NUMERICKÝ VÝPOČET PRAVDĚPODOBNOSTI UŽITÍM USEKNUTÝCH HISTOGRAMŮ PŘI POSUZOVÁNÍ SPOLEHLIVOSTI KONSTRUKCÍ

Transkript

1 Petr Janas, Martin Krejsa 2 NUMERICKÝ VÝPOČET PRAVDĚPODOBNOSTI UŽITÍM USEKNUTÝCH HISTOGRAMŮ PŘI POSUZOVÁNÍ SPOLEHLIVOSTI KONSTRUKCÍ Abstract The paper reviews briefly one of the proposed probabilistic assessment concepts. The potential of the proposed concept and of the corresponding software is emphasized. The new edition of the Czech specification for structural design, ČSN (998), already contains provisions allowing for apication of probabilistic concept, using criterion P f < P d, where P f is the probability of failure and P d is the target probability defined in specifications.. ÚVOD Při posuzování spolehlivosti konstrukcí je patrná snaha používat ve stále větší míře ně pravděpodobnostních metod na úkor metod deterministických, i když i tyto metody dle našeho názoru budou hrát stále svou oprávněnou úlohu. Plně pravděpodobnostní metody jsou schopny podstatně věrohodněji a přirozeněji simulovat vstupy mající nezanedbatelný vliv pro posuzování chování stavebního objektu a jeho spolehlivosti. Tyto mají totiž většinou do značné míry náhodný charakter, který jediná deterministicky určená reprezentativní hodnota nemůže často ně charakterizovat. Plně pravděpodobnostní posuzování spolehlivosti stavebních objektů je úloha nelehká nejen z hlediska zajištění souborů potřebných vstupních údajů, ale také z hlediska jejich zpracování. Značně se však urychluje a umožňuje rozvojem výpočetní techniky. Rozvíjí se celá řada metod uvedených např. v [5] nebo [4], většinou založených na využití simulační techniky Monte Carlo. Stále větší možnost je věnovaná původní něpravděpodobnostní metodě SBRA ([3] a [4]), která rovněž využívá simulační techniku Monte Carlo. Předložený příspěvek ukazuje alternativní postup ně pravděpodobnostního výpočtu spolehlivosti konstrukce bez využití této simulační techniky. Poprvé byl presentován v [2]. 2. VÝPOČET PRAVDĚPODOBNOSTI Z HISTOGRAMU Náhodný charakter veličin vstupujících do pravděpodobnostního výpočtu při posuzování spolehlivostí konstrukcí se často vyjadřuje histogramy vycházejícími z pozorování a měření často i dlouhodobých. Ve vlastním výpočtu se pak dostáváme do situace, kdy se jednotlivé náhodné veličiny vzájemně násobí, dělí, sčítají a odčítají, pokud nejsou potřebné složitější početní úkony. Vzniká tedy potřeba početních operací s náhodnými veličinami, které jsou vyjádřeny histogramy. Tyto operace lze realizovat přímo deterministicky při využití základních principů teorie pravděpodobnosti. Postup vychází ze základních pojmů a postupů teorie pravděpodobnosti, z nichž některé z nich si dovolíme připomenout. Náhodný jev je jev, který v daných podmínkách může nastat nebo nenastat. Doc., Ing., CSc., VŠB TU Ostrava, Fakulta stavební, Katedra stavební mechaniky, Ludvíka Podéště 875, Ostrava - Poruba 2 Ing., Ph.D., VŠB TU Ostrava, Fakulta stavební, Katedra stavební mechaniky, Ludvíka Podéště 875, Ostrava - Poruba

