve strojírenských oborech a do probleatiky návrhu nosných stavebních konstrukcí je postupně přebírána a upravována. Pro podchycení šíření únavových trhlin jsou důležité tři jejich rozěry. První je iniciační (počáteční) rozěr trhliny, který představuje nahodilou závadu na prvku naáhané proěnnýi účinky zatížení. Existenci iniciační trhliny ve stádiu šíření, ají podchytit prohlídky a to při ěřitelné délce trhliny. Třetí význaný rozěre je doposud označovaný kritický rozěr, jenž je konečný zaznaenaný rozěre před porušení forou křehkého lou. Největší konečný rozěr je vhodné stanovit jiný způsobe. Stavební konstrukce a osty se navrhují na extréní účinky zatížení. Únavové účinky se ověřují pouze na detailech náchylných na únavová poškození od proěnných účinků zatížení provozního. Pokud by byl nosný prvek navržen s příslušnou rezervou spolehlivosti návrhu přesně na účinky extréního zatížení, pak oslabení trhlinou negativně ovlivní jeho návrhový stav. Poškození únavovou trhlinou je závislé na počtech cyklů rozkitu napětí, což představuje časový faktor po celou návrhovou životnost. Předpokládá se, že poruchovost narůstá s čase a spolehlivost tedy klesá. Zahrne-li se do poruchovosti i ožné šíření únavové trhliny, pak je ho potřebné sledovat a ohraničit největší přípustný oslabení. Toto oslabení je odvozeno od přípustného rozěru únavové trhliny, jenž v sobě zahrnuje bezpečnostní požadavky na dosažení kritické trhliny, která ůže být odvozená od křehkého lou, ale pro ocelové konstrukce význaněji od lou houževnatého. Příčinou tohoto typu degradace nosného prvku v čase je nahodilá existence iniciační trhliny a její růst vlive proěnných účinků zatížení. Následke je oslabení prvku navrženého na účinky extréního zatížení, v průběhu stabilního narůstání trhliny až po přípustný rozěr, který v čase jeho dosažení je liitní pro zachování požadované spolehlivosti. Potřebné použití pravděpodobnostních přístupů pro sledování rychlosti růstu únavové trhliny po její přípustný rozěr vyplývá z nejistot ve stanovení vstupních proěnných veličin a nutností sledování hladiny spolehlivosti [6]. Rozhodujícíi vstupy u rozěrů trhliny jsou její iniciační rozěr a přípustný rozěr. Definování přípustného rozěru\index je podínkou nutnou, ne však postačující, protože doinantní pro růst trhliny je stanovení iniciačního rozěru. Následující výklad je zaěřen na objasnění a konkretizování některých norových požadavků, uožňujících dosáhnout požadované spolehlivosti při použití etody přípustných poškození. Uvádí etodiku pro sledování šíření trhliny po rozěr, který je zpřesněný přípustný rozěre pro reálné konstrukční detaily uváděné už např. [3], ale v podínkách deterinistického pojetí. 3 PRAVDĚPODOBNOSTNÍ PŘÍSTUP K ŘEŠENÉ PROBLEMATCE Probleatika je sledovaná ve dvou vzájeně se ovlivňujících částech: pravděpodobnostní řešení šíření únavové trhliny a nejistotách při stanovení veličin vstupujících do výpočtu. 214

