Lineární programování

Transkript

1 Lineární programování Úlohy LP patří mezi takové úlohy matematického programování, ve kterých jsou jak kriteriální funkce, tak i všechny rovnice a nerovnice podmínek výhradně tvořeny lineárními výrazy. To znamená: všechny proměnné se vyskytují pouze v první mocnině, nejsou argumentem žádné funkce, nesmí se násobit mezi sebou.

2 Fáze aplikace lineárního programování 1. Vytvoření ekonomického modelu (činnosti, činitele, strukturní koeficienty, kritérium optimality). 2. Sestavení matematického modelu. 3. Řešení matematického modelu. 4. Ekonomická interpretace výsledků řešení matematického modelu.

3 Vztah mezi ekvivalenty matematického a ekonomického modelu Matematický model Ekonomický model proměnné x 1, x 2,., x n úroveň hospodářských činností koeficienty a 11, a 12,.., a mn c 1, c 2,.., c n konstanty proměnná b 1, b 2,.., b m z strukturní koeficienty disponibilní množství zdrojů nebo požadované množství výsledků hodnota kriteriálního ukazatele

4 Rozdělení metod lineárního programování Podle rozsahu použití: univerzální metody, speciální metody. Podle stupně přesnosti: přesné, přibližné (aproximační).

5 Základní typy úloh lineárního programování úlohy výrobní (sortimentní, kapacitní), úlohy dopravní, úlohy směšovací, úlohy rozmísťovací (přiřazovací), úlohy minimalizující odpad.

6 Formulace matematického modelu 1. Analýza ekonomického modelu činnosti, zdroje, výsledky činností, kritérium optimality. 2. Stanovení proměnných věcný význam a rozměrová charakteristika. 3. Vyjádříme lineárními rovnicemi a nerovnicemi omezení úlohy: pravá strana: omezené disponibilní množství vstupujícího činitele, levá strana: potřebné množství vstupujícího zdroje nebo produkované množství vystupujícího činitele, vždy ve formě lineární funkce. 4. Vyjádříme kritérium optimality lineární funkcí.

7 Úloha LP ve standardní formě Nalézt optimum (maximum nebo minimum) funkce: z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n max (min) kriteriální (účelová) funkce za podmínek: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n <=> b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n <=> b 2.. omezující podmínky.. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n <=> b m x j 0, kde j = 1,, n podmínka nezápornosti

8 Výrobní problém Nalézt takový výrobní program, s nímž je spojen maximální efekt (zisk, hodnota výroby) nebo minimální náklady (pracnost). Omezení: limitující zdroje (pracovní síly, suroviny, energie, kapacity zařízení), limitující požadavky (odbytové, finanční). Omezení mohou být shora nebo zdola, mohou mít též povahu rovností.

9 Dopravní problém Určení takového plánu přepravy homogenní (vzájemně zastupitelné) produkce od skupiny dodavatelů ke skupině odběratelů tak, aby celkové přepravní náklady byly minimální.

10 Označení použitých veličin D i dodavatelé (i = 1, 2,, m) S j spotřebitelé (j = 1, 2,, n) a i b j c ij x ij kapacity dodavatelů požadavky spotřebitelů cena za přepravu jednotky produktu od D i k S j objem přepravovaného produktu od D i k S j

11 Ekonomický model dopravního problému Spotřebitelé Kapacity Dodavatelé S 1 S 2 S n dodavatelů c 11 c 12 c 1n D 1 x 11 x 12 x 1n a 1 c 21 c 22 c 2n D 2 x 21 x 22 x 2n a 2 c m1 c m2 c mn D m x m1 x m2 x mn a m Požadavky spotřebitelů b 1 b 2 b n

12 Vyrovnaný dopravní problém m i 1 n a b i j 1 j

13 Řádková omezení x 11 + x x 1n = a 1 x 21 + x x 2n = a 2 x m1 + x m2 + + x mn = a m

14 Sloupcová omezení x 11 + x x m1 = b 1 x 12 + x x m2 = b 2 x 1n + x 2n +. + x mn = b n

15 Podmínka nezápornosti řešení x ij 0 Kriteriální funkce: z = x 11 c 11 + x 12 c x mn c mn min

16 Nevyrovnaný dopravní problém m a i b i 1 m n j 1 a i b i 1 n j 1 j j fiktivní spotřebitel fiktivní dodavatel Dále se postupuje jako u vyrovnaného dopravního problému.

17 Problém nepoužitelnosti některé komunikace Jestliže některou komunikaci nelze použít, uvede se do odpovídajícího políčka místo skutečné ceny za přepravu cena prohibitivní (velmi vysoká). Tato cena při dalším matematickém řešení problému zajistí, že daná komunikace nebude obsazena.

18 Nezastupitelné dodávky Určitý spotřebitel musí odebrat od určitého dodavatele jisté množství produktu. Velikost tohoto produktu se odečte jak od celkové velikosti kapacit dodavatelů, tak i od celkové velikosti požadavků spotřebitelů. Kriteriální funkce: m n z c x i 1 j 1 ij ij c nd x nd

19 Řešení matematického modelu Rozlišujeme: přípustné řešení základní přípustné řešení optimální řešení

20 Přípustné řešení je takové řešení soustavy lineárních rovnic, které vyhovuje všem podmínkám úlohy. Množina přípustných řešení může být prázdná, omezená, neomezená nebo otevřená.

