PRAVDĚPODOBNOSTNÍ POSUDEK NOSNÉ OCELOVÉ KONSTRUKCE S PŘESNOU DEFINICÍ REFERENČNÍ ÚROVNĚ

Transkript

1 II. ročník celostátní konference SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ Téa: Cesta k pravděpodobnostníu posudku bezpečnosti, provozuschopnosti a trvanlivosti konstrukcí..00 Dů techniky Ostrava ISBN PRAVDĚPODOBNOSTNÍ POSUDEK NOSNÉ OCELOVÉ KONSTRUKCE S PŘESNOU DEFINICÍ REFERENČNÍ ÚROVNĚ Abstract artin Krejsa This paper describes an application of SBRA structural reliability concept docuented in textbook arek et al. (995). The attention is turned to the general definition of the reference level in the probabilistic reliability assessent analysis. The definition is extended to a reference level given by a tolerable structural daage.. Úvod Předložený příspěvek obsahuje příklad pravděpodobnostního posudku ocelového jedenkrát staticky neurčitého roštu podle etody SBRA při naáhání ohybe. Ocelový rošt je tvořen dvojicí zkřížených válcovaných profilů IPE00 a IPE40 délky L, =5 []. Při výpočtu je uvažováno s proěnlivostí průřezů vlive ožného pod a převálcování, s proěnlivou pevností na ezi kluzu a s proěnlivý zatížení P, které Obr.: Schéa ocelového roštu vzniká kobinací stálého, krátkodobého a dlouhodobého nahodilého zatížení (extrení hodnoty stálého zatížení DL=50kN, krátkodobého nahodilého zatížení SL=kN a dlouhodobého nahodilého zatížení LL=0kN): P = DL. DL var + LL. LL var + SL. SL var () Proěnlivost jednotlivých zatížení je vyjádřena useknutýi histogray (viz DL var, LL var a SL var ). Při výpočtu pravděpodobnosti poruchy je nutné zvolit vhodnou referenční úroveň posudku. Nosníky jsou zajištěny proti klopení a není uvažován vliv vlastního pnutí.. Definice referenční úrovně posudku Posudek spolehlivosti ocelové konstrukce naáhané ohybe bude veli záviset na definici referenční úrovně. Dle obrázku je ožno definovat např. čtyři alternativy referenční úrovně: (a) dosažení napětí na ezi kluzu, (b) tolerovatelné alé trvalé deforace, (c) tolerovatelné trvalé deforace, odpovídající např. zplastizování krajních artin Krejsa, Ing., Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava, Fakulta stavební, Katedra stavební echaniky, Ludvíka Podéště 875, Ostrava - Poruba, tel.: (069) 699 0, e-ail: artin.krejsa@vsb.cz.

2 6 čtvrtin výšky průřezu, (d) vznik plastického kloubu (počátek kolapsu konstrukce). Tyto referenční úrovně lze rozdělit do dvou skupin: případ (a) a (b) neá vliv na užitelnost konstrukce, případ (c) a (d) vyžadují opravu či výěnu části nosné konstrukce vzhlede ke vzniku velkých trvalých deforací.. Výpočet vnitřních sil a deforací ocelového roštu. Výpočet s uvažování pružného chování ateriálu Při výpočtu vnitřních sil a deforací ocelového roštu s uvažování pružného chování ateriálu usí platit: P = P + P () Obr.: Referenční úrovně kde P a P jsou osaělá břeena, která se přenášejí do. resp.. nosníku ocelového roštu. Rovněž usí platit deforační podínka - shodnost průhybů obou nosníků w a w v ístě křížení: P. L w = P. L,ax = w,ax = () kde E je odul pružnosti v tahu a tlaku [Pa] a, je oent setrvačnosti. resp.. prutu [ 4 ]. ednoduchou úpravou pak lze získat konečný vztah pro výpočet axiální pružné deforace roštu: L. L wax = P. (4) 48. ( L. + L. ) axiální ohybový oent na. resp. na. nosníku ocelového roštu pak vychází: P. L L. =. 4 L. + L. a P. L L. =. (5) 4 L. + L.. Výpočet s uvažování pružno-plastického chování Rovnici ohybové čáry libovolného prostého nosníku i lze získat s použití Bernoulliho hypotézy. Základní vztah pro zjištění elastické čáry prutu á pak tvar: w = (6) Vztah () je diferenciální rovnice II.řádu. ejí integrací lze získat postupně rovnici pootočení a rovnici ohybové čáry. () w x = dx + c, w = dx + c. x + c (7),(8) Integrační konstanty c a c lze určit poocí některé z okrajových podínek. Pro případ prostého nosníku zatíženého uprostřed osaělý břeene je nutno tuto integraci

