4. EZY NA KUŽELÍCH 4.1. KUŽELOVÁ PLOCHA, KUŽEL
|
|
- Barbora Veselá
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 4. EZY NA KUŽELÍCH 4.1. KUŽELOVÁ PLOCHA, KUŽEL Definice : Je dána kružnice k ležící v rovin a mimo ni bod V. Všechny pímky jdoucí bodem V a protínající kružnici k tvoí kruhovou kuželovou plochu. Tyto pímky se nazývají povrchové pímky, bod V se nazývá vrchol, kružnice k se nazývá ídící kružnice a pímka jdoucí stedem S kružnice k a vrcholem V se nazývá stedná s. Definice : ást prostoru omezená kruhovou válcovou plochou a vrcholem V se nazývá kruhový kužel. Definice : Je li stedná kolmá k rovin, vzniká kolmá kuželová plocha, resp. kolmý kruhový kužel. Kolmá kruhová kuželová plocha mže vzniknout také rotací povrchové pímky p, která není k ose o kolmá a protíná jí v bod V, kolem osy o. Potom se nazývá rotaní kuželová plocha. Podobn kolmý kruhový kužel mže též vzniknout rotací pravoúhlého trojúhelníka kolem jedné své odvsny. Potom se nazývá rotaní kužel. 53
2 Pokud necháme rotovat pravoúhlý trojúhelník SAV s pravým úhlem u vrcholu S, rotací bodu A vznikne podstavná hrana kužele (kružnice k), jednotlivé polohy úseky AV pi rotaci se nazývají strany kužele. Rotací úseky AS se tvoí podstava válce (kruh). Osa rotace je zárove osou válce a délka úseky SV je výška válce v. Bod V se nazývá vrchol. Definice: Rovnostranný kužel je kužel, jehož prmr podstavy se rovná délce jeho strany. Rotací úseky AV získáme pláš kužele. Rozstihneme li jej podél nkteré jeho strany a rozvineme - li jej do roviny, vznikne kruhová výse. Polomr výsee je délka strany válce s a velikost úhlu je urena vztahem : r α = 360 s Pláš spolu s podstavou tvoí povrch kužele. Sí kužele je rozvinutý povrch do roviny. Definice: Rovina procházející vrcholem V kužele se nazývá vrcholová rovina. ezem vrcholové roviny a kužele je trojúhelník. Pi ezech vrcholovou rovinou využíváme toho, že jedním z vrchol ezného trojúhelníka je pímo vrchol jehlanu. Staí tedy najít prsenici podstavy a roviny ezu a zbytek ezu doplnit spojením s vrcholem V. Vrcholové roviny se opt využívá pi hledání prseíku pímky a kuželem. 54
3 4.2. KONSTRUKCE EZ NA KUŽELÍCH QUÉTELETOVA DANDELINOVA VTA Vta : Rotaní kuželová plocha je proata rovinou, která není vrcholová ani kolmá k ose a která s rovinou podstavy rotaní kuželové plochy svírá úhel menší (resp. roven, resp. vtší) než povrchové pímky, protíná kuželovou plochu v elipse (resp. parabole, resp. hyperbole), piemž ohniska ezu jsou dotykové body kulových ploch vepsaných kuželové ploše a dotýkajících se roviny ezu. elipsa > parabola = hyperbola < dkaz : Obdobn jako u ezu na válci. Pro každý typ ezu se dlá zvláš. Parabolický ez : MF = MM, nebo teny z bodu ke kulové ploše jsou stejn dlouhé. V otoení kolem bodu V pejde MM v MM. MM = Md Platí tedy : MF = Md Dokázali jsme, že ezem je množina bod, která mají stejnou vzdálenost od daného bodu a dané pímky, tedy parabola 55
