PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

Transkript

1 Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ z matematiky školní rok 014/015

2 Toto je bonus číslo 1 k výukovému videu: Planimetrie. Než si video zapneš, tak si pracovní sešit vytiskni a při sledování videa si do něj doplňuj veškeré poznámky, slova a příklady. Udrží tě to v pozornosti a budeš se moci k zapsaným informacím později vracet. Když už tě Planimetrie unaví, nebo tě přestane bavit, dej si jednoduše pauzu a pokračuj později. Pracovní sešit ti bude sloužit hlavně k opakování, je v něm totiž úplně všechno, co k tématu Planimetrie musíš znát. Není už tedy třeba hledat informace v učebnicích, starých sešitech nebo si platit doučování. Příjemné učení s Prohlášení: Tento pracovní sešit je informačním produktem, který doprovází výukové video Planimetrie. Jakékoliv šíření nebo poskytování videa a pracovního sešitu třetím osobám bez souhlasu autorky je zakázáno! Děkuji za pochopení a respektování tohoto sdělení. Stažením tohoto materiálu rozumíte, že jakékoli použití informací z tohoto materiálu a úspěchy či neúspěchy z toho plynoucí, jsou pouze ve Vašich rukách a autorka za ně nenese žádnou zodpovědnost. školní rok 014/15

3 6. PLANIMETRIE 6.1 PLANIMETRICKÉ POJMY A POZNATKY Co je to planimetrie? Planimetrie je část geometrie, která se zabývá studiem geometrických útvarů v. Pro tvorbu různých modelů geometrických útvarů si v planimetrii vystačíme s (= rovina = D prostor) a tužkou, propiskou a popř. kružítkem. PLÁŇ PLÁN PLANIMETRIE Základní geometrické útvary Bod Bod je geometrický útvar, je zadán svoji polohou a nedá se rozdělit na menší části. Pomocí něho vytváříme další útvary (množiny bodů). Značí se: školní rok 014/15 3

4 Přímka Dvěma různými body prochází přímka. Přímka je tedy spojnice dvou bodů, nemá začátek ani konec, je prodloužena do nekonečna. Značí se: Vzájemná poloha bodu a přímky a) bod B leží na přímce p / přímka p prochází bodem B / bod B je s přímkou p zapisujeme: b) bod B neleží na přímce p / přímka p bodem B / bod B není incidentní s přímkou p zapisujeme: Vzdálenost bodu od přímky Pokud bod není s přímkou incidentní, můžeme určit jeho od přímky. Vzdálenost měříme na. Vzájemná poloha dvou přímek a) přímky jsou rovnoběžné splývající / totožné zapisujeme: b) přímky jsou rovnoběžné různé zapisujeme: školní rok 014/15 4

5 c) přímky jsou různoběžné zapisujeme: nebo Vzdálenost dvou přímek Pokud jsou přímky navzájem, můžeme určit jejich vzdálenost. Tu naměříme na společné kolmici. Množina všech bodů, které mají od dané přímky b danou vzdálenost d>0, je dvojice přímek a, á rovnoběžných s přímkou b, ležících v opačných polorovinách určených přímkou b ve vzdálenosti d od ní. X ; Xb d a a, kde : a b a Osa pásu Množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od dvou daných různých rovnoběžek p, q, je osa pásu. X ; Xp Xq o Konstrukce: školní rok 014/15 5

6 Odchylka dvou přímek Pokud jsou dvě přímky, můžeme určit jejich odchylku, neboli určit, který svírají. Odchylka je úhel z intervalu 0 ; 90 tedy 0;. Jestliže dvě přímky mají odchylku rovnou navzájem kolmé. Příklady: 90 svírají úhel, říkáme, že jsou přímky Narýsujte přímku p, která prochází bodem A a je kolmá na přímku m. Dále narýsujte přímku q, která prochází bodem B a má od přímky m odchylku 45. A nakonec sestrojte přímku r, která je rovnoběžná s přímkou p a prochází průsečíkem přímky q a m. Určete vzdálenost těchto rovnoběžek. Polopřímka Bod ležící na přímce dělí přímku na části, navzájem opačné polopřímky. Ty se zadávají také pomocí dvou bodů, ale na rozdíl od přímky zde záleží na jejich. První z nich je krajní bod, tzv. počátek. Značí se: školní rok 014/15 6