3 7 provést zvlášť na každé polovině nosníku. axiální průhyb je uprostřed nosníku v ístě s pootočení w (x)=0. Tento výpočet průhybu je založen na předpokladu pružného chování nosníku. V případě uvažování vzniku pružno-plastických deforací lze potřebnou závislost ezi napětí a poěrný pružno-plastický přetvoření vyjádřit rovnicí Raberg Osgood :. α ε () el pl x, = +. (9) Wel. E E W. pl kde ε el,pl je poěrná pružno-plastická deforace v průřezu x, W el a W pl pružný a plastický průřezový odul [ ], F y napětí na ezi kluzu [Pa], α je ateriálová konstanta a je součinitel zpevnění. Do výpočtu pružno-plastického přetvoření je nejprve zaveden součinitel β, který je funkcí ohybového oentu, ateriálových a geoetrických charakteristik nosníku. Tento součinitel vyjadřuje fiktivní zvětšení ohybového oentu tak, aby odpovídací přetvoření ohybe v pružné stavu ε el bylo stejné jako přetvoření skutečného nosníku v pružnoplastické oblasti působení: ε el,pl. fik β. = (0).. α β ε el pl fik, = ε = = +. Wel. E Wel. E E W. pl () Po úpravě lze získat konečný tvar funkce β : α.. W β = () el +. W pl Další výpočet vychází ze (8), kde za (x) je nutno dosadit fik (x) z (0). Po integraci a výpočtu integračních konstant z okrajových podínek lze získat rovnici ohybové čáry s uvažování pružno-plastického chování nosníku a axiální pružno-plastický průhyb uprostřed nosníku: kde l l l wel, pl x = = wel x = + w pl x = (). + + l Pi. l l. α. Wel.. l. Pi. W pl wel x = = a w pl x = = (4),(5) 48.. ( + ) w pl ve vztahu (5) se rovná trvalé plastické deforaci. Při výpočtu vnitřních sil a deforací ocelového roštu s uvažování pružnoplastického chování ateriálu usí opět platit podínka () a podínka deforační - průhyby obou nosníků w,elpl a w,elpl (vypočtené poocí vztahů ()-(5)) v ístě křížení usí být shodné. Vzhlede k vysoké nelinearitě vztahu (5) lze tuto úlohu řešit pouze nuericky. Vzájený poěr P a P se při dále použité iterační výpočtu ění tak, aby s dostatečnou přesností byla splněna deforační podínka. ( ) 4. Výpočet pravděpodobnosti poruchy P f Posudek spolehlivosti ocelového roštu byl proveden s použití všech čtyř výše definovaných referenčních úrovní. Výsledná pravděpodobnost poruchy P f se získá analýzou funkce spolehlivosti (SF safety function):

