( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

Transkript

1 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice Nerovnice s absolutní hodnotou Iracionální nerovnice Nerovnice s parametrem Úlohy:. Určete definiční obor výrazu či funkce: a) y = + D( f ) = ( ; ) ( ;0 ) b) y = D( f ) = ; ) c) y = log( + ) D( f ) = ( ; 4; ) y = log + D( f ) = ( ;) ( ; ) d) e) = log( 5 8 4) f) g) y D( f ) = ; ( ; 5 y = + + D( f ) = ( ; ; ) + y = D( f ) = φ h) y = log D( f ) = ;) ( ; 4 4 i) y = 4 D( f ) = ; ) ( ; 8. Řešte: a) 7 4 > 5 b) c) + > 0. Řešte: a) (.. 6 ) < 0 0 ( ; ) ( 5 ) ; ; ;5) ( ; ) ( ) ; ( ; ) b) < c) > 5 ( 4; ) ( ;5 ) ( ; ) ( ; ) ( 5 ) ;. Řešte: a) 7 5 4( ) ; b) + ; ) c) + > 0 ( ; ) ( ; ) ( ; + ) + < ( ; ) d) 0 e) < + ( ; 5) ( ; ) ( ) ;

2 f) < + g) h) ( 0 ) ; 6; ( ; ) ( ; + ) i) 6 ( ; ) ( ; + ) 5 j) ; ; k) + < φ l) + < 0. Řešte: a) 5 4 > + ) φ 8 ; 9 b) ( + ).( + ) ( ; 5 0; + ) c) > 4 ; 8 8 d) + 8 < 8;. Řešte: a) ( 6 ). ( ) < + ; 6 b) > ;0 ) ; 5 c) + > d) + 7 > ; ; 4 74 ( ; 5; e) ( + ).( 5) < 8. Řešte v oboru R: a) a a b) p < p + 4 ;a parametr ;p parametr p c) + ;p parametr p p d) + m m > 0 ;m parametr e) m ( m ) + m + < 0 ;m parametr f) a. ( ) + ( a ) a ;a parametr. Řešte: a).( + ).( ).( + ) > 0 ( ; ) ( ;0 ) ( ; ) b) ; ; + ) 4 c) > 0 ; ; 4; 4 9. Určete číslo k tak, aby rovnice : ( k + 4) + k + 6k = 0 měla reálné kořeny. k 8; + ). Řešte: a) + + ( ) ; 4

3 + b) c) 7 5 ; 4 ( ; ; + ) { ± } 4 5 f) < 5 + ; ;. Řešte nerovnice: a) ; ; b) 4 0 6; + ) c) ; ) 7 d) + 8 ;) ( 5; 6 e) ;+ ) f) 4 ;) 4;6). Řešte nerovnice: a) < + + b) ( 4) c). 7 d) e) 4 4 ( 0 ) 6. + < ( ; ) ; ( ;5 ) ; ( ; ) ( 7 + ) ; ( ; ) ( + ) ; ( + ) ;

4 7. Soustavy rovnic a nerovnic s více nezná - mými b) y + yu + u = yu z + zy + yz = yz z + zu + z = zu yz + zu + yu = yzu ([;;;]) Další dovednosti: -řešit rovnice kde je více neznámých, než rovnic - řešit rovnice kde je méně neznámých, než rovnic -zvláštní soustavy Možné maturitní otázky: Soustavy rovnic a nerovnic Nerovnice s absolutní hodnotou Úlohy:. Nádrž se plní -mi přívody A, B, C. Současně otevřenými přívody A, B se naplní za hodinu, přívody A, C za 45 minut, přívody B, C za,5 hodiny. Jak dlouho by se plnila každým přívodem zvlášť? (7 min, 6 h, h). Dva konvení mnohoúhelníky mají dohromady 4 stran a 09 úhlopříček. Které to jsou? ( a ). Dva dělníci společně odvedou práci za dní. Po osmi dnech společné práce jeden onemocněl a druhý dokončil tuto práci za dalších 0 dnů. Za kolik dní by ji udělal každý sám? (0 h, 0 h) 4. Řešte soustavu rovnic: a) ( + ).( y ) = ( ).( y + ) ( ).( y + 4) = ( + 7).( y ) ([5;4]). Řešte: a) + = + y y = + y y a) 7 + y 6z = 4y + 9z = y 9z = 5 ; ([;;4]) tg+ tgy a) 4 = 8 tg 6 tg y = 8 ([45 ;6 5 ]) a) 8 7 y + 6z 5u = 6 : y : z : u = : : : 4 ([-;-4;-6;-8]) a) sin sin y = 0, 6 + y = ([9 ; 5 40 ]) a) tg + tg y = tg - tg y = ([45 ; 6 5 ]) 4

