Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Transkript

1 Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Kružnice, kruh, tečny, obsahy, goniometrické funkce, integrace Autor: Stanislav Trávníček Zadání Je dána kružnice k = (S; r) a bod M tak, že SM = p. Dotykové body tečen z bodu M ke kružnici k jsou T 1, T 2. Vypočtěte obsah P trojúhelníku M T 1 T 2. Vyčíslete jeho hodnotu pro r = 3, p = 5. Kolik % tohoto trojúhelníku leží v daném kruhu? Řešení 1 (úroveň 2) Předpokládané znalosti: Podobnost, Eukleidovy věty, obsah kruhové výseče. Označíme MT 1 = MT 2 = t, RT 1 = RT 2 = q, MR = p 1, RS = p 2, Vidíme, že p 1 + p 2 = p, P = q p 1. V daném kruhu leží x procent trojúhelníku M T 1 T 2. Výpočet obsahu provedeme pomocí vzorce P = q p 1. Hledáme tedy vyjádření q a p 1 pomocí zadaných hodnot r a p. Pravoúhlé trojúhelníky MST 1, MT 1 R a T 1 SR jsou podobné. Z toho plyne = p 1 = ; z Pythagorovy věty je t 2 = p 2 r 2 takže máme vypočteno p 1 =.

2 Z Eukleidovy věty o výšce plyne q 2 = p 1 p 2, z Eukleidovy věty o odvěsně je p p 2 = r 2, takže p 2 = ; pak tedy q 2 = p 1 p 2 =, odkud q =. Odsud P = q p 1 = = ( ). Pro r = 3, p = 5 máme P 0 = ( ) = = = 7,68. V daném trojúhelníku M T 1 T 2 leží kruhová úseč S T 1 T 2 s obsahem Q, takže budeme vlastně hledat poměr Q / P, přičemž P už známe. Tato kruhová úseč přísluší ke středovému úhlu T 1 ST 2 o velikosti 2. Je-li obsah kruhu roven K (= r 2 ), pak pro obsah W příslušné výseče platí =, takže W = K, kde = arcsin, takže. W = r 2 ( arcsin ). Od obsahu výseče nyní odečteme obsah trojúhelníku ST 1 T 2, což je U = q p 2 = =. Hledaný obsah úseče je Q = W U = r 2 = ( ). V daném kruhu leží x = 100 Q / P % obsahu trojúhelníku M T 1 T 2. Při daném číselném zadání je Q 0 = ( ) 4,03,. x 0 = 100 K 0 / P 0 % 52,4 %. Řešení 2 (úroveň 2 3) Předpokládané znalosti: Goniometrické funkce, obsahy, obsah kruhové výseče. Zachováme předchozí označení. Hledaný obsah vypočteme dle vzorce P = a b sin, tedy P = t 2 sin 2, kde t 2 = p 2 r 2 a sin =. Pomocí r a p vyjádříme sin 2. sin 2 = 2 sin cos, kde cos =, takže sin 2 = 2 = 2. 2

3 Odsud P = (p 2 r 2 ) 2 = ( ). Obsah výseče určíme stejně jako v řešení 1 ze vztahu W = K = r 2 = r 2 ( arcsin ) ; obsah U trojúhelníku ST 1 T 2 je U = r sin r cos = r 2 =. Závěr výpočtu je stejný jako v řešení 1. Q = W U, x = 100 Q / P %. Řešení 3 (úroveň 2 3) Předpokládané znalosti: Goniometrické funkce, trigonometrie (kosinová větobsahy, obsah kruhové výseče. Zde pozměníme označení. V trojúhelníku MT 1 T 2 označíme T 1 T 2 = s, MR = v, T 1 MT 2 =, MT 1 = MT 2 = t. Hledaný obsah trojúhelníku MT 1 T 2 je P = s v. Z kosinové věty plyne s 2 = t 2 + t 2 2t 2 cos = 2t 2 (1 cos ) ; přitom t 2 = p 2 r 2, 1 cos = 1 cos 2 = 1 cos 2 + sin 2 = 2 sin 2 = 2 ; odsud s 2 = 2 (p 2 r 2 ) 2 ; s =. Ježto cos =, je v = t cos = = a konečně P = = ( ). Pokračování dle (1). W = r2 ; cos =, takže = 2 arccos, W = r 2 arccos = r 2 ( arcsin ). U = r 2 sin = r 2 2 sin cos = r 2 =. Pak už dostáváme totéž jako v předchozích řešeních, Q = W U, x = 100 Q / P %. Řešení 4 (úroveň 3) Předpokládané znalosti: Analytická geometrie, rovnice kružnice, tečna ke kružnici, kvadratická rovnice s parametrem, Eukleidovy věty. 3