3 Únavová trhlina, oslabující konstrukční prvek o určitou plochu, je při sledováni růstu popisovaná jen jední celkový rozěre a. Pro popis růstu trhliny se nejčastěji používá etoda da lineárně pružné loové echaniky [5], která definuje vztah ezi rychlostí šíření trhliny a d N rozkite koeficientu intenzity napětí K v čele trhliny Paris-Erdoganovou rovnicí (např.[21]): da C.K (1) dn kde C a jsou ateriálové konstanty, a je rozěr (délka) trhliny a N je počet zatěžovacích cyklů. Předpoklade pro stabilní šíření únavové trhliny je existence iniciační trhliny a 0 v ístě koncentrace napětí, které se ůže nacházet na okraji nebo na povrchu prvku. Při výchozí předpokladu, že prvotní je návrh konstrukce na účinky extréního zatížení s následný posudke únavové odolnosti, pak je rezerva spolehlivosti v inženýrské pravděpodobnostní etodě vyjádřená ve tvaru: gr, S G R S, (2) kde R je náhodně proěnná odolnost prvku a S představuje náhodně proěnné účinky extréního zatížení. V případě, že na takto navržený prvek působí provozní zatížení, ohou nastat následující případy: a) bezpečná životnost - únavové účinky nedegradují prvek únavovou trhlinou; b) přípustná poruchovost - únavové účinky degradují prvek a snižují jeho únosnost; c) přípustná poruchovost - únavové účinky vyjádřené zěnai napětí. Ve výpočtové odelu šíření únavové trhliny je sledováno napětí, přičež při vzniku největší přípustné trhliny je odolnost konstrukce R reprezentována napětí na ezi kluzu f y, která je neěnná. Tento názornější přístup c) byl upřednostněn před přístupe b), jelikož vyjadřuje nelineární nárůst obou napětí na oslabované prvku. Podínka pro stanovení přípustné délky trhliny a ac se s použití (1) vyjádří: aac 1 da N N, (3) tot C K a0 kde N je počet cyklů pro zvětšení trhliny z iniciační a 0 do přípustné a ac ; N tot je počet cyklů za dobu celé životnosti. Vztah (3) je nepoužitelný, neboť iniciační rozěr trhliny není zná. Vztah pro rychlost šíření únavové trhliny (1) se usí pro sledovaný účel upravit. Rozkit koeficientu intenzity napětí K lze při znáé rozkitu špiček napětí vyjádřit vztahe: K.. a. F a, (4) kde F (a) je tzv. kalibrační funkce, která sleduje průběh šíření trhliny, jež se při zěně počtu cyklů z N 1 na N 2 rozšíří z délky a 1 na a 2. Úpravou (1) s využití (4) lze pak získat upravený vztah: a2 a1 da. a. F a 215 N2 N1 C..dN. (5) Pokud se délka trhliny a 1 rovná počáteční velikosti trhliny a 0 (předpokládaný rozěr iniciační trhliny v pravděpodobnostní pojetí), a a 2 naopak konečné - přípustné délce trhliny a ac (rozěr přípustné trhliny, nahrazující rozěr kritický a cr v případě, kdy trhlina končí křehký loe), levou stranu rovnice (5) lze pak považovat za náhodně proěnnou odolnost konstrukce R: R a ac aac da a0. a. F. (6) a

4 Obdobně lze definovat akuulaci účinků zatížení (náhodně proěnné účinky extréního zatížení), která se rovná pravé straně (5): N S C..dN C.. N N, (7) 0 N 0 kde N je celkový počet rozkitů špiček napětí při nárůstu velikosti trhliny z a 0 na a ac, N 0 představuje počet rozkitů v čase inicializace únavové trhliny (většinou je roven nule). Lze definovat funkci spolehlivosti G fail, jejíž analýzou je ožno získat pravděpodobnost poruchy p f : G fail R a ac S, (8) Z kde Z je vektor náhodných fyzikálních vlastností - echanických vlastnosti ateriálu, geoetrie konstrukce, účinků zatížení a také rozěrů únavové trhliny. Pravděpodobnost poruchy p f je pak rovna: P PG 0 PR a ac S 0. (9) f fail Z 4 STANOVENÍ ČASU PROHLÍDEK S VYUŽTÍM PODMÍNĚNÉ PRAVDĚPODOBNOST