Jednotkové rozhodování v energetice

Transkript

1

2 Literatura Gollmer, R., Nowak, M. P., Romisch, W. and Schultz, R., Unit commitment in power generation A basic model and some extensions, Annals of Operations Research, v96, pp , Nicole Gröwe-Kuska, Werner Römisch: Stochastic Unit Commitment in Hydrothermal Power Production Planning, in Stein W. Wallace, W.T.Ziemba: Applications of Stochastic Programming, Chapter 30 ( ).

3 Obsah Základní model Rozšíření modelu Nelineární cena paliva Zahrnutí prvku nejistoty do modelu Scénáře elektrické zátěže Zdroje a odkazy

4 Základní model Optimalizační úloha v energetice - úvod Řešíme úlohu, kterak rozvrhnout produkci elektrické energie v systému vodních a tepelných elektráren (jednotek). Nejistota může zahrnovat změny počasí, cen paliv, zákaznických požadavků, výpadky v síti, apod. Články vzešly ze spolupráce berlínských a duisburských vědců s energetickou sítí VEAG.

5 Základní model Základní model - úvod Máme plánovací výhled, ve kterém chceme úlohu řešit (např. příští týden) T... počet podintervalů v plánovacím výhledu (např. T = 168 hodin, pokud rozdělíme týden na jednotlivé hodiny) I... počet tepelných jednotek J... počet vodních jednotek

6 Základní model Zavedení proměnných Indikátor zapnutí tepelné jednotky i v čase t u t i {0, 1}, i = 1,..., I; t = 1,..., T Velikost energetického výstupu tepelné jednotky i v úseku t pi t, i = 1,..., I; t = 1,..., T Velikost energetického výstupu vodní jednotky j v úseku t sj t, j = 1,..., J; t = 1,..., T Rychlost načerpávání vodní jednotky j v úseku t wj t, j = 1,..., J; t = 1,..., T Naplněnost vodní jednotky j na konci úseku t lj t, j = 1,..., J; t = 1,..., T

7 Základní model Účelová funkce Minimalizujeme účelovou funkci T t=1 i=1 I T C i (pi t, ut i ) + t=1 i=1 I Si t (u i) Náklady na palivo C i jsou funkcí proměnných u t i a p t i (indikátoru zapnutí a velikosti výstupu) Startovací náklady S i jsou funkcí proměnné vektoru indikátorů zapnutí u i Základní model: C i jsou lineární v p i a S t i mohou být popsány vzorcem S t i = a i max{u t i u t 1 i, 0}

8 Základní model Omezení kladená na systém Energetický systém je omezený podmínkami (velikost energetického výstupu, síla čerpadel, kapacita zásobáren vody) pit min ui t pi t pit max ui t, (1) 0 s t j s max jt, (2) 0 w t j w max jt, (3) 0 l t j l max j, (4) i = 1,..., I; j = 1,..., J; t = 1,..., T.

9 Základní model Pokrytí zátěže a zajistění rezervní energie Pro zátěž D t energetické sítě v úseku t máme požadavek pokrytí I pi t + i=1 J j=1 (s t j w t j ) Dt, t = 1,..., T. Pro případ nečekaných komplikací v úseku t máme stanovenu enegetickou rezervu R t, kterou necháme kolovat mezi tepelnými jednotkami, takže musí splňovat podmínku zahrnutelnosti do systému I i=1 (u t i pmax it p t i ) Rt, t = 1,..., T.

10 Základní model Vývoj hladiny ve vodních nádržích Označme si počáteční a konečnou naplněnost j-té nádrže (ve smyslu potenciální energie) předpisem l 0 j = lj in, lj T = l end j, j = 1,..., J. Hladina v úseku t klesá se spotřebou vody pro výrobu energie (odtok přes turbíny) a stoupá s výkonem čerpadel (součin příkonu a účinnosti), proto platí rovnice l t j = l t 1 j (sj t η j wj t ), j = 1,..., J; t = 1,..., T.

11 Základní model Minimální vypínací časy Abychom předešli nebezpečným teplotním šokům v jednotkách poháněných uhlím, zavádíme minimální vypínací časy τ i (někdy zavádíme také podobné minimální zapínací časy). V systému VEAG jsou vypínací časy důležité. Modelujeme je předpisem u t 1 i u t i = 1 u l i, i = 1,..., I; j = 2,...T 1; l = t + 1,..., min{t + τ i 1, T }. Tím je náš základní model hotov.

