FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ KATEDRA ELEKTROMAGNETICKÉHO POLE

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ KATEDRA ELEKTROMAGNETICKÉHO POLE BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Modální analýza mikropáskových patch antén Vypracoval: Miloslav Čapek Vedoucí práce: Ing. Pavel Hazdra České Budějovice 2007

2

3 i Zadání Seznamte se s dutinovým modelem používaným pro analýzu mikropáskových patch antén. Implementujte tento model (např. v MATLABu) a propojte ho se stávajícím fraktálovým IFS generátorem. Zaměřte se na modální vlastnosti vybraných fraktálových patch antén, stanovte rezonanční frekvence a rozložení proudové hustoty. Navrhněte možnosti propojení dutinového modelu a IFS generátoru s optimalizační smyčkou (např. GA toolbox v MATLABu) pro minimalizaci rezonanční frekvence základního modu.

4 ii Poděkování Velký dík patří vedoucímu práce panu Ing. Pavlu Hazdrovi za poskytnutí odborné literatury a dalších materiálů a za počáteční osvětlení problematiky, stejně tak jako za motivaci a cenné rady během celého semestru, ve kterém tato práce vznikala. Dále bych chtěl poděkovat Ing. Pavlu Tišnovskému za možnost nahlédnout do jeho práce a Mgr. Janě Königsmarkové za provedení korektur.

5 iii Prohlášení Tímto stvrzuji, že tato práce je mé vlastní dílo a že všechny použité zdroje jsou uvedeny v Literatuře (případně na datovém nosiči). Dále souhlasím s případným využitím mé práce pro nekomerční účely Katedry Elekromagnetického pole na FEL-ČVUT. V Českých Budějovicích dne

6 Abstrakt Cílem projektu je návrh a realizace funkčního generátoru a analyzátoru IFS fraktálních patch antén. První polovina práce se zabývá popisem a realizací vlastní geometrie antény bez nutné znalosti specifik anténní techniky. Jsou zde představeny druhy fraktálů a podmínky jejich vzniku, maticová podoba a realizace v programu MatLab. Využití MatLabu a variabilního vstupu, který kontroluje uživatel, umožňuje vznik různorodých struktur. Jejich presentací práce pokračuje. Druhá polovina textu uvádí různé přístupy k analýze mikropáskových patch antén. Jedna z těchto metod dutinový model je vybrána a realizována pomocí PDE toolboxu a podrobně popsaných podpůrných programů. Na závěr je spolu s konkrétními výsledky uvedeno několik návrhů, jak práci v budoucnu vylepšit a rozšířit. Velký potenciál představuje optimalizační algoritmus (GA případně PSO) či propojení s externím a přesnějším simulačním softwarem (FemLab); i těmto eventualitám je věnován dostatečný prostor. iv Klíčová slova Fraktál, IFS, dutinový model, Neumannova hraniční podmínka, PDE, rezonanční frekvence, proudové rozložení, módy, genetický algoritmus.

7 Abstract The aim of this project is a design and an implementation of IFS fractal patch antenna s functional generator and analyzer. The first half of the thesis works with a description and an implementation of antenna s own geometry without any necessary knowledge of the antenna technique specifics. It introduces kinds of fractals and terms of their creation, a matrix form and an implementation in the MatLab programme. The usage of MatLab and flexible input, which is under user s control, enables an inception of varied structures. The thesis then carries on with their presentation. The second part of the itroduces various approaches to the microstrip patch antenna s analysis. One of these methods, cavity model, is selected and carried out by PDE toolbox and in detail described supporting programmes. In conclusion along with particular outcomes there are presented several proposals of how to improve and extend the work in future. There is a great potential in optimization algorithm (GA eventually PSO) or interconnection with an external and more accurate simulation software (FEMLAB): a sufficient space is given even to these contingencies. v Keywords Fractal, IFS, cavity model, Neumann condition, PDE, resonant frequency, current distribution, modes, genetical algorithm.

8 Předmluva S pojmem fraktál jsem se poprvé setkal před lety v knize B. B. Mandelbrota [5], s termínem rezonanční frekvence a anténa na střední průmyslové škole, s názvem MATLAB až na škole vysoké, zkratka PDE se do toho všeho připletla přímo při psaní Semestrálního projektu, GA při psaní Bakalářské práce a PSO vlastně úplně náhodou... Všechny tyto pojmy zasahují do technické praxe. V jejich vzájemné propojení v jeden program, jež obsahuje desítky tříd a postupem času začíná žít vlastním životem bez vnějšího přispění autora, jsem nikdy nedoufal. Tato práce tak skutečně posloužila svému účelu v mnoha aspektech. Mimo jiné ukázala, jak těžké je realizovat technický projekt od počáteční ideje po závěrečnou zprávu. Posouzení nakolik úspěšný tento proces byl zůstane na čtenáři následujících stránek. Je fascinující sledovat, jak všechny entity fraktální povahy vykazují stejnou množinu vlastností. Skrze tyto vlastnosti lze do značné míry předvídat jejich chování a nalézat nečekané analogie napříč rozličnými obory. V tomto kontextu není moudré přistupovat k fraktálním anténám jako k izolovanému problému a naprosto se uzavřít podnětům z jiných vědních oborů. Striktním zaměřením se na jedinou úzce specializovanou oblast se uzavírají dveře k řešení podobných problémů známých jiným odvětvím techniky. A právě tato universálnost a jistý pansofický nádech jsou největším tajemstvím fraktálů, které působí i na autora této práce. vi

9 Obsah 1 Úvod Koncepce Konspekt Historie, vznik a vývoj fraktálů 3 3 Teorie fraktálů Definice fraktálu Topologická a Hausdorffova dimenze Soběpodobnost, soběpříbuznost Ukázky základních fraktálů Rozdělení fraktálů L-systémy Systém iterovaných funkcí IFS Dynamické systémy Nepravidelné fraktály Teorie generace IFS Základní pojmy Pevný bod, kontraktivní zobrazení Hutchisonův operátor, množina bodů, pokrytí Transformace Zkrácená matice transformace Generátor IFS v MATLABu GUI Export Příklady generace Časová náročnost vii

10 OBSAH viii 6.5 Možná vylepšení Mikropáskové patch antény Princip činnosti Napájení Parametry patch antén Analýza patch antén Dutinový (Cavity) model Vedení MoM FEM FD PDE analyzátor módů v MatLabu Dutinový model v MatLabu Optimalizační smyčka GUI Analyzované vzorky Nepřesnosti, vylepšení Zhodnocení dosažených výsledků Rezonanční frekvence Studie proudového rozložení Účinek štěrbin Optimalizační algoritmy, možné vylepšení IFS + PDE Potřeba globální optimalizace GA PSO ACO GSO Závěr Přílohy Dodatek A - Seznam a popis funkcí Kořenový adresář IFS-PDE-CM: Složka Fractal Engine Složka Fractal GUI

11 OBSAH ix Složka Fractal Others Složka Generic Antenna Složka PDE tool mesh Dodatek B - Obsah CD Dodatek C - Vývojové schéma Dodatek D - Okna programu

12 Seznam obrázků 3.1 Bifurkační graf Lorencův atraktor Mandelbrotova množina, pohled na celek Mandelbrotova množina, detail Fraktální struktura v Pascalově trojúhelníku Fraktál v Hegelově systému Princip pokrývání základního objektu Knoflík M x = M y aktivovaný (vlevo) a vypnutý (vpravo) Sierpinského trojúhelník, IFS generátor, pouze 3.iterace Sierpinského trojúhelník, IFS generátor, 6. iterace Sierpinského kobereček, IFS generátor, 3 iterace Cantorovo discontinuum, IFS generátor, 6 iterací Závislost doby výpočtu (vlevo) a zobrazení (vpravo) na stupni iterace a na počtu bodů a transformací Mikropásková patch anténa Mód proudového rozložení fraktální struktury Napájení patch antény: a) mikropáskovým vedením, b) koaxiálním vedením, c) průřez anténou b) v rovině středního vodiče koaxiálního napáječe Napájení pomocí vazební štěrbiny Okrajové podmínky patch antény Fraktál č. 1, 1-2 iterace Fraktál č. 2, 1-2 iterace Fraktál č. 3, 1-2 iterace Graf klesající frekvence s iterací a módem, 1. fraktál, vč. degenerovaných módů x

13 SEZNAM OBRÁZKŮ xi 10.2 Graf klesající frekvence s iterací a módem, 1. fraktál Graf klesající frekvence s iterací a módem, 2. fraktál Graf klesající frekvence s iterací a módem, 3. fraktál Proudové rozložení, anténa č.1, módy 1,2,3,4,5 a Proudové rozložení, anténa č.2, módy 1,2,3,8,11 a Proudové rozložení, anténa č.3, módy 1,3,5 a Ukázka chybného (dominantního) módu Ukázka sousedních degenerovaných módů Mutace fraktálu č.1 změnou transformačních parametrů Mutace fraktálu č.2 změnou transformačních parametrů Vývojové schéma GA, k výkladu v kap Vývojové schéma programu Hlavní panel programu Generic tool PDE analýza PDE toolbox MatLab

14 Seznam tabulek 3.1 Hodnoty topologické dimenze Hodnoty Hausdorffovy dimenze pro některé přírodní útvary Hodnoty Hausdorffovy dimenze geometrických útvarů a základních fraktálů Struktura.txt souboru s body Struktura.txt souboru s transformacemi Struktura souboru data.3dt Struktura souboru data.txt Růst složitosti výpočtu. Poznámka: b. body, t. tranformace Hodnoty ɛ r podle použitého substrátu Zlepšení parametrů modifikací struktury Vlastnosti vybraných zářičů Vlastní čísla a rezonanční frekvence, 1. anténa Vlastní čísla a rezonanční frekvence, 2. anténa Vlastní čísla a rezonanční frekvence, 3. anténa Srovnání výsledků rezonanční frekvence f rn [GHz] xii

15 Seznam symbolů Symbol Veličina ɛ r relativní permitivita ɛ 0 permitivita vakua (=) µ r relativní permeabilita µ 0 permeabilita vakua (=) D t topologická dimenze D h Hausdorffova dimenze ω afinní transformace M S, M x, M y transformace změny měřítka P x, P y posun polygonu λ vlnová délka Γ modul činitele odrazu R Φ fáze činitele odrazu R tan δ ztrátový činitel dielektrika ω úhlová rychlost E vektor intenzity elektrického pole H vektor intenzity magnetického pole s 11 činitel odrazu j imaginární jednotka Q T činitel jakosti antény k n vlastní (n-té) číslo k vlnový vektor E z,n vlastní funkce c 0 rychlost světla ve vakuu P SV poměr stojatých vln BW šířka pásma antény (v % z pracovní frekvence) P d ztráty v dielektriku P c ztráty v kovu P r ztráty vyzařováním W t celková energie η účinnost xiii

16 Seznam značek a zkratek Operátor t m i=1 ni=0 Význam ( ) Nabla operátor x 2 2 y 2 obecné sjednocení (general consequence op.) suma od i = 0 do i = n blíží se zobrazení dx diferenciál x parciální derivace vektorový součin PDE GA PSO GSO ACO IFS MoM FEM GUI PMC PEC TM TE Zkratky Partial Differential Equation Genetic Algorithm Particle Swarm Optimization Genetic Swarm Optimization Ant Colony Optimization Iterated Function System Method of Moments Finite Element Method Graphical User Interface Perfect Magnetic Conductor Perfect Electric Conductor Transversal Magnetic Transversal Electric Nadpis. Funkce, cizojazyčný výraz. Příkaz, menu. M atematika. Tlačítko. Literatura. xiv

17 Kapitola 1 Úvod 1.1 Koncepce Patchové antény jsou známy více jak 50 let. Stejně dlouhou dobu existence oslaví v brzku i některé fraktály, které budou dále v práci uvedeny. Přesto se spojení mikropáskových patch antén, fraktálů a dobře zvolené simulační metody objevuje až v posledních letech. Ve spojení s robustním optimalizačním algoritmem se toto téma stává velice zajímavým a v poslední době, kdy strmě roste výpočetní výkon počítačů, skutečně módním. Mnoho článků nebo studií kopíruje podobné schéma, kdy je nastolen problém vyšetření šířky pásma či velikosti rezonanční frekvence u konkrétního typu fraktální antény. Tato je následně odsimulována specializovaným softwarem a na ní je aplikován optimalizační algoritmus často genetický, v poslední době potom rojový nebo jejich vzájemný hybrid. Velká část práce je zpravidla realizována v programu MatLab. Autor této práce přejímá ustálené schéma v uvedené podobě, ale rád by se věnoval problému od počátku, tedy od definice fraktálu, až po závěrečný výběr vhodné optimalizace, a to takříkajíc bez využití věcí z druhé ruky. Dalším axiomem postulujícím zadání je obecnost. Program, který dokáže analyzovat jednu konkrétní strukturu jedním konkrétním procesem, je sice názorný a jednoduchý, 1 ale jinak ne příliš použitelný. Jako ideální se potom jeví využití pouze takových prostředků, které byly samostatně vyvinuty, nebo jsou již dále těžko rozložitelným elementem (PDE toolbox v MatLabu). Pokud by se tento cíl podařilo splnit, vznikl by vnitřně konzistentní a kompaktní produkt, který navíc dokáže řešit mnoho universálních problémů. I z tohoto důvodu byl pro simulaci patchové antény použit dutinový model (cavity model), který se ačkoliv poskytuje uspokojující přesnost 1 Což je ne vždy špatně; na jisté partikulární problémy se tento způsob řešení hodí. 1

18 1.2. Konspekt nemůže měřit s komerčním softwarem. Pro záběr práce, ovšem i pro jiné důvody je zřejmé, že ne vše bylo v BP vyřešeno a dokončeno (ve skutečnosti je tato práce pouze výchozím bodem a shlukem myšlenek pro navazující projekt větších rozměru, kdy mnoho problémů stále čeká na vyřešení). V úvodu je vhodné podotknout, že charakter této bakalářské práce je implementační a následně simulační. Je tedy snaha naplnit ustálené schéma pro podobný druh prací: teorie - analýza - implementace - výsledky - zhodnocení. Tato průvodní zpráva byla koncipována tak, aby přehledně a logicky vysvětlila krok po kroku vytváření jak generátoru, tak analytického bloku a na základě těchto vědomostí presentovala výsledky v širších souvislostech. 1.2 Konspekt Následující řádky jsou věnovány krátkému seznámení se s obsahem bakalářského projektu. Úvod do fraktální geometrie, nastíněný v prvních třech kapitolách, má rešeršní přesah, nebot na tomto stěžejním pojmu je celá práce vystavěna. V této oblasti tak plynule navazuje na Semestrální projekt, z jehož závěrů čerpá. Zároveň je tento projekt přítomen v podobě několika počátečních (přepracovaných) kapitol. Fraktálům je celkově věnováno více pozornosti, než by v poměru k důležitosti ostatních kapitol bylo adekvátní. Je tomu tak z důvodu, který jak autor doufá několik stránek ve prospěch fraktálů ospravedlňuje: není mnoho kvalitní české literatury věnující se fraktálům směrem jímž se vydává tato práce. Nadto je úplné pochopení fraktální geometrie nezbytné. Rovněž popisu jednotlivých aplikačních sekcí v programu MatLab je věnován dostatek prostoru v rozmezí kapitol 6. a 9. Oddíly 7. a 8. pak pojednávají o anténní technice, konkrétně mikropáskových anténách, jež fyzikálně konkretizují doposud vytvořené matematické modely. Předposlení 11. kapitola,věnovaná optimalizačním algoritmům, reflektuje vývoj v této oblasti, krátce jednotlivé druhy optimalizačních metod popisuje a navrhuje vhodné možnosti realizace na již dokončeném simulátoru. Závěr krátce spravuje o dosažených výsledcích, presentovaných v předcházejících kapitolách; navazující dodatky sumarizují fakta, jejichž uvedení uvnitř statě by text znepřehlednilo. Jedná se zejména o úplný výčet realizovaných funkcí a výpis obsahu průvodního CD. Přílohy uzavírá vývojový diagram přibližující funkci programu a také screenshoty rozhraní programu. 2

19 Kapitola 2 Historie, vznik a vývoj fraktálů Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line. 1 Benoit B. Mandelbrot Euklidovská geometrie, zrcadlící se v našem zjednodušeném uvažování o světě a vyučující se na základních školách, je ve své podstatě naprosto primitivní. Představit si čtverec, kruh či krychli nepředstavuje žádný problém však také tyto útvary byly objeveny již před 3500 lety starými Řeky a za tuto dobu se operace s nimi staly intuitivními a samozřejmými. Možná právě proto si první struktury, později nazvané fraktály, vydobývaly své pozice tak obtížně. Jednou z prvních takových konstukcí byla spojitá funkce Karla Weierstrasse, která ovšem neměla v žádném bodě derivaci 2. Následně přichází George Cantor s diskontinuem, Helge von Koch s nekonečně dlouhou křivkou... Všechny tyto struktury byly přijímány matematickou veřejností chladně, dalo by se říci až s odporem 3. Je to pochopitelné byly nositeli vlastností, které poukazovaly na nutnost revidovat dogmatický a moderní vědou těžce zkoušený pohled na svět. Tvrdilo se, že jsou matematickými strašáky či monstry. Neodpovídaly 1 Mraky nejsou kulovité, hory nejsou kužele, pobřeží není kruhové a kůra není hladká; ani světlo necestuje přímo. 2 Objevena roku Ch. Hermite v dopise T. Stieltjesovi o Weierstrasseho křivce:... odvrátil jsem se s hrůzou a ošklivostí od toho politováníhodného zla, kterým jsou funkce bez derivace... [3] 3

20 totiž ani v nejmenším matematickým potřebám symetrie a čistoty. Nadto se tyto obrazce obtížně definovaly a popisovaly. Pro tyto vlastnosti se v období na přelomu 19. a 20. století fraktálům věnují pouze nadšenci mezi něž patří několik matematiků a umělců. Během 20. století se začíná skutečně ukazovat, kterak jsou jisté fraktální struktury vhodné pro popis reality. Dokonce mnohem více než euklidovská geometrie. Fraktální geometrie mnohem více zohledňuje členitost a složitost našeho světa. To je obrovský rozdíl oproti typicky hladké geometrii ta mnoho relevancí (ztrátově) aproximuje. Fyzika, obor, který tak často a nadšeně reflektuje poznatky matematiky, naráží též na problémy. Popis pohybu dvou bodů v soustavě a jejich vzájemná interakce 4 je bezproblémový, ale již při snaze popsat pohyb tří těles narážíme na nepřekonatelné obtíže. Analytické řešení této situace neexistuje a celek se chová chaoticky a to i přes to, že situace chaotická není. Systémů, které se takto chovají se postupem času objevuje mnoho turbulentní pohyby tekutin, vývoj počasí, chování na burze, rozložení hmoty ve vesmíru, výška které dosahuje řeka při pravidelných záplavách a mnoho dalších. Jelikož právě fraktály budou shledány podivnými atraktory většiny těchto systémů, nebo je alespoň dokáží uspokojivě popsat, tušíme zde rozsáhlé propojení fraktálů se světem a jeho zákonitostmi. Přichází 70. léta 20. st. a s nimi jak ho pregnantně nazývají přátelé nekonvenční outsider Benoit B. Mandelbrot, označovaný též za otce fraktálů. Tento matematik se jednoho št astného dne střetává s problémem, který má fraktální charakter. Snaží se totiž odhalit zákonitosti fluktuace cen bavlny. Na stejný problém naráží i u dalšího úkolu odhalení chyb na telekomunikační lince. U prvého problému sice nedokáže vysledovat chování cen, celkový trend se ovšem opakuje v různých časových měřítkách. U druhého problému nachází podobnost výskytu chyb s rozložením Cantorova diskontinua. Na základě těchto dvou poznatků se začíná o soběpodobnost 5 blíže zajímat. Právě v této době vznikají knihy [5] a především slavná [4]. V těchto knihách užívá Mandelbrot svůj typický styl výkladu, pomocí něhož postupuje vpřed jaksi intuitivně bez přesných vět a definicí napříč mnoha vědními obory. Za tento přístup (dalece vzdálenému od rigorózního stylu matematiků) si vysloužil ze strany kolegů mnoho kritiky. Přesto díky těmto dvěma knihám vzniká nový obor matematiky fraktální geometrie. 6 Na Mandelbrotovu počest je po něm později pojmenován nejznámější z fraktálů Mandelbrotova množina. Sice Mandelbrot nebyl prvním, kdo množinu objevil, ale byl prvním, kdo ji popsal a publikoval. 4 Za příklad poslouží pohyb Země a Slunce vesmírem. 5 Charakteristická vlastnost fraktálů. 6 Teprve zde se poprvé objevuje slovo Fraktál. Mandelbrot ho odvodil z latinského slova fractus rozlámaný, rozbitý [5, str.11]. 4