5 a) y = 400 log y = 6 ([ 4;00 ]; [ 00;4] ) + y = y = φ log log y a) + 5 = 4 log log y 5 = 56 ([00;0]) ch) y = 64 y 6 [ ] 6 + = a) + y = 74 ;4 ; ;4 y = [ 5; 7 ] ; [ 7;5 ] a) + y = 5 y = 5 ([;]) a) + y + y = 7 y = [ ; 4 ] ; [ 4; ] a) y = + + = y [ ; ] ; [ ;9 ] ; [ ; ] ; [ ; ] a) = y + 5 = y [ ] [ ] 4;6 ; ; ; ; ; 8; 6 b) + y z = + 5y + z = 0 4t 8t + t; ; V pravoúhlém trojúhelníku je součet délek stran cm, součet obsahů čtverců nad jeho stranami je 6050 cm. Jak dlouhé jsou jeho strany? ( cm,44 cm,55 cm) 8. Vlak pojíždí tunelem dlouhým 0 m. Od okamžiku, kdy vjede do tunelu lokomotiva, až do okamžiku, kdy poslední vagón opustí tunel, uplyne 9 sekund. Od tohoto okamžiku uplyne dalších 4 sekund, než lokomotiva přijede k návěšti, která je km od tunelu. Vlak jede stálou rychlostí. Určete jeho rychlost a délku vlaku. (d = 60 m, v = 0 m/s). Řešte soustavy rovnic: a) + y + z = 4 + y + 4z = 5 + y + z = 0 ([-9;7;-7]) b) + y + z = 4 + y z = + 4y + 5z = 6 ([-6;;-4]). Řešte: a) 4 y = c) + y + 4 y = 0 y = 0 φ 5

6 . Řešte soustavy rovnic: a) + y + + y = y y = 7 [ ] b) 4 + 9y = 6 c) 5; ; ; y + 5 = [ 0; ± ] ; [ ;0 ] + y + + y = 0 + y = 6 [ 6;0 ] ; [ 0;6 ]. Znázorněte graficky množinu A B, jestliže: A = ; y : R y R 4 + y B = {[ ] } [ ; y] : R y R y { }. Znázorněte graficky množinu A B, jestliže: A = ; y : R y R + y B = {[ ] } [ ; y] : R y R 4 + 9y { 6}. Znázorněte graficky množinu A B, jestliže: A = [ ; y] : R y R + y B = {[ ; y] : R y R + y 4} 4. Znázorněte graficky množinu A B, jestliže: A = ; y : R y R y 0 B = {[ ] } [ ; y] : R y R y { } 5. Znázorněte graficky množinu A B, jestliže: A = ; y : R y R y + B = {[ ] } [ ; y] : R y R 4 + y { 5} 6. Řešte graficky v RR: + y 0 y = y ; ; 7. Řešte graficky v RR: y y 0 + y 0 8. Řešte soustavu nerovnic o jedné neznámé: Řešte: - > + y ( - ) > y ; + φ 0. Řešte graficky v RR: a) 5 + y 0 b) + 4y c) 6 + 0y 60 d) - y 6 Určete pro která [, y] nabývá výraz V[, y]: 0 = + 5y etrémní hodnoty a) M ; 9 9 b) M [ 0; ] c) M ; m neeistuje 0 6 d) m ; 7 7 ) 6

7 . Graficky řešte a) y - b) + y 5 c) + y 5 d) + y 7 Zjistěte, kde má fce y = - etrém.. a) M [ 4;5] b) m[ ; ] 8 c) M ; 5 5 d) m [ ; ] ; M ; 7