2 Pravděpodobnost je kvantitativním vyjádřením náhodného jevu. Jestliže za určitých podmínek má nastat jeden z n navzájem se vylučujících jevů, přičemž není důvod předpokládat, že některý z nich má větší možnost výskytu než jiný, říkáme, že tyto jevy mají stejnou pravděpodobnost p =. () n Je-li nějaký náhodný jev A důsledkem kteréhokoliv z m jevů při daném počtu n možných jevů (navzájem se vylučujících a stejně pravděpodobných), je pravděpodobností jevu A poměr m p = (2) n Pravděpodobnost současného výskytu několika jevů se rovná součinu pravděpodobnosti těchto jevů, pravděpodobnost výskytu stejného jevu z několika navzájem se vylučujících jevů se rovná součtu pravděpodobnosti těchto jevů. Výše uvedené poznatky lze jednoduše dokumentovat na příkladě. Oblíbená kostka o šesti stěnách má na každé stěně jediné číslo a to až 6. Při hodu kostkou je pravděpodobnost, že padne libovolné ze šesti čísel p = = 0,6666. (3) 6 Při druhém hodu kostky, je pravděpodobnost výskytu libovolného čísla stejná a to opět p 2 = 0,6666. Pravděpodobnost současného výskytu dvou libovolných čísel ve dvou hodech po sobě se rovná v daném případě součinu p = p p2 = = 0, (4) 36 Tuto pravděpodobnost výskytu mají při dvou hodech kostkou všechny libovolné dvojice čísel, které mohou ve dvou po sobě jdoucích hodech padnou. Zajímá-li nás jaký bude pravděpodobný výsledek součtu čísel ze dvou po sobě jdoucích hodů, pak nebude u všech možností stejný, přestože atí výše uvedené pro pravděpodobnost dvojice čísel. Číslo 2 je např.výsledkem součtu +, pravděpodobnost jeho výskytu je p ( 2) =, (5) 36 číslo 3 již může být výsledkem součtu +2 nebo 2+ a pravděpodobnost jeho výskytu je dána součtem pravděpodobností v daném případě dvou navzájem se vylučujících možností tj. 2 p ( 3) = + =. (6) Obdobně tomu bude při výpočtu pravděpodobnosti výskytu všech ostatních možností výskytu součtu s dvou zcela libovolných čísel z prvního nebo druhého hodu. Součet všech pravděpodobností 2 2 p s = p(s) =. (7)

3 Obr.: Výpočet pravděpodobnosti součet Obr.2: Výpočet pravděpodobnosti - rozdíl Naprosto shodným způsobem lze postupovat při součinu, rozdílu a podílu. Histogramem výskytu libovolného možného čísla při hodu kostkou je obdélník o výšce p =. (8) 6 Histogram součtu, rozdílu, součinu a podílu čísel dvou po sobě jdoucích hodech je zřejmý z obrázků, které byly vypočteny programem umožňujícím sčítání (obr.), odčítání (obr.2), násobení (obr.3) a dělení (obr.4) dvou libovolných histogramů. Obr.3: Výpočet pravděpodobnosti součin Obr.4: Výpočet pravděpodobnosti - podíl Obdobně lze postupovat při práci s jakýmkoliv histogramem, vyjadřující jakoukoliv náhodnou veličinu, vstupující do výpočtu. Nechť histogram B je libovolnou funkcí f histogramů A j, kde j nabývá hodnot od do n. Platí tedy B = f(a, A 2, A 3,, A j, A n ) (9) Každý histogram A j má i j intervalů, přičemž každý interval je omezen hodnotou a j,i zdola a hodnotou a j,i+ shora. Znamená to například, že v intervalu i j = budou hodnoty: a j, a j a j,2, (0) přičemž a j,2 = a j, + a j, ()