12 Rozšíření modelu Specifikace rezervní strategie V základním modelu jsme zajišt ovali rezervu jen pomocí kolující energie v tepelných jednotkách, z čehož vyplývala podmínka I i=1 (u t i pmax it p t i ) Rt, t = 1,..., T. My však můžeme část rezervy (označenou R t W ) mít schovánu coby potenciální energii vodní rezervy v nádrži. K tomu zavádíme další proměnné

13 Rozšíření modelu Proměnné modelující podmínky vodní rezervy h W... počet časových úseků, v nichž můžeme spoléhat na vodní rezervu ς t j... kolující rezerva vzniklá nadměrnou tvorbou vodní energie ζ t j... rezerva, kterou můžeme vyvolat zastavením načerpávání

14 Rozšíření modelu Podmínky kladené na vodní rezervu Vodní rezerva musí splňovat následující podmínky (ςj t + ζj t ) Rt W j J s t j + ς t j s max j ζ t j w t j j J, t = 1,..., T.

15 Rozšíření modelu Popsání funkčnosti vodní rezervy na konkrétních vodních jednotkách Aby vše mohlo na jednotlivých vodních jednotkách j fungovat po stanovenou dobu h W, musí být splněno l t 1 j + k l=0 [ (s t+l j + ς t+l j ) + η j (w t+l j ζ t+l j )] 0, j J; t = 1,..., T ; k = 0,..., h W.

16 Nelineární cena paliva Nelineární cena paliva - úvod Smlouvy o dodávkách jsou často konstruovány tak, že ceny jsou diskontované. Čím větší nákup paliva, tím menší cena za jednotku paliva. Navíc různé výrobní jednotky mohou vyžadovat různé jakosti paliva. Obvykle je rozdíl mezi palivy používanými pro setrvalý provoz a palivy pro rozjetí nově zapnuté jednotky.

17 Nelineární cena paliva Nelineární cena paliva - úvod Různé bloky v jedné elektrárně obvykle používají stejný druh paliva. V základním modelu jsme pracovali s konstatními cenami paliva, takže minimalizace nákladů na palivo byla totožná s minimalizací jeho spotřeby. Nyní máme diskontované ceny a máme aditivní vztah mezi jednotkami užívajícími stejný druh paliva. Úhrnná cena paliva má podobu konkávní a po částech lineární funkce.

18 Nelineární cena paliva Nelineární formulace nákladů na palivo Pro daný druh paliva máme ceny f ı, ı = 1,..., I platné na intervalech [ξ ı 1, ξ ı ], přičemž pokládáme ξ 0 = 0. Pro spotřebu paliva ξ [ξī 1 ξī] spočteme náklady f (ξ) jako ī 1 f (ξ) = (ξī ξī 1 )f ı + (ξ ξī)fī. ı=1 Zavedením proměnné α ı = max{0, ξ ξ ı }, ı = 1,..., I získáváme rovnost f (ξ) = I (α ı 1 ξ ı )f ı, ξ [0, ξ I ]. (5) ı=1 Užíváme nelineární funkci. Jak ji linearizovat?

19 Nelineární cena paliva Linearizace palivových nákladů Zavedeme-li proměnné δ ı {0, 1}, ı = 1,..., I a konstantu M ξ I, dostáváme, že α ı = max{0, ξ ξ ı }, ı = 1,..., I právě když existuje řešení (α, δ) systému δ ı M + ξ ξ ı α ı M δ ı M α ı ξ ξ ı α ı 0 α ı δ ı {0, 1}, ı = 1,..., I

20 Nelineární cena paliva Shrnutí linearizace Dohromady s pravou stranou rovnosti (5) dává tento systém lineární model s celočíselnými koeficienty pro palivové náklady f (ξ). Omezili jsme se na po částech lineární konkávní náklady f, stejný model funguje i pro obecné po částech lineární spojité náklady.

21 Nelineární cena paliva Různé druhy paliva Předpokládejme, že tepelné jednotky využívají j = 1,..., J různých druhů paliva. l p j... množina tepelných jednotek, které používají j-té palivo pro výrobu energie l s j... množina tepelných jednotek, které používají j-té palivo pro startování Celkovou spotřebu j-tého paliva spočteme jako ξ j = T T Ĉ i (pi t, ut i ) + Ŝi t (u i), j = 1,..., J t=1 i lj p t=1 i lj p Ĉ je spotřeba paliva na výrobu, Ŝ je spotřeba paliva na rozjezd.

22 Zahrnutí prvku nejistoty do modelu Nejistá zátěž sítě - úvod Hlavní zdroje nejistoty pro energetický model: Vývoj zátěže sítě, energetické výstupy zařízení, proudy ve vodních nádržích, změny tržních cen paliva. Zaměříme se na nejistotu energetické poptávky {D t : t = 1,..., T }, kterou budeme považovat za náhodnou veličinu. Abychom mohli naši úlohu řešit v podmínkách nejistoty, rozšíříme ji na dvojúrovňové stochastické programování. Začneme rozlišovat mezi tepelnými jednotkami poháněnými uhlím a tepelnými jednotkami poháněnými plynem.