Vzhlede k nejistotě, která souvisí s předpokládaný rozěre iniciační trhliny v pravděpodobnostní výpočtu, příp. zda iniciační trhlina vůbec existuje, a další nepřesnoste, které vstupují do pravděpodobnostního výpočtu sledování růstu únavové trhliny, je význaná cílená, časově stanovená kontrola velikosti už zaěřitelné trhliny. Rozěr přípustné trhliny ovlivňuje stanovení času prohlídky konstrukce. Analýza výsledků prohlídky konstrukce pak při nezjištění únavových trhlin vede k podíněné pravděpodobnosti jejich vzniku (např.[22, 25]). S růste únavové trhliny lze definovat náhodné jevy, které ohou nastat v libovolné čase t běhe životnosti konstrukce: Jev U(t): V čase t nebyla zjištěna žádná únavová trhlina, takže velikost únavové trhliny a(t) ještě nedosáhla ěřitelnou velikost a d (detectable), takže platí: a t a, (10) d Jev D(t): V čase t byla zjištěna únavová trhlina, jejíž velikost a(t) ale zatí nedosáhla přípustnou velikost a ac, takže platí: a d t ac a a, (11) Jev F(t): V čase t byla zjištěna porucha, neboť velikost únavové trhliny a(t) dosáhla přípustnou velikost a ac, takže platí: at a. (12) ac Nezjištění trhliny v čase t ůže znaenat i případ, že v sledované konstrukční prvku se nešíří žádná únavová trhlina, resp. se jedná o počáteční stadiu nukleace (vznik trhliny v ateriálu) únavové trhliny, s číž loová echanika neuvažuje. V případě nezjištění únavové trhliny lze předpokládat, že trhlina se v dané prvku ve skutečnosti vyskytuje, avšak její velikost je natolik alá, že ji není ožné za daných podínek zjistit. Na základě výše definovaných jevů je ožno určit v libovolné čase t i jejich pravděpodobnosti vzniku. Všechny tři jevy tvoří úplný prostor jevů, které ohou nastat v čase t, a platí tedy: U t PDt PFt 1 P. (13) 216

5 Pravděpodobnostní výpočet probíhá ve zvolených časových krocích, přičež jeden časový krok se rovná obvykle jednou roku životnosti konstrukce. V okažiku, kdy pravděpodobnost poruchy P(F(t)) dosáhne předepsanou návrhovou hodnotu p d, je navržena prohlídka konstrukce, která je zaěřena na zjištění únavové trhliny v příslušné konstrukční prvku. Výsledek prohlídky poskytuje inforaci o skutečné stavu konstrukce, který ůže být zakoponován do dalšího pravděpodobnostního výpočtu. Výsledke prohlídky v čase t tedy ůže být jeden ze tří uvedených jevů. Na základě výsledné prohlídky v čase t je ožno vyjádřit pravděpodobnost vzniku těchto jevů v čase T > t s využití věty o podíněné pravděpodobnosti. Pro stanovení doby následující prohlídky je podstatné určit podíněné pravděpodobnosti P F T U t, resp. P F T Dt, které lze s využití věty o úplné pravděpodobnosti (např. [25]) vyjádřit: P F P F T T U t D t FT PFt PDt. P FT Dt PU t FT PFt PU t. PFT U t PDt P, (14) P. (15) Pokud není brána v úvahu ožná redistribuce napětí z ísta oslabeného trhlinou, je v praktických případech rychlost nárůstu trhliny v rozsahu ěřitelných hodnot obvykle již poěrně vysoká. V případě nalezení únavové trhliny běhe prohlídky konstrukce se zvolí buď sledování bezpečného růstu trhliny, nebo zásah, který další růst únavové trhliny zpoalí nebo zastaví. Pro potřeby efektivního načasování terínů následujících prohlídek á největší význa vztah (14), který určuje pravděpodobnost