4 kde a a j,min a j = i j (2) V intervalu i j bude tedy obecně: a j,i a j a j,i+ (3) j, max (ij) Hodnoty a j v tomto intervalu označme dále a j. Obdobné atí pro histogram B. Je-li zde počet intervalů i, pak v i-tém intervalu nabývá histogram hodnot b i až b i+, (dále označované b (i) ), které jsou dány funkcí b (i) = f(a (i), a (i2) 2,, a (ij) j, a (in) n ) (4) pro danou kombinaci argumentů a (i), a (i2) 2,, a (ij) j, a (in) n. Stejné hodnoty b (i) však může být dosaženo i při jiných hodnotách (nebo alespoň některých) a (ij) j. Označíme-li možnou kombinaci l hodnot a (ij) j, pak lze obecně psát b (i) = f(a (i), a (i2) 2,, a (ij) j, a (in) n ) l (5) i Pravděpodobnost p bl výskytu b (i) (ij) je dána součinem pravděpodobnosti p aj výskytu hodnot a ij j. Platí tedy p i bl =( p (i) aj. p (i2) aj. p (i3) aj.. p (ij) aj.. p (in) aj ) (6) Pravděpodobnost výskytu všech možných kombinací (a i, a i2 2,, a ij j, a in n ) l, funkce f jejichž výsledkem je b (i) je pak ( i) p b = p l l= () i Počet intervalů i j v každém histogramu A j může být různý stejně jako počet intervalů i v histogramu B. Pro počet potřebných početních operací a potřebnou dobu výpočtu je přitom rozhodující a také podstatně ovlivňuje přesnost výpočtu. (7) Obr.5: Princip provádění numerických operací se dvěma useknutými histogramy.

5 Program, jehož algoritmus je založen na výše uvedených základech teorie pravděpodobnosti, byl vytvořen v programovacím jazyce Borland Delphi 6.0 a zatím byl použit pro řešení několika poměrně jednoduchých příkladů. Jedním z nich je např. součin histogramu, vyjadřujícího pevnost na mezi kluzu f y = 235 MPa ocelových válcovaných průřezů a histogramu s normálovým rozdělením. Výsledný histogram této matematické operace, provedené přímým pravděpodobvnostním výpočtem, je zobrazen na obr.7 a porovnán s výstupem z programu AntHill, pracujícím metodou SBRA (obr. 6), kde bylo provedeno simulací. Počet intervalů histogramu A vyjadřujícího napětí na mezi kluzu je 236 a počet intervalů histogramu B s normálovým rozdělením je 256. Pro histogram součinu A x B bylo nutno u toho výpočtu provézt 236 x 256 = početních operací. Výsledný histogram C obsahuje zvolených 024 intervalů. Výsledky dvou rozdílných postupů jsou srovnatelné. Například pro hodnotu f(z) = 250 je u metody SBRA kvantil 0, a u přímého pravděpodobnostního výpočtu 0, Pro velikost kvantilu P = 0,5 jsou výsledky prakticky totožné, u metody SBRA je f(z) = 284, a u přímého pravděpodobnostního výpočtu f(z) = 284, Provedeme-li metodou SBRA stejný výpočet opakovaně, budou se výsledky i při relativně velkém počtu simulací ( ) poněkud lišit. Důvodem je generování náhodných čísel nebo přesněji řečeno pseudonáhodných čísel, který je vždy omezený a při každé sérii simulací se vždy poněkud liší. U přímého pravděpodobnostního výpočtu je při stejné volbě intervalů výsledek vždý stejný. Obr.6: Součin dvou histogramů (program AntHill) 3. OPTIMALIZACE PŘÍMÉHO VÝPOČTU PRAVDĚPODOBNOSTI Pravděpodobnostní výpočty zejména složitějších úloh jsou náročné technicky i časově. Rozhodující jsou zde hlavně počty náhodných proměnných vstupujících do úlohy a počty zvolených intervalů každé proměnné. Pro danou úlohu je počet proměnných jednoznačně dán. Volba počtu intervalů každé proměnné je do značné míry volitelná. V zásadě by měla být taková, aby doba výpočtu byla zvládnutelná, a aby i zvyšování počtu intervalů nemělo významný vliv na výsledek. Předpokládáme přitom, že přesnost výpočtu s počtem intervalů roste.