21 Od té doby je fraktálům věnována stále větší pozornost, a to jak přímým hledáním a studiem nových struktur, či nepřímo jejich využitím (to je případ i této práce). Fraktály našly postupně uplatnění v chaotických vědách, softwarovém inženýrství, elektronice atd. 5

22 Kapitola 3 Teorie fraktálů 3.1 Definice fraktálu Chceme-li nadále užívat termínu fraktál, je potřeba ho (exaktně) definovat. Tím budeme schopni říci, co fraktálem je a co není. Obecně existují dva přístupy k této definici, které se většinou uvádějí paralelně. První tvrzení pochází od B. B. Mandelbrota, druhé je čistě matematickou definicí. Fraktál podle B. B. Mandelbrota: Fraktálem je každý objekt, jehož topologická dimenze se liší od dimenze fraktální (Hausdorffovy). [5] tedy: D t D h (3.1) Fraktál podle matematiky: 1 Fraktál je objekt, jehož geometrická struktura se opakuje v něm samém. Fraktály se dělí na soběpodobné a soběpříbuzné. [3] [4] Prvá definice bude pro svou názornost probrána níže. K tomu je potřeba definovat několik dalších termínů. 1 Ve skutečnosti žádná korektní matematická definice dodnes neexistuje. Uvedena pro úplnost; bez dalších podrobností. 6

23 3.2. Topologická a Hausdorffova dimenze 3.2 Topologická a Hausdorffova dimenze Topologická dimenze (D t ) Topologická dimenze je jedním z údajů, který potřebujeme získat pro porovnání klasického hladkého útvaru a fraktálu. Tuto dimenzi dobře známe a intuitivně chápeme; nazýváme ji zpravidla mohutností prostoru, nebo také stupněm volnosti. Topologická dimenze nabývá hodnoty celého nezáporného čísla, nejčastěji {0, 1, 2, 3}, obecně však {0, 1, 2... }. Číslo nám říká, kolika směry je možné pohybovat po objektu s bodem, resp. kolika údaji se dá přesně popsat pozice bodu na/v útvaru. V případě jednoho bodu D t = 0, v případě spojité křivky D t = 1 a tak dále. To ovšem neznamená, že křivka s dimenzí jedna je zobrazována v jednorozměrném prostoru. Přehledněji to ukazuje tabulka: Hodnota D t Příklad úvaru Možnosti pohybu 0 bod Bez možného pohybu 1 křivka Pohyb po délce l 2 plocha Pohyb po ploše [x, y] 3 prostor Pohyb v prostoru [x, y, z] 4... Pohyb např. v hyperkomplexní rovině Tabulka 3.1: Hodnoty topologické dimenze. Tato tabulka platí ovšem pouze pro hladké, euklidovské útvary. At měříme hladkou křivku v jakémkoliv měřítku, dostaneme vždy konečné číslo. V případě fraktálů, jak dokázal např. Richardson při měření délky pobřeží, je tento popis nedostatečný, nebot do hry vstupuje měřítko. Ve své studii totiž ukázal, že složitost (v tomto případě údaj o délce pobřeží) je úměrná měřítku, v němž pobřeží měříme. 2 Budeme-li postupovat s přesností 1km, dostaneme řádově jiný výsledek, než pokud kolem pobřeží půjdeme se školním pravítkem. Pokud bychom měřítko zmenšovali nadevšechny meze, dostali bychom nekonečnou délku. Právě z důvodu tohoto narůstání složitosti např. v moderních atlasech údaj o délce 2 Pro úplnost na základě mnoha dat se mu povedlo empiricky odvodit následující vztah závislosti délky pobřeží na zvoleném měřítku. Konstanta D je de-facto fraktální (Hausdorffovo) dimenzí. Její skutečný význam odhalil až Mandelbrot. K = Nε D, kde: K délka pobřeží, N počet úseček nutných k aproximaci, ε délka měřidla, D fraktální dimenze. 7

24 3.2. Topologická a Hausdorffova dimenze pobřeží nebo délce hranic sousedních států chybí. Tento údaj totiž nemá žádný smysl, dokonce i na uměle zvolených hranicích, 3 které známe ze států Afriky a USA. Tím se dostáváme k druhé části kapitoly. Hausdorffova dimenze (D h ) Pro většinu útvarů, vyskytujících se v okolním světě, dostačuje uvažovat pouze topologickou dimenzi, která byla diskutována výše. Nikoliv ovšem pro fraktály. Na příkladu měření pobřeží bylo vidět, že složitost křivky roste do nekonečna. Intuitivně tedy zabírá v prostoru více místa než křivka hladká. Přesto ale nezabírá všechno místo (pak by se stala plochou). Je tedy jasné, že dimenze této křivky bude z intervalu (1, 2) a nebude celým číslem. Toto necelé číslo se obecně nazývá fraktální dimenzí. 4 Pro tuto vlastnost lze fraktály definovat jako úvary s neceločíselnou dimenzí D h, resp. dimenzí lišící se od dimenze topologické (ve shodě s Mandelbrotovo definicí fraktálu). Nadto rozdíl f = D h D t udává míru složitosti objektu. Tato hodnota může limitně nabývat hodnoty f 1 5 a platí, že s rostoucí hodnotou roste i úroveň členitosti objektu. Pro představu je uvedena tabulka s fraktálními dimenzemi několika přírodních objektů tak, jak se uvádějí v literatuře ([3] [W2] a jiné): Přírodní útvar Odhad D h Pobřeží 1.26 Povrch mozku člověka 2.76 Povrch neerodovaných skal Obvod 2D průmětu mraku 1.33 Tabulka 3.2: Hodnoty Hausdorffovy dimenze pro některé přírodní útvary. 3 Zde může hodnota nekontrolovatelně růst vlivem výškových rozdílů. 4 Často používaným termínem je také Hausdorffova-Besicovicova nebo jen Hausdorffova dimenze, dále se používá termín Kolmogorovova dimenze, nebo též kapacita. 5 Tato hodnota platí pouze pro křivkový fraktál v ploše Sierpinského trojúhelník, Mandelbrotovu množinu aj. Pokud by fraktál byl stejné povahy, ale umístěn v objemu, tato limita by se mohla blížit dvěma. 8

25 3.2. Topologická a Hausdorffova dimenze Výpočet Hausdorffovy dimenze Pro výpočet D h platí: D h = lim ε 0 ln N(ε) ln( 1 ε ) = lim ε 0 log N(ε) log( 1 ε ), (3.2) kde N(ε) je minimální počet elementárních útvarů a ε je měřítko. ε je prvním parametrem, který má zcela praktický význam pro tuto práci jeho částečné analogie ke kontrakci využívá IFS generátor. Pro měřítko ε platí: Pokud výraz upravíme: Tedy: ε = 1 N 1 D h (3.3) log ε = log N 1 D h (3.4) D h = log N log ( 1 ε ), (3.5) kde N označuje faktor změny délky a 1 ε faktor změny měřítka. Vztah (2.5) lze užít pouze u fraktálů tzv. soběpodobných, zatímco vztah (2.2) lze užít i u fraktálů soběpříbuzných, které jsou obecněji definované než fraktály soběpodobné (nelze u nich proto vypustit lim ε 0). Na závěr uvedu přehled nejdůležitějších dimenzí D h a měřítek ε. Geometrický útvar ε D h Úsečka 1 Čtverec 1 N 1 N 1 2 Krychle 1 N Cantorovo diskontinuum Kochova křivka Sierpinského trojúhelník ( 1 2 )n Tabulka 3.3: Hodnoty Hausdorffovy dimenze geometrických útvarů a základních fraktálů. 9

26 3.3. Soběpodobnost, soběpříbuznost 3.3 Soběpodobnost, soběpříbuznost Soběpodobnost Pro popis fraktálu je tento pojem stěžejní. Každý fraktál je pomocí tohoto (nebo slabší obdoby soběpodobnosti) pojmu definován. Soběpodobnost 6 je jedním z hlavních znaků fraktálních útvarů. Soběpodobnost podle Mandelbrota: Kterákoliv část fraktálu je přesnou kopií původního motivu. [3] [4] [W2] Mandelbrotovův pojem soběpodobnosti matematizoval Hutchinson, 7 který vycházel z toho, že soběpodobné množiny jsou podobné celku, zmenšenému jistým měřítkem. Jelikož se se soběpodobnými fraktály lze setkat pouze v matematice a jsou pouhou idealizací, která v přírodě není možná, pokusím se soběpodobnost i matematicky zadefinovat. Definujme tedy soběpodobnou podmnožinu W obecně n-rozměrného euklidovského prostoru R n tak, že existuje konečně mnoho kontraktivních, příp. i afinních zobrazení (transformací). 8 takových, že dále platí: w 1, w 2,..., w m : R n R n (3.6) W = m w i (W ), (3.7) i=1 přitom pro libovolná i j obsahuje průnik w i (W ) w j (W ) (3.8) jen konečný počet prvků (nebo je prázdný). Na potenci R n je zobrazeními definován operátor m w(x) = w i (X), X R n (3.9) i=1 který se nazývá Hutchinsonův operátor. Více o tomto operátoru bude uvedeno v kapitole o generaci IFS, kde zastává stěžejní roli. 6 V matematice se používá termínu invariace vzhledem ke změně měřítka. 7 Více infomací např. článek [A4] 8 Dále výklad pokračuje analogicky s [3], pouze s transkripcí symbolů z [A4]. 10

27 3.4. Ukázky základních fraktálů Množina definovaná pomocí tohoto operátoru má několik velmi zajímavých vlastností: ˆ Soběpodobná množina vzniká opakováním sebe sama při určité transformaci (změna měřítka, rotace, posunutí, zkosení... ). ˆ Soběpodobné množiny jsou invariantní vůči změně měřítka. Při libovolném zvětšení či zmenšení vypadají stejně (viz obrázky níže). ˆ Soběpodobná množina vzniká sama ze sebe, resp. vzniká opakováním motivu. Tato definice obsahuje velmi striktní kritéria, která splňuje jen malá část zkoumaných útvarů. 9 Z tohoto důvodu se zpravidla zavádí dva druhy soběpodobnosti: přesná a statistická. Pro jejich nedůležitost v intencích této práce nebudou dále probírány. Více informací viz [3]. Soběpříbuznost Definuje se následovně: Kterákoliv část fraktálu je podobná vzoru. Jde o slabší závislost než soběpodobnost; různé pohledy nemusí být nutně tvarově stejné, nýbž podobné. [4] [W2] V přírodě se jedná např. o větve, kořeny stromů, mraky, pouštní duny, delty řek, pohledy na pobřeží v různých měřítkách apod. Pro komplikovanou matematickou formulaci se zde omezíme pouze na definici uvednou výše. 3.4 Ukázky základních fraktálů Tato podkapitola byla zařazena pro jednoduchost a názornost, s jakou je možné presentovat fraktály ve formě ilustrace. Bylo vybráno několik základních, navzájem různorodých fraktálů, dále doplněných o krátký komentář. Naprostá většina z nich již našla své uplatnění, často vně vědecko-technického rámce, tak jako v případě fraktálu užitého filozofem Hegelem, skrytým v Pascalovo pravděpodobnostním trojúhelníku [W2] nebo fraktály vyzdobená bazilika v Itálii [3, Obr.8]. Tato část není nezbytně nutná pro vlastní výklad; lze pokračovat kapitolou 4. na straně Fraktál často nabývá v různých částech různě velké hodnoty Hausdorffovy dimenze, a proto je výpočet na základě soběpodobnosti obtížný. 11

28 3.4. Ukázky základních fraktálů Brownův pohyb Brownův pohyb je dostatečně známým fenoménem, aby se obešel bez ilustrace. Jedná se o nahodilý pohyb částeček hmoty vlivem nenulové absolutní teploty tělesa. Tento pohyb je fraktální povahy. Lze poměrně věrně simulovat na počítači. Takto vytvořené programy se užívají například na generaci řečišt řek apod. Bifurkační graf Tento proces má dynamickou povahu, protože systém se vyvíjí v čase. Tento typ fraktálu tedy můžeme zařadit mezi dynamické systémy (kapitola 3.3). Obrázek 3.1: Bifurkační graf Růst v určitém období závisí na stavu populace v období minulém. Při pohledu zleva doprava, jak přibývá čas, vidíme efekt tzv. zdvojování periody. Tento jev se vyskytuje u mnoha dynamických systémů těsně předtím, než systém podlehne chaosu (fibrilace srdečních komor, kapání vody z povoleného kohoutku). Poslední třetina zcela napravo je chaotické povahy a o vývoji populace nemůžeme s jistotou dopředu nic říci. Dynamický zákon populačního růstu: x n+1 = f (x, n) = x n + rx n (1 x n ) (3.10) Tento systém je stabilní pouze pro dvě hodnoty (1 a 0). Více [W2]. 12

29 3.4. Ukázky základních fraktálů Lorencův atraktor Tento podivný atraktor je první, který se kdy povedlo vygenerovat. Ačkoliv těchto průběhů existuje nekonečně mnoho, nikdy se žádný neprotne s jiným; a to ani při průběhu mezi ovály. 10 Obrázek 3.2: Lorencův atraktor Ed Lorenz se zabýval počasím a možnostmi ho dostatečně přesně předpovědět. Na jeho z dnešního pohledu stařičkém počítači se mu povedlo nakonec vykreslit tento obrázek vzniklý podle 3 dynamických rovnic. Přidržíme-li se počasí, je tento atraktor, jak sám říká, mapa podnebí. Neboli možných stavů systému. Mimo tento atraktor tedy leží takové stavy jako je sníh na Sahaře nebo tropické počasí na pólech. Ačkoliv tyto stavy mohou s jistou pravděpodobností krátkodobě nastat, jsou velmi rychle přitahovány k tomuto atraktoru. Typické počasí zkrátka putuje po této křivce. Jak je ovšem vidět, je tento atraktor velmi složitý, de-facto nekonečně složitý. Navíc je, tak jako všechny chaotické systémy, velmi citlivý na počáteční hodnoty. Z toho je patrné, že stoprocentní předpověd počasí není nikdy možná. 10 Obrázek 2.2 zobrazuje konečně mnoho periodických průběhů. Je to způsobeno omezujícími podmínkami a skutečností, že fraktál byl generován na počítači s omezenými schopnostmi. 13

30 3.4. Ukázky základních fraktálů Mandelbrotova množina Tento objekt je považován za jakousi ikonu všech fraktálů. Jedná se o nelineární (viz rovnice 2.11) deterministický fraktál. Tento fraktál, generovaný podle jednoduché rovnice z n+1 = z 2 n + c ; z, c C (3.11) je tím nejsložitějším útvarem, který lze vygenerovat. Jeho topologická dimenze je rovna 1, jeho fraktální dimenze je ovšem 2. K plnému pochopení je potřeba si uvědomit, že tento fraktál je pouhá křivka, která ovšem zabírá v ploše prostor, který vidíme na obrázku. Obrázek 3.3: Mandelbrotova množina, pohled na celek Generace začíná s jistou počáteční hodnotou z 0 a následně se během iterace mění z n na z n+1 s tím, že c zůstává konstatní. Nyní musíme rozhodnout, zda posloupnost z n konvegruje či diverguje pro počáteční hodnoty z 0 a c. Známeli tedy nyní posloupnost, která po nekonečném počtu iterací podle funkce 2.11 nemá body v nekonečnu, můžeme posloupnoust těchto bodů nazvat Mandelbrotovo množinou. 11 Začíná se v nule, parametr je komplexní číslo c. Obr. 3.4 ukazuje jeden z detailů. V množině se dá najít mnoho zajímavých míst s pozoruhodnými vlastnostmi. Některé oblasti již byly dokonce pojmenovány Anglicky Mandelbrot set nebo M-set 12 Např. Elephantine valley připomíná údolí na němž stojí v řadě se zvětšující sloni 14

31 3.4. Ukázky základních fraktálů Obrázek 3.4: Mandelbrotova množina, detail Pascalův trojúhelník Tohoto trojúhelníku se využívá v pravděpodobnostní matematice. Primárně nemá s fraktály zcela jistě nic společného. O to větším bylo překvapením najít v něm paralelu se Sierpinského trojúhelníkem (vzhůru nohama). Pokud vybereme pouze sudá čísla, tedy opět zcela ne-fraktální závislost a vyznačíme je at už tučně nebo pevnou hranicí jako na obrázku, zobrazí se nám fraktál. Vzhledem k tomu, že Pascalův trojúhelík nemá pevnou základnu a že její šíře se stále zvětšuje, bude fraktál nekonečný. Pro větší názornost je lepší obsáhnout co nejvíce pater trojúhelníka. Hegelův systém Hegel byl jedním z největších filozofů a pravděpodobně tím největším německým filozofem počátku 19. století (nakolik snese srovnání s Schopenhauerem či Nietzschem patří asi do jiné práce). I v dnešní době stojí svým významem bok po boku dalším filozofickým velikánům. Ačkoliv nakonec Hegel ve své filozofii ztroskotává, zůstává jeho učení pro filozofii cenné. Tento obrázek, umístěný spíše jako vsuvka, dokazuje jak jsou fraktály užitečné. 15

32 3.4. Ukázky základních fraktálů Obrázek 3.5: Fraktální struktura v Pascalově trojúhelníku Obrázek 3.6: Fraktál v Hegelově systému 16

