Lineární programování II. Ivan Nagy, Pavla Pecherková

Transkript

1 Lineární programování II Ivan Nagy, Pavla Pecherková

2 Obsah 1 Lineární programování Formulace úlohy Algebraický model Pojmy Duální úloha Duální cena (dual price) Redukované náklady (reduced cost) Simplexová metoda P íklad - e²ení standardní simplexové úlohy P íklad - e²ení nestandardní simplexové úlohy Modely lineárního programování Obecný p íklad lineárního programování Optimální produkce - 2 výrobky Optimální produkce s omezenými zdroji Optimální produkce s výb rem surovin Optimální míchání Úloha. 1 (krmná sm s) Úloha. 2 (optimální strava v z ) Minimální tok náklad v síti Úloha Úloha P i azovací dopravní problém PDP e²ený pomocí lineárního programování PDP e²ený pomocí MCNF (min. cost network ow) Nejkrat²í cesta grafem (pomocí MCNF)

3 OBSAH 2 3 Celo íselné programování Formulace úlohy Formulace celo íselných program Binární veli iny Aktivace omezení Výb r z mnoºiny omezení Implikované omezení Alespo k omezení Omezení na oblasti Modelování nelineárních funkci Fixní náklady Po ástech lineární reprezentace Aproximace nelineárních funkcí Sou in v kritériu Metody e²ení Metoda v tví a mezí (branch and bound) Metoda ez (cutting planes) Modely celo íselného programování Výb r projektu Rozpo et kapitálu (Capital budgeting)[hlavni text] Problém batohu [Nas text, Knapsack] Plánování produkce Velikost dávky - bez kapacity[kniha] Velikost dávky - s kapacitou [Kniha] Produkce na odbyt [Kniha] Objednávka léku [3 p íklady] P eprava s pevnou cenou [Kniha] Problém investi ního rozhodování [Nas text] Problém po²tovních box [Nas text] Propuknutí infek ního onemocn ní [Nas text, 3 p íklady] P íklad Pokrytí mnoºin Pokrytí mnoºin - set covering [Kniha]

4 OBSAH Rozd lení a zabalení mnoºin (partitioning, packing) [Kniha] Rozmíst ní sklad (Warehouse location) [Nas text, Hlavni text] Problém p i azení [Kniha] Problém ezání [Kniha] ezání ty í ezání papíru TSP - Problém obchodního cestujícího [Nas text, Kniha] Asymetrický TSP Symetrický TSP TSP jako nelineární problém Zobecn ní TSP Nejkrat²í cesta grafem [Kniha] Nejkrat²í cesta grafem z daného uzlu TSP s opakovanými náv²t vami m st [Kniha] TSP s klastry [Kniha] Optimální po adí úloh (machine sequencing) [Sheduling] Plánování sm n pro obsluhu (Scheduling) Obsazování let posádkami [Nas text] Programové vybavení Excel e²itel Model v se²it Excel Triky p i práci v Excelu P íklad v excelu LIPS????

5 Kapitola 1 Lineární programování 1.1 Formulace úlohy Nalezn te hodnoty vektoru x, které (i) maximalizují lineární kriterium c x = c 1 x 1 + c 2 x c n x n, (ii) spl ují vedlej²í podmínky Ax b, tedy a i,1 x 1 + a i,2 x a i,n x n b i, pro i = 1, 2,, m (m podmínek pro n prom nných) a (iii) jsou nezáporné. Zápis standardní úlohy je následující: c x max 1 Ax b 2 x 0 3 Poznámka Omezení vytvá í simplex, na kterém se hledá optimum. Lineární kriterium tvo í nadrovinu v prostorux, J, kde J je kritérium.. Extrém je ve vrcholu nebo na hranici nebo ute e do nekone na. 1.2 Algebraický model 1. Denice neznámých (rozhodovacích) veli in x V prvé ad musíme denovat veli iny x, které budeme optimalizovat. Ty mohou být: (a) spojité x 0 - nap. po et ks vyráb ného produktu (lze vyrobit i ást produktu), (b) diskrétní x 0, x N - nap. po et za ízení s rychlým ob erstvením, 1 hledáme maximum 2 nep ekro íme limitující omezení (nap íklad nem ºeme vyrobit víc výrobk neº na které máme materiál) 3 hodnota je nezáporná 4

6 KAPITOLA 1. LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ 5 (c) binární x {0, 1}, které nazýváme rozhodovací (0 ne, 1 ano) - nap. ozna ení investic z ur ité mnoºiny, které budou realizovány. 2. Denice kritéria Kritérium v t²inou vyjad uje n co, co chceme maximalizovat (zisk) nebo minimalizovat (náklady, ztráty atd.). Je vyjád eno jako funkce optimalizovaných veli in x, v t²inou ve form c x, tedy jako sou in vektor nebo matic ( j,j c ijx ij ). Prom nné c se asto nazývají ceny. 3. Denice omezujících podmínek Vyjad ují podmínky, za kterých má optimalizace probíhat. Nejb ºn j²í jsou (a) nezápornost x 0 nebo nezápornost celo íselných neznámých x N, (b) omezení ve tvaru nerovností Ax b, kde matice A má rozm ry po et omezení po et neznámých (c) a p ípadn dal²í, se kterými se postupn setkáme v textu. 1.3 Pojmy Duální úloha Ke kaºdé primární úloze c'x max s omezením Ax b, x 0 resp. c'x min s omezením Ax b, x 0 existuje tzv. duální úloha b y min s omezením A y c, y 0 resp. b y min s omezením A y c, y 0 která má dále r zné vyuºití Duální cena (dual price) Kaºdé omezení má svou duální cenu. Je to p ír stek v hodnot kriteria, který dostaneme, kdyº k pravé stran omezení typu p i teme jedni ku - omezení uvolníme o jedna. Jsou nenulové, jen kdyº je omezení aktivní Redukované náklady (reduced cost) Je to informace o tom, o kolik by se musel zm nit koecient c j, aby se veli ina x j stala efektivní, tj. aby se tato prom nná se stala sou ástí optimálního e²ení.

7 KAPITOLA 1. LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ Simplexová metoda Pro e²ení základní úlohy lze vyuºít simplexovou metodu, která prochází vrcholy simplexu omezení (v kaºdém kroku pozm ní e²ení) tak, aby stále nar stala hodnota kritéria. To znamená, ºe v kaºdém kroku se pozm ní e²ní tak, aby hodnota funkce byla v t²í. V p ípad, ºe ani po zm n v dal²ím kroku nedojde k zvý²ení hodnoty kritéria, nalezené e²ení uvaºujeme jako optimální. Simplexová metoda m ºe být pouºita za p edpokladu, ºe jsou spln ny základní podmínky: 1. maximalizujeme kritérium (minimaliza ní úloha lze p evést na maximaliza ní pomocí vzorce min f (x) = max ( f (x))), 2. pravé strany musí být nezáporné, 3. omezující podmínky jsou vymezeny nerovnostmi typu, 4. prom nné x jsou nezáporné. P i e²ení simplexové úlohy se postupuje v n kolika krocích. Nejd íve si ov íme, zda platí základní podmínky (viz vý²e). Poté sestavíme simplexovou tabulku a následuje vlastní e²ení úlohy, p i emº úloha se e²í r zn podle toho, zda se jedná o standardní nebo nestandardní úlohu, tedy úlohu, kde není spln na podmínka o nezápornosti pravé strany nebo typu nerovnosti. Postup je ukázán samostatn pro standardní a nestandardní úlohu P íklad - e²ení standardní simplexové úlohy Zadání úlohy: Ur ete hodnoty prom nné x = [x 1, x 2 ], kde x 1 0, x 2 0, která maximalizuje kritérium J a vyhovuje podmínkám J = c 1 x 1 + c 2 x 2 = 2x 1 + 3x 2 x 1 + x 2 5 x 1 + 2x 2 8 Ov ení platnosti základních podmínek: 1. maximalizujeme kritérium - (ano, 2x 1 + 3x 2 max), 2. pravé strany musí být nezáporné - (ano, íslo 5 i 8 jsou kladná ísla), 3. omezující podmínky jsou vymezeny nerovnostmi typu - (ano, v obou rovnicích podmínky jsou uvedeny znaménka ), 4. prom nné x jsou nezáporné - (v zadání je denováno, ºe x 1 0, x 2 0).

8 KAPITOLA 1. LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ 7 Zbavíme se nerovnosti a maxima: 1. Nerovnosti se zbavíme tak, ºe p idáme dal²í len, který bude vºdy kladný, v na²em p ípad bude rovnice vypadat takto: x 1 + x 2 + s 1 = 5 x 1 + 2x 2 + s 2 = 8 2. Do simplexové tabulky pot ebujeme také pouºít kritérium. Pokus bychom pouºili základní tvar, tedy v tomto p ípad 2x 1 +3x 2 max bylo by nutné do simplexové tabulky na pravou stranu dát. Z tohoto d vodu se upraví tento ádek rovnice do tvaru 2x 1 3x 2 = 0 Sestavení simplexové tabulky: x 1 x 2 s 1 s 2 RHS ádek kritéria omezení omezení Úprava simplexové tabulky: 1. Najdeme nejmen²í záporný koecient v ádku kritéria klí ový sloupec. Nejmen²í záporný koecient je koecient na kterém hodnota závisí nejvíce. V tomto p ípad je to tedy hodnota 3 a tedy prom nná x Pro kladné prvky v klí ovém sloupci najdeme nejmen²í podíl pravé strany a prvku v klí ovém sloupci klí ový ádek. V p ípad, ºe je více klí ových ádk, lze vybrat libovolný z nich. Pro první omezení je to podíl 5 1 = 5, pro druhé omezení je to podíl 8 2 = 4. Men²í podíl je v ádku s druhým omezením, a to bude tedy klí ový ádek. 3. Na pr se íku klí ového sloupce a klí ového ádku leºí klí ový prvek. V na²em p ípad je tedy klí ový prvek íslo Klí ový ádek celý vyd líme klí ovým prvkem a ur íme hodnotu klí ového prvku. V na²em p ípad bude nový klí ový ádek a klí ový prvek bude x 1 x 2 s 1 s 2 RHS 0, ,5 4 x 2 = x s 2

9 KAPITOLA 1. LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ 8 5. Do v²ech prvk klí ového sloupce (mimo klí ového prvku) dosadíme hodnotu klí ového prvku, tzn. vynulujeme ostatní prvky v klí ovém sloupci) a upravíme simplexovou tabulku. x 1 x 2 s 1 s 2 RHS -0, ,5 12 ádek kritéria -0, , omezení 0, , omezení V nové simplexové tabulce se hodnota kritéria J zvý²ila na hodnotu 12. P esto není e²ení je²t ideální, protoºe v ádku kritéria se dále objevuje záporný koecient. Z tohoto d vodu budeme znovu upravovat simplexovou tabulku. 6. V p ípad, ºe se v ádku kritérií objevuje záporný koecient, opakuje se postup od bodu 1 a to do doby, neº jsou v²echny prvky v ádku kritéria nezáporné. V na²em p ípad, se simplexová tabulka upraví do následujícího tvaru x 1 x 2 s 1 s 2 RHS ádek kritéria omezení omezení Výsledek: Optimálním e²ení nalezené simplexovou metodou v tomto p ípad je pro x 1 = 2 a x 2 = 3. Hodnota kritéria J = P íklad - e²ení nestandardní simplexové úlohy V n kterých zadáních dojde k tomu, ºe nejsou spln né v²echny základní podmínky, viz 1.4. Obvykle se jedná o omezení vyºadující nezáporné íslo na pravé stran nebo o obrácenou nerovnost. V takovém p ípad se postupuje podle následujícího postupu (hlavní princip je stejný jako u standardní simplexové úlohy). Zadání úlohy: Ur ete hodnoty prom nné x = [x 1, x 2 ], kde x 1 0, x 2 0, která maximalizuje kritérium J a vyhovuje podmínkám J = c 1 x 1 + c 2 x 2 = 2x 1 + 3x 2 x 1 + x 2 5 x 1 + 2x 2 8 2x 1 + x 2 4

