Petr Chvosta. vlevo, bude pravděpodobnost toho, že se tyč na počátku intervalu τ B nachází nad vpravo

Transkript

1 MOLEKULÁRNÍ MOTORY Petr Chvosta. Automobil v krupobití aneb brzděním k pohybu Uvažme automobil stojící na mírném svahu a bombardovaný rovnoměrně ze všech stran obrovskými kroupami. Svah stoupá směrem doprava a automobil je orientován přední stranou proti svahu. Pod zadní pneumatiku umístíme cihlu a zabráníme tak zpětnému pohybu doleva, po svahu. Nárazy krup, které přilétají shora a po svahu nemají žádný účinek. Čas od času však narazí zezadu (zleva) dostatečně rychlá kroupa a postrčí automobil proti svahu. Kdybychom v tomto okamžiku rychle posunuli cihlu proti svahu a zablokovali tak zadní kolo v nové poloze, zvýšíme potenciální energii automobilu. Opakováním tohoto manévru lze dosáhnout systematického pohybu automobilu proti svahu. Navržená metoda však zřejmě vyžaduje velmi rychlou reakci a synchronizaci. Pokusíme se ji vylepšit. Umístíme pevně na osu zadních kol ozubené kolo. Pneumatiky na vozovce neprokluzují a tak si můžeme dokonce představit, že nekonečný pás identických zubů (rohatka) je pevně spojen s vozovkou. V další úvaze je velmi důležité, že zuby rohatky jsou asymetrické. První segment zubu, řekněme část B, stoupá směrem doprava, je strmější a kratší. Prosím kreslete! Při průmětu do vodorovné roviny zabírá úsek šířky l. Druhý segment B klesá směrem doprava, je pozvolnější a zabírá úsek šířky l > l. Uvažme konečně tyč pevně spojenou s konstrukcí automobilu a pohyblivou ve směru kolmém k rohatce. Na horním konci je tyč opatřena pružinou, která může tlačit spodní konec mezi zuby. Tyč je po dobu τ A zablokována ve vysunuté poloze. Poté je po dobu τ B uvolněna a pružina ji tedy tlačí mezi zuby. Tato dvojice operací se periodicky opakuje. V průběhu časového intervalu τ A sjíždí automobil pomalu doleva, po svahu. Kromě tohoto pomalého systematického pohybu však působí údery krup. V jejich důsledku se tyč vzhledem k rohatce pohybuje skoky orientovanými se stejnou pravděpodobností na obě strany. Podle předpokladu je tento difúzní pohyb velmi podstatný. Celkově vzato, hustota pravděpodobnosti pro horizontální polohu tyče se rychle rozšiřuje a střední hodnota horizontální souřadnice tyče se současně pomalu posunuje směrem doleva. V průběhu časového intervalu τ B je pružina aktivována a může postupně vtlačit tyč až do místa, kde se stýkají dva sousední zuby. Pak je automobil v podstatě zabrzděn (až na málo pravděpodobnou možnost úderu zvláště velké kroupy a přeskoku tyče o jeden zub). Protože však vpravo sestupný segment zubu je v půdorysu širší než segment sestupný vlevo, bude pravděpodobnost toho, že se tyč na počátku intervalu τ B nachází nad vpravo sestupným segmentem větší než pravděpodobnost toho, že se nachází nad strmějším, vlevo sestupným segmentem. V prvém případě se při brzdění, tj. v průběhu intervalu τ B, pohybuje automobil spolu s tyčí směrem doprava a urazí vzdálenost, která je menší nebo rovna l. V druhém případě se posune doleva o vzdálenost, která je menší nebo rovna l. Periodickým střídáním intervalu typu A, v jehož průběhu je tyč vysunuta nad rohatku, a intervalu typu B, kdy je pružina tlačena mezi zuby, můžeme dosáhnout systematického pohybu automobilu doprava, proti svahu. Zhruba řečeno, pohyb vzniká periodickou eliminací vlivu náhodné síly okolí. Energetický vstup souvisí s nutností stlačit na konci intervalu typu τ B pružinu, tj. vysunout tyč nad rohatku. Energetický výstup odpovídá zvýšení potenciální energie automobilu při jeho pohybu proti svahu. Krása systému spočívá v