33 Kapitola 4 Rozdělení fraktálů Na obrázcích v minulé kapitole bylo vidět, jak členité a různé mohou fraktály být. Postupem času je začali matematici (tak jako cokoliv jiného) na základě některých společných vlastností rozdělovat do skupin. Tyto skupiny jsou v součastné době čtyři. Ačkoliv fraktály z různých skupin se jinak generují, popisují a zpravidla se užívají i v jiných oborech, některé obrazce lze generovat i ve více systémech. 1 Základní rozdělení fraktálů: ˆ L-systémy ˆ IFS - systém iterovaných funkcí ˆ Dynamické systémy ˆ Nepravidelné fraktály 4.1 L-systémy Lindenmayerovy systémy jsou skupinou fraktálů definované pomocí přepisovacích gramatik. Podstatou tvorby L-systémů je přepisování řetězců podle určitých pravidel. Každému symbolu v řetezci je přisouzen jistý geometrický význam, například transformaci či generování objektu. Fraktálem se L-systémy stávají po použití iterace, tedy použití iterace v gramatice. 2 S pomocí těchto systémů lze vygenerovat fraktály, které se podobají rostlinám, stromům a dalším přírodním útvarům. 1 Např. Sierpinského trojúhelník lze vygenerovat pomocí L-systémů i pomocí IFS. 2 Používá se specifické dvojice značek, do kterých se iterovaný výraz uzavře. 17

34 4.2. Systém iterovaných funkcí IFS Protože však tyto systémy nemají nic společného se zadaným úkolem, nebude si jimi práce dále zabývat. Tato problematika je dostatečně zpracována v literatuře o fraktálech. 4.2 Systém iterovaných funkcí IFS Soubor těchto fráktálů v přírodě nenajdeme. Jsou pouhou idealizací vzniklou v počítačích. Tyto fraktály jsou přísně soběpodobné a neobsahují žádné nepravidelnosti ve fraktální struktuře. IFS ve své podstatě není názvem druhu fraktálů, ale označením způsobu generace. Jak se tyto fraktály vytvářejí je uvedeno v kapitole 5. Pro svůj umělý původ nachází uplatnění ve vědeckých aplikacích. Tyto fraktály zabírají velmi málo místa v paměti počítače představují je pouze seznamy vrcholů a transformací. I proto lze IFS využít jako kompresní algorimus nebo jako editor pravidelných textur apod. Právě těchto struktur využívá tato práce pro generaci antén. V dalších kapitolách bude ukázán způsob jejich generace konkrétně, včetně implementace maticových struktur do programu MatLab. Zvláštní možností doplňující deterministickou generaci IFS tak jak byla popsána výše, kdy je každá transformace v jednom kroku provedena přesně jednou, je generace stochastická. Vše probíhá stejně až do chvíle, kdy se má provést transformace. Ty jsou totiž v tomto případě popsány pravděpodobností, s jakou se mají provádět (dohromady vždy 1, tedy 100%). Takto vzniklý fraktál není zcela pravidelný jako fraktál vzniklý deterministickou cestou. Přesto vykazuje stejný tvar a konverguje-li počet iterací k nekonečnu, jsou identické. 4.3 Dynamické systémy Dynamické systémy jsou tím typem fraktálu, který má v praxi pravděpodobně nejširší uplatnění. Dynamický systém je matematický model závislý na určité proměnné, zpravidla na čase. Vychází z počátečních podmínek, jimiž je jimi v čase determinován. Existují dynamické systémy, které se po určitém čase neustálí v pevném stavu, ale ani nedivergují. Tento případ, který připomíná iracionální čísla, má většinou fraktální dynamiku a označuje se termínem deterministický chaos. Dynamický systém sestává ze stavového prostoru, jehož souřadnice popisují stav systému v daném čase a z dynamických podmínek, které popisují změnu tohoto systému v čase. Stav systému je potom popsán vektorem, který celý leží 18

35 4.3. Dynamické systémy ve stavovém prostoru. Dynamické podmínky jsou většinou zadány soustavou diferenciálních rovnic popisujích změnu stavového vektoru v čase. Změna stavu dynamického systému se uskutečňuje provedením těchto diferenciálních rovnic a nahrazením starého vektoru vektorem novým. Dynamický systém může být deterministický nebo stochastický (náhodný). Deterministický dynamický systém lze poměrně přesně popsat, zatímco u systému stochastického jsme odkázáni pouze na statistické vlastnosti takového systému (například střední hodnota, disperze, směrodatná odchylka, centrální moment aj.). Atraktor dynamického systému Atraktor 3 dynamického systému je stav, do něhož systém směřuje. Je to tedy lokace stavového vektoru v nekonečném čase. Systém může spět do jednoho z následujících atraktorů: ˆ pevný bod (např. u kyvadla) ˆ periodické body (např. oběh Země kolem Slunce) ˆ kvaziperiodické body ˆ chaotický atraktor (např. sirka postavená na hlavičku) ˆ podivný atraktor (viz níže) Ze všech těchto možností bude krátce zmíněn pouze poslední z výčtu, tedy podivný atraktor. Podivný atraktor 4 je zdaleka nejzajímavějším příkladem atraktoru. Tento atraktor může být velmi komplikovaný a chaotický, přesto bude vždy vykazovat některé pravidelnosti a vlastnosti shodné s fraktály. Podivný atraktor tedy můžeme považovat za fraktál. Striktně empirický popis těchto objektů zatím není znám. První podivný atraktor objevil Ed Lorenz v roce 1963 a je znám pod jeho jménem (více viz. kapitola 2.4). 3 Anglicky attractor přitahovat, upoutat 4 Anglicky strange attractor; poprvé zaveden roku

36 4.4. Nepravidelné fraktály 4.4 Nepravidelné fraktály Poslední skupinou jsou fraktály nepravidelné, využívající ke svému vzniku náhodu (resp. pravděpodobnost). Tato skupina nevznikla, jak by se čtenář mohl mylně domnívat, pro zařazení všech zbývajících fraktálů. Pro vznik těchto útvarů se využívá generátoru náhodných čísel at už gaussovo či jiného průběhu. Ve všech třech předchozích případech, s malou výjimkou v případě stochastických IFS, vznikaly souměrné a pravidelné fraktály. Tento stav ovšem není vždy žádoucí například v počítačové grafice, kdy je potřeba vygenerovat strom těžko použijeme klasických L-systémů; strom v přírodě také neroste rovnoměrně a jednotlivé větve jsou v různých výškách a různě dlouhé. Pro tyto účely byla vyvinuta náhodná generace. Náhodné fraktály mohou vznikat následujícími způsoby: 1. pomocí simulace Brownova pohybu (jak v ploše, tak v prostoru) 2. metodou přesouvání středního bodu 5 3. spektrální syntézou (vychází z Fourierovy řady) 6 5 Krátká ukázka pro Sierpinského trojúhelník: Nakresleme na papír 3 body, vrcholy trojúhelníka. Dále zvolme jeden bod libovolně na papíře. Další zakresleme v polovině úsečky spojující náš bod a libovolný vrchol, který si zvolíme. Budeme-li tento postup opakovat dostatečně dlouho, objeví se nám fraktál. 6 Podle [W2]. 20

37 Kapitola 5 Teorie generace IFS IFS algoritmy pracují s afinními transformacemi a zjednodušeně řečeno nedělají nic jiného, než že v postupných iteracích nad zvoleným objektem a objekty postupně vznikajícími provádějí tyto transformace. Afinní transformace lze reprezentovat různě, ale ideálním způsobem se jeví zápis a práce s nimi v maticové podobě. To nám také pomáhá, pokud chceme generátor navrhnout v programu MatLab, který pracuje taktéž s maticemi. V této kapitole bude zmíněna nejnutnější teorie generace IFS. Tato teorie musí být, a také je, přímo implementována do budoucího generátoru. Tím zde de-facto začíná popis programu. Systém iterovaných funkcí pracuje s množinou bodů, jakožto objektem, a s transformacemi, které vzniknou složením (několika) tzv. afinních transformací. 1 Pomocí těchto transformací uživatel pokryje základní objekt. V každém kroku běhu programu se načtou objekty vypočítané v minulé iteraci a nad těmito objekty se realizuje aplikace jednotlivých transformací. Nově vzniklé objekty se zapíší na konec fronty a zároveň se dokreslí do existující koláže. V dalším kroku jsou jako základní objekty k výpočtům použity tyto. Složitost výpočtu rychle narůstá operace se provádějí nad každým polygonem v ploše a spolu se vzrůstajícím počtem zadaných bodů, transformací nebo iterací je čas potřebný pro řešení exponenciálně prodlužován. 1 Mezi afinní transformace se počítají všechny základní lineární transformace zmenšení, zvětšení, rotace, zkosení, posunutí, střih. Více viz

38 5.1. Základní pojmy 5.1 Základní pojmy Lineární algebra Generace IFS připomíná cvičení z lineární algebry. Pro další se předpokládá zavedení skalárů a vektorů (tj. množiny libovolných prvků) a podmínek pro vznik lineárního prostoru. 2 Maticový počet Matice je uspořádané schéma reálných čísel v obecné formě m Ö n. M i n jsou pevně daná čísla měnící se pouze za zvláštních okolností jako je násobení. Matice budou značeny velkými písmeny. Matici lze popsat bud to její vlastností nebo řádkovými či sloupcovými vektory. Metrika a metrický prostor Metrický prostor je teoretický mezikrok, podstatný pro odvození konktrakce a Banachovy věty. Jeho odvození je uvedeno na stránce 90 v [3]. Z odvození je podstatná pouze podoba metrického prostoru (X, d). 5.2 Pevný bod, kontraktivní zobrazení Následující část aplikuje větu o Banachově pevném bodu: Necht X je metrický prostor s metrikou d. Dále, necht f je funkce mapující množinu A na množinu X: f : A U (5.1) přičemž A je podmnožinou množiny X. Jestliže dále pro funkci f existuje bod x 0 takový, že platí: f(x 0 ) = x 0 (5.2) tj. bod x 0 je funkcí f mapován sám na sebe, pak se bod x 0 nazývá pevný bod. Pro představu; bod [0, 0] je funkcí násobení vždy mapován sám a sebe, tudíž v soustavě reálných čísel a funkce násobení se jedná o pevný bod. 2 Nad vektory je definováno: sčítání a násobení, kumulativnost a asociativita sčítání, existence opačných vektorů, platnost distributivního zákona apod. 22

39 5.3. Hutchisonův operátor, množina bodů, pokrytí Je-li X metrický prostor s metrikou d a platí i výše uvedené, pak zobrazení f : X X je kontraktivní na množině A X, pokud existuje δ (0, 1) takové, že pro každá p, q A platí: d(f(p), f(q)) δd(p, q). (5.3) Konstanta δ se nazývá kvocient kontrakce. Pro generaci IFS fraktálů je určující, aby zobrazení bylo kontrakcí. Vznikající kopie jsou tedy menší než objekt původní, dochází ke zmenšování vzoru a tato posloupnost má bodový atraktor. Pokud zobrazení není kontrakcí, velmi rychle rostou rozměry objektu. Tento stav není žádoucí. 5.3 Hutchisonův operátor, množina bodů, pokrytí Hutchisonův operátor je definován vztahem (3.9). V tomto vztahu figurují veličiny w a X zobrazení, tedy transformace a množina bodů. Množina bodů X je množinou, nad kterou se realizují transformace w tak, aby se našel společný průnik všemi realizovanými transformacemi. Tento vztah je stěžejní, ale v kódu lehce proveditelný, proto se o něm dále nebudeme zmiňovat. Pokrytí základního objektu je ve skutečnosti zadání transformačních matic. Na obrázku níže je vidět postup jak vše probíhá. V ideálním případě uživatel nakreslí / zadá pomocí bodů základní objekt a zadefinuje též podobu objektů vzniklých první iterací programu. Vytvoření takového algoritmu je ovšem obtížné a navíc ruční zadávání není dostatečně přesné. IFS tedy využívá popisu pomocí transformací základního objektu. V této práci je využito dvou vzájemně ekvivaletních metod, a to bud zadávání pomocí parametrů transformačních matic uvedených dále (jejich přepočet zařídí MatLab), nebo pomocí načtení externího souboru v předdefinovaném formátu (využívá matice tvaru [a b c d e f], která je normou pro zadávání IFS transformací v cizojazyčné literatuře). Je na uživateli, zvolí-li první či druhou metodu. Program navíc funguje jako velmi primitivní převaděč mezi oběma druhy zápisu, jak je zmíněno v kapitole 6. 23

40 5.4. Transformace Obrázek 5.1: Princip pokrývání základního objektu 5.4 Transformace Afinní transformace je definována vztahem: x(w) = AW + B (5.4) Tato rovnice může být dále rozepsána: ( ) ( x2 a11 a w : = 12 y 2 a 21 a 22 ) ( x1 y 1 ) + ( b1 b 2 ) (5.5) Jednotlivé koeficienty matice A se uplatňují při rotaci, zkosení a změně měřítka, koeficienty matice B při posunutí. Souřadnice x n a y n náleží iterovanému bodu. Výsledná matice je tedy typu 3Ö3 a vzniká složením matic A a B tak, jak bude uvedeno dále. V některé literatuře se dají najít i metody, kdy se matice nechávají rozdělené, ale to pouze ve chvíli, kdy máme již finální transformační matici, tedy případný součin dílčích parametrizovaných afinních matic (transformací). Vzhledem k tomu, že úkolem této práce je nalézt obecné řešení, je potřeba se přidržet nejobecnějšího zadávaní matic. Z řečeného výše vyplývá tvar matice 3Ö3 ve vztahu (5.6) vpravo. w : [x 2, y 2, 1] = [x 1, y 1, 1] a 11 a 12 0 a 21 a 22 0 t x t y 1 (5.6) Kde t x resp. t y odpovídá b 1 resp. b 2 v (5.5). Tato matice bude dále v textu označována jako M at. Tato úprava, ačkoliv zdánlivě nepodstatná, umožňuje vzájemné násobení požadovaných matic, které se navolí před výpočtem úlohy. Také se přehodí pořadí pro násobení matice A s vektorem. Před vyjmenováním všech 24

41 5.4. Transformace možných transformací provedeme ještě roznásobení naznačené na (5.6). Tato soustava tří rovnic názorně demonstruje vnitřní mechanismy výpočtu bodu a umožňuje rychle si ověřit výpočet matice M at. x 2 = x 1 a 11 + y 1 a 12 + t x (5.7) y 2 = x 1 a 21 + y 1 a 22 + t y (5.8) 1 = 0x 1 + 0y (5.9) Vztah (5.9) není potřeba dále uvádět. V matici pouze udržuje kompaktnost 3Ö3. Uplatnil by se pouze v perspektivním zobrazení nebo v nelineární transformaci (ani jedno nebude pro planární návrh potřeba). Přesto se v programu matice objevuje celá. Základní matice transformací: ˆ Posun bodu v vektor [p x, p y ]. ˆ Změna měřítka s koeficientem M s. ˆ Horizontální změna měřítka s koeficientem M x. ˆ Vertikální změna měřítka s koeficientem M y. ˆ Horizontální zešikmení s koeficientem S x. ˆ Vertikální zešikmení s koeficientem S y. ˆ Rotace kolem počátku o úhel α. ˆ (Prázdná matice 3.) Nyní budou podrobně popsány jednotlivé transformace včetně parametrů, a to v pořadí, v jakém se vyskytují v generátoru IFS. Přidržíme se úpravy z [W2]. Všechny tyto operace lze využívat samostatně, nebo v libovolných kombinacích. 4 3 Resp. jednotková matice: Ačkoliv tato matice nijak neovlivní výsledek, úmyslně byla přidána. Vyskytuje se totiž v naprogramovaném generátoru. 4 Pro tento případ obsahuje program funkce, které jednotlivé transformace načtou, vynásobí a upraví. 25

42 5.4. Transformace Posun bodu o vektor [p x, p y ]: Zápis pomocí souřadnic bodů: Transformační matice: x 2 = x 1 + p x y 2 = y 1 + p y (5.10) M trans1 = p x p y 0 (5.11) Tato transformace posune bod v souřadnicovém systému x y o zvolený úsek. A to nezávisle na dalších transformacích. Je třeba počítat s tím, že pokud např. další zvolenou transformační maticí pro tuto transformaci bude změna měřítka, je potřeba velikost posunu vynásobit obrácenou hodnotou měřítka. Kontrakce totiž probíhá včetně první iterace. Změna měřítka s koeficientem M s : Zápis pomocí souřadnic bodů: Transformační matice: M trans2 = x 2 = M s x 1 y 2 = M s y 1 (5.12) M s M s (5.13) Tato transformace vynásobí koeficientem M s souřadnice všech bodů. Obecně! platí má-li se jednat o IFS že M s < 1. Jedná se tedy o kontrakci 5. Jako podmínka existence IFS fraktálu totiž platí následující vztah: lim M trans2 w[x iter 1, y iter 1, 1] 0 (5.14) iter Tím je zajištěn bodový atraktor IFS systému. 5 Tj. zmenšování rozměrů celého objektu. 26

43 5.4. Transformace Horizontální změna měřítka s koeficientem M x : Zápis pomocí souřadnic bodů: Transformační matice: x 2 = M x x 1 y 2 = y 1 (5.15) M trans3 = M x (5.16) Obdoba 2. transformace, nicméně tato mění pouze měřítko x-ové souřadnice. Opět by mělo M x < 1. Vertikální změna měřítka s koeficientem M y : Zápis pomocí souřadnic bodů: Transformační matice: x 2 = x 1 y 2 = M y y 1 (5.17) M trans4 = Jako (4.13), pouze pro y-ovou souřadnici M y Horizontální zešikmení s koeficientem S x : Zápis pomocí souřadnic bodů: (5.18) x 2 = x 1 + S x y 1 y 2 = y 1 (5.19) Transformační matice: M trans5 = S x (5.20) 27

44 5.5. Zkrácená matice transformace Vertikální zešikmení s koeficientem S y : Zápis pomocí souřadnic bodů: x 2 = x 1 y 2 = y 1 + S y x 1 (5.21) Transformační matice: M trans6 = 1 S y (5.22) Rotace okolo počátku o úhel α: Zápis pomocí souřadnic bodů: Transformační matice: Nutno zádávat v radiánech. x 2 = x 1 cos(α) y 1 sin(α) y 2 = x 1 sin(α) + y 1 cos(α) (5.23) M trans7 = cos(α) sin(α) 0 sin(α) cos(α) (5.24) Toto byly všechny základní (lineární) transformační matice, jejichž kombinací (součinem) vznikne výsledná matice. Ta se uloží jako jedna z transformací (tr 1, tr 2... tr n ) Zkrácená matice transformace Velice často lze natrefit v souvislosti se zadaváním transformací na jiný druh zápisu. Například [A1],[A10],[A11] a [3] preferují matici formátu [a b c d e f]. V tomto případě jde skutečně pouze o odlišný způsob vyjádření jednotlivých transformací. Z první na druhou jsou potom tyto matice převeditelné. 6 V cizojazyčné literatuře se transformace zpravidla označují (w 1, w 2... w n ) [A1] [A2]. 28

45 5.5. Zkrácená matice transformace Jednotlivé parametry definuje následující rovnice, která je pouze přepisem vztahu (5.5): ( ) ( ) ( ) ( ) x1 a b x1 e w = + (5.25) x 2 c d x 2 f kde koeficienty a a d odpovídají změně měřítka ve směru x resp. y, koeficienty e a f representují posun ve směru x resp. y a konečně b a c odpovídají rotaci. Tento způsob je využíván programem v případě zadávání transformací souborem.txt, jak je uvedeno v následující kapitole. Výhodou je jednodušší formulace, problém někdy může být fakt, že tato matice neodpovídá afinní transformaci a v principu může udávat libovolně složitou transformaci (zpětně je obtížně rozložitelná). Pro potřeby generace IFS to ale není podstatné. 29

