PRAVDĚPODOBNOSTNÍ VÝPOČET ÚNOSNOSTI A PRUŽNÉ

Transkript

1 ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR 007 PRAVDĚPODOBNOSTNÍ VÝPOČET ÚNOSNOSTI A PRUŽNÉ DEFORAČNÍ ENERGIE DŮLNÍ OBLOUKOVÉ VÝZTUŽE PROBABILISTIC SOLUTION OF ARCH SUPORTS CARRYING-CAPACITY AND ELASTIC STRAIN ENERGY Petr Janas 1, artin Krejsa Abstract The paper reviews briefly one of the proposed method of solution statically indeterminate steel arches, used in mining industry. Application of this concept was developed on Borland Delphi platform and allowed to explore carrying-capacity and strain energy of supports with taking account to variability of input variables. 1 Úvod Ocelová oblouková výztuž je využívána zejména při zajišťování dlouhých důlních děl v hornictví. Tvoří ji několik nosných ocelových segmentů s kruhovým nebo přímým tvarem, vzájemně spojených šroubovým nebo třmenovým spojem. Použití výztuže je doprovázeno nutností stanovit její únosnost s předpokládaným spojitým rovnoměrným svislým a vodorovným zatížením. Podrobné statické řešení s využitím deterministicky zadávaných vstupních údajů bylo v minulosti aplikováno formou programu Oblouky, vytvořeném v prostředí icrosoft Excel s využitím programovacího jazyka Visual Basic, a je dále rozvíjeno. Jednotlivé výpočetní kroky prozatím obsahují: zpracování geometrie ocelové obloukové výztuže numerické řešení staticky neurčité konstrukce silovou metodou pro zadaná zatížení výpočet složek vnitřních sil, únosnosti výztuže a složek přetvoření dle teorie I. a II. řádu s uvažováním pružno-plastického chování materiálu použité výztuže. pravděpodobnostní posudek spolehlivosti obloukové výztuže dlouhých důlních děl. výpočet složek vnitřních sil, únosnosti výztuže a složek přetvoření s uvažováním existence pasivních sil. V průběhu řešení [9] byla rozvíjena metodika přímého determinovaného pravděpodobnostního výpočtu (dále jen PDPV), s jejíž využitím lze provádět i výpočty statických veličin uvažující náhodnost výskytu některých vstupních veličin. V příspěvku je zpracován stochastický způsob výpočtu únosnosti a přetvárné energie nepoddajné obloukové výztuže s uvažováním pružného chování materiálu a variability průřezu a pevnostních charakteristik. 1 Doc. Ing. Petr Janas, CSc, VŠB-TU Ostrava, Fakulta stavební, Katedra stavební mechaniky, Ludvíka Podéště 1875, Ostrava Poruba, petr.janas@vsb.cz. Ing. artin Krejsa, Ph.D., VŠB-TU Ostrava, Fakulta stavební, Katedra stavební mechaniky, Ludvíka Podéště 1875, Ostrava Poruba, martin.krejsa@vsb.cz. 1

