ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA

Transkript

1 ŠROUBOVÝ A PROSTOROVÝ POHYB ROTAČNĚ SYMETRICKÉHO TĚLESA Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Pojem šroubového pohybu Šroubový pohyb je definován jako pohyb, jejž lze ve vhodném referenčním bodě rozložit na unášivý posuv po přímce a druhotnou rotaci kolem téže přímky. Tuto přímku nazýváme osou šroubového pohybu(zkráceně osou šroubu). Pro rotačně symetrické těleso se možnost šroubového pohybu zajistí jeho uložením do prostorové rotačně-posuvné vazby realizované dvěma(úzkými) radiálními ložisky, popřípadě jedním širokým radiálním ložiskem. Taková vazba tělesu odebere 4 stupně volnosti, takže šroubový pohyb je pohybem obecně se dvěma stupni volnosti. Jedná se oužzmíněnýposuvvosešroubuarotacikolemtéžeosy. Poznámka: Rovinný pohyb, při kterém se jeden bod tělesa pohybuje po přímce lze v tomto bodě rozložit na unášivý posuv po této přímce a(narozdíl od šroubového pohybu) druhotnou rotaci kolem osy na tuto přímku kolmé. V technické praxi se šroubový pohyb často realizuje přes dotýkající se závitové plochy šroubu a matice(tedy rámu). Jedná se o tzv. šroubovou kinematickou dvojici, jež kromě rotačně-posuvné vazby zajišťuje kinematickou závislost unášivého pohybu a druhotné rotace šroubového pohybu. Šroubový pohyb realizovaný šroubovou kinematickou dvojicí je pohyb pouze s jedním stupněm volnosti, kdy unášivý posuv a druhotná rotace jsou vázány vztahem, definujícím konstantní úhel β stoupání závitu. Rozvineme-li závit β x s r ϕ 2 π r Obrázek 1: do roviny, máme situaci znázorněnou na obr. 1. Jestliže s[m] je stoupání závitu, r[m] poloměrzávitu, x[m]posuvvosešroubuaϕ[rad]úhelnatočenídruhotnérotacekolem osy šroubu, pak zřejmě platí tgβ= [ s 2πr = ] x rϕ Časovými derivacemi tohoto výrazu dostaneme x=rtgβ ϕ. v= rtgβ ω; a=rtgβ α, (1) kde v resp. a je rychlost resp. zrychlení unášivého posuvu a ω resp. α je úhlová rychlost resp. úhlové zrychlení druhotné rotace šroubového pohybu. 1

2 Statika šroubové dvojice Nechťšroubjezatíženvnějšíakcí Fvosešroubu(obr.2),ježzpůsobí(rovnoměrný) F x, v ϕ, ω Obrázek 2: pohyb šroubu dolů. Úhlová rychlost formulovaná jako vektor pak(v případě pravého závitu)mířírovněždolů.síla F vyvolánaelementárníplošcezávituelementárnínormálovoureakcid N(obr.3).Tatoreakcevyvolápřipohybušroubudolůelementární dn β ϕ db dr β da dt Obrázek 3: třecísílud Tmířícíprotismyslupohybu,tedypozávituvzhůru.Zmíněnédvaúčinkyse skládajídoelementárnívýslednéreakced R,skloněnéprotismyslupohybuodnormálovéhosměruotřecíúhel ϕ.protentoúhelplatítgϕ=f,kde fjekoeficientsmykového třenímeziploškamizávitunašroubuarámu(matici).rozložmedálereakcid Rdo směruosyšroubu(axiálnísměr-složkad A)adosměrukolmého(tečnýsměr-složkad B). Zobr.3jeihnedpatrno,že(předpokládáme,že β > ϕ) da=drcos(β ϕ);db=drsin(β ϕ). (2) Popsaná situace je analogická pro libovolnou plošku(bod) na závitu, po celé jeho účinnédélce.uvažujmenyníjedenzávitapodívejmesenanějshoravosešroubu(obr. 4). Každému bodu B závitu odpovídá jistý protilehlý bod B. V těchto bodech působí elementárníaxiálníatečnésílypodleobrázku4.nahraďmejevosešroubu(tedyvbodě S na obr. 4). Při přenesení těchto reakcí na rovnoběžné nositelky připojujeme silové 2