6 Obr.7: Součin dvou histogramů (numerický výpočet) Je-li počet histogramů A j roven n a počet intervalů v histogramu A j je N j, pak počet intervalů v histogramu B bude principiálně N N. N 2. N 2. N 3.. N j.. N n (8) Počet početních operací je přitom úměrný součinu P = N. N 2. N 3.. N j.. N n (9) a pro N = N 2 = N 3 = = N j = = N n je P = (N j ) n (20) Je zřejmé, že není zpravidla důvod volit N > P, ale z praktických hledisek i při požadované přesnosti výpočtu bude často účelné volit: N << P. Bude-li např. n = 3 a N j = 00 je dle (20) P = (00) 3 = 0 6. Počet intervalů histogramu B pak může být také N = 0 6, ale zpravidla bude stačit volit počet N, tj. počet intervalů v histogramů B řádově menší. Pro N j = 000 je při stejném n = 3 P = (0) 9 a je zřejmé, že počet operací danému N j odpovídající podstatně roste a s ní též odpovídající doba výpočtu. Jednou z cest, jak počet operací a i současně dobu výpočtu snížit, je při výpočtu pravděpodobnosti p bl výskytu b (i) použití známého zákona komutativního a+b = b+a a zejména zákona asociativního např. a+b+c = (a+b)+c, pokud jej můžeme použít. Aikace distributivního zákona (a+b).c = a.c + b.c i v daném případě nepřichází pro výpočet p bl v úvahu, jak lze snadno dokázat. (Pravděpodobnost náhodného jevu (a+b).c je p = p a. p b. p c, pravděpodobnost jevu a.c + b.c je stejná, nelze ji určit jako součin dvou dvojic pravděpodobností p = (p a. p c ). (p b. p c ) = p a. p b. p 2 c. Je zřejmé, že výpočet p je chybný). Možnou aikaci asociativního zákona lze demonstrovat na následujícím příkladě. Nechť zatížení F představuje kombinaci nahodilých zatížení DL dlouhodobého, SL - krátkodobého zatížení a LL dlouhodobého. Každé z nich je vyjádřeno histogramem, ve kterém je počet intervalů N j = 28 = 2 7. Pokud tato zatížení působí ve stejném místě atí: F = DL + SL + LL (2)