2 ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR 007 Určování přetvárné energie kumulované v ocelové obloukové výztuži při aktivním zatížení V některých situacích je potřebné studovat chování ocelové obloukové výztuže při aktivním zatížení z hlediska přetvárné energie, kterou je schopna kumulovat ve vztahu k prokluzovým vlastnostem. V těchto případech je vhodné volit celou řadu zatěžovacích schémat a zjišťovat pro ně charakteristické hodnoty. Základní vztah pro zjištění přetvárné energie ohýbaného nosného prvku má tvar: U nebo U = = L S = 0 L S = 0 E. J d w.. ds + dx. E. J L S = 0 L ( x) N ( x) ds + S = 0 ds. E. A E. A d u. dx kde E je modul pružnosti v tahu a tlaku [Pa], A je plocha průřezu [m ] a J je moment setrvačnosti [m 4 ]. a N jsou složky vnitřních sil obloukové výztuže ohybový moment a normálová síla, určená silovou metodou. Integrace uvedených vztahů byla provedena numericky při využití rozdělení všech oblouků tvořících výztuž na diference délky Δs i : U = Δs N m m i i i + i= 1. E J i i= 1. E Δs A i i Deterministický výpočet přetvárné energie lze realizovat s využitím rozšířeného programu pro běžně používané typy průřezů K-4, P-8 a TH-9. Pro výztuž byla provedena parametrická studie pro uvedené průřezy, kdy se při výpočtu měnil poměr mezi bočním a svislým zatížením ε. Výsledkem jsou grafy uvedené na obr.1. Je z nich zřejmé, že pokud je výztuž nepoddajná, pak energie kumulovaná ve výztuži je závislá zejména na volbě hmotnostního stupně (průřezu profilu) a na jakosti oceli. (Poznámka pro profily K- 4 a P-8 se používá ocel pro profil TH-9 pak ocel 31n4) V poddajné výztuži se deformační energie kumuluje méně než u výztuže poddajné a to v závislosti na poměru ε. Jestliže ve výztuži jsou pouze malé nebo téměř nulové ohybové momenty, je kumulovaná deformační energie funkcí pouze normálových sil. Do vzniku prokluzu, který limituje únosnost, je deformační energie velmi malá (viz hodnoty pro ε = 0,9). S růstem ohybových momentů do hodnoty odporu proti prokluzu kumulovaná deformační energie roste a při malých hodnotách ε se nemusí výztuž ani pro odpor proti prokluzu T = 100 kn vůbec chovat jako poddajná. Tato skutečnost ovšem neznamená, že při optimálním zatížení výztuže je tato schopna zachytit jen malé množství energie, spíše naopak. Při prokluzu se totiž energie kumulovaná ve výztuži přeměňuje na práci. Odpor proti prokluzu probíhá po určité dráze, přičemž na začátku a na konci každého prokluzu jsou hodnoty třecí síly rozdílné. Po prokluzu je kumulovaná pružná energie ve výztuži menší než před prokluzem. Délka jednotlivého prokluzu je menší, působí-li ve výztuži pouze normálové síly a větší, rostou-li hodnoty ohybových momentů. Při optimálním zatížení výztuže je díky malým ale rovnoměrnějším prokluzům a jejich většímu počtu zpravidla celková možná sumární délka všech prokluzů velká a tím je také velká energie zachycená výztuží a přeměněna při prokluzu v teplo.. ds (1) () (3)

3 ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR 007 Závislost mezi ε a E K-4 Tmin K-4 T = 100 kn K-4 T = 150 kn K-4 T = 00 kn K-4 T = 50 kn K-4 T = 300 kn K-4 T = 350 kn P-8 Tmin TH-9 Tmin P-8 T = 100 kn TH-9 T = 100 kn P-8 T = 150 kn TH-9 T = 150 kn P-8 T = 00 kn TH-9 T = 00 kn E [kj] 9 8 P-8 T = 50 kn TH-9 T = 50 kn P-8 T = 300 kn TH-9 T = 300 kn P-8 T = 350 kn TH-9 T = 350 kn ε Obr.1 Pružná deformační energie ve výztužích z profilů K4, P8 a TH9 pro ε = 0 až 3 Pravděpodobnostní řešení spolehlivosti ocelové obloukové výztuže dlouhých důlních děl Při posuzování spolehlivosti ocelové obloukové výztuže je nutno zabývat se celou řadou faktorů, které mají na jedné straně systémový charakter, na druhé straně pak charakter náhodný. Pro samotnou ocelovou obloukovou výztuž má náhodný charakter zejména: přesnost geometrických rozměrů profilových tyčí, mechanické vlastnosti oceli, zejména mez kluzu a mez pevnosti, odpory výztuže proti prokluzu, kvalita montáže ocelové obloukové výztuže, která se projevuje v její přesnosti, v odporu výztuže proti prokluzu i v interakci horninového masivu s výztuží. Pro obecnou metodiku pravděpodobnostního posuzování konstrukcí byla rozpracována metoda přímého determinovaného pravděpodobnostního výpočtu (dále PDPV), která byla publikována např. v [6] až [8]. 4 Softwarové prostředky pro aplikaci PDPV K podrobnější analýze vstupních histogramů slouží programový nástroj HistAn (viz obr.). S jeho pomocí lze získat základní charakteristiky histogramu minimum a maximum funkční hodnoty (okrajové hranice histogramu), počet intervalů a četnosti v nich definované. Lze provádět jednoduché výpočty stanovení funkční hodnoty s odpovídajícím kvantilem i operaci inverzní stanovení kvantilu pro zadanou funkční hodnotu proměnné. Rovněž lze provádět určení kombinace několika vstupních 3