3 B da (nahoru) db r S db, B da (nahoru) ω Obrázek 4: dvojice,kterésevpřípaděaxiálníchreakcíuprotilehlýchbodůbab vyrušíapro případ tečných reakcí se sečtou. Vlastní do bodu S přenesené reakce se naopak v případě axiálních reakcí sečtou a v případě tečných reakcí se vyruší. Výsledkem bude součtová axiálníreakce2davosešroubuavýslednádvojice,jejížmomentmířídolůvosešroubu a má velikost 2rdB. Protože veličiny r(poloměr závitu), β(úhel stoupání závitu) a ϕ (třecí úhel), jsou v každé plošce závitu stálé, dostáváme odtud integrací přes všechny činné plošky závitu vzhledem k(2), že náhradou popisovaných účinků v ose šroubu je vzhůrujdoucíosovásílaovelikosti A=Rcos(β ϕ)asilovádvojice,jejížmomentmíří vosešroubudolůamávelikost M A = Rrsin(β ϕ).vtěchtovýrazechje R= d R výsledná reakce, přenášená všemi činnými ploškami závitu při rovnoměrném pohybu šroubudolů.vyloučenímreakce Rzpopisovanýchvýrazůpro AaM A dostávámevztah M A = Artg(β ϕ). (3) Nechťšroubjezatížensvislouakčnísilou F vosešroubu.tatosílavyvolávýše popsané reakční účinky(nahrazené rovněž v ose šroubu). Hledejme vnější akční silovou dvojiciomomentu Mvosešroubuprorovnoměrnýpohybšroubudolů.Zesložkovéa momentové podmínky do osy šroubu ihned plyne A=F; M A = M, takže podle(3) pro velikost momentu pro rovnováhu platí M= Frtg(β ϕ). (4) Tento moment míří proti reakčnímu momentu, tedy vzhůru. Argument tangenty ale můžebýtzáporný.vtakovémpřípaděbymoment Mmířildolů. Záležínarelacimeziúhlemstoupánízávitu βatřecímúhlem ϕ.je-li β > ϕ(tedy malé tření), šroub se pod působením(libovolně malé) osové síly F samovolně roztáčí a moment M o velikosti(4) pro rovnováhu míří skutečně vzhůru. Jestliže platí relace opačná(tedy velké tření), šroub se samovolně(ani pod působením jakkoliv velké síly) nedá do pohybu. Pro rovnováhu při rovnoměrném pohybu dolů je potřeba připojit moment o velikosti(4), ovšem opačné orientace, mířící rovněž dolů. Tento stav je běžný u šroubových spojů. Teoretický případ rovnosti β = ϕ znamená stav rovnováhy na mezi pohybu oběma směry bez připojení akčního momentu. Poznámka: Jestliže by šroub byl zatížen obecným zatížením, pak výše popsané jevy odpovídají osovým složkám výsledné vnější akční síly a momentu. Ostatní složky vnějšího akčního zatížení vyvolají reakce v rovinách kolmých na osu šroubu a představují v příslušných rovnicích rovnováhy celkem čtyři neznámé. 3