10 KAPITOLA 1. LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ 9 Ov ení platnosti základních podmínek: 1. maximalizujeme kritérium - (ano, 2x 1 + 3x 2 max), 2. pravé strany musí být nezáporné - (NE, íslo 4 je záporné), 3. omezující podmínky jsou vymezeny nerovnostmi typu - (ano, v obou rovnicích podmínky jsou uvedeny znaménka ), 4. prom nné x jsou nezáporné - (v zadání je denováno, ºe x 1 0, x 2 0). Úprava nespln né podmínky: 1. ádek, kde je záporná hodnota vynásobíme íslem 1. 2x 1 + x 2 4 / ( 1) 2x 1 x V tuto chvíli jsme splnili ze základních podmínek (1.4) druhou podmínku, ale zase není spln na podmínka t etí, tedy levá strana je neº strana pravá. Nerovnici vyrovnáme p idáním dal²ích pomocných prom nných. 3. Nerovnosti se zbavíme tak, ºe p idáme dal²í len, který bude vºdy kladný, v na²em p ípad bude rovnice vypadat takto: x 1 + x 2 + s 1 + x A = 5 x 1 + 2x 2 + s 2 = 8 2x 1 x 2 + s 3 x A = 4 kde x A je pomocná prom nná, která zajistí, ºe se vliv na e²ení vynuluje. Prom nné s i i x A jsou nezáporné. 4. Do simplexové tabulky pot ebujeme také pouºít kritérium. Pokus bychom pouºili základní tvar, tedy v tomto p ípad 2x 1 +3x 2 max bylo by nutné do simplexové tabulky na pravou stranu dát. Z tohoto d vodu se upraví tento ádek rovnice do tvaru 2x 1 3x 2 = 0 Sestavení simplexové tabulky: x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 x A RHS ádek kritéria omezení omezení omezení

11 KAPITOLA 1. LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ 10 Úprava simplexové tabulky: 1. e²íme celý problém pro kritérium z = x A max (a) vynulujeme ádek kritéria, necháme pouze x A = 1 ( e²íme pro c = 0, tj. min z = x A x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 x A RHS ádek kritéria omezení omezení omezení (b) omezení, kde bylo opa né znaménko (nespl ující základní podmínku) ode teme od ádku kritéria, x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 x A RHS ádek kritéria omezení omezení omezení (c) v míst, kde je v ádku kritéria u prom nných x i záporná hodnota - tento sloupe ek je nutno vynulovat - klí ový sloupec. Postupujeme jako p i standardní úloze a pro omezení v klí ovém sloupci najdeme nejmen²í podíl pravé strany a prvku v klí ovém sloupci klí ový ádek. V na²em p ípad je klí ový sloupec x 1 kde je hodnota 2. Pro první omezení je to podíl 5 1 = 5, pro druhé omezení je to podíl 8 1 = 4 a pro t etí omezení je to podíl 4 2 = 2. Men²í podíl je v ádku s t etím omezením, a to bude tedy klí ový ádek. V na²em p ípad bude nový klí ový ádek a klí ový prvek bude x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 x A RHS Výsledná tabulka pak bude x 1 = x s x A x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 x A RHS ádek kritéria 0 1, ,5-0, omezení 0 2, ,5-0, omezení 1-0, ,5 0, omezení 2. Ve výsledné tabulce nahradíme ádek kritéria p vodním a vynecháme sloupec s x A (arti- cal variable). x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 RHS ádek kritéria 0 1, , omezení 0 2, , omezení 1-0, , omezení

12 KAPITOLA 1. LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ Pokra ujeme jako u standardní úlohy, viz V na²em p ípad bude e²ení následující: (a) klí ový ádek x 2... hledání minimálního podílu: 1. omezení = 2 x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 RHS ádek kritéria omezení omezení omezení (b) klí ový ádek x 1... hledání minimálního podílu: 3. omezení = 3 x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 RHS ádek kritéria omezení omezení omezení Výsledek: Optimálním e²ení nalezené simplexovou metodou v tomto p ípad je pro x 1 = 2, x 2 = 3 a s 2 = 1. Hodnota kritéria J = 12.

13 Kapitola 2 Modely lineárního programování Optimaliza ní úlohy lineárního programování se li²í podle cíle, kterého chceme dosáhnout. Jinak bude vypadat úloha, kde se maximalizuje zisk a jinak úloha, kde se minimalizují náklady. Proto bychom si p ed za átkem práce m li odpov d t na základní otázky: 1. co je cílem optimalizace ( eho chceme dosáhnout)? 2. co jsou ídící veli iny (jak m ºeme ovlivnit cíl)? 3. co nás omezuje (jaké jsou na²e limity)? Odpov dí je n kolik a dají se rozd lit do n kolika model. Práv t mto model m se bude v novat následující kapitola, kdy zde budou uvedeny základní optimaliza ní úlohy. Ke kaºdé úloze bude uvedeno zadání, stru né vysv tlení a p ipojen odkaz na e²ení v jednom z níºe uvedených program. 2.1 Obecný p íklad lineárního programování Zadání úlohy: Ur ete hodnoty prom nné x = [x 1, x 2 ], která maximalizuje kritérium a vyhovuje podmínkám J = c 1 x 1 + c 2 x 2 3x 1 + 5x x 1 + x 2 8 x 2 2 x 1 0, x 2 0 Zvolte váhy podle následujích varianty a vysv tlete výsledky: 12

14 KAPITOLA 2. MODELY LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ c = [5, 1], 2. c = [1, 1], 3. c = [1, 3], 4. c = [ 1, 1]. e²ení gracké: Geometrická interpretace úlohy je na následujícím obrázku x 2 [0, 8] criterion 3 criterion 3 direction of maximization criterion 2 criterion 1 [0, 3] [0, 2] [5/3, 2] [6/7, 25/7] admissible solutions [4, 0] [5, 0] x 1 e²ení varianta 1-3: 1. pro simplexovou tabulku (ru ní výpo et)

15 KAPITOLA 2. MODELY LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ 14 5x 1 + x 2 max x 1 + x 2 max x 1 + 3x 2 max 3x 1 + 5x 2 + s 1 = 15 2x 1 + x 2 + s 2 = 8 x 2 + s 3 = 2 3x 1 + 5x 2 + s 1 = 15 2x 1 + x 2 + s 2 = 8 x 2 + s 3 = 2 3x 1 + 5x 2 + s 1 = 15 2x 1 + x 2 + s 2 = 8 x 2 + s 3 = 2 x 1 0 x 2 0 x 1 0 x 2 0 x 1 0 x 2 0 varianta 1 varianta 2 varianta 3 2. pro Excel (UvodniPriklad.xlsx) varianta 1 varianta 2 varianta 3 V programu Excel se m ní pouze váha ceny (oranºové pozadí) bez zm ny podmínek. Hodnota kritéria (zelené pozadí) a hodnoty parametr x i se vypo tou po pu²t ní e²itele. Výsledek je zobrazen naho e v bu kách s modrým pozadím. 2.2 Optimální produkce - 2 výrobky Zadání úlohy (1): V jednom podniku se vyrábí výrobky A a B. K jejich výrob jsou zapot ebí dva drahé stroje, jejichº vyuºití je omezeno a doba k výrob jednotlivých výrobk se li²í. Jednotlivé asy jsou uvedeny v tabulce Cílem je navrhnout produkci výrobk A a B tak, aby byla maximální.

16 KAPITOLA 2. MODELY LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ 15 e²ení (1): Maximalizujeme kritérium Stroj ƒas stroj pot ebný ƒas stroj na 1000 výrobk [h] k vyuºití [h] Produkt A Produkt B Tabulka 2.1: Optimální produkce - dva výrobky J = c 1 x 1 + c 2 x 2 kde x 1 a x 2 je produkce výrobk A a B v tisících a c 1 = c 2. Formulace úlohy je tedy následující x 1 + x 2 max Dále sestavíme podmínky pro lineární programování 4x 1 + 6x x 1 + 2x 2 12 x 1 0, x 2 0 Excel: Podmínky zadáme do Excelu (produkce2vyrobky.xlsx) Zadání úlohy (2): P edchozí zadání úlohy (1) je roz²í eno o znalost cen. Ceny výrobk jsou nastaveny následovn : c 1 = 10 pro výrobek A a c 2 = 20 pro výrobek B. V tomto p ípad se jiº cena obou výrobk neshoduje a my chceme docílit maximálního zisku. e²ení (2): Nové kritérium bude 10x x 2 max kde x 1 a x 2 je produkce výrobk A a B v tisících a c 1 = 10 resp. c 2 = 20 je cena výrobku. Podmínky jsou stejné jako v p edchozím zadání. Excel: Podmínky zadáme do Excelu (produkce2vyrobky.xlsx)

17 KAPITOLA 2. MODELY LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ 16 Zadání úlohy (3): P edchozí zadání úlohy (1) je roz²í eno o novou informaci. Podnik podepsal dohodu s dodavatelem, ºe minimální produkce výrobk bude 1 tisíc (nezapome te, ºe p vodní produkce byla také v tisících). Náklady na výrobu jednotlivých výrobk jsou n 1 = 5 a n 2 = 10. Cílem je minimalizovat výdaje. e²ení (3): Nové kritérium bude 5x x 2 min kde x 1 a x 2 je produkce výrobk A a B v tisících a n 1 = 5 resp. n 2 = 10 je cena výrobku. x 1 1, x 2 1 Dále sestavíme podmínky pro lineární programování 4x 1 + 6x x 1 + 2x 2 12 x 1 1, x 2 1 Na rozdíl od p vodního zadání (1) je zde zakomponováno, ºe min. produkce je 1 (x 1 1, x 1). Excel: Podmínky zadáme do Excelu (produkce2vyrobky.xlsx) 2.3 Optimální produkce s omezenými zdroji Zadání úlohy: Továrna s dv ma provozy produkuje výrobek A (hliníková trubka), který se prodává samostatn a nebo jako sou ást pro výrobek B (dopravní zna ka). Oba výrobky pot ebují ur itou surovinu S (Al plech), jejíº zdroj je omezen. Kolik suroviny resp. výrobk A je pot eba k výrob výrobk B je specikováno v tabulce: Spot eba K dispozici na jednotku produkce celkem pouºitý materiál výrobek A výrobek B Surovina výrobek A 0 1 Cena produktu (v tis. K ) 5 10

18 KAPITOLA 2. MODELY LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ 17 Vysv tlení tabulky: pro vyrobení výrobku A je pot eba 5 surovin (k výrob 1 hliníkové trubky je pot eba 5 Al plech ), ale ºádný dal²í výrobek A. Pro vyrobení výrobku B je pot eba 2 surovin a 1 výrobek A (k vyrobení celé zna ky je krom 2 Al plech pot eba je²t hliníková trubka). Na sklad je k dispozici 3000 ks surovin (Al plech ). Výrobek A se prodává za 5 000, výrobek B za Dále byla stanovena podmínka, ºe na konci musíme mít min. 250 ks výrobk A. Po et výrobk B není omezen. Poºadujeme: 1. maximální produkci, 2. maximální zisk. e²ení : Podmínky jsou spole né pro ob variaty, tedy jak pro maximální produkci tak pro maximální zisk 5x 1 + 2x x 1 x x 1 0, x 2 0 e²ení (1): Kritérium pro maximální produkci x 1 je po et kus A a x 2 pro B. x 1 + x 2 max, Excel: Podmínky zadáme do Excelu (produkcesesurovinou.xlsx) e²ení (2): Kritérium pro maximální zisk 5x x 2 max. Excel: Podmínky zadáme do Excelu (produkcesesurovinou.xlsx)

19 KAPITOLA 2. MODELY LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ Optimální produkce s výb rem surovin Zadání úlohy: Továrna produkuje dva výrobky B 1 a B 2. Na výrobu B 1 pot ebuje látku L 1, na B 2 látku L 2. Tyto látky je moºno získat ze surovin A 1, A 2, A 3 a A 4, které je t eba zakoupit. Kaºdá surovina dá jiné mnoºství látek. a Specikace je v tabulce Látka Surovina látka Pot ebné mnoºství A 1 A 2 A 3 A 4 látky L 1 (pro B 1 ) L 2 (pro B 2 ) Cena za surovinu Vysv tlení tabulky: pro vyrobení látky L 1 (resp. L 2 ) pot ebuje 2 (resp. 10) suroviny A 2 nebo 10 (resp. 1) surovin A 2 nebo 5 (resp. 1) surovin A 3 nebo 20 surovin A 4. Víme, ºe pot ebujeme nakoupit takové mnoºství surovin, abych vyrobili min látky L 1resp látky L 2. Cena za surovinu je 20 pro A 1, 10 pro A 2, 5 pro A 3a 10 pro A 4. Cílem je navrhnout koupi surovin tak, abychom minimalizovali výdaje. e²ení: Kritérium pro minimální výdaje 20x x 2 + 5x x 4 min kde x 1, x 2,... jsou navrhovaná mnoºství zakoupených surovin. Dále sestavíme podmínky pro lineární programování 2x x 2 + 5x x x 1 + 5x 2 + x Excel: Podmínky zadáme do Excelu (VyberSurovinNaVyrobu.xlsx) 2.5 Optimální míchání Úloha. 1 (krmná sm s) Zadání úlohy: Pro výkrm jednoho kusu dobytka je zapot ebí 2.5 kg krmné sm si a 240 g protein na den. Pro krmení se pouºívá píce a kuku ice. Dal²í specikace jsou v tabulce