4 ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR 007 histogramů a tzv. sumárního histogramu, kterého lze využít pro výpočty s tzv. větrnou růžicí. Samozřejmostí jsou běžné uživatelské operace nastavení pracovního prostředí dle představ uživatele, ukládání výsledného histogramu v numerické i grafické podobě a funkce umožňující export výsledných entit např. do textového editoru. Obr. Pracovní plocha programu HistAn. S histogramy je možno provádět základní matematické operace. Např. v případě kombinování zatížení se z těchto matematických úkonů využívá zejména sčítání histogramů jednotlivých typů zatížení, které probíhá v programových cyklech. Hodnoty zatížení (vodorovná osa histogramu) se postupně sčítají, přičemž jejich pravděpodobnosti se vynásobí a přičtou do odpovídajícího intervalu výsledného histogramu. Princip takového numerického řešení je nejlépe patrný z obr. 3. Obr.3: Princip výpočtu kombinace stálého a nahodilého dlouhodobého zatížení Pro provádění základních aritmetických operací s histogramy byl vytvořen programový prostředek HistOp (viz obr. 3), který umožňuje s histogramy A a B provádět následující aritmetické operace: součet, rozdíl, součin a podíl obou histogramů, druhou mocninu a absolutní hodnotu histogramu A. 4

5 ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR 007 Obr.3 Pracovní plocha programu HistOp. V běžné projekční praxi je však s histogramy potřebné provádět daleko složitější operace. Principiálně se však jedná stále o tytéž výpočetní postupy, jde jen o vytvoření účinného výpočetního nástroje, kde by uživatel byl schopen zadat výpočtový model např. v textové podobě. Z tohoto důvodu byl vyvinut program ProbCalc (viz obr.4), který umožňuje provádět zejména zadání matematického modelu v textové podobě formou tzv. kalkulačky, ale zároveň i formou dynamické knihovny (DLL soubor), která umožňuje definování podstatně rozsáhlejšího výpočetního modelu a také rychlejší výpočet. Obr.4 Pracovní plocha programu ProbCalc. V tomto programu jsou implementovány všechny možnosti předchozích programových prostředků. Pozornost byla věnována zejména tzv. optimalizačním krokům, které umožňují výrazné snížení tzv. simulačních kroků a tudíž i strojového času výpočtu. Počet operací v PDPV je při větším počtu vstupních náhodných veličin a při uvážení všech možných kombinací značný. Byly shledány a ověřěny způsoby řešení, u kterých je možno při zachování korektnosti řešení tento počet výpočetních kroků snížit viz např. [7]. 5

6 ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR Soubory dat pro posuzování spolehlivosti ocelových obloukových výztuží. Při řešení [9] byly rozšířeny datové soubory týkající kvality oceli a statických parametrů válcovaných profilů K4, P8 a TH9. Ocelová výztuž dlouhých důlních děl se v ittal Steel a.s. Ostrava vyrábí především z oceli a 31n4. Z dostupných informací byly s využitím programu HistAn sestaveny histogramu pro mez kluzu a mez pevnosti oceli z obou těchto materiálů. Na obr.5 je histogram meze kluzu oceli 31n4 a na obr.6 histogram meze pevnosti této oceli. Obr.5 Histogram meze kluzu oceli 31n4. Obr. 6 Histogram meze pevnosti oceli 31n4. 6