46 Kapitola 6 Generátor IFS v MATLABu Na základě teorie uvedené v kapitolách 3 a 5 byl naprogramován generátor, který bude nyní popsán. Skládá se z 33 funkcí, které jsou vyjmenovány v Dodatku A kapitoly 12. Protože kód i bez GUI obsahuje přes tisíc řádků, nelze ho zde detailně popisovat případný zajemce si může celý program postupně prohlédnout na přiloženém CD; nejdůležitější funkce jsou podrobně komentované. Zásadním rozhodnutím byla volba proměnných, protože tyto se vyskytují i v PDE části a musí být tedy kompaktibilní. Nejdůležitější proměnné jsou: POINTS ARRAY Globální proměnná, rozměr n 3, kde n určuje aktuální počet počátečních bodů (vrcholů). Důležité jsou pouze sloupce č.1 a 2, poslední sloupec je implicitně doplněn na hodnotu 1. 1 Tato matice je tedy proměnlivé délky a representuje počáteční objekt. Lze do ní body přidávat, nebo vždy od posledního zadaného odebírat, a to i mezi běhy programu. Tato proměnná se také automaticky naplní body, uchovanými v 1. nebo 2. slotu, pokud je jeden z nich aktivován. Body zadané do té doby jsou smazány. Podobný je postup, je-li načten soubor bodů. TRANSFORM ARRAY Každá submatice m n z matice m n t odpovídá jedné zatím nevypočítané transformaci složené z jednotlivých afinních transformací (kde každá řádka m odpovídá jedné). Hodnota t koresponduje s celkovým počtem transformací. 1 Snaha dodržet konvenci neustále doplňovat matici do prostorové podoby. Později je třetí sloupec opět odříznut. 30

47 6.1. GUI Tak jako u matice POINTS ARRAY lze transformace kdykoliv přidávat, nebo ubírat, zvolit načtení zásobníku či souboru. NOI Skalární veličina udává počet iterací. Jelikož se tato hodnota mění nejčastěji, je taktéž globální. Volitelne funkce Matice 4 1 uchovává informace o dodatečných volbách. Toto pole se samo naplní po spuštění get IFS. COMPLETE CELL Cell naplněný polygony zkonstruovaného fraktálu. Každá buňka obsahuje vícerozměrnou matici se seznamem bodů pro danou iteraci. 6.1 GUI Pro běh programu je nezbytný spuštěný MatLab. IFS generátor lze spustit pomocí funkce fractal preamble.m, nebo zadáním fractal preamble do promptu MatLabu, je-li současně Workspace uvnitř kořenového adresáře programu IFS-PDE-CM. Po chvilce se načte a na obrazovce zobrazí okno s hlavičkou Hlavní menu.grafické rozhraní je zobrazeno na obrázku Jednotlivé funkce budou probrány dále. Zadávání bodů K vkládání jednotlivých bodů slouží oblast nahoře vlevo. Vždy je potřeba zadat obě souřadnice. S výhodou lze body zadávat i pomocí matematických operátorů, konstat, případně funkcí, které MatLab zná (π, cos, sin,...). Pro uložení bodů do paměti stačí stisknout tlačítko Add point. Při prvním akceptovaném bodu by mělo tlačítko zezelenat. Program automaticky spojí poslední zadaný bod s prvním, a tak vznikne počáteční uzavřený obrazec polygon. Počet bodů by neměl přesáhnout 10, čas nutný k vykreslení fraktálu potom roste s každou iterací velmi strmě. Pokud jsou body zadány správně lze přejít k zadávání transformací. Uživateli by též měly pomoci pointery umístěné pod horním okrajem okna. 31

48 6.1. GUI Zadávání transformací Nejprve je potřeba rozhodnout, které z afinních transformací budou přidány do konkrétní transformace. Budou to ty, u kterých se aktivuje knoflík Použít?. Zcela na pravé straně je legenda, která každou afinní transformaci popisuje; jsou seřazeny v souladu s odstavcem 5.4. Po stisku Transform proběhne pro každou transformaci načtení potřebných afinních matic ze zdroje a jejich vzájemné pronásobení. Zelená barva indikuje správné načtení, červená značí opak. Pokud uživatel vybere některou z transformací, ale nezadá požadovaný parametr nastane jedna z eventualit: ˆ Pokud nechal implicitně zadanou hodnotu (tj. 0), program to akceptuje a násobí ostatní matice s touto. V případě měřítka to znamená automaticky špatný výsledek; v případě posunu nikoliv. ˆ Pokud však nebyla zadána žádná hodnota a byla smazána i nula, je na výstup vypsána chyba a program dál nepokračuje. Spolu s tím se thread programu zastaví na místě, odkud již nelze pokračovat. Funkce Save / Load Seznam bodů i transformací může být dlouhý nebo komplikovaný na vkládání. Pak je vhodné tuto činnost provést pouze jednou. Tím se uspoří čas a eliminuje možnost chyby při zadávání. Proto byly do programu implementovány funkce podobné schránce z Windows. V případě potřeby stačí stisknout Save1, popř. Save2. Poté se body uloží do první nebo druhé schránky. Zde jsou k dispozici i po znovuspuštění programu a dají se ihned načíst stiskem Load1, popř. Load2. Při práci s transformacemi je postup analogický. Práce se soubory Program umožňuje načítat předdefinováné soubory bodů i transformací. Je-li potřeba celá databáze fraktálů, je tento postup výhodný. Dokonce lze body či transformace zadané a otestované v programu uložit jako.txt soubor. Další možností je editovat již existující soubory. Aby tyto byly akceptovány programem, musí korespondovat se vzory v tabulce 6.1 a 6.2. Oddělovačem desetiných míst je pouze tečka, oddělovačem hodnot mezera. Zobrazit počáteční body Tlačítko Show points na obrazovce vykreslí polygon z doposud načtených bodů. Tato funkce je vhodná ke kontrole zadání. 32

49 6.1. GUI x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3. Tabulka 6.1: Struktura.txt souboru s body. a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 f 1 a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 f 2 a 3 b 3 c 3 d 3 e 3 f 3. Zpět Tabulka 6.2: Struktura.txt souboru s transformacemi. Tlačítko Zpět lze využít pokud byly posledně zadané koordináty chybné. Umožňuje totiž obebrat z globálních proměnných poslední matici. Je použitelné i v případě načtení bodů ze souboru nebo schránky, a tak lze dosáhnout zajímavých výsledků. Lze vracet samostatně bod po bodu, případně transformace. Stejné / Variabilní měřítko Obrázek 6.1: Knoflík M x = M y aktivovaný (vlevo) a vypnutý (vpravo). 33

50 6.1. GUI Umožňuje přepínat zobrazení. V drtivé většině případů je vhodný poměr měřítek defaultně nastaven automaticky. V případě vypnutí této volby může nastat případ, kdy není koláž zobrazena, nebo nastane chyba. Bohužel přesný důvod zatím nebyl lokalizován. Počet iterací Dále je potřeba zvolit počet iterací, tj. kroků programu. Po spuštění je nastavena hodnota 3, jež se dá libovolně měnit. Je ovšem potřeba dbát náročnosti výpočtu. Optimální postup respektuje doporučení zadávat nejprve hodnotu v rozmezí 1-3 iterací, zobrazuje-li se fraktál podle představ, lze postupně počet iterací zvyšovat. Pro pouhou představu o tvaru struktury jsou naprosto dostačující 2 iterace. Všechny transformace / Od transformace Tento knoflík je defaultně aktivovaný. To znamená, že program vypočítá i vykreslí všechny iterace. To je v některých případech nevýhodné. 2 Deaktivace zajistí odkrytí nabídky Od iterace:. Zde je možné zadat, od které iterace je vykreslování požadováno, pro zobrazení samotné poslední iterace se musí shodovat hodnoty Počet iterací: a Od iterace:. Get IFS Po zadaní všech výše uvedených parametrů lze pomocí tohoto tlačítka odstartovat vlastní generaci fraktálu. V MatLabu jsou parametry budoucího fraktálu spolu s volitelnými funkcemi znovu uvedeny. Fraktál je vypočítán a zobrazen, jsou vypsány údaje o celkové době výpočtu a době vykreslování. get PDE Tato volba není k dispozici, dokud není vypočítán IFS fraktál. Ten je využit jako výchozí struktura. Umožňuje spustit PDE úlohu, dále je probrána v 9. kapitole. Z IFS je do PDE načtena struktura fraktálu, dále vrcholy bodů, transformace a počet iterací. 2 U Sierpinského trojúhelníka dochází k překreslování hran vlivem zaokrouhlování. Pokud se vykreslí pouze poslední iterace je objekt hladký a bez přeskoků. Navíc pro další využití je vhodná vychozí struktura s méně polygony umožňující rychlejší výpočet. U většiny fraktálů je v případě simulace nezbytné tento knoflík deaktivovat, tedy potvrdit vykreslení pouze poslední iterace. 34

51 6.2. Export GenTool fc. Podobná funkce jako get PDE, dále probrána v 9. kapitole. Znovu Restartuje program, jenž je uveden do stavu bezprostředně po spuštění. Sloty s body a transformacemi nejsou regenerovány. Konec Pokusí se ukončit hlavní, ale i všechna ostatní okna a grafy. Uvnitř funkce je implementována klausule try-catch snažící se zachytit thread. 6.2 Export Jednou z posledních voleb je export výsledku. Program nabízí dva možné formáty výsledného souboru. První má příponou.txt, druhý příponou.3dt. Oba soubory lze nalézt v adresáři program output IFS generátoru. Za úpravu ukládaných souborů je zodpovědná funkce registry.m resp. registry3dt.m. Export lze bez problémů modifikovat dle potřeby. Ideálním způsobem je tvorba nové třídy, zakomponování dalšího radio buttonu do třídy fractal main window.m a drobná úprava zkopírované funkce podle vlastního přání. POLY Σ α 1 α 2 0 β 1 β 2 0 γ 1 γ 2 0 POLY Σ. Tabulka 6.3: Struktura souboru data.3dt. Legenda k tab. 6.3: Σ označuje počet bodů (v polygonu), α 1,2 souřadnice bodu x, β 1,2 bodu y a γ 1,2 bodu z v polygonu. Použitelný pro export např. do Excelu. Legenda k tab. 6.4: X označuje pořádové číslo polygonu, α 1,2 souřadnice 35

52 6.3. Příklady generace bodu x, β 1,2 bodu y a γ 1,2 souřadnice z v polygonu X. Tento soubor lze načíst do IE3D k následné simulaci. PolyX : α 1 α 2 0 β 1 β 2 0 γ 1 γ 2 0 Poly(X + 1) :. Tabulka 6.4: Struktura souboru data.txt. 6.3 Příklady generace Nyní budou uvedeny některé vytvořené IFS koláže. Ke všem objektům je uložen soubor s polygony a obrázek. Sierpinského trojúhelník Sierpinského trojúhelník je jedním z nejznámějších IFS fraktálů. K jeho generaci je zapotřebí 3 bodů vrcholů trojúhelníka a 3 transformací. Jednotlivé transformace w 1,2,3 obsahují afinní transformace změna měřítka a posun bodu. Body, pomocí jichž byl fraktál generován: bod č.1: x = 0 ; y = 0 bod č.2: x = 100 ; y = 0 bod č.3: x = 50 ; y = Transformace: w 1 : M s = 1 2 w 2 : M s = 1 2 ; P x = 100 w 3 : M s = 1 2 ; P x = 50 ; P y = ; 3 3 P x znamená posun ve směru x, podobně P y posun ve směru y. Aby posuny odpovídaly správnému posunu v nulté iteraci, je potřeba je vynásobit měřítkem M s. Toto násobení totiž provádí sám generátor a při zadávání transformací je nutno na to pomatovat. 36

53 6.3. Příklady generace Obrázek 6.2: Sierpinského trojúhelník, IFS generátor, pouze 3.iterace Sierpinského kobereček Dalším vygenerovaným fraktálem je Sierpinského kobereček (Sierpinsky carpet, obr. 6.4). Tento fraktál se generuje poměrně dlouho už při nízkých iteracích, protože obsahuje 4 body, na které se aplikuje 8 transformací. Body, pomocí jichž byl fraktál generován: bod č.1: x = 0 ; y = 0 bod č.2: x = 50 ; y = 0 bod č.3: x = 50 ; y = 50 bod č.4: x = 0 ; y = 50 Transformace: w 1 : M s = 1 3 ; P x = 200 ; P y = 200 w 2 : M s = 1 3 ; P x = 200 ; P y = 50 37

54 6.3. Příklady generace Obrázek 6.3: Sierpinského trojúhelník, IFS generátor, 6. iterace w 3 : M s = 1 3 ; P x = 200 ; P y = 100 w 4 : M s = 1 3 ; P x = 50 ; P y = 100 w 5 : M s = 1 3 ; P x = 100 ; P y = 100 w 6 : M s = 1 3 ; P x = 100 ; P y = 50 w 7 : M s = 1 3 ; P x = 100 ; P y = 200 w 8 : M s = 1 3 ; P x = 50 ; P y = 200 Cantorovo discontinuum Jeden z prvních objevených fraktálů vůbec. Dá se mimo jiné generovat i pomocí IFS. Potřebné body: bod č.1: x = 0 ; y = 0 bod č.2: x = 100 ; y = 0 38

55 6.4. Časová náročnost Obrázek 6.4: Sierpinského kobereček, IFS generátor, 3 iterace Transformace: w 1 : M x = 1 3 ; P y = 3 w 2 : M x = 1 3 ; P x = 200 ; P y = 3 ; 4 Další fraktální struktury vhodnější k simulaci budou představeny v kapitole Časová náročnost Níže uvedené tabulky a grafy demonstrují silnou nelineární závislost délky zobrazování na počtu iterací. Dokonce ani poměr času potřebného na vykreslení jednoho polygonu není konstatní. Ačkoliv by program vyšší iterace velmi rychle vypočítal, 4 Zde je potřeba zadat pouze měřítko M x, ne měřítko M s zmenšoval by se potom i vertikální odstup čar. 39

56 6.4. Časová náročnost Obrázek 6.5: Cantorovo discontinuum, IFS generátor, 6 iterací zobrazení výsledku by trvalo přiliš dlouho. Dále je vidět, že doba výpočtu je relativně krátká a s rostoucím počtem prvků se příliš nezvyšuje. Je to dáno i tím, že MatLab je na tento typ úloh uzpůsoben a výpočet není tak složitý jako vykreslení. Obrázek 6.6: Závislost doby výpočtu (vlevo) a zobrazení (vpravo) na stupni iterace a na počtu bodů a transformací. Tyto hodnoty byly získány na desktopu P4 Prescott, 3.03 GHz, 1 GB RAM, Dual Channel díky funkcím tic-toc. Zajímavostí je, že na notebooku (AMD Turion) s výrazně pomalejším procesorem a poloviční pamětí, již témeř celou zabíral MatLab dosahoval při vyšších iteracích program lepších výsledků. Vysvětlení by mohl podat právě procesor Prescott, který na úloze pracoval vždy jen jedním ze dvou jader procesor. 40

57 6.5. Možná vylepšení Počet iterací Doba výpočtu [s] Doba vykreslování [s] 3 b., 3 t. 8 b., 5 t. 3 b., 3 t. 8 b., 5 t. 1 iterace iterace iterace iterace iterací iterací > Tabulka 6.5: Růst složitosti výpočtu. Poznámka: b. body, t. tranformace 6.5 Možná vylepšení Závěr této kapitoly bude věnován dalšímu rozvoji generátoru. Velká část nedostatků z původní verze byla odstraněna zkvalitnil se vstup parametrů a jejich správa, program byl zrychlen. Taktéž byly vytvořeny funkce, které postupem času, jak se generátor využíval, začaly být potřebné. Spolu s nimi ovšem vznikla nutnost dalších drobných úprav celku. Shrnutí 1. Vylepšení ˆ pročištění kódu ˆ sjednocení funkcí, objekty ˆ vyřešit problém s tlačítkem Kreslit:M x = M y? 5 ˆ při ukončování programu, nebo nahlášené chybě opět najít thread 2. Rozšíření ˆ možnost zadat úvodní objekt v grafickém podobě, program najde vrcholy sám ˆ editace jakéhokoliv bodu ze seznamu ˆ nabídka, zda fraktál vykreslit, nebo pouze vypočítat (úspora času) 5 Přepis funkce Axis. Ta implicitně umožňuje vytvoření osového kříže pouze při 2, 4, 6... elementech. 41

58 Kapitola 7 Mikropáskové patch antény První koncepty mikropáskových antén se objevují v 50. letech. V následujících desetiletích, s příchodem nových materiálů (jako jsou nízkoztrátová dielektrika) a také nových potřeb zejména ve vojenství, se tyto antény stávají nejen uspokojivě realizovatelnými, ale i populárními. Jelikož je přesný návrh těchto antén obtížný, dochází ke skutečnému boomu až v letech osmdesátých s nástupem počítačové techniky a s tím spojené přesné a kvalitní analýzy. V současné době se jedná o velice rozšířený typ antén pracujících v řádu kmitočtů od 100MHz výše. Představu o podobě patchové antény z mikropásku poskytuje obrázek 7.1. Začněme popis obrázku od jeho spodní části. Ta je tvořena zemní rovinou (Ground Plane), k níž přiléhá tenká vrstva dielektrického materiálu (Antenna Substrate). Na ní je umístěn kovový útvar representující vlastní flíčkovou anténu (Patch Antenna 1 ). Tato anténa může mít teoreticky libovolný tvar, jako je pásek, ploška, elipsa, mezikruží atp., ovšem v této práci si budeme dále všímat pouze patchů s fraktálním charakterem; konkrétně to znamená, že na povrchu dielektrika je umístěna IFS koláž. Rozměr tohoto segmentu bývá λ 2. Je-li vhodně umístěno napájení (viz část 7.2), vznikne na povrchu motivu stojatá proudová vlna. Tato je pak zdrojem vyzařovaného elektromagnetického pole. Tvar tohoto pole se nazývá mód. 2 V případě modální analýzy se tedy v podstatě jedná o porovnání snímků rozložení proudů. Abychom tyto obrázky získali, musíme využít jednu z analyzačních metod uvedených v 8. kapitole. Za určitých podmínek je možné využít planární rezonátor i pro vedení postupné proudové vlny podél antenní struktury. Ta je taktéž schopna vyzařovat elektromagnetickou vlnu do prostoru. Zpravidla se ale jedná o tvarově jiný typ antény, než v případě prvním. Více o těchto anténách, stejně tak jako jejich vyobrazení viz [12]. 1 Anglický termín patch v překladu znamená záplata, flíček. Přestože se v některé české literatuře tento termín vyskytuje, zůstala většina autorů u původního pojmu patch anténa 2 Analogie s kovovými vlnovody. 42