2 tom, že postup nevyžaduje žádné přesné měření a synchronizaci. Z hlediska operátora se požaduje jediné: periodické vysouvání tyče a uvolňování pružiny. Lze se domnívat, že uvedená konstrukce patří spíše do oblasti vědecko-fantastické literatury. Ve skutečnosti jsme ilustrovali všechny nezbytné prvky činnosti mechanismů, které operují na buněčné úrovni, a které jsou v uplynulých deseti letech stále intenzivněji studovány. Ukazuje se, že prostorově-časová a energetická měřítka, která panují na molekulární úrovni, činí výše uvedenou konstrukci naprosto reálnou. Cílem dalších odstavců není detailní rozbor biofyzikální a biochemický. Zaměřím se spíše na dvě matematicky založené formulace výše uvedeného principu.. Parrondův paradox V základní variantě Parrondova paradoxu se nejprve uvažují dvě individuálně prohrávající hry, hra A a hra B. Jejich střídáním podle jistého scénáře, který upřesníme níže, vzniká složená hra, hra C. Paradox spočívá v tom, že za jistých okolností je hra C vyhrávající. Obecně řečeno, střídáním dvou negativních tendencí lze získat pozitivní efekt. Uvažme hráče s jistým vstupním kapitálem. V každé jednotlivé hře se v případě výhry jeho kapitál zvětší o jedničku, v případě prohry o jedničku sníží. Hra A je velmi jednoduchá. Spočívá v jednom hodu nepravidelnou mincí. Pravděpodobnost výhry necht činí p = ɛ, kde ɛ je jisté malé kladné číslo, například ɛ =. Prohra má pravděpodobnost p. Je-li hrána posloupnost her A, střední hodnota kapitálu klesá. V tomto 00 smyslu je hra A evidentně prohrávající. Hra B je poněkud složitější. Podle svého aktuálního kapitálu háže hráč bud mincí B, nebo mincí B. Konkrétně, je-li jeho aktuální kapitál číslo dělitelné třemi, háže silně nepříznivou mincí B u níž je pravděpodobnost výhry p = ɛ. V opačném případě 0 háže příznivou mincí B. Pro ni je pravděpodobnost výhry p = 3 ɛ. Je hra B skutečně 4 prohrávající? Chybný úsudek by mohl znít takto. Při opakování hry B hážeme v jedné třetině případů mincí B a ve dvou třetinách případů mincí B. Vážená pravděpodobnost výhry ve hře B je tedy P (B) = 3 p + 3 p = 6 30 ɛ. Pro dostatečně malé ɛ je P (B) >. Hra B je tedy vyhrávající. Úsudek je chybný, nebot nevýhodná mince B není ve skutečnosti používána v jedné třetině hodů, ale poněkud častěji. Jestliže je aktuální kapitál násobkem tří, řekněme 9, pak musíme použít minci B a s velkou pravděpodobností p = 9 + ɛ 0 prohrajeme. Pak bude náš kapitál 8 jednotek. Musíme tedy použít minci B. Při hodu touto mincí s pravděpodobností p = 3 ɛ vyhrajeme a náš kapitál bude opět 9 jednotek. 4 Oscilace mezi kapitálem 3n jednotek a 3n jednotek mají tedy velkou pravděpodobnost. V důsledku toho je skutečná frekvence použití mince B v dlouhé sérii opakování hry B větší než jedna třetina (a menší než jedna polovina). Správnou hodnotu pravděpodobnosti výhry ve hře B získáme následujícím postupem. Necht náhodná proměnná X(n) popisuje kapitál hráče po n-té opakování hry B. Posloupnost {X(n)} n=0 zřejmě tvoří Markovův řetězec. Soustředíme se však spíše na Markovův řetězec náhodných proměnných Y(n) = X(n) mod 3. Jeho stavy vyjadřují tři možné a vzájemně se vylučující možnosti při dělení kapitálu třemi. Při označení p j (n) = Prob{ Y(n) = j }, j = 0,,, n = 0,,..., znamená tedy například p 0 (5) pravděpodobnost toho, že po pátém opakování hry B je kapitál hráče dělitelný třemi. Výše uvedená pravidla hry B lze nyní vyjádřit pomocí matice přechodových pravděpodobností W (B). Při evi-

3 dentním uspořádání stavů řetězce máme p(n + ) = W (B) p(n), W (B) = 0 p p p 0 p p p 0, () kde p(n) je sloupcový vektor pravděpodobností stavů, p(n) = [p 0 (n), p (n), p (n)] T. Při opakování hry B přechází daný Markovův řetězec postupně do jistého stacionárního stavu, řekněme do stavu. Formálně jej obdržíme jako limitu = lim n p(n). Stejně tak jej lze získat řešením homogenní soustavy lineárních rovnic W (B) =, jestliže navíc požadujeme normalizaci řešení =. Výsledkem celého postupu je vektor = 0 = 3 p p + p p + p p + p p + p p p + p p. () Při dlouhé sérii opakování hry B se tedy dostaneme do situace kdy je v každé další jednotlivé hře použita s pravděpodobností 0 nevýhodná mince B (a pravděpodobnost výhry je potom p ), zatímco s pravděpodobností 0 je použita výhodná mince B (a