7 ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR 007 Histogramy z oceli 31n4 byly sestaveny z naměřených vlastností 554 vzorků z let 00 až 004 a z 1. čtvrtletí 006. Tato ocel se používá zejména pro výrobu profilů z hmotnostních stupňů TH16,5, TH1, TH9, TH34 a TH36. Z oceli se vyrábějí zejména profily řady K a profil P8. Soubory naměřených dat této oceli pocházejí ze stejného období jako u oceli Počet naměřených dat je zde ale podstatně větší a činí Histogram meze kluzu je na obr.7 a histogram meze pevnosti na obr.8. Obr. 7 Histogram meze kluzu oceli Obr. 8 Histogram meze pevnosti oceli

8 ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR 007 Při srovnání meze kluzu R e a meze pevnosti R m v histogramech s normovými hodnotami je zřejmé, že i minimální naměřené hodnoty překračují vždy údaje uvedené v normách obou ocelí. Rozptyl kvality oceli je přitom poměrně velký (viz tabulka č.1). Tabulka č.1 Základní mechanické vlastnosti používaných oceli. Ocel R e min dle normy [Pa] R e min [Pa] R e max [Pa] R m min dle normy [Pa] R m min [Pa] R m max [Pa] ,5 50, ,5 68,5 31n ,5 587, ,5 77,5 Pro porovnání variability rozměrů válcovaných profilů byl zaveden koeficient k, jehož hodnota byla stanovena dle: m m k k = (4) s kde m k je normová jednotková hmotnost [kg/m] a m s skutečná jednotková hmotnost [kg/m]. Veličina ε, charakterizující proměnlivou délkovou změnu průřezu, pak byla stanovena: ε = 1 k (5) Pro výsledné hodnoty této veličiny byl sestaven histogram dle tabulky. Vypočtené četnosti byly získány z hodnot, které byly k dispozici v roce 00 a z hodnot získaných v roce 004. Histogram charakterizující proměnlivost průřezu je na obr.9. Rozmezí ε od Tabulka č. Četnosti veličiny ε, charakterizující náhodnou délkovou proměnlivost průřezu. Rozmezí ε do Střední hodnota ε Četnost dle měření 004 Četnost dle měření 00 Celková četnost -0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

9 ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR 007 Obr. 9 Histogram veličiny ε charakterizující náhodnou proměnlivost průřezu. Hodnota ε se pohybuje v rozmezí od -0, 068 do 0, Znamená to, že každý rozměr válcovaných profilů se může pohybovat v rozmezí a var = a nom (1 ε ) (6) kde a var je libovolný délkový rozměr příslušného profilu a a nom je rozměr zadaný normou či jinými podmínkami. Průřezovým charakteristikám profilu jsou pak přiřazeny dále uvedené variabilní hodnoty. Ze srovnání histogramů vlastností oceli a veličiny ε je však zřejmé, že rozptyl průřezových charakteristik používaných pro ocelovou výztuž dlouhých důlních děl je řádově menší než rozptyl pevnostních parametrů. 6 Pravděpodobnostní výpočet únosnosti nepoddajné výztuže Pravděpodobnostní výpočet únosnosti nepoddajné výztuže se opírá o vztah využívaný při deterministickém výpočtu: pl N 1+ ( ) 1 A f yd κ i = (7) pl N ( ) A f yd Při pravděpodobnostním řešení je výchozím bodem ve výztuži kritický průřez, ve kterém při daném jednotkovém zatížení vznikají největší vnitřní síly a N, určené deterministicky při jednotkovém zatížení. Variabilní vstupní veličiny představuje ve výpočtu plocha průřezu A, mez kluzu f yd a hodnota mezního ohybového momentu pl, která je dána vztahem: = W f (8) pl, var pl,var yd,var Po dosazení do (7) je pak 9