4 Dynamika šroubového pohybu Šroubový pohyb rozložíme na unášivý posuv po ose šroubu se zrychlením a a druhotnou rotaci kolem téže osy úhlovým zrychlením α a úhlovou rychlostí ω. Setrvačné účinky jsou superpozicí setrvačných účinků od unášivého posuvu a od druhotné rotace. Odunášivéhoposuvujdeosetrvačnousílu D= m a(mjehmotnostšroubu)působící v těžišti šroubu(ve směru osy šroubu, proti smyslu kótování zrychlení posuvu)-obr.5. x 0 me α I α α S ma me ω 2 v, a z y ω, α Obrázek 5: Jestliže šroub je těleso osově souměrné, je tato osa souměrnosti pro libovolný počátek hlavní osu setrvačnosti šroubu. Setrvačnými účinky od druhotné rotace jsou proto silová dvojice M D = I α(ijeosovýmomentsetrvačnostišroubukjehoose)vesměruosy šroubu proti smyslu kótování úhlového zrychlení rotace, dále tečná setrvačná síla velikosti meαaodstředivásílavelikosti meω 2 (ejeexcentricitatěžištěšroubu),vznikající od kruhového pohybu těžiště S šroubu. Obě síly jsou nahrazeny v bodě O-viz obr.5. Velmi důležitý speciální případ tvoří stav, kdy e = 0. Tento případ nastává např. tehdy, když osově symetrický šroub je navíc homogenní. Oba silové setrvačné účinky oddruhotnérotacesepakanulují.setrvačnásíla D(isetrvačnádvojice M D )pakpůsobí v ose šroubu. Ve všech případech jsou vlastními pohybovými rovnicemi složková a momentová podmínka dynamické rovnováhy k ose šroubu. Pro určení kinetické energie se omezujeme pouze na případ, kdy e = 0. Popisovaný rozklad pohybu je(základní) rozklad v těžišti, takže platí pro něj Königova věta. Podle níje E k = 1 2 (mv2 + Iω 2 ). (5) Příklad Homogenní symetrický šroub je spojen šroubovou kinematickou s rámem(maticí). Osovějezatíženvýslednousilou Favýslednoudvojicíomomentu M-obr.6.Šroubmá 4

5 F ma Iα A v, a Obrázek 6: M A M ω, α hmotnost m, moment setrvačnosti ke své ose I, poloměr závitu r, úhel stoupání závitu β a třecí úhel mezi plochami závitů ϕ. Určete zrychlení a posuvu šroubu. Řešení:Uvažujmesílu Fimoment Mpůsobícídolů(vizobr.6).Rychlostazrychlení unášivého posuvu kótujeme kladně rovněž dolů, stejně jako úhlovou rychlost a úhlové zrychlení druhotné rotace(pravý závit). Popsané statické akce vyvolají v ose šroubu vzhůrumířícíreakci Aadolůmířícíreakčnímoment M A,prokterýplatí(3).Dynamickýmiúčinkyjsouvzhůrumířícíosovásetrvačnásíla Dvelikosti D=maavzhůrumířící setrvačnýmoment M D velikosti M D = Iα.Protožestatickéidynamickézatíženíjepouze v ose šroubu, jsou všechny(čtyři) reakce v rovinách kolmých na osu šroubu nulové. Jediné dvě netriviální podmínky dynamické rovnováhy jsou tedy složková a momentová podmínka do osy šroubu. Tyto podmínky tvoří zároveň vlastní pohybové rovnice. Mají tvar složková: ma+a F=0, (6) momentová: Iα M A M=0. (7) Dosadíme-lido(7)za M A z(3)aza αz(1),dostaneme Dosazením za A a(6) vznikne odkud úpravou a I M= Artg(β ϕ). rtgβ a I M=(F ma)rtg(β ϕ), rtgβ M+ Frtg(β ϕ) a=rtgβ I+ mr 2 tgβtg(β ϕ). (8) Jestliže F=konstiM=konst,jeia=konstapohybšroubujerovnoměrnězrychlený nebo zpožděný(eventuálně rovnoměrný). Protože pro reálné relace mezi β a ϕ je jme- 5

