Exponenciální funkce. Exponenciální funkcí o základu a se nazývá funkce, která je daná rovnicí. Číslo a je kladné číslo, různé od jedničky a xεr.

Transkript

1 Exponenciální funkce Exponenciální funkcí o základu a se nazývá funkce, která je daná rovnicí y = a x Číslo a je kladné číslo, různé od jedničky a xεr. Definičním oborem exponenciální funkce je tedy množina reálných čísel. Vlastnosti exponenciální funkce y = a x a > 1 a < 1 y y x x D = R H = (0 ; ) Je rostoucí a prostá Je klesající a prostá Osa x je asymptotou grafu Je zdola omezená, není omezená shora Nemá maximum ani minimum ( v matematice je důležitou funkce y = e x, kde základem je Eulerovo číslo e, které patří mezi iracionální čísla. Jeho hodnota je e = 2, )

2 Příklady PS Rozhodněte, zda se jedná o zápisy exponenciální funkce. a) f: y = 34 x b) f: y = 0,1x c) f: y = x 4 d) f: y = 0,3 x e) f: y = 0 x f) f: y = x 0,1 g) f: y = 2 x h) f: y = ( 2) x 2. U následujících exponenciálních funkcí určete jejich základ. a) f 1 : y = 4,5 x základ funkce: b) f 2 : y = 0,1 x základ funkce: c) f 3 : y = 2 x základ funkce: d) f 4 : y = 2 x základ funkce: e) f 5 : y = ( 4 3 ) x základ funkce: d) f 6 : y = (e + 1) x+1 základ: 3. Zakroužkujte pravdivá tvrzení. a) Základem exponenciální funkce může být libovolné číslo různé od jedné. b) Základem exp. funkce může být libovolné kladné číslo různé od jedné. c) Neexistuje exponenciální funkce se základem menším než jedna.

3 d) Základem exponenciální funkce může být libovolné přirozené číslo. 4. Je dána funkce f: y = 3 x. Doplňte tabulku, načrtněte graf a určete vlastnosti. x y D(f) = H(f) = průsečík s x: průsečík s y: rostoucí klesající konstantní sudá lichá omezená shora omezená zdola omezená má maximum má minimum

4 5. Je dána funkce f: y = ( 1 4 )x Doplňte tabulku, načrtněte graf, určete vlastnosti. o x y D(f) = H(f) = průsečík s x: průsečík s y: rostoucí klesající konstantní sudá lichá 1 64 omezená shora omezená zdola omezená má maximum má minimum 6. Vyberte body, které náleží grafu funkce dané předpisem y = 0, 25 x 1 [0; 1] [1; 3 ] [0; 0] [0; 1] 4 [ 1; 0] [ 2; 16] [ 1; 5] [ 2; 15]

5 7. Načrtněte graf funkce f: y = 0,5 x a vyznačte hodnoty f(0), f(1), f( 1), f(2), f( 2). Hodnoty porovnejte a seřaďte vzestupně. 8. Podle grafů na obrázku zapište jednotlivým předpisům funkcí správné označení. y = e x y = e 2x y = e x y = e x

6 9. Rozhodněte, které z následujících funkcí jsou rostoucí a klesající. f 1 : y = 5 x R K f 2 : y = ( 4 3 )x R K f 3 : y = 0,3 x R K f 4 : y = ( 3 4 )x R K f 5 : y = e x R K f 6 : y = 3 2x R K f 7 : y = 3 x R K f 8 : y = ( 1 3 ) x R K 10. Seřaďte podle velikosti vzestupně číselné výrazy bez výpočtu hodnot: ( 1 3 )4, ( 1 3 ) 1, ( 1 3 )0, ( 1 3 ) 4, ( 1 3 ) 87, ( 1 ) 4 5, ( 1 1 ) 2, ( 1 1 ) Seřaďte podle velikosti vzestupně číselné výrazy bez výpočtu hodnot: 24 12, 24 10,8, 24 0, 24 10, , , Je dána funkce f: y = 3 x 3. Rozhodněte, zda jsou následující tvrzení pravdivá: a) je rostoucí b) je omezená c) je prostá d) je sudá e) je lichá

7 13. Do téže soustavy souřadnic načrtněte grafy funkcí f 1 : y = ( 2 5 )x ; f 2 : y = 0,4 x 2 ; f 3 : y = 0,4 x+2. Porovnejte jejich vlastnosti.

8 14. Do téže soustavy souřadnic načrtněte grafy funkcí f 1 : y = ( 2 5 )x ; f 2 : y = 0,4 x + 2; f 3 : y = 0,4 x 2 ; f 4 : y = 0,4 x. Porovnejte jejich vlastnosti.