20 KAPITOLA 2. MODELY LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ 19 Krmivo krmná sm s/kg krmiva proteiny/kg krmiva cena K /kg Píce (x 1 kg) Kuku ice (x 2 kg) Pot ebné mnoºství Vysv tlení tabulky: Z jednoho kg píce se získá 1 kg krmné sm si a 400 g protein. Z jednoho kg píce se získá 1.25 kg krmné sm si a 80 g protein. Cena jednoho kg píce je 0.50 K a kuku ice 0.40 K. Cílem je vytvo it takovou krmnou sm s, která bude za spln ní poºadovaných podmínek nejlevn j²í. e²ení: Kritérium pro minimální výdaje 0.5x x 2 min kde x 1 zna í mnoºství píce, x 2 mnoºství kuku ice. Dále sestavíme podmínky pro lineární programování x x x x V p ípad, ºe nechceme ºádné zbytky, budeme mít p esné mnoºství, místo pouºijeme znaménko =. Excel: Podmínky zadáme do Excelu (KrmnaSmes.xlsx) Úloha. 2 (optimální strava v z ) Zadání úlohy: Ve v zení navrhují optimální stravu v z. Cht jí ji kombinovat z mléka, fazolí a pomeran. P i tom je t eba dodrºet minimální poºadavky na obsah stravy podle zákona. Jedna se o vitaminy: B 3, B 1 a C. Obsah t chto vitamin v jednotlivých sloºkách stravy je následující mléko [l] fazole [100 g] pomeran e [1 ks] poºadavek B B C cena (v $) Vysv tlení tabulky: Z jednoho mléka se získá 3.2 vitamínu B 3, 1.12 vitamínu B 1 a 32 vitamínu C. Obdobn je to pro 100g fazolí a pomeran. Cena za sklenici mléka je 2 $, za 100g fazolí je to 0.2 $ a za 1 ks pomeran e je to 0.25 $. Aby byly spln ny zákonné poºadavky je nutné dodat 13 jednotek vitamínu B 3, 1.5 jednotek vitamínu B 1 a 45 jednotek vitamínu C. Cílem je namíchat stravu tak, aby její cena byla co nejmen²í a zárove byl spln n zákon? 1 1 hodnoty vitamín i cena je pouze orienta ní a neodráºí skute nost.

21 KAPITOLA 2. MODELY LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ 20 e²ení: Kritérium pro minimální výdaje 2x x x 3 min kde x 1 zna í mnoºství mléka, x 2 mnoºství fazolí a x 3 mnoºství pomeran. Dále sestavíme podmínky pro lineární programování 3.2x x x x x x x x 3 45 V p ípad, ºe chceme p esné zákonné hodnoty, tak místo pouºijeme znaménko =. Excel: Podmínky zadáme do Excelu (?????.xlsx) 2.6 Minimální tok náklad v síti Minimum Cost Network Flow Problem (MCNF) Je dána sí (souvislý, orientovaný, acyklický graf s jedním vstupem a jedním výstupem) s m uzly a n hranami. Písmenem b i ozna íme zásobu v uzlu i, tj. výstupní tok - vstupní tok. Jestliºe je b i > 0 jedná se o zásobovací uzel (zdroj), pro b i < 0 jde o uzel s poºadavkem (cíl) a pro b i = 0 máme uzel pr jezdní. S kaºdou hranou je spojena dolní mez L ij a horní mez U ij toku touto hranou. Cílem je ur it velikosti tok x ij v jednotlivých hranách grafu tak, aby náklady na p epravu byly minimální, jestliºe jednotková cena transportu po hran ij je c ij. P edpokládáme, ºe platí i b i = 0 (vyrovnané zdroje a poºadavky). e²ení Pomocí LP c ij x ij min ij x kj x ik = b k, k j i x ij U ij, x ij L ij, 0 L ij U ij, i, j Poznámka c a x jsou tvercové matice kde ádky i sloupce jsou indexovány uzly. Prvky t chto matic odpovídají hranám grafu. V t²inou ne v²echny hrany existují. Neexistující hrany vyplníme nulami. Jako m nící se bu ky v Excelu zadáme jen existující hrany - nejlépe vytaºené mimo do vektoru. Pro kriterium i podmínky pr toku m ºeme pouºít cele matice (i prvky odpovídajícími neexistujícím hranám - jsou to nuly). Podmínky pr toku konstruujeme jakoby pro diagonálu matice x a d láme sum( ádek)-sum(sloupec), kde v ádcích xujeme (F4) písmenka a ve sloupcích ísla adres. Pak lze kopírovat. V²e je vid t v Excelu.

22 KAPITOLA 2. MODELY LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ Úloha. 1 Zadání úlohy: Ze skladu (1) pot ebujeme dovést zboºí do výrobního závodu (7). K výrob pot ebujeme 150 výrobk a m ºeme je poslat pomocí vlaku nebo nákladního automobilu nebo kombinací t chto doprav.. Jedna cesta je kapacitn omezena na 80 ks. Máme následující graf (vlevo), který doplníme zp tnou hranou s nulovým ohodnocením (vpravo) zdroj cíl zdroj cíl Uzel 1 je zdrojový se zásobou 150 jednotek toku, uzel 7 je cílový, tj. poºadující 150 jednotek toku. Ostatní uzly jsou p epravní. Ceny za p epravu jednotky toku jsou dány v tabulce (matici) startovní uzel cílový uzel x 12 x x 24 x 25 x x 34 x 35 x x x x 67 7 x Tabulka 2.2: Tabulka jednotek toku startovní uzel cílový uzel Tabulka 2.3: Tabulka ceny p epravy hrana (7, 1) je zp tná s cenou 0. Nepouºité hrany mají nulové ohodnocení (bez ohodnocení). Maximální kapacita byla zadána jako 80, minimální jako 0.

23 KAPITOLA 2. MODELY LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ 22 e²ení: Kritérium 7 7 c ij x ij min i=1 j=1 Podmínky konstruujeme pro kaºdý uzel. Jdeme po diagonále - to je k, a se teme k-tý sloupec a ode teme k-tý ádek. To se rovná b k, k = 1, 2,, 7. Protoºe jsme doplnili 0, m ºeme d lat sou ty vºdy od 1 do 7. x ki i j x jk = b k coº se týká uzlu k a íká, ºe to co p iteklo minus to co odteklo je to, co z stalo (ve skladu). V Excelu: jsme na k-tém prvku diagonály matice x a d láme: sou et prvk v k-tém ádku minus sou et prvku v k-tém sloupci rovná se b k. Dal²í podmínky jsou x ij L, x ij U, p ípadn x ij 0, x ij U 2. Excel: Podmínky zadáme do Excelu (mincostflow1.xlsx) Úloha. 2 Zadání úlohy: Je dáno 9 uzl podle obrázku zdroj cíl zdroj zdroj umely uzel cíl zdroj zpetna hrana jejichº ohodnocení (cena) je uvedeno v následující tabulce V tomto p ípad jsou zde 4 zdroje, tzn. 4 uzly jsou zdrojové. Jmenovit se jedná o uzly 1-4. Poºadavky jsou 2, tzn. 2 uzly jsou cílové, jmenovit se jedná o uzly 8 a 9. Zásoba ve zdrojových uzlech je 2 Pozor: Bude-li zadána p íli² malá maximální kapacita hran, bude problém ne e²itelný.

24 KAPITOLA 2. MODELY LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ 23 a poºadavky v cílových uzlech jsou se ty mi zdroji a dv ma poºadavky. e²ení: Tabulka 2.4: MCNF - více zdroj a cíl íslo uzlu zásoba íslo uzlu 8 9 poºadavek Graf sám nemá jeden výstupní uzel. Aby se mohla zavést zp tná hrana, je t eba denovat pomocný uzel s b = 0 do n hoº vedou pomocné hrany s nulovým ohodnocením. V tomto p ípad uzel. 10. Ten se pak propojí se vstupem 1 (protoºe ten vede dále do ostatních vstup ). Ohodnocení hran bude u t chto nov vytvo ených hran rovno 0. Excel: Podmínky zadáme do Excelu (mincostflow2.xlsx) 2.7 P i azovací dopravní problém Je dáno m zdrojových uzl, kaºdý s z, kde i {1 m} = M, jednotkami zboºí, a n cílových uzl, kaºdý s d j, j {1 n} = N jednotkami poºadavk. c ij, i M, j N je jednotková cena za p evoz zboºí po hran i, j a x ij je mnoºství zboºí p epravené po této hran. Chceme dosáhnout minima náklad za p evoz PDP e²ený pomocí lineárního programování e²ení (1): Kritérium pro minimální náklady za p evoz c ij x ij min ij

25 KAPITOLA 2. MODELY LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ 24 Dále sestavíme podmínky pro lineární programování x ij = z i, i j x ij = d j, j i x ij 0, ij Lze e²it p ímo pomocí LP. Excel: Podmínky zadáme do Excelu (assignmenprobl.xlsx) PDP e²ený pomocí MCNF (min. cost network ow) e²ení (2): Lze e²it jako MCNF vhodnou úpravou grafu: 1. P i adíme b i = z i, i M a b m+j = d j, j N. 2. Vytvo íme pomocné uzly 0 a m + n + 1 s nulovými cenami, zdroji i poºadavky (tohle je v textu ale nechodí to: zdroji b 0 = i b i, i M a poºadavky b m+n+1 = j b j, j N). 3. Uzel 0 spojíme hranami s uzly 1 aº m a uzly m + 1 aº m + n spojíme s uzlem m + n + 1. Tyto hrany mají nulová ohodnocení. 4. Zavedeme zp tnou hranu (m + n + 1, 0) rovn º s nulovým ohodnocením. 5. Ignorujeme horní meze tok (horní meze m ºeme a nemusíme zadat). Na takto modikovaný graf aplikujeme MCNF. Modikovaný graf je na obrázku. b > 0 b < 0 1 m m + n + 1 i b i j b j m m + n Excel: Podmínky zadáme do Excelu (assignmenproblasmcnf.xlsx)

26 KAPITOLA 2. MODELY LINEÁRNÍHO PROGRAMOVÁNÍ Nejkrat²í cesta grafem (pomocí MCNF) Je dána ohodnocená sí, kde ohodnocení c ij interpretujeme jako délky jednotlivých hran (i, j). Úkol je najít nejkrat²í cestu ze zdrojového uzlu 1 do cílového uzlu m. e²íme pomocí MCNF, kde uvaºujeme o p eprav jednotky toku z uzlu 1 do uzlu m. Poloºíme U ij = 1, ij a b i = 0, i. P íklad Uvaºujeme graf z obrázku Hledáme nejkrat²í cestu z uzlu 1 do uzlu 7 (nebo z uzlu s b i = 1 do uzlu s b j = 1) a vyuºíváme k tomu metodu MCNF. e²ení: Údaje a e²ení jsou v programu. Excel: Podmínky zadáme do Excelu (assignmenproblminpath.xlsx)

27 Kapitola 3 Celo íselné programování 3.1 Formulace úlohy Nalezn te hodnoty vektoru x, které (i) maximalizují lineární kriterium c x = c 1 x 1 + c 2 x c n x n, (ii) spl ují vedlej²í podmínky Ax b, tedy a i,1 x 1 + a i,2 x a i,n x n b i, pro i = 1, 2,, m (m podmínek pro n prom nných) a (iii) jsou celo íselné 1. Zápis standardní úlohy celo íselného programování je následující: c x opt 2 Ax b 3 x 0, x N Formulace celo íselných program Binární veli iny Binární veli iny mohou nabývat dvou hodnot 0 nebo 1. Souvisí s rozhodováním: n co bude 1, nebo nebude 0. Pokud máme n takových veli in, lze realizovat jednu z následujících podmínek: alespo k bude spln no (k nebo více): n i=1 x i k, práv k bude spln no: n i=1 x i = k, nejvý²e k bude spln no (k nebo mén ): n i=1 x i k. 1 Tato úloha je prakticky stejná jako úloha lineárního programování, navíc se ale poºaduje, aby e²ení x bylo celo íselné. 2 hledáme optimum 3 nep ekro íme limitující omezení (nap íklad nem ºeme vyrobit víc výrobk neº na které máme materiál) 4 hodnota je z oboru p irozených ísel 26