8 8. Geometrické útvary v rovině Další dovednosti: -Eukleidova věta o výšce a odvěsnách -mocnost bodu ke kružnici -čtvrtá měřická úměrná -konstrukce úseček (Eukleidovy.věty, Pythagorova věta, čtvrtá geometrická úměrná) -tětivový tečnový čtyřúhelník -sinová a kosinová věta Možné maturitní otázky: Rovinné útvary Množiny bodů dané vlastnosti Úlohy:. Sestrojte rovnoběžník, znáš-li velikost sousedních stran a, b a velikost úhlu určeného úhlopříčkami.. Sestrojte čtyřúhelník ABCD, jsou-li dány strany a,b,c,d ( a > d ) a úhlopříčka AC je osou úhlu stran AB a AD.. Sestrojte čtverec, je-li dáno: a) a + e = 8 b) e - a = 4. Je dána přímka p a body A a B, které leží v téže polorovině s hraniční přímkou p. Sestrojte kružnici k, která se dotýká přímky p a prochází body A a B. 5. Sestrojte trojúhelník: 8 a) a + b + c, β, χ b) a + b = 9, c = 5,7; χ = 75 o c) a - b, α, β d) a - b = 4, c = 5,5, χ = 45 o 6. Kosočtverec má plochu S= 864 cm. Jedna úhlopříčka je o cm kratší, než druhá. Určete úhlopříčky a stranu. (48; 6; 0 cm) 7. Vypočtěte obsah plochy ohraničené opsanou a vepsanou kružnicí trojúhelníku ABC: a = 6 cm, b = 49 cm, c = 55 cm. (89, cm ) 8. Trojúhelník ABC rozdělte rovnoběžkou se stranou AB na dvě části stejného obsahu. = v c v c. 9. Kružnici je vepsán a opsán pravidelný 6-ti úhelník. Rozdíl jejich obsahu je 8.Vypočtěte poloměr kružnice. (viz kapitola př. ) (r = 4 cm) 0. Vypočtěte strany pravoúhlého trojúhelníka,je-li t a =8, t b =. (,7; 5,5;,9 cm). Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a) c, t c, χ, b) a, v a, α c) a+b, v a, c. Sestrojte obdélník ABCD: a) a + b; e b) a + b; ω

9 . Rozdělte kruh dvěma soustřednými kružnicemi na tři části 6 stejného obsahu. r = r. ; r = r. 4. Sestrojte trojúhelník ABC, pro který platí: a = 5, α = 45 poloměr kružnice vepsané ρ =,5 cm. 5. Jsou dány přímky a b a bod M. Sestrojte kružnici, která se dotýká obou přímek a prochází bodem M. 6. Sestrojte ABC: a) c = 4, χ,= 60 o, v c = b) t b = 6, v b = 5, c = 5,5 c) t a = 6, t b = 9, t c = d) v c =, b = 4, ρ = e) v a, α, o α f) r, v a, α 7. Sestrojte lichoběžník: a) a = 0, c = 5, e = 6, f = b) b = 4, c = 9, f = 7, v =,5 c) b = 4; c = ; f = 5; α = 60. d) 8. Sestrojte čtyřúhelník ABCD: a) a, b, e, f, ε b) a = 8, c = 5, e = 8,5; f = 6, δ = 45 o c) tětivový, a = 5; β = 0,e = 7; f =8 d) tečnový, a = 7,5; b =,5, α = 45 ; ρ =. 9. Jsou dány dvě různé rovnoběžky a, b a kružnice l(o;r), která rovnoběžky protíná. Sestrojte všechny kružnice, které se dotýkají přímek a a b a s kružnicí l mají: a) vnitřní dotyk 9 b) vnější dotyk 0. Jsou dány dvě soustředné kružnice k (O;),k (O;4) a bod A ( OA = ). Sestrojte všechny kružnice, které se dotýkají k, k a prochází bodem A.. V obecném trojúhelníku ABC je dáno: r = 9 cm, a = 5 cm, β =. Určete zbývající strany a úhly. (b = 7,0; c = 7,69; α = 56,5, χ = 00,5 ). V obecném trojúhelníku ABC je dáno: c = 8 cm, v c = 6 cm, β = 6 0. Určete zbývající strany a úhly. (a = 59,6; b = 9,95; α = 5,, χ = 7, ). Je dána kružnice l(o;r) a její tečna t. Sestrojte všechny kružnice, které mají poloměr cm, dotýkají se přímky t a s kružnicí l mají vnější dotyk. 4. Je dán obdélník ABCD, se stranami a a b. Sestrojte čtverec KLMN tak, aby jeho obsah byl roven obsahu daného obdélníku. a =. b 5. Je dána kružnice l(o;r), její bod A a mimo ni přímka t. Sestrojte všechny kružnice, které se dotýkají přímky t a kružnice l se dotýkají v bodě A. 6. K danému pravoúhlému trojúhelníku ABC s odvěsnami a a b sestrojte: a) čtverec = a. b