23 Zahrnutí prvku nejistoty do modelu Zavedení náhodných proměnných do modelu Označíme i = 1,..., I uhelné jednotky a k = 1,..., K plynové jednotky. Jediným rozhodnutím první úrovně bude zapínání a vypínání uhelných jednotek, které opět popíšeme proměnnou u t i {0, 1}, i = 1,..., I; t = 1,..., T.

24 Zahrnutí prvku nejistoty do modelu Proměnné druhé úrovně Proměnné druhé úrovně již závisí na scénářích a proto mají přídavný index ω: u tω k p tω i p tω k s tω j wj tω lj tω {0, 1}... rozjížděcí indikátory plynových turbín... velikost výstupu i-té tepelné jednotky v úseku t... velikost výstupu k-té plynové jednotky v úseku t... velikost výstupu j-té vodní jednotky v úseku t... velikost načerpávání j-té vodní jednotky v úseku t... míra naplnění j-té tepelné jednotky na konci úseku t i = 1,..., I; i = 1,..., I; i = 1,..., I; i = 1,..., I; ω Ω

25 Zahrnutí prvku nejistoty do modelu Další poznámky k modelu Na tento model rozšířený o prvek náhody klademe stejné podmínky jako na základní model. V podmínce pokrytí nahrazujeme zátěž D t scénářovou zátěží D tω

26 Zahrnutí prvku nejistoty do modelu Účelová funkce - vyjádření palivových nákladů V základním modelu jsme vyjadřovali palivové náklady jako nespecifikovanou funkci provozních proměnných v tepelných jednotkách. Se zavedenými náhodnými proměnnými přejdeme k vyjádření c i pi tω + ci 0 pro uhelné a c k pk tω + c0 k pro plynové jednotky, kde c i, ci 0, c k, ck 0 jsou vhodné konstanty.

27 Zahrnutí prvku nejistoty do modelu Účelová funkce Účelová funkce našeho dvojúrovňového stochastického programu je určena předpisem +E ω [ +E ω [ T ( t=1 T I t=1 i=1 T K t=1 k=1 I i=1 a i max{u t i u t 1 i, 0}+ a k max{u tω k u t i (c ip tω i + c 0 i ) + u(t 1)ω k, 0}]+ K k=1 u tω k (c kp tω k + c0 k ))].

28 Zahrnutí prvku nejistoty do modelu Úprava modelu Podmínky (1)-(4) umožňují nahradit v případě uhelných jednotek výraz ui t(c ipi tω + ci 0 ) jednodušším výrazem c i pi tω + ci 0 ui t a podobně pro plynové turbíny nahradit výraz uk t (c kpk tω + c0 k ) jednodušším výrazem c kpk tω + c0 k ut k. Účelová funkce je nyní lineární s celočíselnými koeficienty. Modelem se podrobněji zabývá studie [3].

29 Zahrnutí prvku nejistoty do modelu Maticový přepis modelu s nejistotou Pro studium svých základních vlastností se model přepisuje jako r min{c T x + π ν q T y ν : Ax b, x X, T x + W y ν h ν, ν=1 y ν Y, ν = 1,..., r} x, y... proměnné 1. úrovně a proměnné 2. úrovně X, Y... množina možných hodnot proměnných 1. úrovně a množina možných hodnot proměnných 2. úrovně b... omezení kladená na x h ν... omezení kladená na y ν, ν = 1,..., r r... Velikost nosiče náhodného vektoru D (zátěže)

30 Zahrnutí prvku nejistoty do modelu Maticový přepis modelu s nejistotou - dokončení Máme rozsáhlý lineární program s celočíselnými proměnnými. Řešíme jej metodou větvení a mezí.

31 Zahrnutí prvku nejistoty do modelu Souvislost s globální optimalizací Abychom vše převedli do řeči globální optimalizace, přepisujeme si úlohu jako min{c T x + Q(x) : Ax b, x X}, kde Q(x) = E ω φ(h ω T x), φ(s) = min{q T y : W y s, y Y }.

32 Zahrnutí prvku nejistoty do modelu Metoda větvení a mezí Máme úlohu min{c T x + Q(x) : Ax b, x X} KROK 1: Najdu řešení úlohy. To si označím x 0. A) Všechny složky x 0 jsou celočíselné, potom považuji výsledek za optimální řešení. B) Některá ze složek x 0 není celočíselná, potom jdu na KROK 2. KROK 2: Vyberu nejmenší k, pro které xk 0 není celočíselné. Přidám podmínky (každá vytváří jinou novou úlohu) x 0 k x 0 k x 0 k a x 0 k + 1 Pokud získám optimální řešení úlohy s podmínkou x 0 k x 0 k, označím ho x1, analogicky pro druhou úlohu značím x 2.