10 ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR A var yd,var κ var =, pl,var pl,var A N f var N f yd,var 1 W 1+ var yd,var κ var = (9) x, pl,var x, pl,var f A yd,var f yd,var f A kde κ var charakterizuje únosnost výztuže a představuje násobek jednotkového zatížení výztuže. Ve výpočtu se objevují deterministické a variabilní veličiny. K deterministickým hodnotám patří: W var N N f yd,var a) parametry charakterizující geometrii oblouku Jsou zadávané při výpočtu únosnosti ocelovém obloukové výztuže a obsahují: počet kruhových dílů délku a poloměr zakřivení kruhových dílů délku překrytí sousedících dílů b) typ průřezu Normové průřezové charakteristiky ocelových profilů typu K 4, P 8, TH 9, příp. dalších. c) velikost vnitřních sil v kritickém průřezu Velikost ohybového momentu a normálové síly v kritickém průřezu je importována z programu Výpočet únosnosti ocelové obloukové výztuže, kde je také zjištěno místo s jejich hodnotami pro dané zatížení charakterizované svislým spojitým zatížením pro hodnotu q 1 = 1 a pro daný poměr vodorovného a svislého zatížení ε případně pro zadané hodnoty koeficientu CD, počítá-li se s interakcí výztuže s horninou. ísto s hodnotami vnitřních sil určující minimální únosnost výztuže, je při daném schématu zatížení diskrétní. Hodnoty vnitřních sil lze rovněž zadat ručně. Zadávají se v kn a N. K uvažovaným variabilním hodnotám patří: a) průřezové charakteristiky Veškeré průřezové charakteristiky - průřezová plocha, moment setrvačnosti, průřezový modul atd. jsou přesnou funkcí geometrických rozměrů. Jsou funkčně závislé na geometrických rozměrech. Průřezové charakteristiky mají tedy náhodný charakter odpovídající náhodnému charakteru geometrických rozměrů, vzájemně jsou však závislé. Pravděpodobnosti geometrických rozměrů profilu odpovídají pravděpodobnosti pro plochu, moment setrvačnosti a průřezový modul. Takovéto náhodné veličiny by do pravděpodobnostního výpočtu měly vstupovat vzájemně vázaně a ne jako nezávislé vzájemně izolované náhodné veličiny. Lze-li nepřesnost profilu charakterizovat jedinou relativní délkovou chybou profilu ε, pak přibližně platí: l var = l N (1 ε) (10) A var = A N (1- ε) = A N (1.ε), (11) W var = W N (1 3.ε), (1) I var = I N (1 4.ε), (13) kde l var, A var, W var a I var jsou proměnné variabilní hodnoty délkového rozměru, průřezové plochy, průřezového modulu a momentu setrvačnosti, l N, A N, W N a I N jsou charakteristické hodnoty těchto veličin. á-li každá v úvahu přicházející hodnota ε svou pravděpodobnost, mají stejnou pravděpodobnost i hodnoty l var, A var, W var a I var určené 1 10

11 ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR 007 s touto relativní chybou. Vstupují-li do pravděpodobnostního výpočtu všechny tyto hodnoty, pak se (odpovídající vzájemně funkčně závislé hodnoty) volí se stejnou pravděpodobností. Tímto způsobem se snižuje při pravděpodobnostním výpočtu počet operací, neboť funkčně závislé hodnoty se volí vždy současně. Tento postup se volil i v dané úloze. b) pevnostní charakteristiky oceli Pevnostní charakteristiky oceli tj. mez kluzu a mez pevnosti jsou vyjádřeny v histogramech. Opírají se o výsledky analýzy vlastností oceli, ze kterých byla v létech 00 až 006 vyráběna ocelová výztuž z profilů K4 a P8 (ocel 11500) a výztuž TH 9 a další (ocel 31n4) Příklad 1 Vstupní údaje: Výpočet ukázkového příkladu byl proveden na obloukové výztuži v nepoddajném provedení, složené ze 4 kruhových segmentů s přeplátováním 400 mm (výztuž ). Oblouková výztuž je symetrická s délkami jednotlivých segmentů L 1 = 3890 mm, L = 880 mm, L 3 = 880 mm a L 4 = 3890 mm a s poloměry R 1 = 3450 mm, R = 3080 mm, R 3 = 3080 mm a R 4 = 3450 mm. U příkladu byl použit válcovaný profil K-4. Poměr bočního a svislého zatížení ε byl zvolen 0.0 a 1.0. Pro poměr bočního a svislého zatížení ε = 0,0 vychází v kritickém průřezu normálová síla N = kn a ohybový moment = knm, pro poměr ε = 1.0 je pak normálová síla N = kn a ohybový moment = knm. Na obr.10 je histogram hodnoty κ představující v podstatě únosnost výztuže. Je na něm vyznačena i hodnota κ i = 1, určena deterministicky pro ε = 0.0. Pravděpodobnost, že hodnota κ bude menší nebo rovna deterministicky určené hodnotě byla stanovena na 0, Obr.10 Histogram hodnoty κ pro poměr bočního a svislého zatížení ε =