pravděpodobnost výhry je potom p ). Skutečná pravděpodobnost výhry ve hře B je tedy nakonec P (B) = 0 p + ( 0 )p. Po několika algebraických krocích zjistíme, že podmínka P (B) < je ekvivalentní nerovnosti ( p )( p ) > p p. Tato nerovnost je pro výše uvedené konkrétní hodnoty pravděpodobností p a p skutečně splněna. Při mnoha opakováních hry B má tedy střední hodnota kapitálu sestupnou tendenci. V tomto smyslu je hra B prohrávající. Dodejme ještě, že podobným způsobem bylo možné analyzovat také hru A. Matici přechodových pravděpodobností W (A) dostaneme z rovnice (), jestliže na pravé straně nahradíme p i p symbolem p. Stacionární vektor pravděpodobností pro hru A bude zřejmě e (A) = [ T.,, 3 3 3] Přejděme nyní k analýze složené hry C. Budeme předpokládat náhodné střídání hry A a hry B. Přesněji řečeno, s pravděpodobností γ = hrajeme hru A a s pravděpodobností γ hru B. Hra C má tedy následující pravidla. Je-li aktuální kapitál hráče číslo dělitelné třemi, je pravděpodobnost výhry q = γp + ( γ)p. To je pravděpodobnost toho, že bude hrána hra A, násobená pravděpodobností výhry v této hře, plus pravděpodobnost toho, že bude hrána B, násobená pravděpodobností výhry v této hře při kapitálu 3n. Podobně, není-li aktuální kapitál dělitelný třemi, je pravděpodobnost výhry ve hře C rovna q = γp + ( γ)p. Také hru C lze popsat Markovovým řetězcem a reprezentovat právě uvedená pravidla maticí přechodových pravděpodobností W (C). Dostaneme ji opět z rovnice (), jestliže na pravé straně nahradíme všude p symbolem q a p symbolem q. Vektor stacionárních pravděpodobností e (C) bude určen rovnicí (), jestliže na druhé pravé straně opět zaměníme p symbolem q a p symbolem q. Nakonec máme opět možnost vyjádřit stacionární pravděpodobnost výhry v individuální hře C bez ohledu na aktuální kapitál. Je jí P (C) = e (C) 0 q + ( e (C) 0 )q. Po několika úpravách se přesvědčíme, že podmínka P (C) > má tvar ( q )( q ) < q q. Parrondův paradox spočívá v tom, že pro vhodně volené parametry p, p, p, například pro výše uvedené konkrétní hodnoty, lze současně splnit nerovnosti P (B) <, a P (C) >. Počítačová simulace potvrzuje uvedený analytický rozbor. Přitom je vznik rostoucí

4 tendence kapitálu při hře C nezávislý na scénáři střídání her A a B. Můžeme je například střídat periodicky podle schématu AAABBAAABBAAABB.... Nelze přehlédnout analogie mezi úvahami v této a v předchozí kapitole. Poloha automobilu je analogií kapitálu. Tyč vysunutá nad rohatku odpovídá sérii, ve které hrajeme pouze hru A. Pravidla pro hru B popisují tvar zubu rohatky v minulé kapitole. Hra silně nepříznivou mincí B představuje segment zubu, který ostře klesá směrem doleva. Vyhrávající mince B posune kapitál proti svahu a odpovídá delšímu segmentu zubu. Klíčovou rolí hry A je růst rozptylu kapitálu předtím, něž je v rámci hry B jeho velikost přechodně stabilizována (zabrzděna) v nové poloze, tj. mezi hodnotami 3n a 3n. 3. Brownovská rohatka Uvažme jednodimenzionální difúzní pohyb částice v časově a prostorově proměnném potenciálu U(x, t). Stav částice v čase t je popsán hustotou pravděpodobnosti p(x, t) pro její polohu, tj. pro náhodnou proměnnou X(t). V aproximaci přetlumeného pohybu, tj. jestliže pomineme všechny setrvačné efekty, je dynamika stavu řízena Smoluchowského rovnicí p(x, t) = t { D p(x, t) Γ [ U(x, t) ] } p(x, t). (3) Zde Γ je pohyblivost částice, D označuje intenzitu termální Langevinovy síly působící na částici ze strany prostředí. Parametr D závisí lineárně na absolutní teplotě, D = Γk B T, k B je Boltzmannova konstanta. Kromě náhodné termální síly působí na částici v místě x a v čase t potenciálová síla F (x, t) = U(x, t). Z matematického hlediska představuje poloha částice X(t) časově nehomogenní Markovův proces (infinitezimální přechodové pravděpodobnosti závisí na čase). Právě tato skutečnost komplikuje přesné řešení Smoluchowského rovnice. Přitom časová závislost potenciálu U(x, t) je