28 KAPITOLA 3. CELOƒÍSELNÉ PROGRAMOVÁNÍ Aktivace omezení Uvaºujme binární prom nnou y {0, 1} a podmínku a x b. Víme dále, ºe maximální hodnota levé strany a x této podmínky je B. Zkonstruujeme dal²í podmínku Tato podmínka íká a x By b. je-li y = 1, pak p vodní podmínka je vºdy spln na (podmínka je vy azena) max(a x) = B a x B }{{} b y=1 je-li y = 0, pak p vodní podmínka z stává v platnosti a x B }{{} 0 b a x b. y=0 Hodnota binární prom nné y tedy aktivuje nebo deaktivuje p vodní podmínku a x b Výb r z mnoºiny omezení Uvaºujme dv podmínky a 1x b 1 a a 2x b 2 s maximálními hodnotami levých stran B 1 a B 2. Poºadujeme, aby alespo jedna podmínka byla vºdy platná. Modelujeme takto 5 a 1x B 1 y 1 b 1 a 2x B 2 y 2 b 2 y 1 + y 2 1 nebo zavedeme ekvivalentní podmínku y 1 = y a y 2 = 1 y a 1x B 1 y b 1 a 2x B 2 (1 y) b Implikované omezení Máme dv omezení a 1x > b 1 a a 2x b 2. Chceme aby platilo: kdyº platí první omezení, pak platí i druhé (kdyº první neplatí, tak nic). Toto pravidlo lze popsat implikací 6 ( ) nebo disjunkcí 7 ( ). Pro tu platí 5 Podmínka y 1 + y 2 1 íká, ºe p ipou²tíme následující moºnosti: y 1 = 1 a y 2 = 0 nebo y 1 = 0 a y 2 = 1 nebo y 1 = 1 a y 2 = 1. Tedy alespo jedna podmínka je vºdy spln na. 6 spojení jestliºe-pak 7 spojka nebo

29 KAPITOLA 3. CELOƒÍSELNÉ PROGRAMOVÁNÍ 28 a b a b a b a b Odtud vidíme, ºe (a b) je stejné jako (a b), p i emº alternativu umíme - viz p edchozí odstavec. Nebo lze pouºít následující postup Zadání úlohy: Vy e²te implikaci x 4 y 6 za podmínek 0 x 10 0 y 10 P 1 : x 4 + 6z P 2 : y 10 4 (1 z) z {0, 1} e²ení: Je-li x 4 pak z první podmínky P 1 plyne, ºe z = 1 a tedy (1 z) = 0. Potom podmínka P 2 y 6 je aktivována. Pro x 4 m ºe být z 0 nebo 1 a tedy druhá podmínka m ºe a nemusí nastat Alespo k omezení Máme n omezení a i x b i, i = 1, 2,, n. Chceme, aby alespo k z nich bylo spln no, tzn. ºe m ºe být spln no k a více neº k. Postupujeme podle p edchozích dvou odstavc. Denujeme binární prom nné y 1, y 2,, y n. P i konstrukci omezení lze pouºít dv varianty: 1. a i x B i (1 y i ) b i. Omezení i je v platnosti, jestliºe y i = 0. Pro alespo k omezení v platnosti musí platit n y i k, i=1 2. a i x B iy i b i Omezení i je v platnosti, jestliºe y i = 0. Pro alespo k omezení v platnosti musí platit n y i n k. i=1 8 Místo 6 a -4 u prom nné z m ºeme zvolit libovolné (v absolutní hodnot ) v t²í ísla. Tato zvolená ísla jsou p esn na hranici tak, abychom dosáhli poºadovaného efektu. P íli² velká ísla se ale nedoporu ují, mohou zp sobit potíºe p i e²ení.

30 KAPITOLA 3. CELOƒÍSELNÉ PROGRAMOVÁNÍ Omezení na oblasti Nech omezení tvo í n kolik r zných oblastí (disjunktních nebo i p ekrývajících se). Jednotlivé oblasti jsou popsány pomocí lineárních omezení. Ukaºme si toto omezení na následujícím p íklad, kdy platí: první oblast a 1x b 1, a 2x b 2, a 3x b 3 druhá oblast a 4x b 4, a 5x b 5... Chceme zaru it, ºe optimální bod e²ení bude leºet alespo v jedné z oblastí. Modelujeme takto 1. oblast a 1x B 1 y 1 b 1, a 2x B 2 y 1 b 2, a 3x B 3 y 1 b 3 2. oblast a 4x B 4 y 2 b 4, 3. oblast... Zárove musí platit, ºe a 5x B 5 y 2 b 5 k y j 1 j=1 kde k je celkový po et oblastí. Napravo v poslední podmínce je po et oblastí z výroku aspo v jedné oblasti a y 1, y 2 {0, 1}. Kaºdá rovnice má svoje B i (maximální hodnota levé strany) a spole nou veli inu y j, j = 1, 2,, k. 3.3 Modelování nelineárních funkci Fixní náklady V n kterých p ípadech pot ebujeme modelovat nelineární funkci (nap. skok v po átku). Pokud výrobu budeme realizovat, náklady na výrobu ur itého výrobku se sestává z po áte ní investice a dále z investice do kaºdého výrobku. Pokud se výroba nerealizuje, jsou v²echny náklady nula.

31 KAPITOLA 3. CELOƒÍSELNÉ PROGRAMOVÁNÍ 30 Za p edpokladu, ºe K je po áte ní skok. Zápis takové úlohy je následující a podmínky { 0 pro x = 0 K + c x pro x 0. Ky + c x min 9 x By 10 x 0 11 y {0, 1} Po ástech lineární reprezentace M jme po ástech lineární funkce - nap. tu, co je na obrázku f(x) x První úse ka je na intervalu (0, 4) a má sklon 4, druhá na (4, 10) se sklonem 1 a t etí na (10, 15) se sklonem 3. Prom nnou x vyjád íme jako sou et t í len x = δ 1 + δ 2 + δ 3 tak, ºe platí 0 δ 1 4 délka 1. úseku 0 δ 2 6 délka 2. úseku 0 δ 3 5 délka 3. úseku 9 hledáme minimální náklady 10 Pro y = 0 dostáváme x = 0 a kriterium je také 0; pro y = 1 je x B a kriterium je K + c x. Tedy to, co jsme namodelovali je binárn lineární a kopíruje na²i formulaci úlohy (nelineární funkci náklad ). 11 hodnota je nezáporná

32 KAPITOLA 3. CELOƒÍSELNÉ PROGRAMOVÁNÍ 31 w 1 = w 2 = 0 w 1 = 1 a w 2 = 0 w 1 = w 2 = 1 0 δ 1 4 δ 1 = 4 δ 1 = 4 δ 2 = 0 0 δ 2 6 δ 2 = 6 δ 3 = 0 δ 3 = 0 0 δ 3 5 Tabulka 3.1: Po ástech lineární funkce Funkci f (x) vyjád íme takto f (x) = 4δ 1 + δ 2 + 3δ 3. Musíme ale zajistit, aby se δ i zapínala postupn a aby niº²í δ i drºely svou maximální hodnotu. Tedy, aby p i pr chodu hodnot x od 0 do 15 bylo δ 1 δ 2 δ 3 x 4 x x (4, 10) 4 x 4 0 x > x 10 To zaru í následující podmínky s dv ma novými binárními prom nnými w 1 a w 2 4w 1 δ 1 4 6w 2 δ 2 6w 1 0 δ 3 5w 2 w 1, w 2 {0, 1} D kaz, ºe p edpis platí je ukázán v následující tabulce Poslední varianta w 1 = 0 a w 2 = 1 je nep ípustná a podmínka 6w 2 δ 2 6w ji vylu uje. Stejnou konstrukci lze provést i pro více interval, pomocí podmínek kde L j je délka j-tého segmentu. L j w j δ j L j w j 1, Aproximace nelineárních funkcí Nelineární funkci m ºeme vhodn rozd lit na intervaly a na nich pouºít lineární aproximace. Po et takových interval je závislý na nelineární funkci a musí být zvolen vhodn tak, aby platilo, ºe v intervalu je funkce lineární. Pokud platí toto pravidlo, lze pouºít techniku z p edchozího odstavce.

33 KAPITOLA 3. CELOƒÍSELNÉ PROGRAMOVÁNÍ Sou in v kritériu Máme x 1, x 2, x 3, - binární veli iny, y (0, u) je spojitá nebo diskrétní veli ina. Kriterium: x 1 x 2 x 3 y max Zavedeme w = x 1 x 2 x 3 y a podmínky w ux j w ux j 0 w y w y 0 ( ) ( ) w u xi k + y u xi k + y w 0 Zadání úlohy: Nalezn te hodnoty binárních veli in

34 KAPITOLA 3. CELOƒÍSELNÉ PROGRAMOVÁNÍ 33 e²ení: 3.4 Metody e²ení Metoda v tví a mezí (branch and bound) Je to metoda pro e²ení celo íselného programování, zaloºená na opakovaném e²ení pomocí simplexové metody s postupným p idáváním omezení. Metoda konverguje v kone ném po tu krok, i kdyº doba konvergence m ºe být dlouhá. Jestliºe úlohu e²íme tak, ºe jednou simplexovou tabulkou dostaneme e²ení a to zaokrouhlíme, nemusíme dostat optimální e²ení. Lze dokázat, ºe optimální e²ení m ºe leºet libovoln daleko,

35 KAPITOLA 3. CELOƒÍSELNÉ PROGRAMOVÁNÍ 34 omezení vrstevnice kritéria optimální IP?e?ení optimální LP?e?ení zaokrouhlené LP?e?ení Obrázek 3.4.1: Porovnání výsledku LP a IP viz následující p íklad. Zadání úlohy: Podle následujícího zadání, chceme dosáhnout maximálního zisku x + 5y max Dále musíme splnit následující podmínky x + 5y 50 x y 5 x + y 30 e²ení: Úlohu nejd íve vy e²íme metodou lineárního programování, kde získáme e²ení [12.5, 7.5]. e- ²ení celo íselného programování dá e²ení [10, 8]. Výsledek celo íselného programování není zaokrouhlení lineárního programování. Z obrázku je vid t, ºe zaokrouhlené e²ení leºí od optimální vrstevnice kritéria dále, neº optimální IP e²ení. Algoritmus Metody v tví a mezí (Branch and Bound - B&B) je: 1. Vezmeme optimální LP e²ení - nap. [12.5, 7.5] a tento bod vyjmeme z p ípustné oblasti bu na ose x nebo y (p jdeme p es x). Tj. p idá dv nová omezení x 12 a x 13.

36 KAPITOLA 3. CELOƒÍSELNÉ PROGRAMOVÁNÍ 35 Tím vzniknou dv nové p ípustné oblasti - podoblasti p vodní, kde jiº optimální bod LP neleºí, ale ºádné celo íselné e²ení není vyjmuto. 2. Znovu e²íme LP úlohu (simplexovou metodou) pro p vodní úlohu s dal²íma dv ma omezeními. 3. Dostaneme optimální e²ení. Pokud je e²ení celo íselné, je konec. Pokud není, pokra ujeme op t od bodu Takhle stále p idáváme nová omezení, dokud nedostaneme integer e²ení. e²ení budeme demonstrovat na p edchozím p íklad. LP e²ení [12.5, 7.5] krit=42.5 e²ení omez x 12 x(dolní) [12, 7, 6] krit=42.4 e²eni omez x >= 13 x(horní) X omez vyhodíme e²ení omez y 7 y(dolní) [12, 7] krit=40 pamatujeme a vyhodíme e²ení omez x 8 y(horní) [10, 8] krit=42 Ob e²ení pro y vyhovují celo íselnosti. Druhé má ale vy²²í hodnotu kritéria, proto ho volíme. Vidíme také, ºe toto e²ení souhlasí s IP e²ením. Lips: Podmínky zadáme do programu Lips (BaB_demo.lpx) Metoda ez (cutting planes) Tato metoda vychází z optimální simplexové tabulky pro LP. Tuto tabulku p epí²eme do rovnic, v kterých eliminujeme zlomkové koecienty na pravou stranu. Vzniklé rovnice se zlomkovými koecienty znovu e²íme simplexovou tabulkou. Kon íme, kdyº jako výsledek obdrºíme celá ísla. K soustav omezení p idáváme dal²í lineární omezení, která vylou í optimální (zlomkové) LP e²ení ale zachovají v²echna p ípustná celo íselná e²ení. Zadání úlohy: Podle následujícho zadání, chceme dosáhnout maximálního zisku Dále musíme splnit následující podmínky J = 5x + 8y max x + y + s 1 = 6 5x + 9y + s 2 =45 x, y, s 1, s 2 > 0

37 KAPITOLA 3. CELOƒÍSELNÉ PROGRAMOVÁNÍ 36 e²ení: LP e²ení tohoto problému dá simplexovou tabulku Tu p epí²eme následujícím zp sobem ( z) 5 4 s s 2 = x s s 9 2 = 4 y 5 4 s s 15 2 = 4 a to tak, ºe ( z) 2s 1 s = s s 2 x +2s 1 s 2 2 = s s 2 y 2s 1 3 = s s 2 1. vlevo jsou jen celo íselné koecienty, 2. vpravo jdou zlomky Dále platí: (a) absolutní hodnoty jsou kladné, (b) koecienty u prom nných jsou záporné. 1. Pro celo íselné e²ení je jsou levé strany celá ísla. 2. Pro s 1, s 2 0 jsou pravé strany men²í nebo rovny konstantám. 3. Protoºe konstanty jsou kladné zlomky, musí platit ºe pravé strany jsou 0 (a tedy i levé). M ºeme proto psát s s s s 2 + s 3 = s s s s 2 + s 4 = 0 poslední rovnice je stejná jako první To jsou podmínky, které p idáme k p vodní úloze a op t e²íme pomocí simplexové tabulky. Celo íselné e²ení kon í výpo et, pro necelo íselné vyjdeme z nové simplexové tabulky a pokra- ujeme stejn. První e²ení

38 KAPITOLA 3. CELOƒÍSELNÉ PROGRAMOVÁNÍ 37 z tabulky sestavíme nová omezení pro s 1 a s 2 a p epo ítáme na xa y. Ta jsou 2x + 3y 15 4x + 7y 35. První omezení dá rovnou výsledek [0, 5] Kdyº zkusíme druhé omezení, dostaneme [ 7 3, ] 11 3

39 KAPITOLA 3. CELOƒÍSELNÉ PROGRAMOVÁNÍ 38 a museli bychom v hledání dál pokra ovat. Lips: Podmínky zadáme do programu Lips (cuts.lpx).