59 7.1. Princip činnosti 7.1 Princip činnosti Obrázek 7.1: Mikropásková patch anténa. Pro popis mikropáskové antény je nutno zavést několik zjednodušení. Postupujme dále ve shodě s [W3]. Potřebné vztahy pro jednotlivé ztráty, účinnost a celkovou energii odvodíme na základě [13] a [14]. Pro malou výšku antény ( < λ ), tedy vzdálenost patch zemnící rovina, je 10 zřejmé, že energie pole je směrována pod patch. Toto pole je skrze substrát dále vyzařováno do prostoru. Část energie odpovídá ztrátám, kvantifikovaným vztahy (7.3), (7.4) a (7.6). Dále si pro zjednodušení můžeme anténu představit jako deskový vlnovod s otevřeným koncem a zkoumat velikost činitele odrazu Γ e jφ. Modul můžeme vyjádřit: Γ = e 2πh λ 0 e jφ, (7.1) fázi Φ potom: Φ = 4h ( ) eλ0 ln λ 0 γh { i = 1 ( ) } 2h sin 1 2h, (7.2) nλ 0 nλ 0 kde e. = a γ. = Vyčíslit tyto vztahy je pro komplikovanou provázanost geometrie a materiálu substrátu s modulem i fází obtížné. Problém je možné 43

60 7.1. Princip činnosti Obrázek 7.2: Mód proudového rozložení fraktální struktury. významně redukovat zjištěním, že impendance je na (otevřeném) konci vlnovodu velmi (teoreticky nekonečně) vysoká. Ze vztahu mezi elektrickým a magnetickým polem Z = E a při Z dostáváme okrajovou podmínku H 0. Tato H skutečnost, kdy má magnetické pole na hranici patche minimum, se nazývá dokonalá magnetická stěna PMC. Analogicky lze naproti tomu zemní rovinu a zářič ohraničit dokonalou elektrickou stěnou PEC. Celkové pole pod patchem je tedy superpozicí jednotlivých TEM vln (módů) respektujících okrajové podmínky. Tyto předpoklady dále rozvíjí Dutinový model uvedený v části 8.1, umožňující analyzovat patch a získat numerické řešení pole, tj. jednotlivé módy. Vztahy popisující mikropáskovou anténu Ztráty v dielektriku P d : Ztráty v kovu P c : P d = ωɛ tan δ 2 P c = R s E z 2 dυ (7.3) H 2 ds, (7.4) 44

61 7.2. Napájení kde H je velikost proudové hustoty na horní a spodní části dokonalé magnetické stěny a odpor R s : πfr µ 0 R s = (7.5) δ c pro δ c vodivost kovu. Dále z integrálního vztahu pro Poyntingův vektor odvodit ztráty vyzařováním P r : P r = 1 4Z 0 2π π 0 0 E 2 r 2 sin θ dθ dυ (7.6) Na základě vztahů (7.3), (7.4) a (7.6) definujeme vyzařovací účinnost: η = P r P r + P d + P c (7.7) Celková energie při rezonanci lze sumarizovat integrálem: W T = ɛ E z 2 dυ (7.8) 2 Činitel ztrát tan δ eff jako poměr ztrát a celkové energie: kde P sum = P r + P d + P c Vztah mezi činitelem ztrát a činitelem jakosti: Šířka pásma BW: tan δ eff = P sum ωw T, (7.9) Q T = 1 tan δ eff (7.10) BW = P SV 1 Q T P SV, (7.11) BW (0, 1), poměr stojatých vln P SV 1. [14] dodává, že tento vztah je validní pouze pokud se anténa chová jako jednoduše laditelný RLC obvod. 7.2 Napájení Napájení antény je proveditelné jedním ze čtyř následujících způsobů. První dva kontaktní způsoby jsou hojně používány, další dvě mladší a sofistikovanější metody využívají elektromagnetickou vazbu. Umožňují např. zvětšit tloušt ku substrátu či napájet anténní řadu bez vzájemných interakcí. 45

62 7.2. Napájení Mikropáskové vedení Jedná se o nejjednodušší způsob napájení. Napájecí vedení je na stejném substrátu jako vlastní anténa. Protože je napájecí pásek spojen s vyzařujícím elementem, podílí se na vyzařovací charakteristice vlastním parazitním vyzařováním. Dalším faktorem provázejícím tento druh zapojení jsou ztráty na vedení a s nimi související snížení celkové účinnosti antény, stejně tak nemožnost použít substráty větších elektrických tloušt ek. Obrázek 7.3: Napájení patch antény: a) mikropáskovým vedením, b) koaxiálním vedením, c) průřez anténou b) v rovině středního vodiče koaxiálního napáječe. Mikropásek napájející anténu musí být rovněž impendančně přizpůsoben impendance antény se musí rovnat impendanci vedení. Toho lze dosahnout dvěma způsoby: λ 1. -vlnným transformátorem 4 Úsek vedení s elektrickou délkou λ má na obou koncích stejnou impendanci. 4 Tento poznatek lze využít pro přizpůsobení napájení. 2. zapuštěným páskem Využívá se znalosti proudového rozložení na vodivých částech antény, volí se vhodné místo a hloubka zapuštění tak, aby byly impendance shodné. Antény napájené mikropáskem jsou jednoduché na sériovou výrobu a dají se snadno sdružovat do řad. Proto se stále používají. 46

63 7.2. Napájení Koaxiálně Koaxiální vodič je připojen zespoda k zemní rovině, střední vodič prochází substrátem a je spojen se zářičem. Použití koaxiální sondy vede k potlačení parazitního vyzařování přítomného v prvním případě. Impendačního přizpůsobení je opět dosaženo vhodnou volbou pozice napájení, tedy umístěním koaxiálního konektoru. Za velký klad lze označit frekvenční nezávislost, a tedy možnost budit struktury na vyšších módech, resp. o více různých módech. Takto napájené antény je bohužel téměř nemožné sdružovat do řad, uspokojivé řešené je obtížné. Dalším negativem je nutnost použít koaxiální konektor, na kterém mohou vznikat nežádnoucí odrazy. Problému, jak nalézt optimální pozice pro napájení se mj. věnuje [W4]. Doporučuje se hledat vhodné místo pro napájení nejprve na podélné ose zářiče ve vzdálenosti zhruba 1 3 ve směru rezonančního rozměru L.3 Ideální místo pro napájení je vždy nutno najít před analýzou konkrétního vzorku, v opačném případě jsou výsledky zatíženy chybou. Vazební štěrbinou Zářič je vybuzen pomocí elektromagnetické vazby. Tu zprostředkovává štěrbina v zemní rovině, jak je vidět na obr.7.4. Jednou z předních výhod je možnost využití elektricky vyšších substrátů, což je mnohdy žádoucí 4 a snížení interakce napájení a zářičů v případě anténních řad (podle [10]). Velká variabilita přizpůsobování koresponduje se složitostí tohoto procesu. Otevřeným koncem vedení Jedná se též o nevodivé spojení. Napájecí otevřený konec mikropásku je umístěn v nižší vrstě substrátu, vodorovně s patchem. Mezi anténou a otevřeným koncem není zemnící rovina tak jako v předchozím případě, proto, ač podobné, jsou vlastnosti tohoto typu napájení horší. Ilustraci k tomuto typu napájení lze nalézt např. v [10] a [14]. 3 Kde impendance klesá od hodnot Ω na hraně patche až po teoretickou hodnotu 0Ω ve středu patche. 4 V rámci zlepšení konkrétního parametru tento krok shrnuje tab

64 7.3. Parametry patch antén Obrázek 7.4: Napájení pomocí vazební štěrbiny. 7.3 Parametry patch antén Následuje krátký přehled parametrů typických pro patchové antény uváděné v literatuře. Níže uvedené hodnoty jsou sjednoceny podle [10]. Rozsah pracovní frekvence se pohybuje od stovek MHz do stovek GHz, přičemž šířka pásma je velice úzká, typicky 2-6% v oblasti GHz. Důvodem malé šířky pásma je vysoký činitel jakosti běžných zářičů pohybující se v řádu několika desítek. Použitím vhodného tvaru patche, tvaru a druhu substrátu (feritový, ɛ r = 9 16, přirozená anizotropie, možnost přemagnetování) a napájení je možné dosáhnout až 30 i více procent pro středně vysoké kmitočty. Směrovost můžeme očekávat v rozmezí 5 až 10 dbi, pro vyšší substráty s nižší relativní permitivitou i více. Vyzařovací účinnost antény se pohybuje kolem 80 procent (jedná se vždy o údaj pro případ bezeztrátové antény), celková účinnost je potom od do maximálně 90 procent. Pokud je relativní permitivita substrátu větší než jedna (vzduchová a pěnová dielektrika), může na rozhraní substrát vzduch docházet ke vzniku povrchových 48

65 7.3. Parametry patch antén vln. Ty zhoršují impendanční i vyzařovací vlastnosti a snižují účinnost antény, což je nežádoucí. Problematická je též výkonová zatížitelnost, pohybuje se kolem max. 100W. Relativní permitivita ɛ r substrátu označuje schopnost dielektrika se polarizovat. Číselná hodnota dává do poměru tuto schopnost u měřeného materiálu a u vakua. Ani u konkrétního materiálu není stálá je ovlivněna tlakem, teplotou a také provozní frekvencí. U většiny látek s výjimkou feroelektrik se pohybuje v rozmezí Krom dielektrické konstanty je při návrhu nutné zvážit i velikost ztrátového úhlu, homogenitu materiálu, rozsah pracovních teplot, pružnost, pevnost a opracovatelnost substrátu. 5 Následující tabulka shrnuje používané materiály: 6 Substrát ɛ r [-] Substrát ɛ r [-] (vzduch) ( ) Křemenné sklo 3.75 Eccofoam PP Korund 9.8 Rohacell Oxid hlinitý 9.9 RT Duroid 5880 (Teflon) 2.1 Safír 11 Polypropylen 2.18 Polo-isolační GaAs 13 Teflon (RT) + sklo 2.55 Ferit 9-16 Polystyren. pěna 3.2 plněná titan. oxidem Tabulka 7.1: Hodnoty ɛ r podle použitého substrátu. Na příkladu IFS koláže složené z hexagonálních polygonů použité pro srovnání v kapitole 9 a 10 a analyzované pomocí metody momentů v [A2], lze doložit pozitivní vliv fraktální struktury na parametry antény. Pro případ druhého módu uvádí autor v příspěvku následující parametry: f r2 = 1.403GHz, S 11 = 21.88dB, BW = 0.19GHz a konečně poměr f r2 / f r1 = Pro zajímavost je uvedena též šířka pásma BW třetího módu: BW = 0.95GHz, při rezonanční frekvenci f r3 = 4.263GHz. Takto příznivé hodnoty byly dosaženy již při druhé iteraci. Tab. 7.2 cituje doporučené úpravy struktury uvedené v [12] vedoucí ke zlepšení požadované vlastnosti. 7 5 Například jinak výhodný korund se obtížně obrábí. Tento problém odpadá u jeho monokrystalické formy safíru s velice kvalitními parametry. Daní je však velmi vysoká cena. 6 Části tabulky převzaty z [12] a [W10]. 7 Tabulka určená primárně pro obdélníkový patch. 49

66 7.3. Parametry patch antén Nutné vlastnosti antény Požadavovaná vlastnost Výška substr. ɛ r substr. Plocha patche Vysoká vyzař. účinnost vysoký nízká rozsáhlá Nízké dielektrické ztráty nízký nízká Nízké vodivostní ztráty vysoký Velká šířka pásma vysoký nízký rozsáhlá Nízké postranní vyzař. nízký nízká Malá křížová polarizace nízká Lehké zatížení nízký nízká Velké zatížení vysoký vysoká rozsáhlá Tabulka 7.2: Zlepšení parametrů modifikací struktury. Pro své vlastnosti jsou antény používány zejména v letectví, satelitní technice, vojenské technice (rakety apod.), mobilních telefonech, WLAN, biomedicíně a v mnoha dalších oblastech. V závěru kapitoly jsou shrnuty vlastnosti ovlivňující zásadním způsobem nasazení mikropáskových patch antén v konkrétní aplikaci. Obsáhleji se některým z výhod věnuje publikace [12]. 1. Výhody ˆ nízký profil (zemní rovina, substrát, motiv) ˆ nízká hmotnost ˆ jednoduchá a levná výroba (tištěné obvody) ˆ mechanická robustnost ˆ snadná integrace do anténních řad ˆ rychlý návrh podle požadavků ˆ mohou být vzájemně integrovány do obvodů ˆ možnost přizpůsobit anténu samotným napájením ˆ plochou se může přizpůsobit okolí Fraktální patch antény mají navíc následující výhody: ˆ uzpůsobení pro vícepásmovou činnost ˆ nižší rezonanční frekvence ˆ možnost simulace anténní řady (lokalizace proudů) 50

67 7.3. Parametry patch antén ˆ mírné snížení rozměrů 2. Nevýhody ˆ malá šířka pásma (velký činitel jakosti Q) ˆ omezený výkon ˆ obtížné dosažení čisté polarisace ˆ výkonější anténní pole vyžadují složitý systém napájení ˆ pro špičkové hodnoty je potřeba velmi kvalitní (drahý) substrát ˆ nelze použít unifikované napájení pro všechny typy antén 3. Podle použití ˆ vyzařování pouze do jedné poloroviny (přítomnost zemní roviny) 51

68 Kapitola 8 Analýza patch antén Analýza umožňuje více či méně přesně odhadnout parametry navrhované antény. Dochází k úspoře času i materiálu. Můžeme tak studovat fyzicky neexistující struktury. Vlastní výpočet je však komplikován mnoha faktory. Mezi ně patří například přítomnost vícevrstvého dielektrika, složitý tvar patche, vazba mezi více zářiči nebo komplikovaný způsob napájení. Pro potřeby analýzy mikropáskových antén existuje mnoho metod využívajících různé přístupy k simulaci elektromagnetického pole. Obecně platí, že složitější metoda dává přesnější výsledky, ovšem za cenu delšího času výpočtu a větších nároků na operační pamět. Proto je třeba nalézt optimální poměr mezi navzájem ambivalentními požadavky přesnosti a rychlosti. Metody lze v prvním přiblížení rozdělit na tzv. analytické a numerické. Díky četným zjednodušením jsou analytické metody rychlé a jednoduché na implementaci. Prakticky nejsou využívány pro komerční software. Dutinový model a model vedení patří právě do této skupiny. Oproti tomu numerické metody pracují bez počátečních zjednodušení a často nejsou omezeny tvarem ani složením struktury antény. Poskytují přesnější výsledky. Pro jejich efektivní využívání je nutný kvalitní software i hardware. Mezi nejznámější patří metoda konečných prvků (FEM), momentová metoda (MoM) a metoda konečných diferencí (FD). Tyto metody lze dále dělit podle domény, ve které se hledá řešení na časové a frekvenční. Prvně jmenované umožňují nalézt řešení pro libovolný časový průběh. Druhý typ strukturu analyzuje pro soubor diskrétních frekvencí. Nutným průběhem je tedy harmonický ustálený stav. Mezi oběma doménami lze přecházet pomocí (diskrétní) Fourierovy transformace. Nejvíce pozornosti bude věnováno dutinovému modelu, ostatní metody budou zmíněny pouze okrajově. 52

69 8.1. Dutinový (Cavity) model 8.1 Dutinový (Cavity) model Zrekapitulujme závěry 7. kapitoly stěžejní pro dutinový model. Ten popisuje mikropáskovou patch anténu jako dutinu obklopenou na okraji dokonalou magnetickou (PCM) a ze spodu a ze shora elektrickou (PEC) okrajovou podmínkou, v souladu s obr.8.1. Obrázek 8.1: Okrajové podmínky patch antény. Matematicky lze tyto podmínky vyjádřit následovně: E z = 0, H.z = 0; pro z = 0, z = h (8.1) H n = 0, E.n = 0; na hranici antény. (8.2) Vztah pro dokonalou magnetickou stěnu (PMC) Ez,n = 0 je znám jako Neumannova okrajová podmínka. n Zanedbatelná výška antény umožňuje uvnitř dutiny zanedbat rozměr z, tedy: E x = 0, E y = 0, H z = 0. (8.3) Tím zbývají nenulové složky E z, H x a H y. Tímto krokem je problém omezen na dva rozměry, resp. můžeme očekávat plošné proudové rozložení, čili TM módy a také vertikální elektrické pole. Na tomto základě lze namísto původní složité rovnice (7.1) odvodit z Maxwellových rovnic Helmholzovu vlnovou rovnici (8.4) pro složku E z (Maxwellovy rovnice umožňují dodatečně vypočítat i H x a H y ). ( t + kn) 2 E z,n = 0, (8.4) ( kde diferenciální operátor t = 2 + ), 2 k 2 x 2 y 2 n jsou vlastní čísla odpovídající jednotlivým rezonančním frekvencím f rn, (n {1, 2, 3... }) a E z,n jsou vlastní funkce mapující rozložení E z v dutině. Nula na pravé straně rovnice indikuje stav 53

70 8.1. Dutinový (Cavity) model bez buzení. Protože tato práce studuje strukturu právě v tomto stavu, případem s vnucenou proudovou hustotou se zabývat nebudeme. 1 Řešení Helmholzovy rovnice v uzavřeném tvaru je známé pouze pro několik elementárních tvarů, složitější patche je nutno řešit numericky. Pro tuto práci byl zvolen PDE toolbox v MatLabu. Rozložení pole ukazuje grafický výstup toolboxu. Rezonanční frekvence vyčíslíme úpravou vztahů (8.5) a (8.6): Definujme rovnost koeficientu λ n vypočteného MatLabem a vlastního čísla k n : λ n = k 2 n, (8.5) a obecnou podmínku rezonance: k 2 n = k 2, (8.6) kde k = jωµ(δ + jωɛ). Dále položme µ r = 1, ɛ r = 1 a δ = 0. Rovnice přejde do tvaru: λ = ω 2 µ 0 ɛ 0, (8.7) nyní aplikujme vztahy c 0 = 1 ɛ0 µ 0 a ω = 2πf r : λ = 4π2 f 2 r c 2 0 (8.8) a konečně vyjádřeme f r : f rn = c 0 λn 2π. (8.9). Index n odpovídá n-tému módu struktury, c 0 = ms -1 je rychlost světla ve vakuu. Výše popsaný způsob nám tedy umožňuje určit rezonanční frekvenci struktury a tvar proudového rozložení jednotlivých módů. Pro své omezující předpoklady jsou výsledky získané s pomocí dutinového modelu ve srovnání s komlexnějšími postupy zatíženy chybou. Handicapem DM je i striktní požadavek na typ zářičů. Motiv obsahující více navzájem vodivě nespojených segmentů nelze z důvodu zanedbávání vzájemných vazeb analyzovat. Složité je také vyčíslení ztrát. Klady této metody spočívají v názornosti, jednoduchosti a relativní rychlosti. 1 V opačném případě je nutno aplikovat například složitou tzv. modální expanzi. 54