poruchy v čase T>t za předpokladu, že běhe poslední prohlídky nebyla na sledované ístě nalezena únavová trhlina. Z tohoto vztahu je zřejé, jaký vliv na výsledek pravděpodobnostního výpočtu ají vzájené poěry ezi třei uvažovanýi velikosti trhliny - iniciační (počáteční), ěřitelnou a přípustnou. Pravděpodobnosti v rovnici (14) lze vyčíslit v libovolné čase T > t např. s využití dostupného softwaru [7, 9] etodou POPV [14, 15, 23, 24] nebo etodou Monte Carlo (srovnání výsledků dosažených oběa etodai s poněkud odlišnýi vstupníi paraetry bylo provedeno např. v [25]). Pokud pravděpodobnost poruchy P F t U t dosáhne předepsanou návrhovou hodnotu P fd, je navržena další prohlídka, zaěřená na zjištění únavové trhliny v příslušné konstrukční prvku. Výsledke prohlídky ůže být opět jeden ze tří uvedených jevů s odpovídající pravděpodobností. Celý výpočet lze títo způsobe opakovat za účele správného načasování dalších prohlídek konstrukce. 5 PRAVDĚPODOBNOSTNÍ VÝPOČET ŠÍŘENÍ ÚNAVOVÉ TRHLNY Nejčastější oblastí vzniku únavové trhliny je ostovka železničních nebo silničních ostů. Závažný podněte pro vznik únavové trhliny je skutečnost, že jeden cyklus zatížení představuje každá kolová síla (např. [20]). Navíc je účinek zatížení výraznější v případě veli blízkého uložení konstrukčního prvku k působišti zatížení. Význaný faktore, který se na vzniku únavové trhliny podílí, je způsob provedení svaru, spojený se vznike vlastních pnutí i iniciační trhliny vlive nekvalitního opracování. V ístech náhlé zěny průřezu (obr. 1) se ohou na únavové poškození podílet i rozdíly v průběhu napětí reálného, které vykazuje špičky v ístě svaru, a napětí uvažovaného v návrhu (rovnoěrné napětí v pásnici). Podle polohy iniciační trhliny je ožné šíření trhliny sledovat z okraje [19] nebo povrchu [16, 17, 18]. Tyto případy jsou co do četnosti, význau i koncentrace napětí nejvýznanější lokalitou nebezpečí vzniku únavového poškození na ocelových konstrukcích a ostech. Oba případy se odlišují vytváření oslabující plochy při šíření trhliny a kalibrační funkcí F (a), která ve výpočtu ovlivňuje únavovou odolnost konstrukce. 217

6 Obr. 1: Detail ostní konstrukce, který je náchylný na únavové poškození V případě únavové trhliny z okraje je přípustný rozěr trhliny a ac dán vztahe: ax a ac b. 1. (16) f y Příé explicitní vyjádření přípustné velikosti trhliny z povrchu a ac je obtížné [10, 11] a je založeno na nuerické iterační výpočtu vztahu: 1 0, , , a 1 ax ac aac aac t b t 0 (17) 2 t f y Pro pravděpodobnostní výpočet únavové odolnosti konstrukce s uvažování vzniku únavových trhlin z okraje i povrchu byla využita etoda POPV. Řešení spočívá nejprve v určení odolností konstrukce R(a d ) a R(a ac ) s využití levé strany rovnice (6) s příslušnou hodnotou horní eze integrálu a 2 a vztahů (16) a (17). V případě šíření únavové trhliny z okraje lze výsledný histogra odolností konstrukce R(a d ) a R(a ac ) zobrazit na obr. 2 a 3. Další z veličin, určující spolehlivost konstrukce, je účinek zatížení S z rovnice (7). Při jeho určení vstupuje do výpočtu deterinisticky zadaná hodnota ateriálových charakteristik C a a dvojice veličin s paraetricky zadaný rozdělení pravděpodobnosti - rozkit špiček