Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

Transkript

1 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R ; < x <, < y, y < x, y < x}. Příklad (5 bodů) Funkce f je dána předpisem (i) Určete definiční obor funkce f. (ii) Zkoumejte spojitost funkce f. f(x) = ln x x. (iii) Vypočtěte limity funkce v krajních a nevlastních bodech definičního oboru funkce f. (iv) Zkoumejte monotonii této funkce. Zjistěte, zda má funkce f lokální extrémy - pokud ano, určete je. Nabývá funkce na svém definičním oboru největší a nejmenší hodnoty? (v) Zkoumejte konvexitu (konkávnost) funkce f. (vi) Určete asymptoty funkce f. (vii) Na základě provedených výpočtů načrtněte graf funkce f. Příklad 3 (5 bodů) Zjistěte, zda funkce nabývá na množině f(x, y, z) = e xyz M = {(x, y, z) R 3 ; x + y + 3z = 3} maxima a minima. Pokud některé z těchto hodnot nabývá, tak ji vypočtěte. Příklad 4 (5 bodů) Spočítejte determinant reálné matice A = a + 5 a + 3 b 3 4 v závislosti na parametrech a, b. Rozhodněte, pro která a, b je matice A regulární.

2 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Matematika Studijní obory: MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A řešení Příklad (5 bodů) Použijeme Fubiniho větu. Proto je pro nás výhodné psát M = M M = { < x, < y < x} { < x <, < y < x}. Nyní a Tedy M xy dxdy = M = M xy dxdy = ( x = ( x ) xy dy dx = x( x) dx = ) xy dy dx = x 3 [ x 4 dx = 8 ] [ y x = = 5 4. = 8 ] x [ y x dx x 3 x + x dx = ] x dx [ x 4 xy dxdy = xy dxdy + xy dxdy = M M = 3. 8 x3 3 + x]

3 Příklad (5 bodů) (i) Definiční obor funkce je D(f) = (, ) (, ) (, ). (ii) Z věty o spojitosti podílu dvou spojitých funkcí a ze spojitosti funkce ln(x) plyne spojitost funkce f v každém bodě definičního oboru D(f). (iii) lim x f(x) = lim x =, lim x = a lim x =. (iv) Snadno vypočteme pro x D(f) Ze znaménka derivace dostaneme f (x) = (x )(x ). f (x) <, a tedy f je klesající, na intervalu (, ). f (x) >, a tedy f je rostoucí, na intervalu (, ). f (x) <, a tedy f je klesající, na intervalu (, ). Jelikož f existuje a f na D(f), tak funkce f nemá na svém definičním oboru žádný lokální extrém. Jelikož není funkce f na D(f) omezená shora ani zdola, tak nenabývá na D(f) maxima ani minima. (v) Vypočteme druhou derivaci pro x D(f) f (x) = Za znaménka druhé derivace dostaneme x 3 (x 3x + ). f (x) <, a tedy f je konkávní, na intervalu (, ). f (x) <, a tedy f je konkávní, na intervalu (, 3 ). f (x) >, a tedy f je konvexní, na intervalu ( 3, ). f (x) >, a tedy f je konvexní, na intervalu (, ). (vi) Funkce f má v bodech a asymptotu v(x) =. (vii) Náčrt grafu funkce f na základě uvedených výpočtů:

4 %!#!! "! # )*+&(!, & '(!!!! "! # $

5 Příklad 3 (5 bodů) Označme g(x, y, z) = xyz. Exponenciála je rostoucí funkce. Stačí tedy řešit pouze maximum a minimum funkce g na M. Označme Φ(x, y, z) = x + y + 3z 3. Množina M je uzavřená, neboť Φ je spojitá funkce a M = Φ ({}). Množina M je omezená, neboť z rovnice x + y + 3z = 3 snadno plyne, že x 3, y 3, z 3. Tedy M je kompaktní. Z tohoto a ze spojitosti funkce g plyne, že g nabývá na M maxima a minima. Nyní ověříme předpoklady věty o Lagrangeových multiplikátorech. Funkce g a Φ jsou C na R 3 a Φ(x, y, z) = (x, 4y, 6z) je nulový pouze v bodě (,, ), jenž není v množině M. Dále hledáme x, y, z R, pro které existuje λ R, jež řeší soustavu rovnic (g λφ)(x, y, z) = (,, ), Φ(x, y, z) =. Řešeními soustavy jsou tyto body: (,, ± ), (, ± 5, ), (± 3,, ), (±, ± 5, ± 3 ). Nyní dosadíme do funkce f tyto body a zjistíme, 5 že maximem funkce f na množině M je exp( 3 ) a minimem je exp( 5 3 ).

6 Příklad 4 (5 bodů) Užitím pravidel o změně determinantu při elementárních úpravách a rozvoje podle sloupce nebo řádku dostáváme a + a + 5 a + 3 b 3 = a + a + 3 b 3 = 4 4 a + 3 b 3 = a a b 3 = a a b = (ab a) = a(b ). Determinant matice A je roven a(b ). Matice je regulární právě tehdy, když má nenulový determinant, tedy právě tehdy, když a a b.