4 Použijeme označení z 1. řešení. Bod M zvolíme v počátku souřadnicové soustavy a střed kružnice k na ose x, S[p; 0]. Rovnice kružnice je pak (x p) 2 + y 2 = r 2. Bodem M vedeme přímku y = ax a koeficient a volíme tak, aby tato přímka byla tečnou kružnice k. Hledáme tedy průsečík přímky s kružnicí: (x p) 2 + a 2 x 2 = r 2 (1 + a 2 )x 2 2px + p 2 r 2 = 0. (*) Vypočteme čtvrtinový diskriminant D = p 2 (1 + a 2 ) (p 2 r 2 ) a položíme ho roven 0, neznámou je nyní a 2. a 2 (p 2 r 2 ) + r 2 = 0 a 2 =, a 1,2 = =. Tečny mají rovnice y = x. Dotykové body mají x-ovou souřadnici tj. řešíme rovnici (*): x 1,2 = = =, a příslušné y-ové souřadnice jsou y 1,2 = =. Platí P = x 1 y 1 = = ( ). Označme velikost úhlu T 1 SR jako. Pak W = r 2 = r 2. Platí tg = =, takže = arctg a W = r 2 arctg. Označíme opět q = RT 1, p 2 = RS Podle Eukleidovy věty o odvěsně je p p 2 = r 2, takže p 2 = a q = p 2 tg ; U = p 2 q = =. Nakonec Q = W U, x = 100 Q / P %. Řešení 5 (úroveň 3) Předpokládané znalosti: Objekty umístíme, jak je ukázáno na obrázku. 4

5 Označme T 1 [-m; 0], T 2 [m; 0], O[0; 0], je velikost úhlu OT 2 S; platí SM = p. Vidíme, že takže y-ová souřadnice bodu S je r sin, a ježto sin =, máme S [ ]. Dále vidíme, že m = r cos = r = r =. Obsah trojúhelníku MT 1 T 2 můžeme vypočítat jako dvojnásobek obsahu trojúhelníku MT 2 O. Najdeme nyní rovnici přímky MT 2. Vektor kolmý k vektoru u = T 2 S = ( ; ) je např. v = (r ; ), takže směrnice k přímky MT 2 je k =. Rovnice přímky MT 2, která jde daným bodem T 2 a má směrnici k je y 0 = (x + ), y = f(x) = x + Proto P = 2 ( ) = 2 [ ] = = 2 ( ( ) ) = ( ) Nyní budeme počítat obsah Q kruhové úseče nad osou x. Rovnice dané kružnice je x 2 + ( ) = r 2. Pro oblouk úseče v horní polorovině máme ( ) = r 2 x 2, takže y = +, Q = ( ) ; Nejprve vypočteme primitivní funkci, k tomu rozdělíme integrant na dvě části. I 1 = = x; I 2 = dx; v tomto integrálu provedeme substituci x = r sin t, dx = r cos t dt. Pak I 2 = r 2. Ze vzorců pro goniometrické funkce plyne 5

6 = (1 + cos 2t), takže po integraci je I 2 = r 2 (t + sin 2t) = r 2 (t + sin t ), kde sin t = ; I 2 = r 2 (arcsin + ). Přejdeme k určitému integrálu [ ] = [ ] = (.+ ) =. [ ] = r 2 (2 arcsin + 2 ) = = r 2 (arcsin + ) Q = [ ] + [ ] = r 2 (arcsin ). Poznámka: Ověřte, že arcsin =. x = 100 Q / P %. Metodické poznámky: Řešení úlohy patří k náročnějším a lze ji použít u vyspělejších tříd. Zadaný zvláštní případ, výpočet x, je uveden jen u 1. řešení. Je samozřejmé, že u každého řešení 2 4 je třeba si pořídit obrázek podobné jako v řešení 1. Zdroj: Autor Obrazový materiál: Dílo autora Autor: Stanislav Trávníček, stanislav.travnicek@volny.cz 6