7 Úsečka Přímá spojnice mezi různými body je úsečka. Je ohraničena dvěma body a proto můžeme určovat její velikost, měřit její délku (= vzdálenost krajních bodů), přestože má nekonečně mnoho bodů. Značí se: Střed úsečky, osa úsečky Střed úsečky je bod, který dělí úsečku na dvě části. Osa úsečky je přímka, která prochází středem úsečky a je na úsečku. Osa úsečky AB je množina všech bodů, které mají od bodů A, B stejnou vzdálenost: o X ; Konstrukce: AX BX Rovina Rovina je geometrický útvar. Můžeme si ji představit jako neomezenou dokonale rovnou plochu. Značí se: Rovina může být určena: různými body přímkou a bodem, který na přímce dvojicí rovnoběžných přímek dvojicí přímek. školní rok 014/15 7

8 Polorovina Přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny. Daná přímka je jejich společnou přímkou neboli hranicí. Každý bod, který neleží na hraniční přímce, je bodem jedné z polorovin. (Hraniční přímka patří do obou polorovin.) Značí se: Úhel Úhel je definován jako část roviny ohraničená dvěma se stejným počátkem. Těmto polopřímkám říkáme úhlu a společný počátek se nazývá úhlu. Značí se: Ramena úhlu však dělí rovinu na dva úhly: jeden z nich je konvexní (tj. úsečka AB mu celá náleží) druhý je nekonvexní vnitřní bod úhlu Velikost úhlu můžeme měřit ve: stupňové míře ve stupních.. obloukové míře v radiánech.. Platí převod: školní rok 014/15 8

9 Příklady: převeďte na radiány: převeďte na stupně: 3 3 Druhy úhlů podle velikosti: nulový úhel ostrý úhel dutý úhel pravý úhel tupý úhel plný úhel přímý úhel Příklad: Určete velikost úhlů a určete, o jaké druhy úhlů se jedná: Pozn.: Geometrický útvar se nazývá konvexní, právě tehdy když úsečka s krajními body v libovolných dvou bodech útvaru je částí tohoto útvaru. školní rok 014/15 9

10 Osa úhlu Osa úhlu je, která prochází úhlu a půlí jej na dva shodné úhly. Množina všech bodů daného konvexního úhlu AVB, které mají stejnou vzdálenost od přímek, v nichž leží jeho ramena, je osa tohoto úhlu. X AVB; X VA X VB o Konstrukce: Thaletova kružnice Množina všech úhlů, jejichž ramena procházejí danými různými body A, B je kružnice s průměrem AB kromě bodů A, B. = kružnice. X ; AXB 90 AB školní rok 014/15 10

11 Dvojice úhlů: vedlejší úhly. Součet vedlejších úhlů je přímý úhel. obrázek: vrcholové úhly. Vrcholové úhly jsou shodné. obrázek: souhlasné úhly -. obrázek: střídavé úhly -. obrázek: Množina všech bodů dané vlastnosti Množina M všech bodů roviny, které mají danou vlastnost, je množina bodů, pro kterou současně platí: 1. Každý bod M má danou vlastnost. Každý bod roviny, který má danou vlastnost, patří do množiny M. Tyto skutečnosti využijeme při řešení konstrukčních úloh. Příkladem množiny bodů daných vlastností:.. školní rok 014/15 11

12 6. TROJÚHELNÍKY Trojúhelník ABC je průnik tří polorovin ABC, CAB, BCA, při tom body A, B, C jsou různé a neleží na jedné. Objekty v trojúhelníku vrcholy: strany: Trojúhelníková nerovnost: hranice (obvod): vnitřní body (vnitřek): vnitřní úhly: Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je stupňů. vnější úhly: Vnější úhel je roven součtu úhlů při zbývajících vrcholech. Rozdělení trojúhelníků podle délek stran a) různostranné b) rovnoramenné c) rovnostranné školní rok 014/15 1

13 podle velikosti vnitřních úhlů a) ostroúhlé b) pravoúhlé c) tupoúhlé Střední příčky trojúhelníku jsou úsečky, které spojují protějších stran vlastnosti: Těžnice trojúhelníku jsou úsečky, které spojují střed strany s vrcholem těžiště = průsečík těžnic vlastnosti: Příklad: Narýsujte ABC : b 7cm, c 10cm, S ABS AC cm. Příklad: Narýsujte ABC : a 6cm, t 9cm, 35. a školní rok 014/15 13