7 Počet početních operací je P = (N j ) 3 = (2 7 ) 3 = 2 2 = Počet intervalů histogramu zatížení F však může být podstatně menší než N = Vždyť pravděpodobnost nabytí hodnot na okrajích histogramu, např. b je p b = v případě, když v každém intervalu bude stejná pravděpodobnost jevu b j. Zpravidla bude v krajních intervalech histogramu i o několik řádů menší. Počet intervalů N může být proto podstatně menší než P. Jestliže dle asociativního zákona sečteme nejdříve zatížení F = DL + SL, a vytvoříme histogram opět se 28 intervaly a pak této operaci odpovídá P = = 2 4. Celkové zatížení je pak dáno F = F +LL. Histogramy F a LL mají každý 28 intervalů a odpovídající počet operací je opět P 2 = 2 4. Celkový počet operací je pak P = P + P 2 = = 2 5 = , což je 64 krát méně než při nevyužití asociativního zákona, což se projeví na době výpočtu. Ukazuje se tedy výhodnost rozdělení a grupování početních operací při přímém výpočtu pravděpodobnosti, je-li to možné. Některé vstupní náhodné veličiny při pravděpodobnostních výpočtech mohou být statisticky závislé nebo dokonce funkčně závislé. Statistická závislost se prokazuje např. u pevnostních a přetvárných vlastností materiálů a je správné a také z hlediska optimalizace výpočtového času výhodné s ní počítat. Obdobně je tomu u průřezových charakteristik, kde průřezová ocha, moment setrvačnosti, průřezový modul atd. jsou přesnou funkcí geometrických rozměrů. Zde lze pak hovořit o funkční závislosti na geometrických rozměrech. Průřezové charakteristiky mají také náhodný charakter odpovídající náhodnému charakteru geometrických rozměrů, vzájemně jsou však závislé. Jisté pravděpodobnosti geometrických rozměrů profilu odpovídají stejné pravděpodobnosti pro ochu, moment setrvačnosti a průřezový modul. Takovéto náhodné veličiny by pak do pravděpodobnostního výpočtu měly vstupovat vzájemně vázaně a ne jako nezávislé vzájemně izolované náhodné veličiny. Lze-li nepřesnost profilu charakterizovat např. relativní délkovou chybou profilu ε [6], pak přibližně atí: A var = A N ( - 2ε), W var = W N ( - 3ε), I var = I N ( - 4ε) (22) až (24) kde A var, W var, I var jsou proměnné variabilní hodnoty průřezové ochy, průřezového modulu a momentu setrvačnosti, A N, W N, a I N jsou charakteristické hodnoty těchto veličin. Má-li každá v úvahu přicházející hodnota ε svou pravděpodobnost, mají stejnou pravděpodobnost hodnoty A var, W var, I var určené s touto relativní chybou. Vstupují-li do pravděpodobnostního výpočtu všechny tyto hodnoty, pak se (odpovídající vzájemně funkčně závislé hodnoty) volí se stejnou pravděpodobností. Tento postup je správný a přitom snižuje počet operací P, neboť funkčně závislé hodnoty se volí vždy současně. 4. POSUDEK SPOLEHLIVOSTI PRŮŘEZU Výše uvedené postupy pro matematické operace s histogramy byly rovněž aikovány při posudku spolehlivosti průřezu ve vrcholu oboustranně vetknutého parabolického oblouku, zatíženého ve vrcholu soustavou tří svislých osamělých břemen. Střednice oblouku je definována křivkou s rovnicí: 4. f. x y =.( l x), (25) 2 l kde f je vzepětí oblouku a l rozpětí oblouku (v daném případě je f = 4 m a l = 2 m). Vlastní posudek je proveden s použitím interakčního vzorce: N N Sd 2 + M M Sd, (26)

8 ve kterém figurují následující proměnné: 5. l. F N Sd = (normálová síla v posuzovaném průřezu) (27) 64. f 3 M Sd =. F. l (ohybový moment v posuzovaném průřezu) (28) 64 N M ( A. ) = f y. Avar (astická únosnost průřezu v prostém tlaku) (29) ( W. ) = f y. Wvar (astická únosnost průřezu v ohybu) (30) Proměnná F představuje kombinaci zatížení zmíněných tří osamělých břemen (DL stálé zatížení, SL krátkodobé nahodilé zatížení a LL dlouhodobé nahodilé zatížení), každé z nich je vyjádřeno extrémní hodnotou zatížení a histogramem (DL var, SL var a LL var ), vyjadřujícím jeho variabilitu: F = 50. DL + LL (3) var SLvar 35. var Průřezové charakteristiky A (průřezová ocha) a W (astický průřezový modul) a napětí na mezi kluzu f y jsou rovněž proměnlivé veličiny. V uvedeném demonstračním příkladě byl použit ocelový profil TH 36 s napětím na mezi kluzu f y = 295 MPa. Histogramy této náhodné veličiny byly vytvořeny na základě měření, zbývající byly použity z [3]. Posudek spolehlivosti průřezu byl proveden výpočtem pravděpodobnosti poruchy P f a jejím porovnáním s návrhovou pravděpodobností P d, danou normou ČSN Navrhování ocelových konstrukcí. Pravděpodobnost poruchy byla určena s pomocí funkce spolehlivosti SF, uvedeného tvaru: 2 N Sd M Sd SF = + (32) N M Vlastní výpočet pravděpodobnosti P f byl proveden numerickým výpočtem programem, vytvořeným v programovacím jazyce Borland Delphi 6.0. Výsledný graf funkce spolehlivosti a vypočtená pravděpodobnost poruchy je uvedena na obrázku 9. Výstup z programu AntHill, pracující metodou SBRA s použitím simulační techniky Monte Carlo, je uveden na obrázku 8. Obr.8: Posudek spolehlivosti průřezu (program AntHill)