napětí [MPa] a celkový počet rozkitů špiček napětí N. Tato veličina se určuje pro každý rok provozu konstrukce. Histogra akuulace účinku zatížení S se zadanou hodnotou počtu rozkitů špiček napětí za 54 let provozu je zobrazen na obr. 4. Poocí (9) je pak stanovena pravděpodobnost poruchy P f pro každý rok provozu konstrukce. Při šíření únavové trhliny z okraje lze výsledný histogra funkce spolehlivosti např. pro 54. rok provozu ostu zobrazit na obr. 5 (pravděpodobnost poruchy P f =P(G fail < 0) = 7, ). Na základě vypočtené pravděpodobnosti poruchy P f a zadání požadované spolehlivosti P d pak lze stanovit i dobu první prohlídky na ostě. Na obr. 6 a 7 jsou zobrazeny grafy závislosti pravděpodobnosti poruchy p f na letech provozu konstrukce pro oba typy únavového poškození. Požadovaná spolehlivost byla vyjádřena v současnosti v inženýrské praxi používaný indexe spolehlivosti = 2, což přibližně odpovídá návrhové pravděpodobnosti poruchovosti p d = 0,

7 Obr. 2: Histogra odolnosti konstrukce R(ad) Obr. 3: Histogra odolnosti konstrukce R(aac) Obr. 4: Histogra akuulace účinku zatížení S pro celkový počet rozkitů špiček napětí za 54 let Obr. 5: Histogra funkce spolehlivosti Gfail po 54 letech provozu ostu šíření z okraje Obr. 6: Závislost pravděpodobnosti poruchy pf na letech provozu ostu (30 až 120 let) a stanovení doby prohlídek konstrukce se zaěření na vznik únavové trhliny z okraje 219

8 Obr. 7: Závislost pravděpodobnosti poruchy p f na letech provozu ostu (70 až 120 let) a stanovení doby 1 prohlídky konstrukce se zaěření na vznik únavové trhliny z povrchu Pro daný případ řešené ocelové konstrukce pak byla určena doba první prohlídky ostní konstrukce zaěřené na sledování vzniku únavové trhliny z okraje na 54. rok. Při sledování šíření únavové trhliny z okraje pak první prohlídka vychází na 111. rok provozu (vzhlede k pokročilé době první prohlídky již další prohlídky nebyly poocí podíněné pravděpodobnosti určovány). V případě nezaěřitelné trhliny z okraje běhe první prohlídky ostu je následující prohlídka stanovena na 66. rok provozu konstrukce a při nezjištění trhliny následně s využití podíněné pravděpodobnosti na 73. rok provozu ostu. Po toto roce se již intervaly prohlídek výrazně zkracují (77., 80., 82. a 84. rok provozu ostu) a nevyskytne-li se trhlina v 85. roce provozu konstrukce, dá se předpokládat, že pokud nenastaly zěny ve vstupních veličinách (zejéna v intenzitě a účinnosti provozního zatížení), střední hodnota počáteční trhliny je enší než předpokládaná nebo se žádná únavová trhlina nevyskytuje. Při porovnání obou typů únavových trhlin se j. potvrdila skutečnost, že rychlost šíření únavové trhliny z povrchu je podstatně poalejší nežli z okraje. Vztáhne-li se tato rychlost k stanovený dobá prvních prohlídek konstrukce, pak je šíření únavové trhliny z povrchu více než dvakrát poalejší. 