14 Výšky trojúhelníku výška je úsečka, jejímiž krajními body jsou a pata kolmice protější strany ortocentrum = výšek vlastnosti: Příklad: Narýsujte ABC : c 8,5cm, t 7,5cm, v cm. c c 5 školní rok 014/15 14

15 Kružnice opsaná trojúhelníku Kružnice opsaná trojúhelníku prochází všemi třemi trojúhelníku. Střed kružnice opsané: Kružnice vepsaná trojúhelníku Kružnice vepsaná se dotýká všech tří trojúhelníku. Strany tvoří kružnice. Střed kružnice vepsané: školní rok 014/15 15

16 Shodnost trojúhelníků Co je to shodnost? Věty o shodnosti trojúhelníků: Věta sss: Věta sus: Věta usu: Věta Ssu: Dva Δ, které se shodují ve všech, jsou shodné. Dva Δ, které se shodují ve dvou a, který strany svírají, jsou shodné. Dva Δ, které se shodují v jedné straně a úhlech k této straně, jsou shodné. Dva Δ, které se shodují ve dvou a úhlu proti větší z nich, jsou shodné Podobnost trojúhelníků Co je to podobnost? číslo k nazýváme podobnosti. Věty o podobnosti trojúhelníků: Věta sus: Věta uu: Dva Δ, které se shodují v délek dvou stran a úhlu, který svírají, jsou podobné Dva Δ, které se shodují ve dvou, jsou podobné. Příklad: Vypočítejte výšku stromu, který vrhá stín délky metrů, víte-li, že ve stejném okamžiku metry vysoký pilíř vrhá stín dlouhý 3 metry. školní rok 014/15 16

17 Pravoúhlý trojúhelník V pravoúhlém trojúhelníku platí několik báječných věcí, proto se na něj nyní zaměříme Pythagorova věta V pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou c= AB platí: Tedy: *Eukleidovy věty o výšce v c a c b o odvěsně a b c c c a c b Příklad: V pravoúhlém trojúhelníku PQR je odvěsna QR rozdělena bodem X na dva úseky, z nichž XQ má délku 10. Vypočítejte délku přepony PX 15. r PQ, jestliže PR 1 a školní rok 014/15 17

18 Goniometrické funkce V pravoúhlém trojúhelníku jsou goniometrické funkce definovány jako délek příslušných stran trojúhelníku. Sinus úhlu: = je poměr odvěsny k sin Kosinus úhlu: = je poměr odvěsny k cos Tangens úhlu: = je poměr odvěsny k odvěsně tg Kotangens úhlu: = je poměr odvěsny k odvěsně cotg stupně radiány sinus 0 kosinus 1 tangens kotangens školní rok 014/15 18

19 Příklady: Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou c. Určete, která tvrzení by mohla být pravdivá a která nikoliv: a) a 1, c 4, 30 ANO NE b) a, b 4, 45 ANO NE c) a 1, b 3, 30 ANO NE d) a 8, c 4, 45 ANO NE Vypočítejte velikosti úhlů:,, v pravoúhlém trojúhelníku KLM, jestliže KL 6, KM MX 3. Obecný trojúhelník Při řešení obecného trojúhelníku se využívají trigonometrické věty. My si uvedeme ty nejvýznamnější. Sinová věta Pro každý Δ ABC (viz obrázek), platí: a sin c r sin, kde r je poloměr kružnice trojúhelníku. školní rok 014/15 19

20 Kosinová věta Pro každý Δ ABC (viz obrázek), platí: a b c b a c c bc cos ac cos Příklad: Čtvercový pozemek byl vyměřován pomocí přístrojů. Z výhledového bodu, z něhož byla jedna strana pozemku vidět pod úhlem 75, byly určeny vzdálenosti ke krajním bodům pozemku (150 m a 135 m). Určete obsah tohoto pozemku. Obvod a obsah trojúhelníku Obvod trojúhelníku: o Obsah trojúhelníku: základní vzorec: S školní rok 014/15 0

21 další užitečné vzorce: pomocí vnitřního úhlu: S 1 absin 1 acsin 1 bcsin pomocí délek všech stran: S s a s b s c s, kde s= Příklady: Délka odvěsny AB v pravoúhlém trojúhelníku ABC je 6 cm. Na druhé odvěsně BC leží bod D. Obsah tupoúhlého trojúhelníku ADC je 56 cm. Určete délku strany CD (v cm) v trojúhelníku ADC. Vypočítejte délku plotu, kterým je potřeba ohraničit trojúhelníkový pozemek na plánku: školní rok 014/15 1