4 Dsledek : Pravoúhlým prmtem eliptického, resp. parabolického, resp. hyperbolického ezu rotaní kuželové plochy do roviny kolmé k ose plochy je elipsa, resp. parabola, resp. hyperbola, jejichž jedním ohniskem je prmt vrcholu kuželové plochy. Pro sestrojování ez na kuželích se dále využívá toho, že kružnice a kuželoseka jsou ve vzájemném vztahu stedové kolineace. STEDOVÁ KOLINEACE MEZI KRUŽNICÍ A KUŽELOSEKOU ÚBŽNÍKY A ÚBŽNICE : Bod U roviny, který ve stedové kolineaci odpovídá nevlastnímu bodu U se nazývá úbžník. Pímka u, která odpovídá nevlastní pímce u se nazývá úbžnice. Úbžnice je zárove množinou všech úbžník a je rovnobžná s osou kolineace, nebo nevlastní pímka a úbžnice mají spolený bod v nevlastním bod osy kolineace. Vta : Ve stedové kolineaci rovinných polí existují dv úbžnice. Orientovaná vzdálenost stedu od jedné z nich je rovna orientované vzdálenosti druhé z nich od osy. 56
5 STEDOVÁ KOLINEACE MEZI KRUŽNICÍ A KUŽELOSEKOU Vta : Stedovým prmt kuželoseky ( i kružnice), jejíž rovina neprochází stedem promítání, je kuželoseka. Vta : Kuželoseka, v níž nevrcholová rovina protne kuželovou plochu, a kružnice podstavy kuželové plochy si odpovídají ve stedové kolineaci. Stedem této kolineace je vrchol kuželové plochy a osou kolineace je prsenice roviny ezu a roviny podstavy. Vta : Teny a sdružené prmry kolineárních kuželoseek si navzájem odpovídají, stedy kuželoseek si ve stedové kolineaci neodpovídají. Vta : Nech kružnici k prvního pole odpovídá ve stedové kolineaci kuželoseka k druhého pole. Tato kuželoseka je elipsou (resp. parabolou, resp. hyperbolou) podle toho, zda úbžnice u prvního pole (pole kružnice k) nemá s kružnicí k žádný spolený bod (resp. má s kružnicí k práv jeden spolený bod, resp. má s kružnicí k dva rzné spolené body). 57
6 Stedová kolineace mezi kružnicí a elipsou Stedová kolineace je zadána osou o a stedem S. Dále je dána kružnice k a úbžnice stejného pole u (ta nesmí mít s kružnicí žádný spolený bod, aby kolineární kuželosekou byla elipsa). Hledáme sdružené prmry elipsy k. Ke kružnici k vedeme teny m a n rovnobžné s osou kolineace o. jejich dotykové body M a N leží na prmru p kružnice, který je kolmý k ose o. Prmru p odpovídá prmr p. Obraz jeho prseíku U s úbžnicí u je nevlastní bod U, prseík s sou o je samodružný bod. Sted O úseky M N je stedem kuželoseky k. Druhý sdružený prmr q prochází bodem O rovnobžn s osou o (teny m a n v bodech M N jsou rovnobžné s osou o, nebo m a n byly rovnobžné s osou o. Pro sdružené prmry elipsy platí: Teny v koncových bodech jednoho prmru jsou rovnobžné s druhým prmrem). K pímce q a bodu O najdeme bod O a pímku q. Její prseíky P a Q s kružnicí k nám urí body P a Q, které omezí druhý sdružený prmr elipsy k. 58
7 Stedová kolineace mezi kružnicí a parabolou Stedová kolineace je zadána osou o a stedem S. Dále je dána kružnice k a úbžnice stejného pole u (ta musí mít s kružnicí spolený práv jeden bod, tedy musí být její tenou, aby kolineární kuželosekou byla parabola). Parabolu budeme sestrojovat lichobžníkovou konstrukcí (viz. vybrané konstrukce paraboly a hyperboly str. 61 ). Proto hledáme libovolné dv teny i s body dotyku paraboly. Staí tedy zvolit dva libovolné body M a N na kružnici k a v nich sestrojit teny m a n. Jejich kolineární obrazy M N m a n nám staí k vyrýsování paraboly podle lichobžníkové konstrukce. Protíná li osa kolineace o kružnici k, je výhodné vzít za body M a N prseíky osy o a kružnice k. 59