71 8.2. Vedení 8.2 Vedení Patch je nahrazen dvěma vyzařujícími štěrbinami (podobnost rozložení pole v pravoúhlé štěrbině a na okraji patche). Úsek mezi napájením a těmito štěrbinami je simulován odpovídajícími částmi přenosového vedení. Původní model disponoval velmi omezenými schopnostmi. Zdokonalená varianta zahrnuje vztahy pro komplexní popis antény, včetně interakcí mezi zářiči. Nerespektuje vybuzení a vliv povrchových vln. 8.3 MoM Řeší Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru. Diskretizujeme pouze vodivé plošky (resp. povrch těles). Velice vhodná metoda pro řešení planárních struktur (mikropásků). Závěr výpočtu spočívá ve zjednodušení a vyčíslení rozsáhlé matice (rozložíme-li strukturu na N dílků, obsahuje matice N N dílků). K eliminaci velkého počtu lineárních rovnic se užívá klasické Gaussovy eliminace, mnohdy i dalších, sofistikovanějších postupů. Velikost N přímo ovlivňuje přesnost výpočtu. Oproti dutinovému modelu poskytuje MoM více informací o zkoumané struktuře. Nevýhodou je striktní požadavek na umístění dielektrika a jeho homogenitu. Tento model je využíván programem IE3D. Implementací MoM do MatLabu se zabývá mj. diplomová práce [W11], kde jsou uvedeny další podrobnosti vč. matematického popisu problému. 8.4 FEM Metoda konečných prvků (FEM Finite Element Method) řeší obecné parciální diferenciální rovnice. Již z toho je tedy patrné, že jde o model umožňující analyzovat různě složité a členité struktury. Nejsou zde kladeny tak přísné požadavky na tvar patche jako u dutinového modelu. Tento model je využíván nadstavbou MatLabu FEMLabem. Tato metoda v budoucnu nahradí námi využívaný dutinový model (PDE toolbox bude nahrazen FEMLabem). 8.5 FD Maxwellovy rovnice v diferenciálním tvaru jsou diskretizované v čase a prostoru. Lze simulovat i přechodové děje. Nemeshuje pouze vodivou část jako dutinový model, nýbrž celou oblast obklopující strukturu, a také definuje tzv. absorpční hraniční podmínky. Nutná je velmi jemná diskretizační sít. Jedná se o nejobecnější 55

72 8.5. FD metodu bez omezujících požadavků na geometrii nebo parametry zadávané antény. Obtížná metoda na přímou implementaci. Zástupcem programů využívajících tuto technologii je např. hojně používané CST Microwave Studio. Níže uvedené fraktály se vztahují k následující kapitole. Jsou zobrazeny ve stadiu po zápisu do PDE toolboxu. Obrázek 8.2: Fraktál č. 1, 1-2 iterace. Obrázek 8.3: Fraktál č. 2, 1-2 iterace. Obrázek 8.4: Fraktál č. 3, 1-2 iterace. 56

73 Kapitola 9 PDE analyzátor módů v MatLabu 9.1 Dutinový model v MatLabu Nutnost přímého propojení IFS a PDE tak, aby mohl pro svou činnost jeden segment využívat výsledků druhého, byla od počátku práce stále zřetelnější. Tato potřeba byla vyřešena pomocí 13 funkcí dohromady odpovídajících dutinovému modelu probranému v 8.kapitole; tři z těchto funkcí jsou pozměněné m-fily původního PDE toolboxu z MatLabu. Pro případné osvětlení činnosti jednotlivých funkcí byl zařazen Dodatek A kapitoly 13. Následující pojednání o funkci modelu respektuje návaznost jednotlivých operací od spuštění PDE po získání výsledku. Otevření nového okna na obrazovce je průvodní jev bezproblémového načtení potřebných parametrů. Tyto parametry jsou: seznam polygonů (jejich vrcholů) a původně zadané údaje pro generaci IFS (v případě potřeby slouží k rekonstrukci původního fraktálu, obsahují matici parametrů). Nesnane-li se tak a nové okno se neobjeví, je nutné zkontrolovat prompt, kde se zobrazí případné upozornění s chybou. V případě stisku tlačítka get PDE se rozhraní podobá obr. 13.4, v případě stisku GenTool fc. je totožné s obr Nejprve je velikost celé struktury modifikována (zobrazení antény v reálných hodnotách desítek milimetrů je názorné a praktické). Rozměry zářiče se v každém kroku zmenšují na polovinu. A to tak dlouho, dokud větší z délek neklesne pod 70 mm. 1 Nyní je nezbytné obdržené polygony zakreslit do PDE toolboxu a sjednotit tak, aby tvořily ucelenou plochu. 2 Program přidělí každému segmentu unikátní label, 1 Parametr možno změnit na řádce č.11 funkce modify cell.m. 2 Může být libovolně členitá a obsahovat štěrbiny, ale mezi všemi polygony musí existovat vodivé spojení. 57

74 9.1. Dutinový model v MatLabu zobrazující se při načítání ve stavové řádce toolboxu. Díky němu jsou správně zakresleny a sjednoceny všechny polygony. Operace zakreslení v úhrnu odpovídá přes 90 procentům času potřebného na celý výpočet. A to z důvodu, že každý krok zápisu updatuje celkou strukturu. Zápis se tedy s přibývajícím počtem polygonů rapidně zpomaluje. V závislosti na rychlosti počítače se únosná mez pohybuje v rozmezí 25 až 50 polygonů. Pro zvýšení komfortu byla zakomponována funkce nabízející v případě vysokého počtu polygonů odebrání celé poslední iterace 3 a také stavový panel vyskytující se v IFS části. Sjednocení (odstranění nepotřebných hranic) provádí PDE automaticky. Další krok představuje přiřazení Neumannovy podmínky hranici mikropásku. Tu lze nastavit jednotným příkazem pro všechny části hranice. Především u štěrbin uvnitř patche však tento postup končí chybou. Strukturu nelze dále upravovat a program nepokračuje. Pro lepší manipulaci s členitými útvary byl na tomto místě kód rozšířen o try-catch formuli vloženou do for cyklu. Nyní nehrozí v případě vnitřních problémových hranic pád programu. Ani během dlouhé doby testování toto řešení nevykázalo žádný problém. V tuto chvíli je potřeba plochu zářiče rozdělit na elementární plošky vhodné velikosti. Sít (mesh) musí být nejen dostatečně jemná, ale také kvalitní, čímž je myšleno další zjemnění ok v oblasti tenkých spojek a drobných výstupků tedy všude tam, kde bude docházet k extrémním změnám pole. Pro vhodné nameshování je určena funkce pde tool mesh.m. I přes existenci postupů vhodných k individuálnímu určení počtu ok nově incializované sítě byla experimentálně zvolena hodnota 50 ok na jeden polygon. 4 Jedná se o kompromis rychlosti a přesnosti. Plocha je tak dlouho refinována, dokud nevyhoví této podmínce. Aktuální počet segmentů diskretizační mříže se vypisuje do promptu MatLabu. Potřebný rozsah pro nalezení dostatečného počtu vlastních čísel, tedy i rezonančních frekvencí, je úměrný rozměru patche, jeho tvaru a členitosti. Tvarem je v [A7] myšlena fraktální dimenze antény a její hranice. Podle Berryho lze na základě těchto dodatečných informací aproximovat nezbytnou délku matice vlastních čísel, přesněji určit počet těchto modů následovně: N(k) = M Dk D ( D 2 )!(4π) D 2 m d k d 4( d 2 )!(4π) d , (9.1) kde k a hledaný počet módů k n < k, D odpovídá rozměru oblasti, d rozměru hranice oblasti, tedy d = D 1, M D resp. m d se rovná Hausdorffově dimenzi oblasti, resp.hranice. 3 Dialog se objeví při počtu vyšším než je 50. Tuto hodnotu lze upravit ve funkci modify cell.m. 4 Opět lze změnit, viz pde tool mesh.m, řádka

75 9.1. Dutinový model v MatLabu Ačkoliv je vyčíslení této rovnice jednoduché, je nepravděpodobné, že by uživatel vždy znal všechny potřebné parametry. Pak je nutné přenést povinnost získat tyto hodnoty na simulační program. Implementace této funkce je však pro účely PDE simulátoru zbytečně příliš složitá, navíc při pevně zvolených mezích nedocházelo k výrazným rozdílům v počtu získaných řešení. 5 Tento způsob zadání zůstal zachován. 6 Následně můžeme přistoupit k vlastnímu numerickému řešení rovnice (8.4). Výpočet obstará PDE toolbox MatLabu spuštěný funkcí solve pde task.m, konktétně příkaz na řádce 31. Bezprostředně předtím dochází k nastavení dodatečných voleb přístupných též v okně toolboxu zejména se jedná o barevný rast pro zobrazení gradientu napětí, barvu a přítomnost šipek ukazujících směr proudu. Obdržené výsledky jsou ve tvaru Lambda(n), n ukazuje pořadí módu. Pro přepočet na rezonanční frekvence je využit vztah (8.9). Při analýze některých fraktálů vycházela frekvence dominantního módu nesmyslně nízká, často o 10 i více řádů nižší než další frekvence v pořadí. Zařazením cyklu, který z poměru f r3 a f r1 vypočte strmost, s jakou frekvence stoupá, a který tuto strmost porovnává se strmostí zadanou v programu, 7 byl problém odstraněn. Tato úprava se týká nejvýše prvních dvou frekvencí. Uživatel je o odebrání hodnot informován v okně MatLabu. Zobrazení v PDE toolboxu nejsou těchto fiktivních frekvencí zbavena. Je-li tabulka rezonančních frekvencí v pořádku upravena, je připravena na výstup na obrazovku. O ten se starají funkce print result.m, type frequence, případně pde tool.m. Počet vypsaných frekvencí odpovídá počtu nalezených módů, včetně módů degenerovaných (jedná se o nežádoucí módy vzniklé pravděpodobně vinou nepřesnosti výpočtu; více viz kap.10). Počet nalezených módů se obvykle pohybuje mezi V případě přístupu k PDE přes funkci GenTool fc. se výše uvedené schéma opakuje v každém kroku optimalizační smyčky, která je popsána v následující části. 5 Vlivy způsobující velkou rozdílnost řešení jsou do značné míry eliminovány. Rozměry i fraktální dimenze antén jsou srovnatelné. Totéž platí o jednotlivých dimenzích IFS patche. 6 Konkrétně je velikost [ ], ve vyjímečném případě je nutné tento rozsah zvětšit úpravou funkce PDE tool mesh.m na řádce 72. Pak lze očekávat větší počet módů. 7 Parametr orezavaci pomocny pomer na řádce 42 funkce solve pde task.m. Je rovný

76 9.2. Optimalizační smyčka 9.2 Optimalizační smyčka Funkce mutate structure.m zavádí jednoduchou optimalizaci. V prvním kroku jsou načtena data z minulé generace. Je zhodnocela velikost rezonanční frekvence a tím určena strategie pro další krok. Snížila-li se frekvence prvního módu v minulém kroku (od stavu předminulé generace), pokračuje program další změnou stejného parametru, naopak zvýšila-li se, je parametr vrácen do původního stavu a zvolen další v řadě. Parametry fraktálu jsou načítány v pořadí a, b, c, d, e, f. Počet kroků algoritmu je řízen uživatelem, skončí také ale, pokud struktura projde celým rozhodovacím sítem. První a druhá generace optimalizaci pouze inicializují. Je vhodné podotknout, že se jedná o skutečně velice primitivní funkci určenou pouze pro studium IFS koláží. Kvalitní optimalizační algoritmus bude použit v navazující diplomové práci. 9.3 GUI Pro řešení PDE úlohy jsou v programu k dispozici dvě odlišná okna. Na obr je zobrazeno okno PDE tool, jímž popis začneme. Okno otevřeme, spustíme-li po generaci koláže v IFS generátoru nově odkryté tlačítko get PDE. První volba Ponechat iterace upravuje matici, která representuje body později vykreslované do toolboxu. Požadujeme-li pouze poslední iteraci, což bývá obvyklý požadavek, ponecháme defaultní nastavení. GUI si sám zjistí počet iterací v cellu a podle toho menu nastaví. Počet iterací se zobrazuje o řádku výše, po stisknutí Modify jsou pologony převedeny na matici, jež je po aktivaci Kreslit polyg.... zakreslena do PDE toolboxu. V případě velkých matic je zobrazeno upozornění. Další tlačítko nastavuje hraniční podmínku (Neumannovu), hustotu diskretizační sítě a jiné, v části 9.1 uvedené parametry. Poslední volba Vyřešit PDE úlohu spustí příkazem solve PDE výpočet. Chyby z různých důvodů vniknuvší během výpočtu se ohlašují standardně zčervenáním tlačítka. V případě většího počtu polygonů, ze kterých je konstruován zářič nebo v případě, že je struktura velmi členitá, může výpočet trvat dlouho (řádově až hodiny). V případě potřeby lze program přerušit pouze systémově (zachytit uživatelský signál k ukončení je v MatLabu retivně obtížné, odhlédneme-li od primitivní varianty s cyklickým checkem globální proměnné). Složitější variantou, nabízející navíc přímý výstup frekvencí a optimalizační smyčku z části 9.2, je okno Genetic Algorithm (obr. 13.3) spustitelné GenTool fc. v IFS generátoru. Kromě ve všech oknech se vyskytujících voleb 60

77 9.4. Analyzované vzorky Znovu a Konec obsahuje pouze tlačítko Evoluce, jež proces optimalizace spouští. Nalevo od něj se skrývá tabulka oznamující stav jednotliných operací, rozbalí se až po spuštění programu. Dodatečná nastavení jsou umístěna v dolní části. Knoflík S prodlevami? zajistí vložení krátké pauzy 8 mezi jednotlivé evoluce. Nastavení OD: -- DO: odpovídá Ponechat iterace v PDE toolu, Počet evolucí (tedy kroků optimalizace) se doporučuje volit z intervalu {3, 20}. Je pravděpodobné, že do hodnoty 20 smyčka projde všechny možnosti, další opakování programu již nepřináší zlepšení struktury, zároveň hodnoty menší než 3 nelze použít (program ohlásí chybu). 9.4 Analyzované vzorky Pro analytickou část bakalářské práce v kapitole 10 byly zvoleny fraktály uvedené na obr. 8.2, 8.3 a 8.4. Protože variabilita IFS vstupu je velká a počet potenciálně vzniklých struktur je obrovský, můžeme specifikovat vlastnosti konvenující pro daný účel. Shrňme požadavky hledaných struktur: 1. možnost analýzy dutinovým modelem (celo-vodivý patch) 2. nízký počet transformací (20-30 polygonů při 2.iteraci) 3. členitý povrch již při 2-3 iteraci (kvalita fraktální hranice) 4. různý počet vrcholů počáteční struktury 5. min. 1 koláž studovaná v literatuře (možné srovnání apod.) 6. vzájemná rozdílost, zajímavý vzhled Parametry uvedených zářičů, podstatné z hlediska generace: Fraktál Počet Polygonů iterace Vrcholů 9 Transformací č.1 (obr. 8.2) č.2 (obr. 8.3) č.3 (obr. 8.4) Tabulka 9.1: Vlastnosti vybraných zářičů. 8 Okno PDE s výsledným proudovým rozložením dominantního módu se uzavře až po uplynutí této doby, trvá 2 sekundy. 61

78 9.5. Nepřesnosti, vylepšení Fraktál č.1 je v literatuře poměrně hojně realizovaný. Pro tuto práci byl mírně modifikován byla pozměněna prostřední spojka, upraveny rozměry a typ transformací (jednotlivé sekce jsou na sebe jinak navázány). V pořadí druhý zářič je atraktivní zejména pro svou prostřední zúženou část. V horizontálním a vertikálním směru u něj můžeme očekávat zcela odlišné vlastnosti, navíc vykazuje velkou členitost. Se vzrůstající iterací se střední mezera noří stále hlouběji do struktury 10 Z pohledu symetrie je naopak poslední fraktál zcela rovnoměrný. Rozložení polygonů je podobné rozložení Sierpinského trojúhelníka, proto i zde můžeme očekávat zajímavé alokace proudu, resp. sklon k chování patche coby anténnní řady. Výsledky analýzy ze zabývá kapitola Nepřesnosti, vylepšení Nepřesnosti dutinového modelu budou diskutovány v 10. kapitole. Již nyní je však vhodné zmínit experimentální ověření imanentních nepřesností této metody. Míra chyby splnila u většiny vzorků očekávání, přesto některé struktury ve srovnání s referenčními výsledky získanými FEMLabem vykazovaly naprosto odlišné vlastnosti (myšlena rezonanční frekvence a posloupnost módů). Zásadním problémem se ukázalo i zaokrouhlování MatLabu při nevhodně zvolené přesnosti. Při zadávání bodů a transformací s nulovou tolerancí 11 nebyl PDE toolbox schopen celou strukturu sjednotit a docházelo k chybám. Pro eliminaci tohoto nedostatku je vhodné již při zadávání hodnot počítat s drobnými přesahy. Dalším krokem pro zpřesnění výsledků této práce je odebrání výše popisované smyčky a propojení analyzátoru s efektivním optimalizačním algoritmem. Vhodnými alternativami se zabývá kapitola 11. Budeme-li i nadále trvat na využití PDE toolboxu, je třeba přistoupit k následujícím úpravám: ˆ zjednodušit PDE, vyvarovat se refreshování polygonů ˆ nový GUI umožňující efektivnější práci se strukturou a výsledky ˆ převést na objektové programování ˆ stabilizace a zachycení vzniklých chyb za běhu programu (příprava pro delší výpočty) ˆ obecně zlepšit exporty a výstup 10 Svislou délku mezery lze vyjádřit vztahem: v = h ( n 1 i=0 2 h je celková výška motivu a n odpovídá počtu iterací. 11 Tedy body [0 5] a [5 0]. ) n+1, resp. v = h h ( 1 2 ) n+1, kde 62

79 Kapitola 10 Zhodnocení dosažených výsledků 10.1 Rezonanční frekvence V případě fraktálních patchů lze očekávat u dominantního módu snížení rezonanční frekvence. Tento jev je velice žádoucí. Zda (a nakolik )k němu dochází bylo zkoumáno na zvolených třech zářičích. Mód č. 1. iterace 2. iterace 3. iterace 4. iterace f r1 [GHz] λ f r2 [GHz] λ f r3 [GHz] λ f r4 [GHz] λ Tabulka 10.1: Vlastní čísla a rezonanční frekvence, 1. anténa. Prvním krokem bylo ověření platnosti metody pro elementární patche v programu FEMLab (FEM metoda). Porovnána byla frekvence prvního a druhého módu patche 50mm 30mm, 100mm 60mm a patche se štěrbinou. Velikost frekvencí se lišila v řádu MHz, což konkrétně při rezonanci na 3GHz znamená chybu několik promile až jednotek procent 1. Na základě jsme přistoupili k vlastní 1 Chyba je mj. závislá na hustotě diskretizační mříže a složitosti útvaru, [A12] uvádí chybu DM 63

80 10.1. Rezonanční frekvence Mód č. 1. iterace 2. iterace 3. iterace f r1 [GHz] λ f r2 [GHz] λ f r3 [GHz] λ Tabulka 10.2: Vlastní čísla a rezonanční frekvence, 2. anténa. analýze. Podle tabulek je zřejmé, že frekvence zvyšující se s iterací skutečně klesá. Zajímavé by bylo studovat, do kolikáté iterace a jak strmě se frekvence snižuje (velikost jejího gradientu podél iterací). Tempo snižování nemohlo být zaznamenáno, protože nebyl (pro náročnost výpočtu vyšších iterací) získán potřebný počet údajů pro zkonstruování grafu. Přesto lze tvrdit, že vliv iterace na snížení frekvence konkrétního útvaru je veliký. Proto je žádoucí volit velikost iterace na hranici únosné pro analýzu a výrobu. Tučné údaje v tabulkách representují tzv. degenerované módy. Tyto módy mají hodnotu frekvence velice blízkou předchozímu módu. Nejedná se o nový typ proudového rozložení, pouze o jinou orientaci stejného módu. Tyto hodnoty nemohou být akceptovány, chceme-li sledovat chování a frekvenci jednotlivých módů. Obrázek 10.1 vychází ze seznamu, který takové módy obsahuje. U všech průběhů jsou vidět vodorovné linky, stavy kdy stupeň módu roste, ale frekvence nikoliv. Tento nešvar byl eliminován v případě obrázků , jež lze považovat za relevantní průběhy snižování frekvence 2. Tyto grafy obsahují méně hodnot, než graf na obr To je dáno tím, že po vyřazení degenerovaných módů zbyde méně hodnot (z modů PDE toolboxu zůstalo po selekci kolem 8 hodnot, pro konstrukci směrodatného grafu stále akceptovatelné číslo). Po simulaci fraktálů v PDE toolboxu byla provedena srovnávací analýza jednotlivých struktur v programu FEMLab. Frekvence prvního a druhého patche se max. 5-15%. 2 Grafy jsou znázorněny pomocí spojitého průběhu. Ten byl zvolen pro větší názornost. Ve skutečnosti tomu tak není. 64