6 novatel zlomku(8) kladný, rozhoduje o kvalitě pohybu šroubu znaménko čitatele tohoto zlomku. Pro M > Frtg(β ϕ)=frtg(ϕ β) se jedná o pohyb rovnoměrně zrychlený. Pro opačnou relaci se jedná o pohyb rovnoměrně zpožděný(popřípadě rovnoměrně zrychlený v opačném smyslu- situace by závisela na počátečních kinematických podmínkách šroubu). Je-li M= Frtg(ϕ β), (9) je a=0atedysejednáorovnoměrnýpohybšroubu.je-lišroubsamosvorný(vpraxi skorovždy),je ϕ > βamoment(9)jemoment,kterýmzpůsobímepohybšroubukonstantní rychlostí dolů. U nesamosvorného šroubu je ϕ < β a moment(9) vychází záporný. Tímto momentem pak musíme rozběhnutý šroub brzdit pro zajištění jeho rovnoměrného pohybu dolů. Obecný prostorový pohyb Tento pohyb rozložíme ve vhodném referenčním bodě A na unášivý posuv se zrychlením a A adruhotnýsférickýpohybscentrema.setrvačné(dynamické)účinkyodtohoto pohybu jsou pak superpozicí setrvačných účinků od obou dílčích pohybů. Jsou to tyto účinky: 1.Odunášivéhoposuvusetrvačnásíla D= m a A působícívtěžištitělesa. 2.Oddruhotnéhosférickéhopohybusetrvačnásíla D r = m a Sr působícívcentru Asférickéhopohybu.Veličina a Sr vyjadřujerelativnízrychlenítěžištětělesapři druhotném sférickém pohybu. 3.Oddruhotnéhosférickéhopohybusetrvačnádvojice M D.Tutodvojicivyjadřujeme pro případ osově symetrického tělesa(kdy osa symetrie je pro jakékoliv centrum sférického pohybu na ní ležící hlavní osou setrvačnosti) v souřadnicové soustavě ξ,η,ζ,vůčikterétělesoužpouzerotujeakterávůčisoustavě x,y,z,pohybující se s referenčním bodem A unášivým posuvem, vykonává pouze precesi a nutaci. Složky této setrvačné dvojice ve zmíněné soustavě jsou vyjádřeny Eulerovými dynamickými rovnicemi(viz téma Sférický pohyb). Poznámka: Jestliže referenčním bodem A popisovaného základního rozkladu je těžiště tělesa,odpadásíla D r. Technicky velmi důležitým speciálním případem je prostorový pohyb rotačně symetrickéhohomogenníhotělesa,hmotnosti mamomentusetrvačnosti I 0 kosesymetrie, skládající se ze dvou rovnoměrných rotací kolem mimoběžných(obecně nekolmých)os.osa o 1 (obr.7)jetrvalevklidu.jeosourotacekolemkterérotujestálou úhlovourychlostí ω 1 (pevněso 1 spojená)ko 1 kolmápříčkadélky OA=b(obr.7). Zároveňstoutopříčkoukolem o 1 rotuje(pevněsníspojená)vroviněkníkolmé ležícíosa o 2. 1 Osa o 2 svírásmimoběžnoukolmicíko 1 úhel β.kolempopsanépohyblivé osy o 2 rotujekonstantníúhlovourychlostí ω 2 (homogenníosověsymetrické)těleso,jehož 1 Jdeospeciálnípřípadmimoběžnýchnekolmýchos.Pokudbynastalpřípadobecnýaosa o 2 by neležela v rovině kolmé k příčce, neovlivnilo by to kvalitu unášivého ani druhotného pohybu. Pouze nutačníúhelbyseneurčiltakjednoduše,jakjeuvedenoníževtextu. 6