12 ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR 007 Obdobně je na obr.11 pro ε = 1.0 histogram pro variabilní hodnotu κ. Pravděpodobnost, že její hodnota κ bude menší nebo rovna deterministicky určené hodnotě κ i = 146, opět vyznačené na obr.11 byla stanovena na 0, Obr.11 Histogram hodnoty κ pro poměr bočního a svislého zatížení ε = Pravděpodobnostní výpočet pružné deformační energie Pravděpodobnostní výpočet se opírá o vztah pro určení pružné deformační energie výztuže: m m 1 1 var var ( 1 4. ) 1. ( 1. ) i Δsi Ni Δsi κ = + i= E J i ε i= E Ai ε κ det U (14) kde U var charakterizuje přetvárnou energii výztuže jako variabilní hodnotu. Ve výpočtu se objevují následující variabilní veličiny: a) průřezové charakteristiky Průřezová plocha A a moment setravačnosti J, které jsou funkčně závislé na geometrických rozměrech a vyjádřeny histogramem ε. b) pevnostní charakteristiky oceli Pevnostní charakteristiky oceli tj. mez kluzu a mez pevnosti jsou vyjádřeny v histogramech. Opírají se o výsledky analýzy vlastnosti oceli, ze kterých byla v létech 00 až 006 vyráběna ocelová výztuž z profilů K4 a P8 (ocel 11500) a výztuž TH 9 (ocel 31n4). Použité histogramy byly zpracovány z podkladů měření. 7.1 Příklad Vstupní údaje: Výpočet ukázkového příkladu byl opět proveden na obloukové výztuži v nepoddajném provedení, složené ze 4 kruhových segmentů s přeplátováním 400 mm (výztuž ). 1

13 ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR 007 U příkladu byl použit válcovaný profil K-4. Poměr bočního a svislého zatížení ε byl zvolen 0.0 a 1.0. Obr.1 Histogram přetvárné energie pro poměr bočního a svislého zatížení ε = 0,0. Pro poměr bočního a svislého zatížení ε = 0.0 vychází deterministická hodnota přetvárné energie E = 3, kj a E N = 0, kj, pro poměr ε = 1.0 pak obě hodnoty vycházejí E = 1, kj a E N = 1, kj. Na obr.1 je histogram přetvárné energie pro poměr ε = 0,0 s vyznačením deterministicky určené hodnoty. Pravděpodobnost, že přetvárná energie bude menší nebo rovna deterministicky určené hodnotě U = 3, kj byla stanovena na 0, Obr.13 Histogram přetvárné energie pro poměr bočního a svislého zatížení ε = 1,0. 13