81 10.1. Rezonanční frekvence Mód č. 1. iterace 2. iterace 3. iterace f r1 [GHz] λ f r2 [GHz] λ f r3 [GHz] λ Tabulka 10.3: Vlastní čísla a rezonanční frekvence, 3. anténa. Mód č. Obdél. patch Fraktál č.1 Fraktál č.2 Fraktál č.3 PDE FEM PDE FEM PDE FEM PDE FEM Tabulka 10.4: Srovnání výsledků rezonanční frekvence f rn [GHz]. po odebrání degenerovaných modů rovnaly (s jistou chybou), ovšem třetí patch vyšel odlišně. Pro účel této práce je FEMLab považován za přesný referenční analyzátor, proto je potřeba hledat chybu v nastavení PDE toolboxu nebo v propojovacím programu. Tento nedostatek byl odhalen krátce před dokončením práce, proto již nebylo možné jej odstranit. Efektivním řešením se jeví propojení IFS přímo s FEMLabem, s čímž tato práce v budoucnu počítá. Proudové rozložení je v případě obou metod totožné. Srovnání chyb prvních dvou fraktálů poměrně přesně koresponduje s předpoklady, případ třetího fraktálu byl diskutován výše. Dalšího snížení frekvence lze dosáhnout vhodnou úpravou struktury, více v části

82 10.2. Studie proudového rozložení Obrázek 10.1: Graf klesající frekvence s iterací a módem, 1. fraktál, vč. degenerovaných módů Studie proudového rozložení Proudové rozložení vybraných módů je zobrazeno na obr Nejprve však upozorněme na obr a ukazuje jeden z nesmyslných módů, které PDE toolbox občas vydává za dominantní mód. Hodnota vlastního čísla je však příliš nízká a rozložení proudů nelze fyzikálně interpretovat. Tyto módy jsou pro účely optimalizace odstraňovány, jinak by je algoritmus vydával za ideální nalezené struktury (s nejnižší f r ). Taktéž na obr je zobrazen jeden z nežádoucích jevů. Jedná se o sousední, vzájemně degenerované módy. V této práci byly již zmíněny. Za řešení můžeme považovat vždy pouze jeden, další je jen variací pro jinou osu symetrie. Vysvětluje se zde, proč v tabulce 10.3 nalézáme pro vyšší iterace mnoho degenerovaných módů výsledný fraktál se skládá z šesti, od středu stejně vzdálených, shodných polygonů. Studované patche daly dostatečnou odpověd na otázky položené v zadání této práce. Pro vyšší módy lze skutečně můžeme vidět zajímavé alokace proudů (10.5 vpravo dole, 19. mód, dále 10.6 vpravo dole, 13. mód), případně sklon k chování patche jako anténní řady (10.7 vpravo dole, 29. mód). Pozn.: módy na obrázcích jsou seřazeny zleva doprava, zezhora dolů. 66

83 10.3. Účinek štěrbin Obrázek 10.2: Graf klesající frekvence s iterací a módem, 1. fraktál Účinek štěrbin Program GenTool fc. byl využit pro studium vlivu změny parametrů na rozložení proudů. Ukázalo se, že alokace proudů je skutečně závislá na geometrii struktury. V prvním případě (viz struktura uvedená na obrázku 10.10) vznikla již po 6 generacích programu. Došlo ke zmenšení frekvence prvního módu z 0.723GHz na 0.67GHz (na obrázku uvedena hodnota vlastního čísla). Pro tyto účely není důležitá absolutní hodnota frekvence, ale velikost její změny. Módu zobrazenému na vlevo odpovídá frekvence GHz, zhruba o 20% méně než bez modifikace. Podobně upravených struktur lze vytvořit mnoho, problémem zůstává jejich realizovatelnost (příliš tenké spojky / velká členitost / obtížná analýza). Rozbor vlivu změn parametrů ukázal nutnost zavedení globální optimalizace. Touto možností se zabývá 11. kapitola. 67

84 10.3. Účinek štěrbin Obrázek 10.3: Graf klesající frekvence s iterací a módem, 2. fraktál. Obrázek 10.4: Graf klesající frekvence s iterací a módem, 3. fraktál. 68

85 10.3. Účinek štěrbin Obrázek 10.5: Proudové rozložení, anténa č.1, módy 1,2,3,4,5 a

86 10.3. Účinek štěrbin Obrázek 10.6: Proudové rozložení, anténa č.2, módy 1,2,3,8,11 a

87 10.3. Účinek štěrbin Obrázek 10.7: Proudové rozložení, anténa č.3, módy 1,3,5 a

88 10.3. Účinek štěrbin Obrázek 10.8: Ukázka chybného (dominantního) módu. Obrázek 10.9: Ukázka sousedních degenerovaných módů. Obrázek 10.10: Mutace fraktálu č.1 změnou transformačních parametrů. 72

89 10.3. Účinek štěrbin Obrázek 10.11: Mutace fraktálu č.2 změnou transformačních parametrů. Obrázek 10.12: Vývojové schéma GA, k výkladu v kap

90 Kapitola 11 Optimalizační algoritmy, možné vylepšení IFS + PDE Optimalizace je pro potřeby elektroniky, konkrétně anténní techniky, hojně využívána. Již bylo publikováno mnoho článků a knih věnujících se nalezení ideální struktury pro zadané parametry. Tento úkol je nejčastěji realizován pomocí genetického algoritmu (viz sekce 11.2) v MatLabu (GA toolbox). Autor si klade za cíl krátce seznámit čtenáře s možnostmi implementace optimalizačních algoritmů na problém mikropáskových fraktálních patch antén. Rozhodně se tedy nejedná o ucelený popis problematiky. Nejprve bude demonstrována situace, kdy nelze použít klasické funkce hledající extrém Potřeba globální optimalizace Nyní bude nastolena otázka, na které se dá užitečně ukázat potřebnost genetických algoritmů, případně dalších modifikací tohoto postupu. Představme si naprosto jednoduchý spojiný průběh jisté funkce v tomto případě nerozhoduje zda lineární či nikoliv. Pokud budeme u tohoto průběhu hledat maximum nebo minimum v rozumném rozpětí proměnné veličiny, jeví se ideálním iterativní algoritmus prohledávající cíleně daný interval z jedné či druhé strany, a to s pevně zadanou selektivitou. Výstupem závěrečné komparace je hodnota, která nejlépe splnila zadané kritérium (max./min. apod.). Příkladem může být hledaná hodnota teploty tání konkrétního vzorku mořské vody s přesností na 0.1, kdy s jistoutou víme, že tato hodnota bude v intervalu ϑ (-10 C,0 C). Je zde pouze jeden stupeň volnosti, jímž je teplota; t tani = f(ϑ mor.vody ). (11.1) 74

91 11.2. GA Avšak nastolený problém nemusí být funkcí jedné proměnné, nemusí být lineární, jednotlivé parametry se mohou vzájemně ovlivňovat a jejich platnost může být omezena intervalem, který neznáme. Nadto nemusí být známa úroveň hledaného řešení. Potom se musíme spokojit nikoliv s nejlepším řešením, ale s řešením dostatečně kvalitním, jež se v jistém tolerančním intervalu tomu ideálnímu blíží. Takový problém představuje i optimalizace fraktálního patche, kde známe jednotlivé transformace a celkovou podobu patche a hledáme nejnižší rezonanční frekvenci dominantního módu. Všechny parametry mají přímý vliv na geometrii zářiče, jejich modifikace ovšem přispívá k podobě výsledné struktury, a tím velikosti frekvence, nedeterministickým způsobem. Při změně jedné hodnoty je vlivem vzájemné interakce pozměněn charakter celé antény. A tak po sérii úspěšných úprav parametru může s dalším krokem nastat skoková změna hledané frekvence směrem vzhůru (nalezení jednoho z mnoha lokálních extrémů). Dostáváme se do slepé uličky. Pro řešení těchto úloh byly vynalezeny optimalizační algoritmy, v naprosté většině inspirované přírodou. Uved me krátce typické požadavky na optimalizační algoritmus (OA): 1. odolnost vůči konvergenci do lokálního extrému 2. rychlost 3. přesnost nalezeného řešení 4. jednoduchost implementace 5. nároky na výpočetní výkon PC 6. universalita, obecné využití 11.2 GA K rozvoji dochází v 60. letech. Genetické algoritmy jsou analogií Darwinovy teorie o vývoji druhu. Směřování populace je rozhodováno na základě celého druhu, nikoliv konkrétního jedince, byt by byl v rámci řešení tím nejlepším (jak je tomu u příkladu v úvodu kapitoly). Nejprve musíme vytvořit jedince první generace. Ti mohou vzniknout bud to náhodně nebo podle zadaných parametrů transformací. Je nutné, aby jedinci, případně tvz. fitness funkce 1, respektovali alespoň z části vlastnosti požadované 1 Udává kvalitu jedince v porovnání s ostatními, tedy schopnost jedince dosáhnout maxima. 75

92 11.3. PSO struktury. Pokud nikterak neomezíme podobu počátečních jedinců, obdržíme zcela náhodnou strukturu (má-li mít finální struktura jisté parametry, zařadíme tyto požadavky do operace selekce a nevhodné jedince vyřazujeme, tak násilně korigujeme evoluci). Jedincem je binární řetězec. Jednotlivé bity (nebo jejich skupiny) representují určitou vlastnost (více viz [W5]). V dalším kroku jsou jedinci testováni fitness funkcí. Pro uspokojivou členitost populace jsou jedinci dostatečně kvalitní doplněni několika méně kvalitními. Pokud budou neustále vybírány pouze prvky s nejlepšími výsledky, hrozí uvíznutí v lokálním maximu. Vhodný typ selekce je znám pod názvem proporcionální, viz [W4]. Tento postup zajistí ohodnocení jedinců fitness funkcí a podle její velikosti idividuálně přiřadí pravděpodobnost výběru do nové generace. Velice kvalitní prvky mají větší šanci, že budou vybrány, přesto jsou v nové populaci vždy zastoupeny i ty méně kvalitní. Po výběru vhodných jedinců musíme vytvořit následující generaci. Požadavkem je dostatečná různorodost nových prvků. K dispozici máme dva operátory. Křížení a mutaci. Prvně jmenovaný kombinuje části kódu dvou rodičů. Operátor lze nastavit tak, že kříží bity na konstatně udaných pozicích, nebo je vybírá náhodně. Velikostí křížených řetězců lze strukturu taktéž ovlivnit. Zbývající operátor, mutace, pracuje stejným způsobem, jakým se objevují mutace v přírodě. Operátor realizujeme aplikací bitové negace na náhodně zvolený bit. Komplikací GA je skutečnost, že neznáme fitness funkci (tedy velikost frekvence, ke které má struktura spět a proti které mají být jednotliví jedinci testováni). Nevíme totiž nic o cílové struktuře, jejích parametrech či rezonanční frekvenci. Zvolíme-li tuto mez náhodně, nemusíme dospět k řešení vůbec, nebo naopak jich můžeme mnoho, ovšem nepříliš vysoké kvality. Provizoriem se jeví ruční nastavování, podobně jako v případě hledání uspokojivé velikosti iterace IFS. Tento postup je však pomalý a neefektivní. Jiná alternativa spočívá v nalezení vhodného vztahu, jenž popisuje teoretickou minimální rezonanční frekvenci souboru struktur totožného charakteru. Tento problém zatím nebyl zcela vyřešen PSO PSO (Particle Swarm Optimization) patří spolu s ACO (Ant Colony Optimization) k technikám tzv. rojové inteligence. Mezi oběma metodami existují rozdíly (zejm. feromonové stopy v ACO), ale i významné paralely. V obou případech studujeme kolektivní chování decentralizovaných samoorganizujících se systémů. Tento systém může tvořit hejno ptáků, včel, bakterií, mravenců atp. Výše jmenované, zpravidla velice početné skupiny jedinců, se naučily v přírodě komu- 76

93 11.4. ACO nikovat a kooperovat tak, aby úspěšně splnily potřebný úkol může se jednat o nalezení potravy nebo jen o prosté přežití. V rámci efektivní činnosti hejna (úspory sil, času či šancí na přežití) je tendence tento proces optimalizovat. Jedinec, který je členem onoho společenství, je pro účely PSO/ACO definován nejčastěji jako agent. Agenti interagují mezi sebou navzájem a s okolním prostředím. Komunikace může probíhat přímo nebo nepřímo působením na okolní prostředí. Přestože tyto systémy nejsou centrálně řízeny ani kontrolovány, lokální interakce mezi agenty a jednoduché vzory chování často vedou k emergenci globálního chování ([L8]). PSO je velice efektivní metoda. V literatuře je pozitivně hodnocena vysoká odolnost proti uvíznutí v lokalních extrémech. Lze ji s úspěchem aplikovat na řešení velice náročných optimalizačních úloh. Mutace PSO a GA GSO je zvažována pro implementaci do upravené verze IFS-PDE programu. Realizace počítá s vytvořením velkého počtu agentů (různé vzorky antény) a programovou simulací sociální struktury podobné hejnu. V každém kroku musí být jedincovo chování ohodnoceno (IFS fraktál z transformací, z něj rezonanční frekvence pomocí PDE/FEMLabu) a jeho úspěchy sděleny hejnu. Na základě dílčích úspěchů agentů a vjemů z okolí (musí být vhodně váhovány) dochází ke změně konstelace celého roje. Klíčový je design vzájemných interakcí mezi agenty a nastavení adekvátního chování tak, aby konečným bodem většiny agentů byl bod ukazující optimalizovanou strukturu/frekvenci ACO Tato optimalizace se inspiruje chodem skutečného mraveniště. I přes velice omezenou inteligenci jedinců a relativní trivialitu pravidel, jimiž se komunita řídí, lze optimalizovat i velice komplikované úlohy. Mravenci jsou (podobně jako včely) považováni za sociální hmyz jejich chování směřuje k zachování kolonie (viz [W7]). Navíc přísná stratifikace rolí jedinců v rámci dané sociální struktury si vyžádala stabilizaci přísunu potravy. Tento proces je silně optimalizován. Velkou zbraní mravenců při honbě za potravou je chemická látka feromon, kterou každý mravenec vylučuje. Ostatní mravenci umí detekovat feromony zanechané jiným mravencem, a tak si vybírají cestu s největší koncentrací feromonu (nevědomky tak zvyšují svou šanci na nalezení potravy). Jeli na daném místě feromon přítomen ve větším množství, znamená to, že tudy prošlo více mravenců. To indikuje blízkost potravy, resp. vysokou frekventovanost cesty v obou směrech. Pravděpodobnost volby této cesty dalším mravencem se opět zvýší. Zmizí-li zdroj potravy na cílovém místě, musejí mravenci pokračovat 77

94 11.5. GSO dále a vracejí se jinou (kratší) cestou. 2 Ukazuje se, že počítačový program schopný simulovat mravenčí kolonii může řešit složité problémy. Samoorganizující se struktura generuje požadované patche bez jakéhokoliv centrálního (vnějšího) řízení. Můžeme najít i práce, které uvažují o několika druzích feromonů. Výsledná realizace je do jisté míry obtížnější, na druhou stranu jsou řešení získána ve výrazně kratším časovém intervalu. Bohužel je implementace této metody obtížná (přesněji implementace v MAT- Labu pro IFS), a proto nebude pro naše účely preferována GSO Jak bylo řečeno výše, jedná se o kombinaci GA a PSO. Podle [A5] je tato metoda velice rychlá a úspěšná, z původních metod přebírá jednotlivé výhody. Lze ji aplikovat na obecnou optimalizační úlohu. Polovina jedinců první generace je zpracována pomocí PSO, druhá pomocí GA, prvky mohou být voleny střídavě. V závěru kroku jsou vybraná řešení promíchána a operace se opakuje. Metoda využívá též GA operátory selekce, křížení a mutace. Pravděpodobně jde o ideální metodu optimalizace geometrie patch zářiče. Nevýhodnou je nutná znalost GA i PSO. 2 Chování jedinců při návratu do mraveniště, pokud je nejkratší cesta bez feromonové stopy, je komplikovanější. 78

95 Kapitola 12 Závěr V programu MatLab byl implementován proces generující IFS fraktály. Parametry pro jejich vznik lze zadávat několika způsoby. Zároveň tato technika poskytuje výsledky pro rozumně velký počet iterací, kdy hodnoty vyšší než 4 již mohou dělat potíže. Program byl dále rozšířen o možnost exportu a možnost ukládání bodů i transformací. Generátor má již finální podobu a nebude významně rozšiřován. Dále byla implementována metoda založená na analýze v generátoru vzniklých planárních struktur, a to pomocí PDE toolboxu propojeného s generátorem. Dutinový model, simulující patch anténu, patří mezi jednodušší analytické metody, přesto poskytuje výsledky srovnatelné s programem FEMLAB. Při realizaci se muselo vyřešit několik dílčích problémů uvedených v 9. kapitole. Některé z nich budou dále řešeny. Také je nutno program zjednodušit. V 11. kapitole byly nastíněny varianty použitelných optimalizačních algoritmů. Každá z možností nabízí jisté výhody, ale oproti ostatním zahrnuje i záporné vlastnosti. Volba správného vyhledávacího algoritmu se tedy musí podřídit jednomu ze základních požadavků, kterým může být krátká doba výpočtu, přesnost, odolnost proti konvergenci do lokálního maxima apod. Pro své vlastnosti obecnost a rychlost je výrazně preferován GSO algoritmus, jehož podoba je nastíněna v [A5] a s jehož propojením se stávajícím programem se počítá do budoucna. Projekt představený v této práci umožňuje nejen optimalizaci jedné, předem dané a neměnné struktury, ale celého souboru struktur (u nichž stačí splnit IFS teorém) a dále simulovat tu nejlepší variantu podle GA/PSO. Je otázkou, zda budou všechny možné scénáře (pro různé počáteční struktury) vždy konvergovat k určité jedné struktuře, nebo pro různé struktury najde optimalizace vždy různá řešení. První z možností by více odpovídala povaze fraktálů a jejich vlastnostem, přesto je pravděpodobnější varianta druhá vyhledávací algoritmy pracují s velkým 79