40 Kapitola 4 Modely celo íselného programování 4.1 Výb r projektu Rozpo et kapitálu (Capital budgeting)[hlavni text] Pro tyto úlohy lze denovat úlohu dv ma zp soby: 1. Varianta: Zadání úlohy: Máme moºnost n kolika investic. Z kaºdé investice máme o ekávaný zisk a kaºdá vyºaduje ur ité zdroje (prac. síly, suroviny atd.), které jsou omezené. Investici bu realizujeme nebo ne. Jak vybrat investice aby p inesly maximální zisk a nebyly p ekro ené omezené zdroje? Zápis standardní úlohy je následující: c x min 1 ax b 2 x {0, 1} 3 e²ení: Zavedeme binární prom nnou x j. Dále ozna íme c j - výnosy investice j, b i - omezení na zdroje, a ij - jsou poºadavky investice j na i-tý zdroj. 2. Varianta: 1 Jestliºe a ij se týká dodate ných investic a je a ij > 0, pak investice pot ebují dal²í nance; je-li a ij < 0, pak investice jiº nance produkuje. 2 nep ekro íme limitující omezení (nap íklad nem ºeme do investice vloºit víc neº máme zdroj ) 3 x = 1 realizovat investici, 0 = nerealizovat investici. 39

41 KAPITOLA 4. MODELY CELOƒÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ 40 Zadání úlohy: Máme n projekt, které bychom rádi realizovali, ale nemáme najednou tolik pen z. Proto je budeme realizovat po etapách. Z projektu j o ekáváme výnos c j a v etap t vyºaduje náklady a t,j. Pro etapu t máme k dispozici nan ní ástku b t. Cílem je dosáhnout maximálního zisku v první etap, s ohledem na nan ní omezení v dal²ích etapách. Zápis standardní úlohy je následující: J = j c jy j max 4 at,j y j b t, t 5 y t {0, 1}, j Problém batohu [Nas text, Knapsack] (Knapsack problem) Jedná se o nejjednodu²²í úlohu z t ídy investi ního rozhodování. Zadání úlohy : Jedeme na výlet stopem a balíme si s sebou v ci do batohu. Objem (nosnost) batohu je omezený hodnotou M. Jednotlivé v ci mají sv j objem (váhu) m i a d leºitost d i a celkem jich je n, tedy i = 1, 2,, n. Chceme s sebou vzít co nejvíce d leºitých v cí tak, aby nebyla p ekro ena kapacita batohu. Matematická formulace je následující: max x n d i x i i=1 n m i x i M i=1 x i {0, 1}, i LIPS: Podmínky zadáme do programu LIPS (Kapsack0.lpx) nebo pro více v cí najednou (Kapsack1.lpx) 4 Hledáme e²ení, kde získáme maximum z n projekt, které nelze realizovat najednou 5 nep ekro íme limitující omezení (nap íklad nem ºeme do investice vloºit víc neº máme pen z) 6 x = 1 realizovat investici, 0 = nerealizovat investici.

42 KAPITOLA 4. MODELY CELOƒÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Plánování produkce Velikost dávky - bez kapacity[kniha] Pro budoucí asová období máme navrhnout objem produkce tak, aby celkové náklady a produkci a skladování byly minimální a aby poºadavky na produkci v jednotlivých etapách byly spln ny. P edpokládáme neomezenou kapacitu produkce v kaºdém období. P edpokládáme dále, ºe náklady na produkci jsou úm rné její velikosti, celkové náklady v kaºdém období jsou úm rné úrovni zásob z p ede²lého období. Rozhodujeme, zda y t vyráb t a pokud ano, kolik vyráb t x t. Zápis standardní úlohy je následující: t (c tx t + f t y t + h t s t ) min 7 s t 1 + x t s t = d t 8 x t My t 9 x t 0, s t 0, y {0, 1} kde t je po et period; d t je poºadavek v period t; f t je po áte ní náklad v period t; c t je jednotka náklad na produkci, h t je jednotka náklad na p echování výrobk. Poznámka: P i objednávkách je s t 1 + x t s t b t 1 + b t = d t Excel: Podmínky zadáme do Excelu (VelikostDavkyBezK.xlsx) Velikost dávky - s kapacitou [Kniha] Stejné jako v p edchozím p ípad, jen navíc je ýroba v jednotlivých etapách omezena. Z tohoto d vodu zavedeme novou prom nnou u t, tedy omezení výroby v období t. Zápis standardní úlohy je následující: t (c tx t + f t y t + h t s t ) min 10 7 kriterium: minimalizace náklad na produkci a skladování 8 s t - úrove zásob v kaºdém období (s 0 = 0). 9 je pot eba naplnit poºadavky v kaºdém období a M (kapacita) je velké íslo 10 kriterium: minimalizace náklad na produkci a skladování

43 KAPITOLA 4. MODELY CELOƒÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ 42 s t 1 + x t s t = d t 11 x t u t y t 12 x t 0, s t 0, y {0, 1} kde t je po et period; d t je poºadavek v period t; f t je po áte ní náklad v period t; c t je jednotka náklad na produkci, h t je jednotka náklad na p echování výrobk. Excel: Podmínky zadáme do Excelu (VelikostDavkyBezK.xlsx) (jen místo M se dá ta kapacita) Produkce na odbyt [Kniha] Máme ur it velikost produkce n kolika výrobk pro kaºdé období ve správném mnoºství a daném ase. Snaºíme se mít pokud moºno ºádné nebo malé zásoby. V praxi ale p ipustíme bu malé zásoby nebo p echodný nedostatek zboºí. (Jestliºe nedostatek nep ipustíme, pouºijeme velikou penalizaci ). Cíl je platit co nejmén na pokutách za p ebytek nebo nedostatek zboºí. Rozhodujeme, zda y t vyráb t a pokud ano, kolik vyráb t x t. Zápis standardní úlohy je následující: ( j pj t d+ j,t + q ) j t d j,t min 13 s j,t 1 + x j,t d j,t = s j,t, j, t s j,t = d + j,t d j,t, j, t14 x j,t = l j,t y j,t, j, t = 1 T 1 (x = l j,t ) y j,t, j y j,t 0, int kden je po et r zných výrobk ; T je po et období; d j,t jsou poºadavky; l j,t je p edepsané mnoºství výroby; p j je jednotková pokuta za p ebytek; q j je jednotková pokuta za nedostatek. Excel: Podmínky zadáme do Excelu (produkcenaspotrebu.xlsx) 11 s t - úrove zásob v kaºdém období (s 0 = 0). 12 je pot eba naplnit poºadavky v kaºdém období s ohledem na omezení kapacitou 13 kritérium: minimalizovat platby za p ebytek nebo nedostatek zboºí 14 Stav: d j,t a d+ j,t mnoºství nedostatku a p ebytku; s j mnoºství zásob.

44 KAPITOLA 4. MODELY CELOƒÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Objednávka léku [3 p íklady] Zadání úlohy : Léka ské st edisko má rozhodnout o tom, jak objednat ur itý lék od m potenciálních dodavatel. St edisko má pro jednotlivé m síce poºadavky d t, t = 1, 2,, T a cena léku od dodavatele i v m síci t je c it. Kaºdý dodavatel i má ur itou minimální dávku odb ru l i. Nespot ebovaná balení léku je moºno schovat do dal²ího období jako zásobu z t, která je v²ak omezena velikostí Z. Zbylá balení lék (které nebyly spot ebovány a uº se nevejdou do zásoby) se musí vyhodit. Cílem je minimalizovat náklady na po ízení léku v daném asovém úseku. e²ení : Zavedeme prom nné: c it cena za jedno balení léku od dodavatele i v m síci t d t poºadavek na m síc t l i minimální odb r od dodavatele i x it kolik balení léku bereme od dodavatele i v m síc t y it jestli v bec bereme (0 ne, 1 ano) z t zásoba v m síci t (z minulého m síce) g t kolik toho v m síci t vyhodíme První, co je t eba ud lat, je vypo ítat zásoby z t. Vyjdeme z rovnice vyjad ující zákon zachováni hmoty (lék ) z t 1 + x it = d t + z t + g t i tedy: co zbylo z minula + co jsme odebrali od dodavatel se musí rovnat tomu, co jsme spot ebovali + nechali v zásob + co jsme p ípadn vyhodili. Odtud je z z = z t 1 + i x it d t g t. To zadáme do Excelu jako po ítané bu ky. Omezení: x it l i y it kdyº se nebere, tak se nebere; kdyº ano, tak minimum od dodavatele i je l i x it 1000y it kdyº se nebere, tak x it musí být nula, jinak libovolné Kriterium: x it {0, 1}, 0 z t Z, g t 0 cit x it min Excel: Podmínky zadáme do Excelu (NakupLeku.xlsx)

45 KAPITOLA 4. MODELY CELOƒÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ P eprava s pevnou cenou [Kniha] Uvaºujeme m zdroj a n odb ratel jednoho druhu zboºí. Náklady na p epravu zboºí ze zdroje i k odb rateli j zahrnují jednotkovou cenu p epravy c ij a pevné náklady f ij, nezávislé ne mnoºství p eváºeného zboºí. Máme nalézt minimální náklady na p epravu tak, aby byly spln ny poºadavky odb ratel d j. e²ení x ij - mnoºství zboºí z i do j y ij - jestli se p evoz z i do j bude realizovat nebo ne Úloha (cij x ij + f ij y ij ) min x ij = d j i x ij My ij x ij 0, y ij {0, 1} kde x ij je mnoºství zboºí z i do j, y ij zna í, jestli se p evoz z i do j bude realizovat (1) nebo ne (0). Excel: Podmínky zadáme do Excelu (TranspPevnaCena4.xlsx) 4.4 Problém investi ního rozhodování [Nas text] Cílem je rozhodnout o ur itém mnoºství investi ních akcí. Akce se bu podpo í celá, nebo se nepodpo í v bec. Akcím p i adíme stavový vektor x = [x 1, x 2,, x n ], x j {0, 1} j = 1, 2,, n tak, ºe x i = 1 znamená podporu akce i, x j = 0 znamená, ºe akce j nebude podpo ena. Zisk plynoucí z jednotlivých akcí ozna íme c j, j = 1, 2,, n. Akce vyºadují m r zných zdroj (nance, lidské síly, suroviny atd.). Náklady na i-tý zdroj pro akci j ozna íme a i,j a mnoºství jednotlivých zdroj, které jsou k dispozici b i (omezení jsou psány pro jednotlivé zdroje). Zápis standardní úlohy je následující: Modikace základní úlohy: n c j x j max j=1 n a i,j x j b i, x j {0, 1}, i = 1, 2,, m j=1

46 KAPITOLA 4. MODELY CELOƒÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ 45 Modelování závislostí projekt - realizace projektu i je závislá na realizaci projektu j. Lze modelovat jako x j x i. Výb r nejvý²e jednoho ze skupiny x 1 + x 2 + x 3 + x 4 1 Excel: Podmínky zadáme do Excelu (InvesticniRozhodnuti.xlsx) 4.5 Problém po²tovních box [Nas text] Zadání úlohy : Firma dostává platby od zákazník. Tyto platby jdou ze 4 míst: západu - 70tis., st edozápadu - 50tis., východu - 60tis. a jihu - 40tis. v pr m ru za den. Pro výb r t chto plateb chce otev ít pobo ky (po²tovní boxy). Pro tyto boxy p ichází v úvahu následující místa: Los Angeles, Chicago, New York a Atlanta. Za otev ení boxu v kaºdém z t chto míst zaplatí stejnou ástku 50tis. Po et dní, ve kterých budou platby realizovány, je dán v tabulce z / do L.A. Chicago New York Atlanta západ st edo západ východ jih Po dobu, kdy je platba uskute n na ale není proplacena jsou peníze pro rmu nedostupné a rma ztrácí úrok 20% z jejich p ípadné investice. Které z pobo ek má rma otev ít, aby co nejvíce u²et ila? e²ení : Ztráty z nerealizovaných investic jsou dány v tabulce (v tis.) z / do L.A. Chicago New York Atlanta západ st edo západ východ jih kde nap. západ New York je = 112 (dny, platba, procenta). Zavedeme binární veli iny y j = 1 - pobo ka j bude otev ena, a x ij = 1 - oblast i posílá platby na pobo ku j. Zápis standardní úlohy je následující:

47 KAPITOLA 4. MODELY CELOƒÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ 46 28x x x x x x y y y y 4 min 15 j x ij = 1 i 16 i x ij 4y j j 17 x ij, y j {0, 1} i, j Excel: Podmínky zadáme do Excelu (LockBoxes.xlsx) 4.6 Propuknutí infek ního onemocn ní [Nas text, 3 p íklady] Zadání úlohy: V n místech se vyskytlo infek ní onemocn ní. K dispozici je m léka ských tým, které mohou onemocn ní pro²et it. Tým i {1, 2,, m} bude místo j {1, 2,, n} vy²et ovat t ij hodin. Kaºdý tým m ºe obslouºit 0, 1 nebo 2 místa. Jestliºe má tým obslouºit je²t druhé místo (z místa k do místa l), musí se po ítat s dobou p ejezdu d kl. Jakmile jsou v²echna místa pro²et ena, m ºe se s infekcí za ít bojovat. Cílem je navrhnout plán vy²et ování tak, aby cela akce byla co nejkrat²í. e²ení: Denujeme veli inu x ij {0, 1} s hodnotou 1 jestliºe tým i bude vy²et ovat místo j a 0, kdyº nebude. 1. Kriterium j t ijx ij, i 18 k,l; k l d klx ik x il, i Optimalizace: min max i { j t ijx ij + k,l; k l d klx ik x il } 3. Omezení i x ij = 1, j kritérium 16 kaºdá oblast musí být p i azena jedné pobo ce 17 neotev ené pobo ce se nesmí nic posílat (4 je tam proto, aby pro y = 1 podmínka vypadla - velké íslo) 18 musí se vy²et it v²echna místa 19 na kaºdé místo se musí cestovat 20 kaºdé místo bude nav²tíveno práv jednou

48 KAPITOLA 4. MODELY CELOƒÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ 47 j x ij 2, ii 21 x ij {0, 1}, i, j Pro kaºdou konstelaci je jeden tým nejdel²í a tohle maximum chceme minimalizovat. Tohle ale neumíme (i) nelinearita v sou inu, (ii) minimax. S nelinearitu lze vy e²it tak, ºe zavedeme novou prom nnou w ikl = x ik x il s podmínkami w ikl x ik, w ikl 0, w ikl x il, w ikl x ik + x il P íklad 2 týmy (i=1,2), 3 místa (j=1,2,3) stav x = [ ] x11 x 12 x 13 x 21 x 22 x 23 binární asy [ t11 t t = 12 t 13 t 21 t 22 t 23 ] veli ina w (cesta tam a zp t je stejn dlouhá) [ ] w1;12 w w = 1;13 w 1;21 w 1;23 w 1;31 w 1;32 w 2;12 w 2;13 w 2;21 w 2;23 w 2;31 w 2;32 délky p ejezdu d = [ 8, 12, 8, 14, 12, 14 ] Podmínky 1. w i;kl 0, i, k, l 2. w i;kl x ik 0, w i;kl x il 0, i, k, l 3. w i;kl x ik x il j t ijx ij + kl; k l d klw i;kl q 0, i kde q je nová veli ina s významem doba trvání nejdel²í akce. Úloha q min Excel: Podmínky zadáme do Excelu (infection_small.xlsx, infection_bigger.xlsx) 21 ºádný tým nenav²tíví více neº dv místa

49 KAPITOLA 4. MODELY CELOƒÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Pokrytí mnoºin Existuje m poºadavk R i a n aktivit A j takových, ºe v celkovém sjednocení pokrývají v²echny poºadavky, nikoliv ale jednotliv. Cílem je najít takovou podmnoºinu aktivit, která ve sjednocení pokryje v²echny poºadavky a minimalizuje ur ité kriterium (nap. náklady na vyuºité aktivity). Existují 3 varianty tohoto problému: (1) Set covering, (2) Set partitioning a (3) Set packing. Jejich formulace jsou následující (li²í se v nerovnítku podmínek): 1. Covering c x min 2. Partitioning Ax 1 x (0, 1) c x min 3. Packing Ax = 1 x (0, 1) c x max Ax 1 x (0, 1) Pokrytí mnoºin - set covering [Kniha] Zadání úlohy : (poºární stanice) Uvaºujme m sto, které se skládá z n kolika oblastí. Ty jsou zachyceny na obrázku Kaºdé oblasti je p i azeno íslo. Ve m st chceme vybudovat poºární stanice. Jedna stanice je schopna pokrýt oblast, ve které je postavena a v²echny sousední oblasti (tj. takové, co sousedí hranou). Jak postavit stanice, aby jich bylo co nejmén?

50 KAPITOLA 4. MODELY CELOƒÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ 49 e²ení : (poºární stanice) Oblastem p i adíme binární prom nné x 1, x 2,, x 7. Tyto prom nné budou mít hodnotu 1, kdyº stanice bude, jinak 0. Kriterium: minimální sou et x Podmínky: oblast 1 a její sousedi musí mít alespo jednu stanici; a dále pro 2,, 7. Sousední oblasti jsou 1,2,3 2,1,3,4,6,7 3,1,2,4 4,2,3,5 5,4,6 6,2,5,7 7,2,6 Úloha tedy bude x i min i x 1 + x 2 + x 3 1 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 6 + x 7 1 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 1 x 2 + x 3 + x 4 + x 5 1 x 4 + x 5 + x 6 1 x 2 + x 5 + x 6 + x 7 1 x 2 + x 6 + x 7 1 x 1 x 7 {0, 1} Excel: Podmínky zadáme do Excelu (pozarnistanice.xlsx) Rozd lení a zabalení mnoºin (partitioning, packing) [Kniha] Zadání úlohy : (výb r jídel z kucha ky) ƒekáme neohlá²enou náv²t vu a chceme ji pohostit. Ve spíºi máme 7 ingrediencí do jídla a dal²í uº nesta íme po ídit. Nevíme ale, jaké chut náv²t va má, a proto chceme p ipravit co nejv t²í po et jídel. Máme kucha ku a z ní jsme vybrali jídla, která obsahují ty ingredience, které máme k dispozici. Ingredience ale nelze d lit; kaºdou lze pouºít jen jednou. O íslujeme-li ingredience 1,2,,7, pak vybraná jídla podle kucha ky pot ebují

51 KAPITOLA 4. MODELY CELOƒÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ 50 jídlo ingredience A 1,2 B 1 C 2,5,6 D 3,7 E 2,7 F 3,5 G 4,5,6 Která z jídel m ºeme p ipravit, aby jich bylo co nejvíce? e²ení : (výb r jídel z kucha ky) B, C, D. Excel: Podmínky zadáme do Excelu (recepty.xlsx) Rozmíst ní sklad (Warehouse location) [Nas text, Hlavni text] Máme m sklad a n zákazník. Máme obstarat a dovézt zboºí, které poºadují zákazníci. Jde o to, rozhodnout, ze kterého skladu a kolik daného zboºí nakoupit a p evézt jednotlivým zákazník m tak, aby cena za nákup a p evoz byla minimální. Ty sklady, pro které se rozhodneme, musíme pronajmout, a to n co stojí. y i ozna uje, zda sklad i je pronajatý (y i = 1) nebo není (y i = 0). f i je cena pronájmu i-tého skladu. x i,j je mnoºství zboºí, zakoupeného ve skladu i a p evezeného zákazníkovi j. c i,j je cena za nákup jednotky zboºí x i,j. d j poºadavek j-tého zákazníka. Zápis standardní úlohy je následující: m i=1 n j=1 c i,jx i,j + m i=1 f iy i min 22 m i=1 x i,j = d j, j = 1 n 23 n j=1 x i,j y i ( n j=1 d j) 0, i = 1 m 24 x i,j 0, i, j 22 celková cena za zboºí a dovoz + poplatky za pronájem sklad 23 spln ní poºadavk zákazník ; 24 odb r jen z pronajatých sklad

52 KAPITOLA 4. MODELY CELOƒÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ 51 y i {0, 1}, i kde y i ozna uje, zda sklad i je pronajatý (y i = 1) nebo není (y i = 0), f i je cena pronájmu i-tého skladu, x i,j je mnoºství zboºí, zakoupeného ve skladu i a p evezeného zákazníkovi j, c i,j je cena za nákup jednotky zboºí x i,j, d j poºadavek j-tého zákazníka. D kaz, ºe platí, ºe zboºí lze odebrat jen z pronajatých sklad je následující n n x i,j y i j=1 tedy, pro i takové, ºe y i = 0 dostaneme j=1 d j n x i,j 0 j=1, i a protoºe x i,j jsou nezáporné, znamená to, ºe k ºádnému odb ru z t chto sklad nedo²lo, pro y i = 1 máme n x i,j j=1 tedy celkové mnoºství zboºí, odebrané ze skladu i je men²í nebo rovno celkovému poºadavku v²ech zákazník (rovno, kdyby se bralo v²echno z jednoho skladu). 25 n j=1 Excel: Podmínky zadáme do Excelu (pozarnistanice.xlsx) d j 4.8 Problém p i azení [Kniha] Zadání úlohy : Uvaºujeme neorientovaný graf. Hledáme podvýb r jeho hran tak, ºe kaºdý uzel má nejvý²e jednu hranu (hrany spojují odd lené dvojice uzl ) a hran je maximální po et. e²ení : Zavedeme uzlo-hranovou inciden ní matici a (svisle uzly, vodorovn hrany) a binární vektor y s dimenzí po et hran kde 1 znamená hrana je vybrána, 0 hrany není vybrána. Zápis standardní úlohy je následující: yj max aij y j 1 y j {0, 1} Excel: Podmínky zadáme do Excelu (matchingproblem1.xlsx) 25 d j je z ejm to nejmen²í velké íslo, aby se podmínka vºdy splnila.

53 KAPITOLA 4. MODELY CELOƒÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ 52 Poznámka Varianta této úlohy je, kdyº poºadujeme, aby kaºdý uzel mel nejvý²e m hran. Potom podmínka je aijy j m. 4.9 Problém ezání [Kniha] ezání ty í Zadání úlohy : Máme ty e dlouhé 7.4 m a chceme z nich na ezat kusy dlouhé 150, 210 a 290 cm. Jednotlivé délky pot ebujeme v mnoºství 1000 ks. Jak máme postupovat, kdyº chceme mít minimální odpad? e²ení : Nejprve stanovíme tzv. ezné plány Délka Plán ezání Odpad Ozna íme x 1 x 6 jsou mnoºství ezání podle jednotlivých plán. Úloha je: 10x x x x x 6 min x 1 + 2x 2 + x 4 + x 6 = x 2 + 2x 4 + x 5 + x 6 = x 1 + x 2 + 2x 3 + 3x 5 + x 6 = Excel: Podmínky zadáme do Excelu (RezaniTyci.xlsx) ezání papíru Zadání úlohy : Papír se p i výrob balí do rolí o vý²ce W. Pro dal²í prodej se eºe na pásy o p edepsaných ²í kách w 1, w 2,, w m. Jednotliví odb ratelé si si p edepisují po et rolí b j na ezaných na ur itý rozm r. Jak role ezat, aby byl co nejmen²í odpad?

54 KAPITOLA 4. MODELY CELOƒÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ 53 e²ení : Kriterium je minimální odpad - tedy j T j min nebo, coº je totéº, minimální po et rolí z výroby y j coº je vlastn po et ezání (podle r zných plán ). Poznámka Zbytky po ezání mohou být po ítány takto T j = W i w i a ij 4.10 TSP - Problém obchodního cestujícího [Nas text, Kniha] Asymetrický TSP Uvaºujeme n m st spojených navzájem cestami. Kaºdou cestu uvaºujeme jako jednosm rnou, obousm rné jsou dv jednosm rky tam a zp t. Kaºdá z jednosm rek má svou délku (obecn se délka cesty tam nerovná délce zp t). Cílem je najít cestu, kterou má projít obchodní cestující tak, aby kaºdé m sto nav²tívil práv jednou a vrátil se do stejného m sta, ze kterého vy²el. Celá cesta má být nejkrat²í moºná. Zadání úlohy : Úlohu budeme demonstrovat pro 5 m st. 2 d 12 d x 13 x d ij 0 zna í délky cest, x ij {0, 1} znamená x ij = 1 cestující p jde z m sta i do m sta j ; x ij = 0 nep jde.