8 Stedová kolineace mezi kružnicí a hyperbolou Stedová kolineace je zadána osou o a stedem S. Dále je dána kružnice k a úbžnice stejného pole u (ta musí mít s kružnicí spolené dva body, tedy musí být její senou, aby kolineární kuželosekou byla hyperbola). Sestrojíme body M a N, které jsou prseíky úbžnice u a kružnice k a v nich teny m a n. Tm odpovídají teny m a n s dotykovými body M a N v nekonenu, tedy asymptoty. Osy hyperboly plí úhly asymptot. Hlavní osa je pímka h, její obraz h protne kružnici v bodech A a B, body A a B jsou hlavní vrcholy hyperboly k. Osy hyperboly mžeme sestrojit také pouze z asymptot a jednoho bodu (pokud osa kolineace o protíná kružnici k, máme hned dva takové body X = X a Y = Y ), (viz. : vybrané konstrukce paraboly a hyperboly, str. 62 ) 60
9 VYBRANÉ POUŽITÉ KONSTRUKCE PARABOLY A HYPERBOLY Lichobžníková konstrukce paraboly : Parabola je urena tenami p q s body dotyku P a Q. Hledáme její vrchol a osu. Spojíme body P a Q a stedem jimi urené úseky vedeme pímku o do bodu R (prseíku teen p a q). Pímka o je smrem osy paraboly. Dále body dotyku P a q vedeme rovnobžky m a n s pímkou o. Bodem R vedeme kolmici na o. V jejím prseíku s pímkou m je bod M, v prseíku s pímkou n je bod N. Vzniknul tak lichobžník PQMN. Jeho úhlopíky se protnou v bod V, jež je vrcholem hledané paraboly. Pímka o procházející bodem V rovnobžn s o je osa paraboly. Ohnisko F sestrojíme pomocí ohniskových vlastností paraboly (prseíkem vrcholové teny v a teny q vedeme kolmici k ten q a v jejím prseíku s osou o je ohnisko F). 61
10 konstrukce velikosti hlavní osy hyperboly : Hyperbola je urena asymptotami a jedním svým bodem. Hlavní a vedlejší osa plí úhly asymptot. Bodem K vedeme rovnobžku s hlavní osou. Její prseík s vedlejší osou oznaíme O, prseík s asymptotou oznaíme P. Dále sestrojíme kružnici k (O; OK ). Velikost kolmice sestrojené z bodu P kolmo na hlavní osu je hledaná velikost hlavní poloosy a. Pi konstruování ez na kuželové ploše využíváme jak Quételetovy - Dandelinovy vty, tak jejího dsledku (o kolmém prmtu vrcholu kuželové plochy do ohniska kuželoseky ezu). Dále mžeme využít stedové kolineace mezi podstavnou kružnicí a kuželosekou ezu. Úbžnicí kružnice k, podle které poznáme, o jakou kuželoseku se jedná, je stopa roviny, která je rovnobžná s rovinou ezu a prochází vrcholem kuželové plochy. Pi konstrukcích složitjších ez je poteba využít nkterých speciálních konstrukcí hyperboly a paraboly. 62
11 Píklad 26 : Sestrojte ez daného kužele rovinou a sestrojte sí seíznuté ásti. Popis konstrukce : V náryse vidíme, že rovina svírá s pdorysnou (rovinou podstavy kužele) menší úhel než povrchové pímky, ezem bude elipsa. V náryse se zobrazí do pímky A 2 B 2. Její nárys je rovnobžný se základnicí (poloha spádové pímky), body A 1 B 1 leží na ordinálách. Podle dsledku Quételetovy Dandelinovy vty se vrchol kužele v pdoryse zobrazí do ohniska. Elipsu v pdoryse sestrojíme pomocí ohniskových vlastností. Sí sestrojíme rozdlením podstavné kružnice na dílky a penesením do nárysu. Skutenou velikost povrchových pímek vyteme na povrchové pímce rovnobžné s nárysnou. Skutenou velikost hlavní osy elipsy ezu vidíme v náryse, skutenou velikost vedlejší osy v pdoryse. 63
12 64