33 Zahrnutí prvku nejistoty do modelu KROK 3 - vyhodnocení variant vývoje ÚMLUVA: Pokud x l, l = 1, 2 neexistuje, klademe x l := VARIANTA 1: x 1 je přípustné řešení celočíselné úlohy a platí c T x 1 + Q(x 1 ) c T x 2 + Q(x 2 ) VARIANTA 2: x 1 je přípustné řešení celočíselné úlohy a platí c T x 1 + Q(x 1 ) > c T x 2 + Q(x 2 ) VARIANTA 3: x 1 ani x 2 nejsou přípustná celočíselná řešení úlohy VARIANTA 1 -> x 1 je optimální řešení úlohy VARIANTA 2 -> x 1 nemusí být optimální řešení, nebot množina přípustných řešení může mít v druhé větvi lepší řešení. Proto opakujeme KROK 2, aplikovaný na řešení x 2 VARIANTA 3 -> Opakujeme KROK 2, podmínky přidáváme k oběma řešením

34 Zahrnutí prvku nejistoty do modelu Shrnutí Vhodný software na řešení těchto úloh je CPLEX. Bez heuristik a ořezávaní nelze spočítat praktické úlohy v rozumném čase a s rozumnými pamět ovými nároky.

35 Scénáře elektrické zátěže Periodicita v historických záznamech Ke správnému rozhodování o energetické strategii potřebujeme mít dobrou představu o trendech spotřeby v rámci 1 dne, 1 týdne, 1 roku. Tuto představu získáváme z dříve pozorovaných dat. Historické záznamy ukazují nejrůznější závislosti spotřeby na dalších faktorech (období, teplota, počasí, den v týdnu, apod.) Při pohledu na data za týden vidíme periodicitu dat po dnech, u měsíčních dat vidíme periodicitu po týdnech. V rámci dlouhých pozorovacích období vidíme i periodicitu po jednotlivých rocích.

36 Scénáře elektrické zátěže Kategorizace dnů v týdnu Při pozorování dat se liší vývoj zátěže v neděli a pondělí, ve středu a státní svátek, apod. Existuje 10 různých kategorií, do kterých můžeme dny rozdělit (1 pondělí,..., 7 neděle, 8 svátek po pracovním dnu, 9 den mezi svátkem a víkendem, 10 svátek po víkendu nebo jiném svátku) Na základě statistických testů se snažili autoři shlukovat dny do menšího počtu kategorií

37 Scénáře elektrické zátěže Základních 8 kategorií 8 kategorií dnů: 1 - Pondělí nebo pracovní den po svátku 2 - Běžný pracovní den (úterý, středa, čtvrtek) 3 - Pátek nebo pracovní den před svátkem 4 - Sobota 5 - Neděle 6 - Svátek, kterému nepředcházel den typu 2 či Svátek po dnu typu 2 či Pracovní den mezi dny kategorií 4-7

38 Scénáře elektrické zátěže Rozklad zátěžového procesu Dekompozice v rozložení zátěžového procesu na průměrnou (denní) spotřebu a tzv. korekci průměrné denní spotřeby (dále jen (denní) korekční proces) Necht x jτ je pozorovaná zátěž v časovém úseku τ = 1,..., 24 dne j J := {1,..., 1098}. Necht d j := τ=1 x jτ značí průměrnou spotřebu ve dnu j Necht cat(j) {1,..., 8} je kategorie dne j Potom máme historický zátěžový záznam rozdělen způsobem x jτ = d jτ + d j, τ = 1,..., 24; j J

39 Scénáře elektrické zátěže Odlišné kategorie dní V různých kategoriích dní je různá průměrná denní spotřeba d j. V různých kategoriích dní jsou výrazné odlišnosti v průběhu denního korekčního procesu d jτ. Pokud bychom kategorizovali např. podle počasí, pozorovali bychom další zajímavé odlišnosti.

40 Zdroje a odkazy Zdroje a odkazy 1 Gollmer, R., Nowak, M. P., Romisch, W. and Schultz, R., Unit commitment in power generation A basic model and some extensions, Annals of Operations Research, v96, pp , Nicole Gröwe-Kuska, Werner Römisch: Stochastic Unit Commitment in Hydrothermal Power Production Planning, in Stein W. Wallace, W.T.Ziemba: Applications of Stochastic Programming, Chapter 30 ( ). 3 C.C.Caröe, R. Schultz: A two-stage stochastic program for unit commitment under uncertainty in a hydro-thermal system, Preprint SC 98-11, Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin, 1998.