7 o 1 η, z = z. (ω ) = ψ 1, x = ξ D ω. 1 b. A υ ω 2 = ϕ T. β D r c o 2 = ζ 0 Obrázek 7: těžištětleží(naose o 2 )vevzdálenosti AT= c(obr.7.)popíšemesetrvačnéúčinkyna takové těleso působící. Popsaný pohyb rozložíme v referenčním bodě A na unášivý posuv po kružnici, charakterizovanýúhlovourychlostí ω 1,adruhotnýsférickýpohybscentremvboděA. Tentosférickýpohybseskládázrovnoměrnépreceseúhlovourychlostí ψ= ω 1 ( přeloženou zosy o 1 narovnoběžnouosu z-vizobr.7)azrovnoměrnévlastnírotaceúhlovou rychlostí ω 2 = ϕkolemosy o 2 = ζpřikonstantnímnutačnímúhlu ϑ= π 2 β.protože nutacesférickéhopohybujerotacíkolem x ξ(viztémasférickýpohyb),přikteréosa z ( z)přecházídopolohy ζ,jezřejměosa ξvýšeuvedenésouřadnicovésoustavy ξ,η,ζ prodlouženímpříčkyoa(obr.7).příslušnouosu ηpakkosám ξa ζdoplnímetak,aby soustava byla pravoúhlá a pravotočivá. Setrvačné účinky na těleso jsou pak následující. 1. Od rovnoměrného unášivého posuvu po kružnici v těžišti tělesa působící odstředivá síla D = m a n,kde a n jedostředivézrychleníkruhovéhopohybuboduao velikosti a n = bω 2 1.ZmíněnásílamátedysměrpříčkyOAamíří vesmysluod boduokbodua. 2. Setrvačné účinky od výše popsaného druhotného sférického pohybu. Tyto účinky jsou následující. (a)odstředivásíla D r odprecesníhopohybutěžištěpokružnicipoloměru ccos β úhlovourychlostí ω 1.Tatosílajenahrazenavcentrusférickéhopohybu.Její velikostje D r = mω 2 1ccos β,směrkolmýnarovinu ξz vesmysluodbodu A (obr.7). (b) Rozšířený(první) gyroskopický moment, jenž působí v kladném smyslu kolem osy ξ. Jeho velikost je(viz téma Sférický pohyb) M Dξ =(I I 0 ) ψ 2 sin ϑcos ϑ I 0 ψ ϕsin ϑ=ω 1 cos β[(i I 0 )ω 1 sin β I 0 ω 2 ], (10) 7

8 Poznámky: kde I je moment setrvačnosti tělesa k(libovolné) ose kolmé k ose jeho symetrie procházející bodem A. 1. V jistém smyslu výhodnější by byl rozklad výše popsaného prostorového pohybu přímovtěžištittělesanaunášivýposuvpokružnicipoloměru ρ= b 2 + c 2 cos 2 β úhlovourychlostí ω 1 adruhotnýsférickýpohybscentremvtěžištitělesa.osy souřadnicové soustavy ξ, η, ζ příslušející k tomuto sférickému pohybu budou rovnoběžné s osami stejných označení pro výše sledovaný sférický pohyb, počátek soustavy ovšem bude těžiště tělesa T. Protože centrum sférického pohybu je těžištěmtělesa,budesetrvačnásíla D r nulová.atributysetrvačnédvojicebudou analogické jako výše. Setrvačné účinky na těleso nyní budou tedy pouze dva. (a)setrvačnásíla D odunášivéhoposuvuovelikosti D = mρω 2 1 působícív těžištivesměruúsečkyoznačujícínejkratšívzdálenosttěžištětodosy o 1, vesmysluodosy o 1. (b) Rozšířený první gyroskopický moment tvaru(10), kde I je nyní osový moment setrvačnostitělesak(libovolné)osekolména o 2,ježaleprocházítěžištěm tělesa. 2. Zmíněné setrvačné účinky jsou uváděny do rovnováhy dynamickými složkami reakcívprostorovérotačnívazbětělesakose o 2,popřípadědynamickýmisložkami reakcívprostorovérotačnívazbětělesakose o 1. 3.Speciálněpropřípadkolmýchmimoběžnýchosje β = 0.Síla Dzůstávábeze změny.velikostsíly D r je mcω 2 1 avelikostgyroskopickéhomomentuje M Dξ = = I 0 ω 1 ω 2 (tedyzáporněkolemosy ξ.) 8