4 8 SF = pos(r S ) pos(r S ) (6) kde R resp. R představuje odpor konstrukce (. resp.. prutu), S resp. S je účinek zatížení. ateatická funkce pos (positive) vrací hodnotu 0 pokud je arguent funkce záporný nebo nulový (v takové případě se jedná o poruchu systéu), v případě kladného arguentu funkce vrací hodnotu (nosník splňuje kritériu dané referenční úrovní). 4. Referenční úroveň (a) dosažení napětí na ezi kluzu Odpor konstrukce R resp. R (. resp.. prutu) představuje při použité referenční úrovni (a) ohybovou únosnost prutů odpovídající dosažení eze pružné oblasti působení. Účinek zatížení S resp. S je pro referenční úroveň (a) vyjádřen poocí vztahu (5). 4. Referenční úroveň (b) dosažení tolerovatelných trvalých deforací, oezení poěrnou částí deforace ideálně pružného nosníku Výsledná pravděpodobnost poruchy P f se získá opět analýzou funkce spolehlivosti SF (6). Odpor konstrukce R resp. R (. resp.. prutu) představuje při použité referenční úrovni (b) odpovídající povolenou trvalou deforaci, vyjádřenou např. 5, 0 nebo 5 procenty deforace ideálně pružného nosníku. Účinek zatížení S resp. S je pak vyjádřen poocí skutečné trvalé deforace ocelového roštu iteračně tak, jak bylo popsáno v odstavci.. 4. Referenční úroveň (c) tolerovatelné trvalé deforace nosníku, odpovídající zplastizování krajních částí průřezu oezených čtvrtinou výšky průřezu Odpor konstrukce R resp. R (. resp.. prutu) představuje při použité referenční úrovni (c) odpovídající ohybovou únosnost prutů při uvažování pružno-plastického chování ateriálu s oezení daný zplastizování krajních čtvrtin výšky průřezu: t i, w. hi R =. i W pl (7) 48 kde t i,w je tlošťka stojiny prutu i a h výška profilu. Účinek zatížení S resp. S je pro referenční úroveň (c) vyjádřen poocí skutečného ohybového oentu na konstrukci s uvažování pružno-plastického chování ateriálu. resp.. nosníku: Pi. Li S i = (8) 4 kde P i je část břeene P, kterou přenáší nosník i, vypočtená dle kapitoly Referenční úroveň (d) vznik plastického kloubu a počátek kolapsu Odpor konstrukce R resp. R (. resp.. prutu) je vyjádřen při použité referenční úrovni (d) hodnotou plastického ohybového oentu i,pl. Účinek zatížení S i je určen stejně jako u předchozí referenční úrovně. 5. Výsledky Posudek spolehlivosti ocelového roštu s použití referenčních úrovní (a) až (d) byl proveden prograe AntHill v..0 s celkový počte ilión siulačních kroků. Výsledné pravděpodobnosti poruchy P f pro jednotlivé referenční úrovně jsou uvedeny v Tabulce. Histogra funkce spolehlivosti s výslednou pravděpodobností poruchy u referenční úrovně (b) s tolerovatelnou trvalou deforací δ per < 5 % δ el,fy je uveden na obrázku vpravo. V levé části je rovněž zobrazen výsledný histogra kobinace zatížení pro danou referenční úroveň.

5 9 Obr.: Výstup prograu AntHill: vlevo - histogra kobinace stálého, krátkodobého a dlouhodobého nahodilého zatížení vpravo histogra funkce spolehlivosti Výpočet axiálního pružnoplastického průhybu na ocelové roštu byl proveden iteračně, počet iteračních cyklů byl stanoven na 5 (při výpočtech bylo zjištěno, že tento počet iteračních cyklů již poskytuje dostatečně přesné řešení). Na obrázku 4 je zobrazen histogra přesnosti iterace při pravděpodobnostní posudku ocelového roštu u výše uvedené referenční úrovně, která je daná rozdíle pružnoplastické deforace obou nosníků w,elpl a w,elpl (tato hodnota se usí blížit nule). Obr.4: Dosažená přesnost iteračního výpočtu Referenční úroveň (a) (b) (b) (b) (c) (d) Definice referenční úrovně Dosažení napětí na ezi kluzu Tolerovatelná trvalá deforace δ per < 5 % δ el,fy Tolerovatelná trvalá deforace δ per < 0 % δ el,fy Tolerovatelná trvalá deforace δ per < 5 % δ el,fy Tolerovatelné porušení konstrukce zplastizování krajních čtvrtin nosníků Vznik plastického kloubu Výsledná pravděpodobnost poruchy P f Návrhová pravděpodobnost P d dle ČSN , > 0, , , , < 0, > 0, < 0, > 0, < 0, > 0, Úroveň spolehlivosti dle ČSN 7 40 Konstrukce nevyhovuje Snížená Obvyklá Obvyklá 0, < 0, Zvýšená < 0, << 0, Zvýšená Tab.: Výsledné pravděpodobnosti poruchy P f pro referenční úrovně (a) až (d)