96 počtem zcela náhodných proměnných, které do každé individuální struktury vnáší chaos a neuspořádanost. Každý výsledek se potom liší, i když byla počáteční struktura ve všech případech stejná. Dílčí výsledky uvedené v 6., 9. a 10. kapitole je vhodné pro absenci optimalizace považovat spíše za vedlejší produkt nadřazeného, ale nekompletního procesu. Jeho dopracování by mohl být výchozí úkol pro navazující diplomovou práci. I tak bylo ověřeno několik tvrzení prokázala se zavislost velikosti iterace, druhu struktury (případně modifikace parametrů IFS) na rezonanční frekvenci a rozložení proudů. Byl potvrzen výskyt lokalizace proudů u vyšších modů, některé z nich měly charakter anténní řady. Další lze označit za degenerované. Klíčová je též stratifikace patchů na struktury s fraktálním obvodem a fraktálním obsahem. Prvně jmenované lze řešit metodou planárního rezonátoru (tedy CM), druhé pro nemožnost zanedbání vzájemných vazeb nikoliv. Vytvořené.txt soubory fraktálů mohou v budoucnu posloužit za výchozí mustr antenních struktur se zajímavými výsledky. Pro úplnost je vhodné upozornit na to, že diskutovaná metoda optimalizace (i jakákoliv příbuzná) je značně časově náročná a bude tedy potřeba upravit celý program tak, aby pro rozumný počet populací nebyl čas nutný pro vyřešení úlohy příliš vysoký. Navíc bude potřeba zajistit vysokou stabilitu programu a konečně také kvalitní výpočetní techniku. Lze vhodně využít toho, že komparace jedinců probíhá na základě srovnání s fitness funkcí. Ani v tomto případě nejsou důležité přesné hodnoty, ale jejich poměr, kdy nám za výsledek poslouží hodnota spadající do většího intervalu než bývá běžné. 1 Přesná metoda analýzy potom může být využita na výsledném jedinci. 1 Jedinec nemusí fitness funkce dosáhnout, pouze se jí s jistou tolerancí přiblížit. 80

97 Literatura Monografie [1] Karel Zaplatílek, Bohuslav Doňar: MATLAB pro začátečníky. 2.vydání, BEN, Praha, ISBN [2] Karel Zaplatílek, Bohuslav Doňar: MATLAB tvorba uživatelských aplikací. 1.dotisk 1.vydání, BEN, Praha, ISBN [3] Ivan Zelinka, František Včelař, Marek Čandík: Fraktální geometrie: principy a aplikace. BEN, Praha, ISBN [4] Benoit B. Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature. W.H.Freeman, [5] Benoit B. Mandelbrot: Fraktály: tvar, náhoda a dimenze. 1.vydání, Kolumbus, Praha, Edice Kolumbus Svazek 163. ISBN [6] Peter Coveney, Roger Highfield: Mezi chaosem a řádem. 1.vydání, Kolumbus, Praha, Edice Kolumbus Svazek 160. ISBN [7] Ilya Prigogine, Isabelle Stengersová: Řád z chaosu. 1.vydání, Kolumbus, Praha, Edice Kolumbus Svazek 158. ISBN [8] The MathWorks: Genetic Algorithm and Direct Search Toolbox. ver. 2., User s Guide, The MathWorks, [9] The MathWorks: Partial Differential Equation Toolbox. ver. 1., User s Guide, The MathWorks, [10] Miloš Mazánek, Pavel Pechač: Šíření elektromagnetických vln a antény. dotisk 2.vydání, ČVUT, Praha, Nakladatelství ČVUT, publikace. ISBN

98 Literatura [11] Blanka Heringová, Petr Hora: MatLab. Díl I. - Práce s programem.. Plzeň, 1995, H-S. [12] J. R. James, P. S. Hall: Handbook of Microstrip Antennas vol.1. London, Peter Peregrinus Ltd. ISBN chapter 1 3 [13] Microstrip Antenna Design Handbook. chapter: Analytical Models for Microstrip Antennas, pgs [14] Basic methods of calculation and design of patch antennas. pgs Články a příspěvky [A1] Jordi Romeu, Yahya Rahmat-Samii: Fractal Elements and Their Applications to Frequency Selective Surfaces. IEEE Antennas and Wireless, [A2] P.W.Tang, P.F.Wahid: Hexagonal Fractal Multiband Antenna. IEEE Antennas and Wireless letters, vol.3, [A3] Krzysztof Gdawiec: Fractals [A4] Carla M. Riggi: Hutchinson Operators In R 3. [A5] A. Gandelli, F. Grimaccia, M. Mussetta, P. Pirinoli, R. E. Zich: Genetical Swarm Optimization: an Evolutionary Algorithm for Antenna Design. AUTOMATIKA 47 (2006) 3 4, str [A6] J. Láčík, Z. Raida: Analýza planárních struktur pomocí metody momentů a jejich optimalizace. VUT v Brně, grantový příspěvek [A7] M. V. Berry: Distribution of Modes in Fractal Resonators. University of Bristol, Bristol [A8] M. V. Berry: Improved Eigenvalue Sums for Inferring Quantum Billiard Geometry. University of Bristol, Bristol [A9] Sachendra N. Sinha, Manish Jain: A Self-Affine Fractal Multi-band Antenna. AWPL [A10] D. H. Werner, P. L. Werner, K. H. Church: Genetically Engineered Multiband Fractal Antennas. ELECTRONICS LETTERS, Vol. 37, No

99 Literatura [A11] Z. Baharav: Fractal Arrays Based on Iterated Function System. IEEE, X/99. [A12] P. Hazdra, M. Polívka, V. Sokol: Microwave Antennas and Circuits Modeling Using Electromagnetic Field Simulator. Práce většího rozsahu [W1] Pavel Hazdra: Compact Fractal Antenna Structures. Technical Thesis, dep. of Electromagnetic Field, CTU. Prague, [W2] Pavel Tišnovský: Interaktivní editor afinních transformací. Diplomová práce, VUT. Brno, [W3] Pavel Hazdra: Fraktálové antény. Diplomová práce, ČVUT. Praha, [W4] Jan Rohan: Návrh patchové antény pomocí genetického algoritmu. Bakalářská práce, VUT. Brno, [W5] Genetické algoritmy. Diplomová práce, Praha. [W6] Miroslav Janošík: Algoritmy pro optimalizaci sítí GAME. Bakalářská práce, ČVUT. Praha, [W7] Miloš Němec: Optimalizace pomocí mravenčích kolonií. Diplomová práce, ČVUT. Praha, [W8] Martin Štumpf: Frekvenčně selektivní struktury s fraktálními motivy. Bakalářská práce, VÚT v Brně. [W9] Vlastimil Koudelka: Neuronová sít pro návrh širokopásmové antény.. Bakalářská práce, VÚT v Brně. Brno, [W10] Aleš Maršálek: Multifrekvenční ozařovač malé parabolické antény s kruhovou polarizací.. Diplomová práce, VÚT v Brně. [W11] Pavel Hamouz: Analýza antén metodou charakteristických módů.. Diplomová práce, ČVUT v Praze. Praha,

100 Literatura Internetové zdroje [L1] Fraktály v počítačové grafice. Seriál. I. IV [L2] Galleries and Resources. Otevřená galerie fraktálů. [L3] gat2.html, gat3.html: Genetic Algorithms in Plain English. [L4] beda/cz/matlab/primercz/: MatLab tutorial. [L5] MatLab. [L6] Pavel Hazdra: Simulace elektromagnetického pole. Presentace (na / [L7] Pavel Hazdra: Numerická simulace elektromagnetického pole Simulátory elmag. pole. Presentace k předmětu. [L8] Rojová inteligence, mravenční kolonie.. Osobní stránky zabívající se mj. rojovou optimalizací. 84

101 Kapitola 13 Přílohy 13.1 Dodatek A - Seznam a popis funkcí Kořenový adresář IFS-PDE-CM: K těmto funkcím, umístěným v kořenovém adresáři, je k dispozici obsáhlá nápověda. Stačí editovat příslušný m-file nebo zadat help jméno funkce do promptu MatLabu. Funkce (fce) v tomto adresáři zpravidla obsahují GUI, nebo fungují jako přepínače. Jsou to základní fce programu, které volají nižší procedury. ˆ all in one generic function.m Respektuje globální proměnné z IFS části. Obsahuje GUI inicializující uživatelské okno. Zpracuje vstupní informace a volá fci gate between aiog and genere, ta volá další funkce a vrací výsledek. Ten je dále zpracován a vypsán. ˆ fractal preamble.m Touto funkcí se spouští celý program. Obsahuje větvení try-catch pro všechny další činnosti. Definuje globální proměnné, generuje GUI hlavního okna, dokáže ukončit všechna okna, případně je restartovat. ˆ fractal preamble pde switch.m Po vyřešení IFS úlohy umožňuje spuštění navazujících funkcí (skrytá tlačítka get PDE a GenTool fc. ). Dokud není správně vypočten IFS fraktál, nejsou tato tlačítka zobrazena. ˆ gate between aiog and genere.m Obsahuje dvě větve funkce se volá poprvé nebo již po několikáté. Podle 85

102 13.1. Dodatek A - Seznam a popis funkcí tohoto přistupuje různě ke generaci fraktálu. 1 Dále volá fce, které strukturu meshují, ohraničují a konečně počítají. ˆ gate between gui and genere.m Zpracovává zadané údaje, kontroluje jejich správnost event. vypisuje chybový dialog. Volá funkci engine, která generuje fraktál. ˆ pde tool.m Tato funkce řeší PDE úlohu po krocích, která kontroluje uživatel. Obsahuje vlastní GUI. Výsledek je zobrazen v PDE toolboxu a vypsán na výstup. ˆ points array.mat V této proměnné jsou uloženy souřadnice bodů, které zadal uživatel a uložil tlačítkem Save1. ˆ points array2.mat Podobně jako u points array.mat, jedná se o druhý zásobník. ˆ transform matrix.mat Zde jsou uloženy transformace zadané uživatelem. Tato funkce se dá využít k převodu afinních transformací do formátu [a b c d e f]. ˆ transform matrix2.mat Podobně jako transform matrix.mat, jedná o se slot Složka Fractal Engine Zde jsou uloženy funkce, které se podílejí na generaci fraktálu. ˆ affine transform source.m Zdroj afinních transformací. Koncipován tak, aby šla základní transformace kdykoliv přidat. 2 Odsud jsou načítány ty matice, které jsou potřeba ke kompletaci vstupních parametrů. ˆ complete cell.mat Proměnná typu cell ukrývá souřadnice všech zadaných / již vypočítaných polygonů. 1 V druhém případě již existuje tabulka z parametry z minulé generace. Ta se načte a fraktál se generuje znovu s pozměněnými parametry z této tabulky 2 S tím je nutno změnit GUI Hlavního menu. 86

103 13.1. Dodatek A - Seznam a popis funkcí ˆ core.m Vlastní výpočetní jádro. Počítá matice polygonů. 4 zanořené for cykly. Vrací cell. ˆ engine.m Správce generace IFS. Podle návěští (FLAG) sjednocuje transformace na stejný formát, zjišt uje počet počítaných polygonů pro waitbar edit, volá core a ukládá seznam polygonů do globální proměnné. ˆ finalization transform matrix.m Načítá jednotlivé afinní transformace ze zdroje, násobí je a ukládá do jedné matice. Takto postupuje se všemi zadanými transformacemi. ˆ number of polygons.m Fce dokáže ze seznamu bodů, zadaných transformací a počtu iterací určit počet polygonů. To se hodí pro hrubý odhad doby výpočtu, případně zápisu Složka Fractal GUI Složka obsahuje jednotlivé fce, které obsluhují tlačítka v Hlavním menu. ˆ add point.m Přidá bod do globální proměnné POINTS ARRAY, navýší poitery. ˆ add transform.m Přidá koordináty transformace do globální proměnné TRANS- FORM ARRAY, navýší pointery. ˆ back points.m Smaže poslední zadaný bod. Funguje i na seznam bodů načtený ze souboru, nebo zásobníku. ˆ back trans.m Smaže poslední transformaci. Nelze použít na smazání poslední transformace z načteného souboru. ˆ by with iteration.m Obsluhuje skrytou nabídku Od iterace:. ˆ level up.m Přepne běžící thread o úroveň výše v adresářové struktuře. 87

104 13.1. Dodatek A - Seznam a popis funkcí ˆ load points.m Načte body z proměnné points array.mat. ˆ load points from file.m Otevře dialog pro vložení souboru s body. Tento soubor musí mít strukturu uvedenou v kapitole 6. Tyto body se pokusí načíst a zobrazí výsledek. Defaultní adresář je umístěn v: IFS-PDE-CM\ program output\polygony. ˆ load points2.m Načte body z proměnné points array2.mat. ˆ load transform from file.m Otevře adresář IFS-PDE-CM\ program output\transformace a pokusí se načíst zadaný soubor s transformacemi. ˆ load transform.m Načte transformace ze zásobníku. Proměnná transform matrix.mat. ˆ load transform2.m Načte transformace z proměnné transform matrix2.mat ˆ save points.m Uloží body do prvního slotu. ˆ save points2.m Uloží body do druhého slotu. ˆ save points to file.m Otevře dialogové okno vyzývající k uložení bodů do souboru. ˆ save transform.m Uloží transformace do prvního slotu. 3 ˆ save transform2.m Uloží transformace do druhého slotu. ˆ save trans to file.m Analogie k ukládání bodů do souboru. ˆ show start points.m Zobrazí načtené / zadané počáteční body. Volá fci draw points. 3 Sloty pro body a transformace nejsou společné, jedná se tedy o 4 rozdílné zásobníky. 88

105 13.1. Dodatek A - Seznam a popis funkcí Složka Fractal Others Obsahuje fce pro vykreslení, export apod. Některé z těchto procedur jsou volány vícekrát za běh programu, příp. jsou přetěžovány. ˆ close all.m Zavře všechna okna. ˆ count resonant frequency.m Vypočítá rezonanční frekvenci podle [A7]. Tato funkce není zakomponována do programu. ˆ draw points.m Vykreslí fraktál. Hranice jsou průběžně upravovány tak, aby se do výřezu vešel celý obrazec. Časově velmi náročná funkce.4 ˆ draw points from incoming matrix.m Vykreslí body počáteční body. ˆ registry3dt.m Zajišt uje export do souboru.3dt (IE3D). Zapisuje polygony v takovém formátu, který lze exportovat přímo jako geometrii. Výsledný soubor se jmenuje polygons.3dt a je uložen v adresáři program output. ˆ registrytxt.m Zapisuje výsledné vrcholy do souboru.txt. Soubor se jmenuje polygons.txt a je uložen v adresáři program output. ˆ show start polygons.m Zajišt uje vykreslení bodů a současně volá funkci waitbar edit. Respektuje meze iterací zadané uživatelem. ˆ waitbar edit.m Přepsaná funkce waitbar, kterou obsahuje MatLab. Zobrazuje horizontální stavovou stupnici. Informuje o průběhu vykreslení / zápisu apod. Musí být vždy zavřena. I když je volána pro každý krok zvlášt, nezabírá mnoho výpočetního času. 4 Ačkoliv je fraktál o 7 iteracích vypočítán za 1 3 sekundy, vykresluje se i několik hodin. Zpravidla však stačí fraktál o 3 iteracích, které jsou bez problémů zvládnutelné v řádu nejvíše desítek sekund. 89

106 13.1. Dodatek A - Seznam a popis funkcí Složka Generic Antenna Zde jsou uloženy fce, které souvisejí s úpravou geometrie patchové antény. ˆ genere new structure.m Znovu generuje fraktál. Zde v rozhraní PDE. Obsahuje volání, která informují uživatele o stavu procesu. ˆ mutate structure.m Jednoduchý algoritmus, který upravuje geometrii antény. Thread probírá postupně jednotlivé parametry. Nerespektuje jejich vzájemnou provázanost. ˆ print results.m Vypisuje výsledky. Zobrazuje nejmenší nalezenou frekvenci a vykresluje graf její změny při změně parametrů. ˆ type frequence.m Vypisuje aktuální nalezené rezonanční frekvence do okna PDE Složka PDE tool mesh Následujících 6 funkcí zajišt uje běh PDE toolboxu. ˆ draw polygons to the pde toobox.m Zapisuje jednotlivé polygony do PDE toolboxu. Nejprve inicializuje waitbar edit a nastaví přesahy u okna zobrazujího polygony v PDE, potom spustí vlastní zapisování odehrávající se ve volané funkci low level mesh drawing. ˆ low level mesh drawing.m Hlídá hranice vykreslování, nastavuje pdeinit a pde fig, volá vnořenou fci pdepoly time optimal ˆ modify cell.m Upravuje rozměry antény tak, aby její parametry byly reálné, at už uživatel zadá jakoukoliv velikost. Také upozorňuje na příliš mnoho polygonů, které míří k zápisu do PDE proces zápisu by se tím stal neúnosně dlouhý. ˆ pde tool mesh.m Zjistí počet relevatních hranic polygonů a tyto hranice nastaví po sjednocení na Neumanovu podmínku. Inicializuje a refinuje meshovou sít. Podle počtu trojúhelníku refinuje sít tak dlouho, dokud jeden polygon neobsahuje alespoň 50 elementárních trojúhelníčků. 90

107 13.2. Dodatek B - Obsah CD ˆ pdepoly time optimal.m Zjednodušená fce z PDE toolboxu MatLabu. Všechny nepotřebné sekce byly pro úsporu výpočetního času zakomentovány. Zakreslí jeden objekt do okna PDE toolboxu a updatuje strukturu. ˆ solve pde task.m Vypočítá vlastní čísla. Obsahuje uživatelské nastavení toolboxu barvy vykreslování, přítomnost ekvidistant atd. Počítá frekvence a je několik počátečních nesmyslných, ořízne je Dodatek B - Obsah CD CD odevzdané společně s prací obsahuje: 1. Vlastní text této práce ve formátu.pdf. 2. Dosažené výsledky (tabulky, obrázky, grafy... ). 3. Zdrojový kód (soubory m-file a mat-soubory) v adresáři IFS-PDE-CM. 4. Zdrojový kód v.zip archivu. 5. Vybrané články ze seznamu literatury, nebo články s nimi související. 6. Video fractals.mpg zobrazující růst Mandelbrotovy množiny. 7. Video PSO.avi. 3D-graf z MatLabu ukazuje konvergenci hejna ke globálnímu extrému. 8. Program PSODemo.exe simulující chování hejna, tedy rojovou optimalizaci. 91

108 13.3. Dodatek C - Vývojové schéma 13.3 Dodatek C - Vývojové schéma Obrázek 13.1: Vývojové schéma programu Výše uvedený obr respektuje současný stav programu. Červeně vyznačené bloky nejsou zatím realizovány. Půjde o optimalizační algoritmus, o němž pojednávala kapitola 10, resp. o realizaci PDE úlohy v programu FemLab. Zelené a modré segmenty naznačují návaznost činností uvnitř IFS a PDE. 92

109 13.4. Dodatek D - Okna programu 13.4 Dodatek D - Okna programu Obrázek 13.2: Hlavní panel programu Na obrazcích jsou screenshoty z programu. Tato okna jsou seřazena v takové posloupnosti, v jaké se s nimi může setkat uživatel. Kód jednotlivých uživatelských rozhraní je uložen ve funkcích fractal preamble, all in one generic function, pde tool a pdetool. Protože byl GUI napsán ručně, může být jednoduše modifikován. 93

110 13.4. Dodatek D - Okna programu Obrázek 13.3: Generic tool 94

111 13.4. Dodatek D - Okna programu Obrázek 13.4: PDE analýza Obrázek 13.5: PDE toolbox MatLab 95