6 ZÁVĚR Příspěvek uvádí teoreticky i prakticky zpracovanou etodiku řešení šíření únavových trhlin z okraje a povrchu u cyklicky naáhaných ocelových konstrukcí a ostů, se zaěření na jejich největší přípustný rozěr. Šíření únavových trhlin, s ožností jejich předvídání v čase od začátku působení proěnných účinků zatížení, je případe, kdy se výpočet neobejde bez pravděpodobnostních přístupů (např. [12]), neboť stanovení vstupních veličin je poznaenáno značný nožství nejistot v účincích zatížení i odolnosti konstrukce (např. stochastická odezva na účinky proěnného provozního zatížení forou rozkitu napětí v ístech náchylných na únavové poškození). Nejobtížněji se přito celosvětově řeší rozěr předpokládané počáteční trhliny. Výpočetní odel řešených úloh je založen na lineární loové echanice. S využití podíněné pravděpodobnosti pak vede k návrhu pravidelného systéu prohlídek konstrukce. 220

9 Pro saotné pravděpodobnostní řešení byla využita nově vyvíjená etoda Příého Optializovaného Pravděpodobnostního Výpočtu - POPV, která je vhodná pro celou řadu pravděpodobnostních výpočtů. Příklady aplikace této pravděpodobnostní etody ukazují, že etoda je vhodná nejeno pro úlohy vedoucí k posouzení spolehlivosti, ale také k jiný pravděpodobnostní výpočtů, jako je i předětný výpočet šíření únavových trhlin. Metoda POPV se jeví jako velice efektivní prostředek pro získání řešení, zatíženého pouze nuerickou chybou a chybou danou diskretizací vstupních a výstupních veličin. PODĚKOVÁNÍ Projekt byl realizován za finančního přispění MŠMT ČR, projekt 1M0579, v ráci činnosti Centra integrovaného navrhování progresivních stavebních konstrukcí CDEAS. LTERATURA [1] ČSN EN 1990 (ČSN ), Eurokód: Zásady navrhování konstrukcí. Český noralizační institut, Praha, [2] ČSN EN (ČSN ), Eurokód 3: Navrhování ocelových konstrukcí - Část 1-9: Únava. Český noralizační institut, Praha, [3] ANDERSON, T.L., Fracture echanics: fundaentals and applications. Third edition, CRC Press, Taylor & Francis Group, Boca Raton, Florida, (621 s) SBN [4] BUJŇÁK, J., VČAN, J., ODROBŇÁK, P. Overenie skutočného pôsobenia spriahnutého oceľobetónového osta. Sborník referátů 21. české a slovenské ezinárodní konference Ocelové konstrukce a osty Bratislava, s (8 s). SBN [5] FSCHER, J. W. Fatigue and Fracture in Steel Bridges. John Willey and Sons, New York, [6] FSCHER, J. W., KULAK, G. L., SMTH,. F. C., A Fatigue Prier for Structural Engineers. National Steel Bridge Allience, U.S.A., May (127 s). [7] JANAS, P., KREJSA, M., KREJSA, V., Software ProbCalc [EXE] - Progra Syste for Probabilistic Reliability Assessent using DOProC ethod. Autorizovaný software, Lite verze 1.2, Ev.č. 003/ \SW. VŠB-TU Ostrava, [8] JANAS, P., KREJSA, M., KREJSA, V., Using the Direct Deterined Fully Probabilistic Method for deterination of failure. European Safety and Reliability Conference Esrel 2009, Civil-Cop Press, Praha, Reliability, Risk and Safety: Theory and Applications. Taylor & Francis Group, London, s (8 s). SBN [9] JANAS, P., KREJSA, M., KREJSA, V., ProbCalc software a publikace věnované etodě POPV. Webové stránky. [on-line]. < Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava, [10] JANSSEN, M., ZUDEMA, J., WANHLL, R.J.H., Fracture Mechanics. Second edition, Delft University Press, (365 s) SBN [11] KOTEŠ, P., Vplyv vzniku a šírenia únavovej trhliny na spoľahlivosť oceľových prvkov [12] KRÁLK, J., Safety and Reliability of Nuclear Power Buildings in Slovakia. Earthquake - pact - Explosion. Slovenská technická univerzita, Bratislava, (307 s) SBN [13] KREJSA, M., Využití etody Příého Optializovaného Pravděpodobnostního Výpočtu při posuzování spolehlivosti konstrukcí. Habilitační práce. VŠB-TU Ostrava, Stavební fakulta, (328 s, autoreferát 56 s) SBN [14] KREJSA, M., TOMCA, V., Využití etody PDPV k pravděpodobnostníu výpočtu šíření únavových trhlin. Sborník příspěvků ezinárodní konference Modelování v echanice VŠB-TU Ostrava, Stavební fakulta, s 1-2 (2 s) rozšířený abstrakt, (9 s) CD-ROM. SBN