13 Píklad 27 : Sestrojte ez daného kužele rovinou. Popis konstrukce : V náryse vidíme, že rovina svírá s pdorysnou (rovinou podstavy kužele) stejný úhel jako povrchové pímky, ezem bude parabola. V náryse se zobrazí do pímky A 2 X 2 =Y 2. Její nárys je rovnobžný se základnicí body A 1 X 1 Y 1 leží na ordinálách. Podle dsledku Quételetovy Dandelinovy vty se vrchol kužele v pdoryse zobrazí do ohniska. Parabolu v pdoryse sestrojíme pomocí ohniskových vlastností. 65
14 Píklad 28 : Sestrojte ez daného kužele rovinou. Popis konstrukce : V náryse vidíme, že rovina svírá s pdorysnou (rovinou podstavy kužele) vtší úhel než povrchové pímky, ezem bude hyperbola. V náryse se zobrazí do polopímek A 2 M 2 =M 2, B 2 N 2 =N 2 Její nárys je rovnobžný se základnicí body A 1 B 1 M 1 M 1 N 2 N 2 leží na ordinálách. Podle dsledku Quételetovy Dandelinovy vty se vrchol kužele v pdoryse zobrazí do ohniska. Zbývá nejít asymptoty. Vedeme rovinu vrcholem V rovnobžnou s rovinou. Ta eže kužel v pímkách a a b, které udávají smr asymptot. Pímky m a n jdoucí stedem hyperboly rovnobžn s pímkami a a b jsou asymptoty hyperboly. Hyperbolu v pdoryse sestrojíme pomocí ohniskových vlastností. 66
15 Píklad 29 : Protnte daný kužel rovinou v elipse. Popis konstrukce : ez sestrojíme pomocí roviny, která prochází osou kužele kolmo k pdorysn i k rovin ezu. Ve sklopení v pdoryse vidíme body A a B ezu, ohnisko se zobrazí opt do vrcholu. V pdoryse elipsu sestrojíme pomocí ohniskových vlastností. Do nárysu peneseme osy elipsy a dorýsujeme ji Rytzovou konstrukcí. Body pechodu viditelnosti pro nárys odvodíme z pdorysu na hlavní pímce druhé osnovy. 67
16 Píklad 30 : Rovina je dána svojí pdorysnou stopou. Urete její nárysnou stopu tak, aby ezem byla parabola a ez sestrojte. Popis konstrukce : Pdorysná stopa roviny, která prochází bodem V a je rovnobžná s rovinou je tenou podstavy rovnobžnou s pdorysnou stopou roviny. Její nárysnou stopu najdeme pomocí hlavní pímky, nárysná stopa roviny je s ní rovnobžná. Pdorys ezu sestrojíme opt pomocí roviny. Nárys sestrojíme pomocí lichobžníkové konstrukce (pomocí teen m a n s body dotyku M a N). Bod pechodu viditelnosti T pro nárys odvodíme z pdorysu na hlavní pímce druhé osnovy. 68
17 Píklad 31 : Protnte daný kužel rovinou. Popis konstrukce : Pomocí roviny, která prochází bodem v rovnobžn s rovinou, zjistíme, že ezem je hyperbola a zárove uríme smry asymptot a 1 b 1 pro pdorys. Zde hyperbolu sestrojíme opt pomocí roviny, která prochází vrcholem V a je kolmá k pdorysn. Ve sklopení najdeme polohu bod A a B. Bod V 1 =F 1, a proto v pdoryse hyperbolu dorýsujeme pomocí ohniskových vlastností. Její asymptoty n 1 a m 1 jsou rovnobžné s pímkami a 1 b 1. Do nárysu peneseme body A, B (ty však nejsou pro nárys hlavními vrcholy) a asymptoty m a n. V náryse hyperbolu dorýsujeme bu pomocí hlavních pímek první osnovy, nebo podle konstrukce na str. 62. Body pechodu viditelnosti pro nárys leží na hlavní pímce druhé osnovy. 69
18 Píklad 32 : Sestrojte ez kužele s podstavou v rovin obsahuje pímku p. vrcholovou rovinou, která Popis konstrukce : Libovolným bodem na pímce p vedeme pímku v, která prochází vrcholem V. Poté hledáme prsenici r roviny a vrcholové roviny urené pímkami p a v metodou krycí pímky (pímky m a n). Prsenice r protne podstavu kužele, zbytek ezu doplníme spojením s vrcholem kužele. 70