10 b) rovnostranný trojúhelník, = a. b které mají stejný obsah. 7. Je dán obdélník ABCD, se stranami a a b. Nad jeho úhlopříčkou sestrojte obdélník BDKL stejného obsahu. a + b = ab 0

11 Další dovednosti: - skládání zobrazení - přímá a nepřímá shodnost - věty o shodnosti trojúhelníků Možné maturitní otázky: Shodná zobrazení v rovině 9. Shodnosti v rovině Úlohy:. Společným bodem dvou kružnic veďte přímku tak, aby na ní kružnice vyťaly shodné tětivy.. Dané jsou dva různé body A,B ležící v jedné z polorovin určených přímkou p. Sestrojte bod X p tak, aby AX + BX bylo minimální.. Je dána kružnice k(s;) a bod A, AS =,5. Sestrojte všechny tětivy XY kružnice k, s délkou 5,5 cm, které procházejí bodem A. 4. Sestrojte čtyřúhelník ABCD, jsou-li dány velikosti jeho stran a, b, c, d ( a>d ) a úhlopříčka AC je osou úhlu alfa. 5. Sestrojte trojúhelník ABC: a) α, t b, a b) t a, β, χ c) c, v a, a + b d) c, α, b - a 6. Jsou dány tři soustředné kružnice. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby vrcholy ležely postupně na soustředných kružnicích. 7. Je dána úsečka AA (např. 5 cm). Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, pro které je AA = t a a pro které platí: a) c = 4, b = 7; b) b = 6, β = 45 ; c) b = 6, t b = 6; d) χ = 45 ; β = Sestrojte lichoběžník ABCD je-li dáno: a, c, e, f. 9. Jsou dány rovnoběžné přímky a, b a bod M (ležící v pásu přímek a, b). Sestrojte kružnici, která se dotýká obou přímek a prochází bodem M. (Řešte úlohu dvěma způsoby). 0. Jsou dány dvě různé rovnoběžky a, b a bod M uvnitř pásu (a, b). Sestrojte všechny úsečky AB kolmé k přímkám a, b s krajními body A, B na přímkách a, b, které z bodu M vidíme pod úhlem 60 o.. Vyhledejte místo na řece šířky d, ve kterém by měl stát most tak, aby cesta z obce A do obce B byla co nejkratší.. Sestrojte čtyřúhelník ABCD: a = 5, c = 5,5 ; e = 6, f = 5,5; ε =0 o (ε = úhlu ASB).. Jsou dány dvě rovnoběžné přímky a, b a mimo ně bod C. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A a, B b. 4. Sestrojte: a) čtverec ABCD: a + e, b) obdélník ABCD: e, a - b c) lichoběžník ABCD: b, c, d, α β.

12 5. Je dán ostrý úhel XVY a jeho vnitřní bod C. Sestrojte trojúhelník ABC tak, aby jeho vrcholy A, B ležely po řadě na polopřímkách VX a VY a obvod trojúhelníku byl minimální. 6. Kružnice k (S ;r ), k (S ;r ) leží v opačných polorovinách s hraniční přímkou p. Sestrojte kosočtverec ABCD tak, aby jeho vrcholy A, C ležely na kružnicích k a k a úhlopříčka BD na přímce p. 4. Jsou dány soustředné kružnice k (S;4), k (S;) a bod A, AS =. Sestrojte všechny: a) rovnostranné trojúhelníky ABC, B k, C k b) čtverce ABCD, B k, D k 5. Jsou dány kružnice k (S ;r ), k (S ;r ), které se protínají v bodech C, Q. Sestrojte všechny rovnoramenné trojúhelníky ABC, pro které platí: A k, B k a χ = Jsou dány soustředné kružnice k (S ;r ), k (S ;r ) a bod S ležící na menší z nich. Sestrojte rovnoběžník ABCD se středem S, jehož vrcholy leží na daných kružnicích. 8. Je dán trojúhelník ABC a jeho vnitřní bod M. Sestrojte všechny úsečky YX se středem M a s krajními body X, Y na hranici trojúhelníku. 9. Jsou dány kružnice k (S ;), k (S ;), S S = 7. Sestrojte všechny úsečky XY S S, X k a Y k a XY = S S. 0. Je dána kružnice k(s;r), její tečny t t a úsečka délky a > r. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky ABC o délce strany a a A t, B t a C k.. Je dána kružnice k(s;r), bod A uvnitř kružnice. Sestrojte všechny rovnoběžníky ABCD, jejichž vrcholy B, C, D leží na kružnici a strana AB má délku r.. Sestrojte rovnoběžník ABCD: a = 5; b = ; ε = 0.. Sestrojte lichoběžník ABCD: a = 6,5; b = 4; c = ; d =.