6 0 6. Závěr Pravděpodobnostní etody posudku spolehlivosti konstrukcí vyžadují jasné definovaní referenční úrovně, sloužící k určení pravděpodobnosti poruchy P f. V případě posudku ocelového jedenkrát staticky neurčitého roštu byla tato referenční úroveň uvažována v příkladech takto: (a) dosažení napětí na ezi kluzu, (b) dosažení povolené trvalé deforace, (c) zplastizování krajních čtvrtin ocelového průřezu nebo (d) vznike plastického kloubu. V uvedené příkladě byl proveden posudek spolehlivosti ocelového roštu tvořeného dvojicí nosníků profilu IPE s použití všech čtyř referenčních úrovní. Pro zvýšenou úroveň spolehlivosti konstrukce posudek spolehlivosti vyhoví při použití referenční úrovně (c) a (d), pro obvyklou úroveň spolehlivosti tento rošt vyhoví při posudku vztažené k referenční úrovní (b) a (b). V případě referenční úrovně (b) vyhoví pro sníženou úroveň spolehlivosti, pro referenční úroveň (a) tento rošt nevyhoví vůbec. Při obvyklých návrhových situacích (a) a (b) vede posudek (založený na P f < P d ) při účinku extréního zatížení k zachování užitnosti konstrukce. ako vhodnou referenční úrovní se v případě ocelového roštu naáhaného osaělý břeene jeví referenční úroveň (b), kdy byla výsledná pravděpodobnost poruchy roštu určena s uvažování vzniku pružno-plastických deforací. Posudek s použití referenční úrovně (a) se jeví zbytečně konzervativní, použití referenční úrovně (c) vyžaduje po extréní účinku zatížení opravu či výěnu části nosné konstrukce. Aplikace referenční úroveně (d) je težko vysvětlitelná, neboť vzniku plastického kloubu předcházejí naděrné deforace a plastický oent představuje de facto kolaps konstrukce a neůže tedy definovat její únosnost. Oznáení Příspěvek byl vypracován v ráci výzkuu spolehlivosti konstrukcí na ÚTA AV ČR Praha a na FaSt VŠB TU Ostrava (projekt Grantové Agentury ČR č. 0/0/40 a 05/0/078 a projekt Leonardo da Vinci EU Agency No.: CZ/98//850/PI/I...a/FPI). Další podrobnosti lze získat na internetovské adrese: a Literatura [] AREK, P., GUŠTAR,., ANAGNOS, T.: Siulation-Based Reliability Assessent for Structural Engineers, CRC Press Inc., Boca Raton, Florida, 995, ISBN [] AREK, P., GUŠTAR,., BATHON, L.: Tragwerksbeessung. Von deterinistischen zu probabilistischen Verfahren, Acadeia, Praha, 998, ISBN a [] AREK, P., KRESA,.: Perforance Based Structural Reliability Assessent Using SBRA as a Tool, referát č. 88 na konferenci 8th ASCE Specialty Conference on Probabilistic echanics and Structural Reliability, Notre Dae, Indiana, U.S.A., 000. [4] AREK, P., KRESA,.: Posudek spolehlivosti ocelového nosníku naáhaného náraze, Sborník konference "Dynaika v pozeních stavitelství a dopravních konstrukcích a větrné inženýrství", Vyhne, září 000, Slovenská republika, ISSN: X. [5] KRESA,., LOKA, A.: Posouzení nosné ocelové konstrukce vystavené iořádnéu zatížení náraze poocí siulační etody SBRA, Sborník konference Spolehlivost a diagnostika v dopravě 000,.prosince 000, Univerzita Pardubice, ISBN