9 15. Přiřaďte k zadanému grafu správný předpis funkce. a) y = ( 1 2 )x +2 b) y = 2 x 4 c) y = 2 x 3 d) y = ( 1 2 )x +3 e) Žádná z uvedených možností 16. Na obrázku je graf exponenciální funkce f. a) Určete definiční obor funkce f: D(f) = b) Určete obor hodnot funkce f: H(f) = c) Vyberte správný předpis funkce: y 1 = ( 2) x + 4 y 2 = 2 x + 4 y 3 = 2 x + 4 D) y 4 = ( 1 2 )x + 3 d) Zapište chybějící souřadnici bodu B: B = [1; ]

10 17. Určete všechna x R, pro která platí následující nerovnosti. a) 0,35 x > 1 b) 0,35 x 1 c) ( 8 7 )x < 1 d) ( 8 7 )x Porovnejte daná čísla. a) ( 1 5 ) 5 ( 1 5 ) 2 b) 0, c) π 3 1 d) ( 4 5 ) 5 4 ( 4 5 ) 4 5 e) ( 3 8 ) 7 4 ( 3 8 ) 4 7 f) 5 x ( 1 5 ) x g) ( 9 5 ) h) ( 9 5 ) i) ( 5 3 )0 1 j) ( 30 5 ) 0,9 1 6 k) 0, l) ( 5) 1 m) e π 1 n) 0,2 x 1x 5 o) e 3 e 4 p) ( 1 e ) 1 2 e 2

11 Exponenciální rovnice a nerovnice Při řešení exponenciálních rovnic vycházíme z následující vlastnosti: a x = a y x = y Úpravy rovnic využívají pravidel pro počítání s mocninami a snahou je vyjádření pomocí mocnin o stejném základu na obou stranách rovnice. Některá pravidla pro počítání s mocninami a odmocninami: a n = 1 a n n a = a 1 n a 0 = 1 (a b) n = a n b n a r a s = a r+s a r : a s = a r s (a r ) s = a r s PS Rozhodněte, zda platí následující rovnosti. a) 2 2x = 4 x b) (2 x ) 2 = 2 x2 c) 2 x = ( 1 2 )x d) 2 x 1 = 2x 2 2. Zapište dané číslo jako mocninu s uvedeným základem a) 32 jako mocninu se základem 2 : b) 1 jako mocninu se základem 5 : c) 1 9 jako mocninu se základem 3 : d) 3 jako mocninu se základem 1 9 :

12 3. Doplňte chybějící hodnoty tak, aby platila rovnost a) 1 81 = (1 9 ) = 1 9 = 81 = 9 = 3 = 1 3 b) = 2 = 1 2 c) 25 4 = 5 2 = (5 2 ) = (2 5 ) = 2 5 = d) 25 9 = (25 9 ) = (5 3 ) = (3 5 ) = Rozhodněte, zda se jedná o zápisy exponenciálních rovnic. a) 2 x = 2 b) 3 5 = 3 x c) 2x = 2 d) 2 = x 4 e) 6 2 = x2 f) 4 x2 = 2 0,1 5. Rozhodněte, zda se jedná o zápisy exponenciálních nerovnic. b) 2 x 4 b) 2x < 4 d) x d) 2 > x 4 f) ( 2 3 )2 > x 2 f) ( 2 3 )x ( 2 3 )x2

13 6. Vypočítejte a výsledek zapište ve tvaru mocnin s racionálním exponentem. a) 3 2x 3 = b) 9 x+1 3 3x 2 = c) 2 x 4 x+3 = d) 2 x2 4 x+2 16 x 2 = e) 14 x 2 x 1 7 x 1 = f) ( 4 3 )2x ( 3 4 )x = g) ( 4 3 )2x 3x 4 = h) (5 3) x+1 ( 3 5 )x = 7. Řešte v R rovnice. a) 3 x = 9 b) 3 3x = 1 c) 3 2x = 3 d) 3 x = 1 9

14 e) 3 5x = 1 27 f) ( 3 5 )x = g) ( 3 5 )2x = h) 7 2x 3 = 49 i) 100 2x = 0,001 2

15 8. Řešte v R rovnice a výsledky ověřte zkouškou. a) 11 3x = (121) x 3 b) 9 3x 2 = ( 1 81 )2 x c) 6 1+x = 2 2 3x 3 2 3x

16 d) 12 5 x 12 = 3 9x 4 9x e) 7 x = 7 x2 f) 2 2x2 2 7x+4 = 0

17 g) 3x 9 2x = ( 3 27 ) 1+x h) ( 2 25 )5x = ( )5x Řešte exponenciální rovnice v zadaném číselném oboru. a) 7 3x = (49) x ; xεz b) 5 x2 = 25 ; xεn x 5 c) 2 3y 2 2 2y2 = 1 ; yεz d) 2 y2 = y ; yεz

18 23. Řešte v R následující nerovnice a výsledek zapište pomocí intervalu. a) 5 2x > 5 x+2 b) ( 2 3 )x 1 ( 2 3 )1+5x c) 2,5 3 x 2,5 2 3x 2,5 5x+1 d) ( 1 3 )2x+3 ( 1 9 )3x 2 e) ( 2 3 ) 4 2x+1 < 1 f) 0,7 x+4 > 0,7 g) 1x 7 > 7x2 h) ( 1 7 )x > 7 x2

19 Příklady k domácí přípravě 1. Doplňte tabulku a načrtněte graf funkce y = 3 x x f(x) Zapište souřadnice průsečíků s osami: Označte křížkem vlastnosti funkce: rostoucí klesající zdola omezená shora omezená lichá prostá 2. Doplňte tabulku a načrtněte graf funkce y = ( 1 4 )x x f(x) 3. Zapište definiční obor a obor hodnot DDD(f) = H(f) = D DDz Označte křížkem vlastnosti funkce: rostoucí klesající omezená sudá lichá prostá

20 3. Řešte v R exponenciální rovnice: 2 x = x = 0,001 5 x = 1 9 x = 3 2 2x = x = Řešte v R rovnici a proveďte zkoušku: a) 2 x 5 x = 100 b) 3 2x 3 x 1 = 9 c) 2 3x 4 3x 3 = 8 2x+1