21 Základní řešení je přípustné řešení, které má nejvýše tolik kladných složek, kolik je lineárně nezávislých rovnic tvořících vlastní omezení (tj. v našem případě nejvýše m kladných složek a nejméně n m nulových složek za předpokladu, že n > m).

22 Optimální řešení je základní přípustné řešení s nejlepší hodnotou účelové funkce (v případě maximalizace s nejvyšší, v případě minimalizace s nejnižší hodnotou).

23 Základní věta lineárního programování Má-li úloha lineárního programování optimální řešení, má také základní přípustné řešení.

24 Počty řešení úlohy lineárního programování 1. Úloha nemá optimální řešení. 2. Úloha má jediné optimální řešení. 3. Úloha má nekonečně mnoho optimálních řešení (se stejnou hodnotou kriteriální funkce). 4. Účelová funkce může na množině přípustných řešení neomezeně růst nebo neomezeně klesat.

25 Grafické řešení úloh LP Lze použít pouze při řešení nejjednodušších úloh, v nichž se vyskytují dvě proměnné a vlastní omezení jsou vyjádřena nerovnostmi.

26 Postup řešení 1. Sestrojíme oblast přípustných řešení. 2. Na množině přípustných řešení hledáme maximum (minimum) kriteriální funkce. 3. Dosadíme-li za z různé hodnoty, dostaneme soustavu rovnoběžných přímek. 4. Z této soustavy vybereme přímku, která má s množinou přípustných řešení alespoň jeden společný bod a je přitom nejdále od počátku (při hledání maxima), resp. nejblíže počátku (při hledání minima).

27 Příklad Balírny čaje plánují v následujícím období výrobu dvou čajových směsí lesní směs a ovocný čaj. Pro výrobu obou směsí mají k dispozici od dodavatelů kg drcených šípků, 600 kg květu ibišku, 350 kg černého rybízu a 200 kg ostružin. Složení obou směsí je uvedeno v tabulce (v kg na balení čaje). Zisk z prodeje balení lesní směsi je Kč, ovocného čaje Kč.

28 Složení směsí čaje Složka Lesní směs Ovocný čaj Drcený šípek Květ ibišku 7 4 Černý rybíz 2 1 Ostružina 1 0

29 Matematický model úlohy 30x 7x 2x x x x z x 4x x x x 2

30 Grafické řešení úlohy x 2 x 1

31 Optimální řešení úlohy x 1 = 40 tis. ks x 2 = 80 tis. ks z = tis. Kč Čerpání surovin: šípek: 30 * * 80 = kg ibišek: 7 * * 80 = 600 kg černý rybíz: 2 * * 80 = 160 kg (rezerva 190 kg) ostružiny: 1 * 40 = 40 kg (rezerva 160 kg)

32 Analýza citlivosti Umožňuje zjistit, jaký vliv mají změny omezujících podmínek na optimální řešení. Např. v našem příkladu nebyly zcela vyčerpány dvě složky černý rybíz a ostružiny. Výrobu však nelze zvýšit, protože první dvě složky byly zcela spotřebovány. Bylo by pro firmu výhodné nakoupit dodatečné množství např. šípku? Pokud ano, jak velké množství?

33 Změna objemu produkce Jestliže balírny získají navíc 1 kg drcených šípků, změní se optimální řešení následovně: 30x 1 35x x 1 4x x 1 39,968 x 2 80,056 Rohový bod reprezentující optimální řešení se posune nepatrně směrem vlevo nahoru.

34 Grafické řešení úlohy x 2 x 1

35 Změna zisku z , , ,8 Kč Jestliže firma zvýší dodatečně množství šípků o 1 kg, hodnota zisku vzroste o 8,80 Kč. marginální výnos (stínová cena) ukazuje, jaký vliv má jednotková změna omezujících podmínek na hodnotu kriteriální funkce.

36 Přípustný rozsah změny S postupným zvyšováním dodávek drcených šípků se bude postupně měnit i oblast přípustných řešení. V určitém okamžiku nastane nová situace, kdy se některá z dalších omezujících podmínek stane podmínkou vyčerpávající a naopak omezující podmínka pro drcený šípek již vyčerpávající nebude. Z grafu vyplývá, že tímto novým omezením se stane ibišek, tj. bod x 1 = 0, x 2 = 150.

37 Horní mez pro šípek Kombinace x 1 = 0, x 2 = 150 bude vyžadovat 35 * 150 = kg drcených šípků.

38 Stínová cena ibišku 30x 7x x 4x x x ,28 79,76 z , , Kč Stínová cena ibišku je 248 Kč. Z ekonomického hlediska je výhodnější využít možnost vyšších dodávek ibišku.

39 Horní mez pro ibišek Maximální možné optimální řešení se objeví v bodě x 1 = 133,33 a x 2 = 0. Tato kombinace vyžaduje: 7 * 133,33 = 933,33 kg ibišku.

40 Grafické řešení úlohy x 2 x 1

41 Rekapitulace citlivost omezení Omezení Stínová cena Disponibilní množství Přípustný rozsah změny od do Drcený šípek 8, , ,000 Květ ibišku 248, , ,333 Černý rybíz 0, ,000 Ostružiny 0, ,000

42 Citlivost kriteriální funkce Proměnná Optimální hodnota Kriteriální koeficient Přípustný rozsah změny od do x , ,000 x , ,333 Cena lesní směsi se může pohybovat mezi 1114 až 2275 Kč, resp. ovocného čaje od 1143 do 2333 Kč, aniž by došlo ke změně optimálního řešení x 1 = 40, x 2 = 80.