9 Vypočtená pravděpodobnost poruchy v průřezu je při numerickém řešení a zvoleném počtu intervalů 28 Pf = 0,000002, což odpovídá obvyklé úrovni spolehlivosti. Při stejném počtu intervalů lze při opakovaném výpočtu získat naprosto stejný výsledek, který na počítači ipentium IV.4 MHz trvá 4 sekundy. Při výpočtu simulační technikou SBRA s použitím simulačních kroků trvá výpočet přibližně 5 minut. Vypočtená porucha pravděpodobnosti Pf se přitom rovná 0, a odpovídá zvýšené úrovni spolehlivosti. Při každém výpočtu se výsledná hodnota této pravděpodobnosti liší. Obr.9: Posudek spolehlivosti průřezu (numerický výpočet) 5. POSUDEK SPOLEHLIVOSTI STATICKY NEURČITÉHO OBLOUKU Jestliže u výše uvedeného příkladu byl při daném zatížení kritický průřez vždy ve stejném místě parabolického oblouku a to v jeho vrcholu, což posudek spolehlivosti značně zjednodušuje, pak v následujícím příkladě se kritický průřez musí vždy nalézt, neboť jeho pozice se mění dle zatížení. Kruhový dvoukloubový oblouk je zatížený dle schématu na obr.0 soustavou tří rovnoměrně spojitých zatížení. Součinitel ε 0. Maximální počet intervalů n <4;024> u použitých histogramů představuje další vstupní veličinu, která má významný vliv na rychlost a přesnost výpočtu. Obr.0: Schéma posuzovaného kruhového oblouku

10 Vlastní posudek je proveden v místě kritického průřezu opět s využitím funkce spolehlivosti (3). 2 N Sd M Sd SF = +, (33) N M kde N f.( A. A ) = y var je astická únosnost průřezu v prostém tlaku, M = f y.( W. Wvar ) astická únosnost průřezu v ohybu a N Sd, M Sd je účinek zatížení, vyjádřený vnitřními silami v posuzovaném průřezu a vypočtený silovou metodou s použitím numerické integrace (na polovině rozpětí oblouku byl počet diferencí 000) bez uvažování vlivu normálových sil. Obr.: Posudek spolehlivosti kruhového oblouku numerický výpočet Posudek spolehlivosti konstrukce byl proveden určením pravděpodobnosti poruchy P f a jejím porovnáním s návrhovou pravděpodobností P d, danou normou ČSN Vlastní výpočet pravděpodobnosti P f byl proveden aikačním programem, jehož výstup se vstupními údaji, výsledným grafem funkce spolehlivosti a vypočtenou pravděpodobností poruchy je uveden na obrázku. Ve výpočtu se nachází 5 proměnných veličin. Proměnná q představuje kombinaci zatížení tří rovnoměrných zatížení (DL stálé zatížení, LL dlouhodobé nahodilé zatížení a SL krátkodobé nahodilé zatížení), každé z nich je vyjádřeno extrémní hodnotou zatížení a histogramem (DL var, SL var a LL var ), vyjadřujícím jeho variabilitu: q = 30. DL + SL (34) var LLvar 48. var Variabilita možného pod a převálcování zvoleného průřezu IPE360 je vyjádřena histogramem dle vztahů (22) až (24) a proměnlivost napětí na mezi kluzu histogramem získaným na základě měření. Zbývající proměnné, vstupující do výpočtu, jsou již deterministické. Jedná se o rozpětí kruhového oblouku l = 2 m, jeho vzepětí f = 5 m a poměr zatížení ε = (stejná velikost vodorovného i svislého spojitého zatížení).