22 6.3 MNOHOÚHELNÍKY Mnohoúhelníky Konvexní mnohoúhelník Nekonvexní mnohoúhelník Pro každý mnohoúhelník platí: n-úhelník má n vrcholů, n stran a úhlopříček součet velikostí všech vnitřních úhlů konvexního n-úhelníku je n 180 Ovšem ne všem lze opsat nebo vepsat kružnici. Konvexní mnohoúhelník, kterému lze sestrojit: kružnici opsanou, se nazývá mnohoúhelník. kružnici vepsanou, se nazývá mnohoúhelník. školní rok 014/15

23 Pravidelné mnohoúhelníky Pravidelný mnohoúhelník je každý mnohoúhelník, který má všechny strany stejně dlouhé a všechny vnitřní (tedy i vnější) úhly. Obvod: o Obsah: S a o n Příklad: Spočítejte obvod a obsah pravidelného devítiúhelníku se stranou délky 4,6 cm. Čtyřúhelníky Základní druhy čtyřúhelníků čtyřúhelníky různoběžníky lichoběžníky rovnoběžníky pravoúhlé kosoúhlé čtverce obdélníky kosočtverce kosodélníky školní rok 014/15 3

24 Obsahy a obvody čtyřúhelníků Čtverec o 4a S 1 u S, kde u a Kosočtverec o 1 S u 1 u S a sin Obdélník o S ab a b Kosodélník = Rovnoběžník o S av a b S ab sin Lichoběžník o a b c d a c S v s v školní rok 014/15 4

25 Příklady: Rovnoběžník KLMN rozděluje úhlopříčka KM na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky. Vypočítejte obvod a obsah rovnoběžníku. Určete součet ploch tří rovinných útvarů zakreslených ve čtvercové síti na obrázku (platí: 1 čtverec = 1 cm ). školní rok 014/15 5

26 6.4 KRUŽNICE A KRUH Základní pojmy a vzorce týkající se kružnice a kruhu Kružnice Kružnice je množina všech bodů v rovině, které mají od pevně zvoleného bodu S danou vzdálenost r. Značí se:.. střed kružnice poloměr kružnice průměr kružnice vnitřní oblast kružnice vnější oblast kružnice tětiva kružnice Obvod kružnice: o Příklad: Pan Novák chce vyvézt na trakaři balík slámy ze slamníku k výběhu koní. Kolikrát se kolo trakaře otočí, jestliže průměr kola je 39,6 cm a cesta má délku 450 m? školní rok 014/15 6

27 Kružnicový oblouk středový úhel nad obloukem AB obvodový úhel nad obloukem AB Platí: Délka kružnicového oblouku: AB r 360 Kruh Kruh je množina všech bodů v rovině, které mají od pevně zvoleného bodu S vzdálenost rovnu nebo menší než dané číslo r. Obsah kruhu: S Mezikruží Příklad: Vypočítejte obsah mezikruží kružnic k 1, k s poloměry: r1 9 cm, r, 6 dm. školní rok 014/15 7

28 Kruhová výseč Kruhová úseč Příklad: Vypočítejte obsah kruhové úseče 80, kružnice, r=4. AB r 360 Vzájemná poloha přímky a kružnice v rovině Přímka p a kružnice k mohou mít následující tři vzájemné polohy: 1. p je vnější přímka k počet společných bodů: podmínka:. p je tečna k počet společných bodů: podmínka: 3. p je sečna k počet společných bodů: podmínka: školní rok 014/15 8

29 6.5 GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ Shodná zobrazení v rovině Shodné zobrazení neboli shodnost je zobrazení, které je prosté a pro každé dva body X, Y a jejich obrazy X, Y platí: X Y XY. Shodná zobrazení tedy zachovávají. Jedná se o: identitu, souměrnost, středovou souměrnost, a otočení. Osová souměrnost Středová souměrnost školní rok 014/15 9

30 Posunutí Otočení o 60 stupňů v kladném směru (proti směru hodinových ručiček) SUPER, PLANIMETRII MÁŠ ZA SEBOU! A MŮŽEŠ NA DALŠÍ TÉMA školní rok 014/15 30