55 KAPITOLA 4. MODELY CELOƒÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ 54 e²ení : Pro nejkrat²í cestu musí platit J = ij d ij x ij min Omezení 1: m sta se nesmí opakovat kaºdé m sto má jen jednu vstupní cestu a jednu výstupní, tj. x ij = 1, j výstupní i x ij = 1, i j vstupní Omezení 2: cesta se nesmí skládat z odd lených cykl - to je problematický a e²í se r zn. My budeme postupovat následovn : Sestavíme v²echny k-krokové cykly, k = 2, 3, 4,, n 2 26 a sou et x ij v nich musí být k 1. Pro n = 5 bude k = 2, 3 a tedy 2-krokové: 12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45 (a vºdy návrat do prvního, tedy 121, 131, ) 3-krokové: (dohromady jich bude 2 ( 5 3) = 2 10 = 20) z uzlu 1: 123, 124, 125, 134, 135, 145, z uzlu 2: 234, 235, 245, z uzlu 3: 345 (a návrat do po. uzlu - na konci bude je²t íslo z po átku); A odzadu: z uzlu 1: 1321, 1421, 1521, 1431, 1531, 1541 z uzlu 2: 2432, 2532, 2542 z uzlu 3: 3543 Návod Za ínáme od 1 a postupn zvy²ujeme 123 Pak zv t²ujeme poslední aº do n 123, 124, 125 Pak zvý²íme p edposlední, následuje o jedna v t²í 134 A zase zvy²ujeme poslední. A tak dál Excel: Podmínky zadáme do Excelu (TSP_asym5.xlsx) 26 Ve skute nosti sta í kontrolovat cykly od 2 do [ ] n 2, kde [ ] zna í celou ást ísla. Je to proto, ºe kdyº se v grafu vytvo í cyklus, musí být zbylé uzly také v cyklu - pro kaºdý uzel poºadujeme jednu vstupní a jednu výstupní hranu. Pro cyklus s k kroky, kde k > [ ] [ n 2 tedy bude v grafu je²t jeden cyklus s délkou l n ] 2, který jsme jiº kontrolovali mezi cykly 2,3, [ ] [ n 2. Vedle cyklu s délkou v t²í neº n ] 2 m ºe být také více dal²ích cykl, ty ale budou také pat it mezi jiº kontrolované.

56 KAPITOLA 4. MODELY CELOƒÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ 55 Obchodní cestující - 5 měst podmínka na "každé město jednou" kritérium x J = pro sestavení kritéria tady je možno zadat apriorní hodnoty x (i když to prakticky nemá význam) x d Tady se zadávají podmínka na cykly délky cest 2 II III nemusí se hlídat vůbec protože mohou být jen v kombinacích s dvoukrokovými - a ty už se hlídají dvou-krokové Hlídáme 2 a 3-krokové cykly. 2-krokové jsou OK ihned. 3-krokové bychom museli hlídat tam i zpět, ale v kombinaci s 3-krokovým by musel být 2-krokový a ty se hlídají. Takže zpět nemusíme! Dokonce 3-krokové nemusíme vůbec!!! Poznámka V podmínkách na cykly musíme hlídat, aby nenastala situace, ºe se v grafu utvo í dva odd lené cykly. 1-krokové cykly nemohou nastat nikdy, protoºe smy ky v grafu jsou vylou eny (prvky na diagonále inciden ní matice se neuvaºují). 2-krokové cykly jsou tam a zp t - obsahují tedy oba cykly (po sm ru i proti sm ru). 3-krokové cykly bychom museli hlídat v obou sm rech - tedy po sm ru i proti sm ru - tj. to, co jsme vý²e uvedli nap a je²t zp t Protoºe ale 3-krokový cyklus muºe být v kombinaci jedin s 2-krokovým (a ty jsou jiº hlídány) nemusíme je jiº v na²em p ípad (5 m st) v bec hlídat! Sta í kontrolovat cykly od 2 do [ ] n 2, kde [ ] zna í celou ást ísla. Je to proto, ºe kdyº se v grafu vytvo í cyklus, musí být zbylé uzly také v cyklu - pro kaºdý uzel poºadujeme jednu vstupní a jednu výstupní hranu. Pro cyklus s k kroky, kde k > [ ] n 2 tedy bude v grafu je²t jeden cyklus s délkou l [ ] [ n 2, který jsme jiº kontrolovali mezi cykly 2,3, n ] 2. Vedle cyklu s délkou v t²í neº [ ] n 2 m ºe být také více dal²ích cykl, ty ale budou také pat it mezi jiº kontrolované Symetrický TSP Na rozdíl od p edchozího jsou v²echny cesty obousm rné. Inciden ní matice je horní trojúhelník. Kontrola na kaºdé m sto jednou se provádí takto:

57 KAPITOLA 4. MODELY CELOƒÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ 56 Pro kaºdý prvek inciden ní matice na diagonále (to je to m sto) se se tou prvky nad ním a vpravo od n ho. Tento sou et (po et cest ve trase, které jím prochází) musí být 2. Kontrola cykl : 2-krokové cykly se nemusí kontrolovat, protoºe x je zadáno jako binární (cyklus by dal 2, protoºe jdeme tam a zp t po stejné cest ), k-krokové cykly sta í kontrolovat jen po sm ru - proti sm ru jsou stejné. Program: TSP_sym5.xlsx x J na diag. a pod nejsou přípustné stavy (hrany nejsou orientované - trojúhelníky) c Podmínka 1: každý uzel 2 hrany každý uzel má právě dvě hrany (vezmu pole (i,i) a sčítám nad ním a vpravo od něj) Podmínka 2: cykly - je dána tím, že x je binární Tady se zadávají délky cest

58 KAPITOLA 4. MODELY CELOƒÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ TSP jako nelineární problém 1. Varianta s hranami Zadání úlohy : Obchodní cestující má nav²tívit n m st, kaºdé z nich práv jednou a vrátit se do stejného m sta, ze kterého vy²el. Cena ca cestování má být co nejmen²í. Ceny tras z m sta i do m sta j jsou dány jako prvky c i,j matice c. e²ení : Zavedeme stavovou matici s prvky x i,j {0, 1} (nep jde, p jde z i do j) a úloha je zadána následovn n i=1 j=1 n c i,j x i,j min n x i,j = 1, j (tj. sloupce) i=1 m x i,j = 1, i, (tj. ádky) j=1 diag (X) = 0 diag ( X 2 ) = 0 diag ( X n 1 ) = 0 kde n je po et m st (uzl ) a X je tvercová matice stavových prom nných x i,j. Poznámka Místo podmínky diag (X) = 0 by také m la jít veliká penalizace na diagonále matice c. S hodnotou 1000 to ale numericky selhávalo. Excel: Podmínky zadáme do Excelu (ObchodniCestujiciOK_b.xlsx) 2. Varianta s uzly Zadání úlohy : Jiné moºné e²ení tohoto problému je uvaºovat místo hran uzly a hrany, které k nim pat í. Podmínka je, ºe ke kaºdému uzlu pat í práv dv hrany.

59 KAPITOLA 4. MODELY CELOƒÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ 58 e²ení : Uzly vztáhneme k diagonálním prvk m x k,k matice X. Hrany vstupující do tohoto uzlu budou ve sloupci x i,k, i = 1, 2,, k 1 nad tímto uzlem a hrany vystupující z tohoto uzlu budou x k,j, j = k + 1, k + 2,, n - pro v²echny uzly k = 1, 2,, n. Kaºdý uzel má mít práv dv hrany a tedy podmínky budou n x i,k + i=1 n x k,j = 2, k = 1, 2,, n j=1 x i,j {0, 1} a uvaºujeme jen prvky nad diagonálou X, tedy x i,j pro i < j. Podmínky na sub-trasy jsou stejné - zákaz cykl o délce men²í neº [ ] n 2. Podmínku diag (X) = 0 není nutno uvaºovat - hrany k k neexistují. Excel: Podmínky zadáme do Excelu (ObchodniCestujiciOK_b.xlsx) 4.11 Zobecn ní TSP Nejkrat²í cesta grafem [Kniha] Zadání úlohy : V bec nejkrat²í cesta v²emi uzly bez ohledu na to, kde za íná a kde kon í. e²ení : Vezmeme graf a p idáme jeden uzel. Z n j vedeme cesty tam a zp t do v²ech uzl grafu s nulovou délkou. Na tento roz²í ený graf aplikujeme TSP a to, co vznikne v p vodním grafu je nejkrat²í cesta. puvodni graf novy uzel Excel: Podmínky zadáme do Excelu (TSP_asym6Ham1.xlsx)

60 KAPITOLA 4. MODELY CELOƒÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Nejkrat²í cesta grafem z daného uzlu Zadání úlohy : Po áte ní uzel cesty je dán. Hledáme nejkrat²í cestu z tohoto uzlu. e²ení : Vezmeme po áte ní uzel, a hranám, které do n j vedou dáme nulová ohodnocení. Na tento upravený graf aplikujeme TSP. pocatecni uzel carkovane hrany jsou pridany Excel: Podmínky zadáme do Excelu (TSP_asym6Ham2.xlsx) TSP s opakovanými náv²t vami m st [Kniha] Zadání úlohy : Úloha je dána jako asymetrický TSP, ale p ipou²tíme více náv²t v jednotlivých m st. Typická aplika ní úloha je rozvoz zboºí. e²ení : Místo matice vzdáleností jednotlivých dvojic uzl (ohodnoceni hran grafu) zadáme matici nejkrat²ích vzdáleností mezi jednotlivými dvojicemi uzl. M ºe být: bu je vzdálenost spojovací hrany nejmen²í, pak ji necháme. Nebo existuje krat²í cesta, pak ji p epí²eme. Nebo hrana neexistuje, pak ji p idáme s ohodnocením nejkrat²í vzdálenosti mezi t mito uzly. Poznámka Matice nejkrat²ích vzdáleností se velice jednodu²e spo te pomocí operace minimální s ítání matic. Tato operace funguje podobn jako sou in matic, ale místo násobení prvk a s ítání se provádí sou et prvk a vezme se minimum, tedy (A B) i,j = min {a i,k + b k,j } k

61 KAPITOLA 4. MODELY CELOƒÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ 60 Pro výpo et nejkrat²ích vzdáleností napí²eme matici ohodnocení grafu D, kde na diagonále jsou nuly a mimodiagonální prvky ozna ují orientovanou vzdálenost mezi uzly. Kde hrana nevede, dáme velké íslo. A provedeme D 2 = D D D 3 = D D 2 D n 1 = D D n 2 kde D 2 spo te v²echny nejkrat²í dvou-krokové cesty, D 3 t í-krokové atd. aº n 1-krokové, kde n je po et uzl (m st). Protoºe nejdel²í cesta grafem má n 1 hran, obsahuje matice D n 1 nejkrat²í cesty mezi jednotlivými uzly grafu. Na upravenou matici (nyní minimálních vzdáleností mezi uzly grafu) aplikujeme TSP. Dostaneme navazující dvojice uzl, které v p vodním grafu vyzna íme. Kaºdou hranu ale musíme prozkoumat. Pokud je délka hrany minimální délkou, pak ji na cest ponecháme. Pokud není minimální, musíme hledat, po kterých hranách minimální cesta mezi aktuální dvojicí bod vede a místo aktuální hrany vyzna íme tuto minimální cestu. Tím se m ºe stát, ºe n kterým uzlem projdeme vícekrát, ale m ºeme dostat krat²í cestu neº kdyº trváme na podmínce jediného pr chodu kaºdým m stem. Excel: Podmínky zadáme do Excelu (TSP_asym5vice.xlsx) TSP s klastry [Kniha] Zadání úlohy : Uvaºujeme graf jehoº vrcholy jsou pokryty k klastry tak, ze klastry jsou disjunktní a ºádný vrchol není nepokryt. Uzly jsou spojeny orientovanými hranami s ohodnocením, reprezentujícím délku hrany. Úkol je projít v²emi uzly tak, ºe po vstupu do uzlu se musí projít v²emi uzly tohoto grafu a cesta je nejkrat²í moºná. e²ení : Vyjdeme z existujícího grafu a hranám uvnit klastru p idáme velké ohodnoceni M. Dále aplikujeme TSP. Excel: Podmínky zadáme do Excelu (TSP_asym6klast.xlsx) 4.12 Optimální po adí úloh (machine sequencing) [Sheduling] Plánování sm n pro obsluhu (Scheduling) 1. Zam stnanci na plný úvazek

62 KAPITOLA 4. MODELY CELOƒÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ 61 Zadání úlohy : Plánujeme obsazení 4 sm n obsluhy v restauraci s rychlým ob erstvením. Aby jednotlivé sm ny na sebe dob e navázaly, musí se na za átku a na konci p ekrývat. Proto celý den (24 hodin) rozd líme na okna po 3 hodinách a sm ny sestavujeme podle následující tabulky (X ozna uje jedno okno) Okno Sm na 1 Sm na 2 Sm na 3 Sm na 4 Poºadavek prac. 6-9 X X X X X X X X X X X X 30 Plat Cílem je sestavit sm ny tak, aby celková vyplacená odm na byla co nejmen²í. e²ení : Zavedeme d t - pot ební pracovníci pro v okn t; w j - plat pro sm nu j (na kaºdé okno je pot eba ur itý po et pracovník, sm na je obsazena stejnými pracovníky platba je za sm nu), y j - po et pracovník ve sm n j, (y 1, y 2, y 3, y 4 ) Zápis standardní úlohy je následující: J = j w jy j min j a t,jy j d t y j 0, int kde a t,j = y = [y 1, y 2, y 3, y 4 ], t = 1, 2,, 8 Excel: Podmínky zadáme do Excelu (FullTimeWorkers.xlsx) 2. Brigádníci [Kniha] Zadání úlohy : Zase jako p ed tím, ale najímáme i brigádníky. Ty p ijímáme na divoko (do jednotlivých asových oken) platíme mzdou c t. Jejich po et ozna íme x t.