v naší formulaci fundamentální. V podstatě bude vyjadřovat přepínání mezi dvěma průběhy potenciálu, podobně jako jsme u Parrondovy konstrukce střídali hry A a B. Přesněji řečeno, po dobu τ A bude v platnosti časově nezávislý potenciál U A (x) = F ɛ x, kde F ɛ < 0 je síla působící doleva. V průběhu následujícího časového intervalu τ B je difúze řízena časově nezávislým potenciálem U B (x). Jeho tvar přesně odpovídá rohatce z první kapitoly, tj. popisuje periodicky se opakující asymetrické zuby: potenciál U B (x) v úseku šířky l strmě roste se směrnicí F > 0, poté v úseku šířky l > l pozvolna klesá se směrnicí F < 0. Nárůst potenciálu ve směru zleva doprava v průběhu úseku šířky l = l +l (tj. celkové stoupání jednoho zubu) činí K = F l F l. Předpokládejme, že tento nárůst je stejný jako u potenciálu U A (x), tj. K = F ɛ l > 0. Podobně jako u rozboru Parrondova paradoxu budeme implementovat periodické okrajové podmínky v intervalu [ l, l ]. To znamená, že v libovolném čase požadujeme p( l, t) = p(l, t). Hustota pravděpodobnosti bude potom normována v rámci uvedené prostorové periody, tj. pro libovolný čas bude l l dx p(x, t) =. Z hlediska fyzikálního je centrální veličinou časově asymptotická rychlost částice. V naší redukované formulaci ji získáme takto. Nejprve řešíme Smoluchovského rovnici s jistou počáteční podmínkou a s uvedenými okrajovými podmínkami. Tím dostaneme časově a prostorově rozlišený proud pravděpodobnosti j(x, t). Je jím veličina ve složených závorkách na pravé straně rovnice (3). V druhém kroku proud integrujeme přes základní

5 prostorovou periodu a poté středujeme přes časovou periodu změn potenciálu τ = τ A +τ B. Definujme tedy V = t+τ l { τ lim dt D [ ] } U(x, t) p(x, t) + Γ p(x, t). (4) t t l dx Necht je nyní po celou dobu pohybu v platnosti potenciál U A (x). Potom můžeme při řešení použít například metodou Laplaceovy transformace. Z rovnice (4) dostaneme V A = ΓF ɛ < 0. Necht je naopak po celou dobu pohybu v platnosti potenciál U B (x). Také v tomto případě dostaneme jistou zápornou rychlost V B < 0. Výsledný vzorec, který pro stručnost neuvádím, vyjadřuje intuitivně zřejmý závěr znamení rychlosti V B je opačné ke znamení nárůstu potenciálu K. Uvažme nakonec alternaci potenciálů U A (x) a U B (x). Při jejich střídání není žádný z nich v platnosti dostatečně dlouho pro to, aby vznikl stacionární pohyb s rychlostí V A, popř. V B. V tomto smyslu je tedy částice udržována stále v nerovnovážném stavu. Souhra potenciálů nakonec vede k tomu, že výsledná rychlost (4) může být orientována směrem doprava, proti globálně působící síle F ɛ. Pro činnost motoru je kritická srovnatelnost časového měřítka pro přepínání potenciálů a časového měřítka pro difúzní pohyb napříč jednotlivými segmenty potenciálů. Druhé měřítko závisí mimo jiné na teplotě. Závěrem, v příspěvku jsem naznačil matematické modelování transportního režimu, který vzniká na základě nerovnovážné rektifikace termálních fluktuací. Zaměřil jsem se pouze na kinematický rozbor. Celá úloha má však i zajímavý aspekt energetický, zaměřený na výpočet energetické účinnosti motoru a na její optimalizaci. Následující tabulka srovnává základní operační principy v diskrétní a ve spojité formulaci problému. Parrondův paradox Brownovská rohatka Zdroj potenciálu Pravidla her, parametry p, p, p Elektrostatická energie, parametry l, l, síly F ɛ, F, F Přepínání Střídavá aplikace pravidel pro hru A a hru B Chemické reakce, střídavá aplikace potenciálu U A (x) a U B (x) Zdroj fluktuací Náhoda při házení mince Interakce s prostředím, Langevinova síla Měřená veličina Matematický popis Střední kapitál X(n), rychlost jeho změny Markovovy řetězce diskrétní v čase a diskrétní v prostoru stavů Střední poloha částice X(t), střední rychlost V Langevinova rovnice a Smoluchowského rovnice Literatura Peter Reimann, Brownian motors: noisy transport far from equilibrium, Phys. Rep., 36, 57-56, (00).