13 Další dovednosti: - Apollóniovy úlohy - Pappovy úlohy 0. Podobnost a stejnolehlost Možné maturitní otázky: Stejnolehlost a podobnost Úlohy:. Sestrojte ABC: a) α = 60 o, β = 75 o, ρ =,6; b) α = 60, β = 45, t c = 6; c) b : a = 5 : 4, χ = 60 o, v c = 5; d) a : c = 4 : 7, β = 45 o, t c = 4,5; e) a : b : c = 7 : 4 : 5, v b = 4; f) α = 45 o, β = 60 ο, r = 5; g) b + c = 4, α = 75, χ = 45 ; h) α = 45, β = 55, v c = 4.. Sestrojte kružnici, která se dotýká dané přímky t v jejím bodě A a dané kružnice k, která přímku t neprotíná.. Je daná kružnice k a na ní bod T. Sestrojte kružnici, která má s danou kružnicí dotyk v bodě T a dotýká se dané přímky p. 4. Sestrojte společné tečny ke dvěma kružnicím k (S ;,5), k (S ;,5) různého poloměru., jeli: = 6 S S a) = S S b) = S S c) 5. Sestrojte kosočtverec ABCD: e : f = : 4 ; a= Sestrojte kosodélník ABCD: a : b = 5 :, α = 75, f = Pomocí stejnolehlosti sestrojte čtverec: a) a + e = 6 b) e - a =. 8. Do daného trojúhelníku ABC vepište čtverec KLMN tak, aby KL AB, M a, N b. 9. Jsou dány dvě kružnice se stejnými poloměry k (O,r), k (O, r), které se protínají. Bod O je středem úsečky O O. Veďte bodem O přímku tak, aby její průsečíky s kružnicemi k, k byly krajními body tří shodných úseček. 0. Jsou dány dvě různoběžné přímky a, b a bod M. Sestrojte kružnici, která prochází bodem M a dotýká se přímek a a b.. Je dán konvení úhel AVB a bod M, který leží uvnitř úhlu. Bodem M veďte přímku m, která protíná ramena VA, VB v. = VY : : VX platí: bodech X,Y a přitom. Je dán čtverec ABCD (a = 5) a bod M BM ) =, M BD). Sestrojte všechny úsečky XY, které jdou bodem M a mají krajní body na hranici čtverce ABCD tak, aby platilo:. = 4 MY : : MX. Do kružnice k(s;4cm) vepište obdélník ABCD, pro který platí: AB : BC = : 4.

14 4. Jsou dány různoběžky a, b a kružnice l(o;r) ležící uvnitř jednoho úhlu určeného přímkami a, b. Sestrojte kružnici, která se dotýká přímek a, b a s kružnicí l má dotyk: a) vnitřní b) vnější 5. Je dána kružnice k(s;4cm), její tečna t a bod M k tak, že tak, cm. Sestrojte úsečku XY procházející bodem M = Mt. = : MY : MX aby X k, Y t a 6. Jsou dány dvě protínající se kružnice. Jedním jejich průsečíkem veďte takovou přímku, která na kružnicích vytíná tětivy, jejichž poměr délek je :. 7. Je dána kružnice k a její dva navzájem kolmé průměry. Sestrojte tětivu kružnice k, kterou dané průměry rozdělí na tři shodné úsečky. 8. Ve vnitřní oblasti kružnice k zvolte bod T. Sestrojte všechny rovnoramenné trojúhelníky ABC vepsané kružnici k, které mají těžiště T. 9. Do daného útvaru vepište aspoň jeden čtverec tak, že všechny jeho vrcholy leží na hranici útvaru a čtverec má s útvarem společnou osu souměrnosti. Je dán: a) rovnoramenný trojúhelník b) kosočtverec c) kruhová výseč d) půlkruh e) kruhová úseč 0. Je dána kružnice k(s;,5) a bod M SM ) =.( Sestrojte všechny tětivy kružnice k, které jdou bodem M a jsou bodem M děleny v poměru : 5. 4