14 ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR 007 Na obr.13 je pak je histogram přetvárné energie pro poměr ε = 1,0 s vyznačením deterministicky určené hodnoty U = 3, kj. Pravděpodobnost, že přetvárná energie bude menší nebo rovna této hodnotě byla stanovena na 0, Závěr Aplikací zpracované a popsané metodiky výpočtu lze analyzovat a studovat vlastnosti výztuží různých tvarů a velikostí při zvolených zatíženích. Pozornost byla věnována pravděpodobnostnímu přístupu k řešení spolehlivosti ocelové výztuže dlouhých důlních děl a k rozvoji metody přímého determinovaného pravděpodobnostního výpočtu. Poznání i praxe si tento přístup zasluhují, neboť celá řada vstupních veličin má nahodilý charakter a určovat je deterministicky není proto vždy optimální. Poděkování Příspěvek byl vypracován v rámci řešení projektu 105/04/0458, realizovaného za finanční podpory ze státních prostředků prostřednictvím GA ČR, a za finančního přispění ŠT ČR, projekt , v rámci činnosti výzkumného centra CIDEAS. Literatura [1] Janas, P., Krejsa,., Kološ, I. PRAVDĚPODOBNOSTNÍ POSUDEK SPOLEHLIVOSTI KONSTRUKCE NAÁHANÉ NÁRAZE, sborník příspěvků.mezinárodní konference Dynamics of Civil Engineering and Transport Structures and Wind Engineering, str , 19.-.května 003, Tale, hotel Stupka, Slovensko, ISBN [] Janas, P., Krejsa,. PRAVDĚPODOBNOSTNÍ POSUDEK SPOLEHLIVOSTI OBLOUKOVÉ VÝZTUŽE DLOUHÝCH DŮLNÍCH DĚL, sborník příspěvků mezinárodní konference odelování v mechanice 004, 8. ledna 004, Fast VŠB TU Ostrava, ISBN [3] Janas, P., Krejsa,. PRAVDĚPODOBNOSTNÍ PŘÍSTUP K POSUDKU SPOLEHLIVOSTI OCELOVÉ OBLOUKOVÉ VÝZTUŽE DLOUHÝCH DŮLNÍCH DĚL, 9.ročník mezinárodní konference Geotechnika Geotechnics, Štrbské Pleso, Vysoké Tatry, Slovenská republika,. až 4. září 004, str. 363 až 374, ISBN: [4] Janas, P., Krejsa,. POSUDEK SPOLEHLIVOSTI OCELOVÉ OBLOUKOVÉ VÝZTUŽE DLOUHÝCH DŮLNÍCH DĚL PŘÍÝ DETERINOVANÝ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ VÝPOČTE, Staticko konstrukčné a stavebno-fyzikálne problémy stavebných konštrukcií, konferencia s medzinárodnou účasťou, , Tatranská Lomnica - Hotel URÁN, Vysoké Tatry, str.93 až 100, ISBN: [5] Janas, P., Krejsa,., Janas, K. STANOVENÍ PŘETVÁRNÉ ENERGIE OCELOVÝCH OBLOUKOVÝCH VÝZTUŽÍ. Sborník konference Dynamika stavebných a dopravných konštrukcií a veterné inžinierstvo - DYN-WIND 005. Terchová-Štefanová, Slovensko ISBN [6] Janas, P., Krejsa,. APLIKACE PŘÍÉHO DETERINOVANÉHO PRAVDĚPODOBNOSTNÍHO ŘEŠENÍ PŘI POSUZOVÁNÍ SPOLEHLIVOSTI DŮLNÍCH A PODZENÍCH DĚL. Sborník konference pořádané k 55. výročí založení Strojní fakulty VŠB Technické univerzity Ostrava. Sekce 8 aplikovaná mechanika září

15 ODELOVÁNÍ V ECHANICE OSTRAVA, ÚNOR 007 [7] Janas, P., Krejsa,. a Krejsa, V. OPTIALIZACE VÝPOČTU V PROGRAOVÉ SYSTÉU PROBCALC, sborník příspěvků konference odelování v mechanice 006 (abstrakt str.47 a 48, plné znění na přiloženém CD), VŠB-TU Ostrava, Fakulta stavební, únor 006, [8] Janas, P., Krejsa,., Krejsa, V. SOUČASNÉ OŽNOSTI PŘÍÉHO DETERINOVANÉHO PRAVDĚPODOBNOSTNÍHO VÝPOČTU PŘI POSUZOVÁNÍ SPOLEHLIVOSTI KONSTRUKCÍ, sborník vědeckých prací Vysoké školy báňské - Technické univerzity Ostrava, číslo 1, rok 006, ročník VI, řada stavební, str , 1 stran, ISSN , ISBN [9] Janas, P. SPOLEHLIVOST OCELOVÝCH VÝZTUŽÍ DLOUHÝCH DŮLNÍCH DĚL PŘI RÁZOVÉ ZATÍŽENÍ, závěrečná zpráva grantového projektu 105/04/0458, Fakulta stavební, VŠB-TU Ostrava, leden