11 Srovnání strojových časů výpočtů (ipentium IV,.4 GHz) a dosažená přesnost vypočtené pravděpodobnosti poruchy P f je uvedena v tabulce. Tab.: Srovnání strojového času výpočtu a vypočtené pravděpodobnosti poruchy Pf v závislosti na maximálním počtu intervalů n n Strojový čas [s] Pravděpodobnost Pravděpodobnost n Strojový čas [s] poruchy P f poruchy P f 6 < 0, , < 0, , , , ZÁVĚRY Počet operací P je u přímého výpočtu pravděpodobnosti obdobou počtu simulací aikovaných v metodě Monte Carlo. Postup výpočtu vycházející ze stejných vstupů je však u předložené metody poněkud jiný. V metodě Monte Carlo náhodně vybíráme (generujeme) vždy jednu vstupní veličinu z každého souboru vstupních náhodných veličin dané funkce (z každého histogramu) a pro ně hledáme hodnotu dané funkce. Počet výběrů vždy jediné z každé vstupní veličiny funkce, přičemž vstupní veličiny musí být vybrány vždy z každého vstupního souboru (histogramu), je roven počtu numerických simulací. Je-li počet vstupních veličin n, pak tedy výběr jediné hodnoty a j (ij) z každého vstupního histogramu A j pro j = až n představují vstupy pro jednu simulaci. Při dostatečném počtu simulací je výsledkem např. histogram hledané funkce. Při přímém pravděpodobnostním výpočtu náhodné veličiny nevybíráme náhodně a negenerujeme je. Do výpočtu vstupují deterministicky, přímo dle námi zadaného algoritmu. Výsledek přitom může být kvalitativně stejný jako u metody Monte Carlo, např. histogram hledané funkce. Při stejných vstupních histogramech, při stejné funkci a při stejné volbě intervalů vstupních veličin, tj. při stejném počtu operací P je u přímého výpočtu pravděpodobnosti výsledek vždy stejný. U metody Monte Carlo se bude výsledek při stejných vstupech, stejné funkci i při stejném počtu simulací zpravidla poněkud lišit, neboť generované vstupní veličiny nebudou stejné, jsou vybrány náhodně a počet simulací je prakticky vždy konečný. Výpočetní postup pro numerické řešení pravděpodobnosti aikující matematické operace s histogramy je dle prvních zkušeností velice efektivní. Strojový čas výpočtu dosahuje minimálních hodnot (na počítači ipentium IV.4MHz se jednalo o několik sekund. Operace s histogramy umožňující přímý numerický výpočet pravděpodobnosti může být po dalším rozpracování významným kvalitativním krokem při určování spolehlivosti systémů. OZNÁMENÍ Příspěvek byl vypracován v rámci řešení projektů GA ČR 03/0/40 a 05/0/0783. LITERATURA [] Bronštejn, I.N., Semenďajev, K.A.: Příručka matematiky pre inžinierov a pre študujúcich na vysokých školách technických. Slovenské vydavateľstvo technickej literatúry, Bratislava 963. [2] Janas, P., Krejsa, M.: Numerický výpočet pravděpodobnosti užitím useknutých histogramů, Sborník konference Spolehlivost konstrukcí, str , Ostrava 2002, ISBN

12 [3] Marek, P., Guštar, M., Anagnos, T.: Simulation-Based Reliability Assessment for Structural Engineers. CRC Press Inc., Boca Raton, 995, ISBN [4] Marek, P., Haldar, A., Guštar, M. Tikalský, P. (editors): Euro-SiBRAM 2002, Mezinárodní kolokvium, Praha, červen 2002, ISBN [5] Teý, B., Novák, D.: Spolehlivost stavebních konstrukcí. CERM Brno, ISBN X. [6] Vokoun, S.: Rozptyl geometrických parametrů otevřených válcovaných profilů. VŠB-TUO, sborník studentských prací 2002, SEKCE IV.- Stavební mechanika, str.27-42, ISBN Oponentní posudek práce vypracoval Prof. RNDr. Zdeněk Dostál, CSc.