10 [15] KREJSA, M., TOMCA, V., Probabilistic approach to the propagation of fatigue cracks using Direct Deterined Fully Probabilistic Method. Sborník příspěvků 7. ezinárodní konference Nové trendy v statike a dynaike stavebných konštrukcií. Stavební fakulta STU v Bratislave, s (2 s) abstrakt, (6 s) CD-ROM. SBN [16] KREJSA, M., TOMCA, V., Pravděpodobnostní přístup k šíření povrchových únavových trhlin v návaznosti na vytvoření plochy oslabení. Sborník příspěvků ezinárodní konference Modelování v echanice VŠB-TU Ostrava, Stavební fakulta, květen s 3-4 (2 s) rozšířený abstrakt, (13 s) CD-ROM. SBN [17] KREJSA, M., TOMCA, V., Probabilistic Approach to the Propagation of Fatigue Crack Using Direct Optiized Fully Probabilistic Calculation. nternational Conference on Civil Engineering Design and Construction (Eurocodes - Science and Practice), sborník referátů. Varna, Bulharsko, s (8 s). Prof. Marin Drinov Acadeic Publishing House. SBN [18] KREJSA, M., TOMCA, V., Calculation of Fatigue Crack Propagation Using DOProC Method. Transactions of the VŠB - Technical University of Ostrava, No.1, 2010, Vol.X, Civil Engineering Series, paper #11 (9 s). DO /v Publisher Versita, Warsaw, SSN (Print) (Online). [19] KREJSA, M., TOMCA, V., Šíření únavových trhlin z okraje a povrchu s ohlede na překročení eze pevnosti. Sborník příspěvků ezinárodní konference Modelování v echanice VŠB-TU Ostrava, Stavební fakulta, 2. až 3. únor s (2 s) rozšířený abstrakt, (34 s) plné znění na CD-ROM. SBN [20] LAJČÁKOVÁ, G., Dynaic effect of vehicle during its passing over retarder. Selected Scientific Papers, Journal of Civil Engineering, Vol. 5, ssue 2, s (8 s) SSN [21] SANFORD, R. J., Principles of Fracture Mechanics. Pearson Education, nc., U.S.A., (404 s) SBN [22] TOMCA, V., GOCÁL, J., KOTEŠ, P., Acceptable Size of Fatigue Crack on Tension Flange of Steel Bridges. Sborník referátů 21. české a slovenské ezinárodní konference Ocelové konstrukce a osty Bratislava, s (6 s). SBN [23] TOMCA, V., KREJSA, M., Optial Safety Level of Acceptable Fatigue Crack. 5th nternational Probabilistic Workshop, Ghent, Belgie, (12 s) SBN [24] TOMCA, V., KREJSA, M., Únavová odolnost v etodě přípustných poškození. Sborník referátů 22. české a slovenské ezinárodní konference Ocelové konstrukce a osty Brněnské výstaviště, CERM, s.r.o., s (6 s). SBN [25] TOMCA, V., KREJSA, M., GOCÁL, J., Přípustná únavová trhlina - teorie a aplikace. Sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava, číslo 1, rok 2008, ročník V, řada stavební. VŠB-TU Ostrava, Stavební fakulta, Články č. 9 a 10. s (20 s). SBN , SSN Oponentní posudek vypracoval: Prof. ng. Jiří Šejnoha, DrSc., Fakulta stavební, ČVUT, Praha. Prof. ng. Zdeněk Kala, Ph.D., Ústav stavební echaniky, Fakulta stavební, VUT v Brně. 222