63 KAPITOLA 4. MODELY CELOƒÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ 62 e²ení : j w jy j + t c tx t j a t,jy j + x t d t 27 M j a t,jy j x t 0 28 x t, y j 0, int Excel: Podmínky zadáme do Excelu (FullPartTimeWorkers.xlsx) Obsazování let posádkami [Nas text] Zadání úlohy : Letecká doprava zaji² uje spojení mezi vybranými m sty. Tyto spoje nazveme etapy letu. Jeden let (s jednou posádkou letadla) letí po ur itá trase a na ní m ºe realizovat n kolik etap (pokud se mezi n vejde povinný odpo inek posádky a údrºba letadla). Tak nap íklad let z New Yorku do Chicaga a let z Chicaga do Los Angeles je p íkladem takových etap, které mohou tvo it jednu trasu s jednou posádkou. e²ení : Máme n etap a m posádek. Nejd íve sestavíme matici a, která bude svými sloupci odpovídat jednotlivým etapám. V ádcích bude obsahovat v²echny moºné trasy, sestavené z etap, které lze realizovat v jedné trase - etapy budou vyzna eny jedni kou ve sloupci p íslu²né etapy. Cílem je ze v²ech moºných tras vybrat ty, které obsadíme posádkou (budou realizovány) tak, aby 1. ºádná etapa nez staly neobsazena, 2. náklady na realizaci tras byly minimální. Ozna íme x j {0, 1}, c j je cena za pronajatí posádky na trase j (realizaci trasy j), a i,j {0, 1} ozna uje (jedni kou), ºe etapa i je za azena do trasy j Úloha je formulována takto n j=1 c jx j min 29 n j=1 a i,jx j = 1, i = 1, 2,, m pro okno t, kde je j a t,jy j = 0 musí být x t taky 0. Jinak podmínka neplatí. 28 omezení s M íká, ºe brigádníci se mohou brát jen kdyº je tam uº n kdo na plný úvazek 29 c j je cena za pronajatí posádky na trase j (realizaci trasy j) 30 a i,j {0, 1} ozna uje (jedni kou), ºe etapa i je za azena do trasy j

64 KAPITOLA 4. MODELY CELOƒÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ 63 x j {0, 1}, j = 1, 2,, n 31 kde kritérium vyjad uje minimalizaci náklad, a první podmínka vyjad uje skute nost, ºe kaºdá etapa má práv jednu posádku. Poznámka Jestliºe p ipustíme, ºe lenové n které posádky mohou ur itou trasu let t jako pasaºé i (p eváºí se na místo svého letu na dal²í etap ), bude mít tato podmínka tvar n a i,j x j 1, i j=1 1. P íklad Uvaºujeme 4 m sta: A, B, C, D a lety mezi t mito m sty podle následujícího obrázku B A D C Jednotlivé ²ipky na obrázku zna í etapy. Jde o to, jak z nich sestavit trasy (obsazené posádkou) tak, aby pronájem posádek by minimální a v²echny etapy byly obslouºeny. Trasy jsou p edem denovány bu jako samostatné lety nebo jsou sestaveny z navazujících etap a jsou denovány maticí a. Zde vybereme trasy takto a = Nejd íve uvaºujeme v²echny etapy jako samostatné lety, potom n které trasy sestavené z vhodných etap. 31 indikuje, zda trasa j bude realizována (tj. obsazena posádkou)

65 KAPITOLA 4. MODELY CELOƒÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ 64 Ceny posádek vezmeme p ibliºn rovny po tu etap v p íslu²né trase a trochu p ihodíme na samostatné lety, protoºe tam musí posádka dojet z domova. Ceny tedy budou c = [15, 12, 16, 14, 18, 12, 16, 22, 25, 24, 27, 26] Stavový vektor bude mít 12 prvk, které budou bu 0 nebo 1. Úloha má tvar n c j x j min j=1 n a j x j = 1 j=1 x j {0, 1} e²ení úlohy je x = [0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0] tedy budou realizovány lety (podle matice a) trasa 1 etapa 2 trasa 2 etapa 1, etapa 4, etapa 7 trasa 3 etapa 3, etapa 5, etapa 6 Tedy, v²echny etapy jsou obsazeny, poletí 3 posádky a doufejme, ºe cena za posádky je minimální. 2. P íklad Jiný p íklad je realizován v programu: planovaniletu.xlsx Excel: Podmínky zadáme do Excelu (planovaniletu.xlsx)

66 Kapitola 5 Programové vybavení 5.1 Excel e²itel Pro e²ení úloh lineárního programování je moºné pouºít aplikaci e²itel, tedy aplikaci, která souºí k vyhledávání extrém funkce. e²itel je sou ástí MS Excel Výhoda této aplice je v tom, ºe je p ehledná a Excel je b ºn vyuºívaný a roz²í ený tabulkový procesor. Nevýhoda je, ºe je omezený prostorem a pro sloºité úlohy se msí pouºít jiný program. V²echny úlohy byly naprogramovány ve verzi MS Excel 2013 a i na tuto verzi optimalizovány. Z toho d vodu neru íme za nefunk nost ve star²ích verzích. Tato verze je zdarma ke staºení na e²itele naleznete po spu²tení v záloºce DATA, viz obrázek Obrázek 5.1.1: Excel - Data - e²itel Pokud tam není, je nutné ho aktivovat. Lze aktivovat následujícím zp sobem: 1. otev ete Soubor - Moºnosti - Dopl ky a otev e se vám nové okno, viz obrázek (a), 2. v otev eném okn dole klikneme na Spravovat: Dopl ky aplikace Excel a otev e se dal²í okno, viz obrázek (b). Za²krtneme e²itel a potvrdíme pomocí tla ítka OK. Pokud v²e prob hlo v po ádku, v záloºce DATA se objeví e²itel (v anglické verzi Solver) Model v se²it Excel 1. Nejd íve vymezíme blok bun k pro neznámé x (p ípadn dal²í neznámé) 65

67 KAPITOLA 5. PROGRAMOVÉ VYBAVENÍ 66 (a) (b) Obrázek 5.1.2: Aktivace e²itele 2. Dále zapí²eme v²echny zadané veli iny - v t²inou to jsou ceny c a koecienty lineárních omezení A a poºadované pravé strany b. 3. Spo teme v²echno, co je pot eba spo ítat (do e²itele se dávají jen odkazy na bu ky nebo bloky bun k). V t²inou to je: (a) kriterium c x = i c ix i (b) vypo tené pravé strany omezení Ax = a ij x j i 4. Zavoláme e²itele a zadáme v²echny odkazy (a) zvolíme Min nebo Max pro kriterium (b) zadáme blok nebo bloky pro neznáme (optimalizované) veli iny (c) p idáme omezení ve tvaru, nebo bin (volí se na stejném míst ) (d) v t²inou necháme zatrºenou volbu neomezené veli iny jsou nezáporné (nemusí se to jiº deklarovat v podmínkách) (e) a v okénku dole vybereme volbu Simplex LP - lineární programování Triky p i práci v Excelu Blok bun k - taºení my²í nebo Shift+²ipka P emíst ní bloku (s Ctrl kopie) -uchopení za okraj (bu ky nebo bloku) a taºení. Vkopírování hodnoty do celého bloku - vytvo íme blok, zadáme hodnotu a Ctrl+Enter. Maticové vzorce - provád jí operace (nej ast ji násobení) prvek po prvku. Zadávají se pomocí Ctrl+Shift+Enter. Výsledek m ºe být v jedné bu ce, nebo v bloku bun k. Blok je moºno zadat p edem (pak se objeví výsledky v celém bloku). Vzorec je moºno kopírovat se v²emi pravidly o posunu adres. Fixace adres (absolutní adresy) - zaxované adresy se p i kopírování neposouvají. Adresu xuje dolar p ed písmenem, íslem nebo obojím. Dolar p ed písmenem xuje adresu p i vodorovném pohybu, p ed íslem p i svislém pohybu a p ed obojím i ve vodorovném i svislém sm ru.

68 KAPITOLA 5. PROGRAMOVÉ VYBAVENÍ 67 Zadání dolar - automaticky zadáme dolary klávesou F4 ihned po vloºení adresy (jinak se musí adresa dát do bloku). Opakované stisknutí F4 provede: oba dolary, jen p ed íslem, jen p ed písmenem, ºádný dolar (atd.) Skalární sou in - pokud pot ebujeme maticový výpo et = i a ib i lze ho jednodu²e vytvo it tak, ºe vytvo íme sumu sou inu dvou sloupc a poté zmá kneme Ctrl+Shift+Enter. Nap íklad =suma(a1:a10*b1:b10) + Ctrl+Shift+Enter Sou in matice a vektoru - matice je B1:D10 a vektor A1:A10. Sou in je =suma(b1:d1*$a$1:$a$10) + Ctrl+Shift+Enter a rozkopírovat svisle. (Druhá adresa je absolutní - viz xace adres.) P íklad v excelu e²íme obecný p íklad lineárního programování, viz 2.1. Pro p ehlednost, je hned na za átku uvedeno e²ení, které je ozna eno modrým pozadím (obrázek 5.1.3). Dále jsou uvedeny váhy v kritériu (pro variantu (a) v obecném p íkladu), tedy váhy c = [5, 1]. Následují podmínky 3x 1 + 5x x 1 + x 2 8 x 2 2 které jsou také ve tvere ku s oranºovým pozadím, stejn jako váhy v kritériu. Kritérium, které je ozna eno zeleným pozadím v ráme ku, je základní parametr, kde se hledá maximum nebo minimim. Ani tento parametr nem níme. P i práci se obvykle m ní pouze polí ka s oranºovým pozadím, tedy zadání. Obrázek 5.1.3: P íklad v excelu

69 KAPITOLA 5. PROGRAMOVÉ VYBAVENÍ 68 V p ípad, ºe jiº máme nastavené základní hodnoty, p echázíme k e²iteli (Solver). Spustíme DATA- e²itel (Solver) a objeví se nám tabulka znázorn na na obrázku (a). Pro správnou funkci je pot eba nastavit následující: 1. Ú elová funkce - odkaz na bu ku s kritériem (zelené pozadí). 2. Hledat - hledá se minimum, maximum nebo ur itá hodnota. Pro zadávajícího je d leºité si uv domit co hledá (u zisku nebude hledat minimum a u náklad maximim). 3. Prom nné modelu - výsledek (modré pozadí). Zde bude optimální hodnota pro zadané veli iny (nap íklad kolik kus výrobku A a B vyrobit). 4. Omezující podmínky - zde musí být v²echny podmínky, které je potreba splnit, tzn. vytvo í se sloupcový vektor, do kterého se vypo ítá sou in výsledku (nap íklad kolik kus vyrobit) s hodnotou ádku tak, aby se dal výsledek porovnat s omezením. Tedy ax porovnáme s pravou strannou omezení. Pokud bude je²t jiný poºadavek, nap íklad minimální vyrobené mnoºství, musí se zapsat také do Omezujících podmínek, kde se klikne na ikonku P idat a nadenuje se nová podmínka. 5. Nastavit podmínky nezápornosti - u v t²iny problém se o ekává, ºe výsledek nem ºe být záporný (nem ºeme vyrobit -5 výrobk ). Tato podmínka se m ºe zadat p ímo do omezujících podmínek nebo se za²krtne polí ko s podmínkou nezápornosti. 6. Vyberte metou e²ení - na výb r je Gradientní metoda, Simplexová metoda a Evolu ní algoritmust. Zvolení vhodné metody je na zadavateli a ur í se podle typu úlohy. (a) Simplexová metoda - lineární optimaliza ní úlohy, (b) Gradientní metoda - hladké nelineární optimaliza ní úlohy, (c) Evolu ní algoritmus - nehladké nelineární optimaliza ní úlohy. (a) (b) Obrázek 5.1.4: e²itel Poté se jiº jen zadá funkce e²it a objeví se následující tabulka (b). Tam necháme za²krtnutou moºnost Uchovat e²ení e²itele a potvrdit tla ítkem OK.