19 Píklad 33 : Sestrojte ez daného kužele rovinou. Popis konstrukce : Podle polohy roviny,která je rovnobžná s rovinou a prochází bodem V poznáme, že ezem je elipsa (nemá s podstavnou kružnicí žádný spolený bod). Elipsu v pdoryse sestrojím pomocí konstrukce na str. 58. Sdružené prmry peneseme do nárysu a zde elipsu vyrýsujeme pomocí sdružených prmr (Rytzova konstrukce). Body pechodu viditelnosti TT pro nárys jsou v pdoryse sestrojeny pomocí kolineace. 71
20 Píklad 34 : Protnte daný kužel rovinou v parabole a tento ez sestrojte., která je dána svojí pdorysnou stopou, Popis konstrukce : Rovina,která je rovnobžná s rovinou a prochází bodem V, má svojí pdorysnou stopu rovnobžnou s rovinou a je tenou podstavné kružnice. Parabolu v pdoryse sestrojím pomocí konstrukce na str. 59. V náryse pomocí lichobžníkové konstrukce. Bod pechodu viditelnosti T pro nárys je v pdoryse sestrojen pomocí kolineace. 72
21 Píklad 35 : Sestrojte ez daného kužele rovinou. Popis konstrukce : Podle polohy roviny,která je rovnobžná s rovinou a prochází bodem V, poznáme, že ezem je hyperbola (má s podstavnou kružnicí spolené dva body). Hyperbolu v pdoryse sestrojím pomocí konstrukce na str. 60. V náryse je teba najít velikost hlavní poloosy konstrukcí ze str. 62. Body pechodu viditelnosti TT pro nárys jsou v pdoryse sestrojeny pomocí kolineace. 73
22 5. EZY NA KOULÍCH 5.1. KULOVÁ PLOCHA, KOULE Definice : Množina všech bod v prostoru, které mají od pevného bodu S konstantní vzdálenost r (r > 0) se nazývá kulová plocha. Definice : Množina všech bod v prostoru, které mají od pevného bodu s vzdálenost menší nebo rovnu r (r > 0) se nazývá koule. Také kulovou plochu a kouli lze definovat pomocí rotací Definice : Kulová plocha vzniká rotací plkružnice kolem svého prmru. Definice : Koule vzniká rotací plkruhu kolem svého prmru. Definice : Hlavní kružnice kulové plochy je kružnice, která leží v rovin procházející stedem kulové plochy. Tedy kružnice, které mají s kulovou plochou stejný sted a polomr. Vta : Pravoúhlým prmtem kulové plochy je kružnice. Stedem této kružnice je prmt stedu kulové plochy a polomr se rovná polomru kulové plochy 74
23 Quételetova Dandelinova vta pro kosoúhlý prmt kulové plochy : Kosoúhlým prmtem kulové plochy je elipsa. Sted této elipsy je prmtem stedu kulové plochy, její ohniska jsou prmty krajních bod prmtu kulové plochy, který je kolmý k prmtn. Délka vedlejší poloosy se rovná polomru kulové plochy KONSTRUKCE EZ NA KOULÍCH Vta : ezem kulové plochy libovolnou rovinou je kružnice. Její sted je v prseíku roviny ezu a kolmice vedené ze stedu kolové plochy k rovin ezu. Definice : Hlavní kružnice kulové plochy je kružnice, která leží v rovin procházející stedem kulové plochy. Tedy kružnice, které mají s kulovou plochou stejný sted a polomr. Pi konstruování ez na kouli se používá pomocné roviny kolmé k rovin ezu. 75
24 Píklad 36 : Sestrojte ez dané kulové plochy rovinou. Popis konstrukce : Protože je rovina kolmá k pdorysn, zobrazí se v pdoryse kružnice ezu do úseky A 1 B 1. Do nárysu se kružnice zobrazí jako elipsa s hlavní osou C 2 D 2, kde platí C 2 D 2 = A 1 B 1, a vedlejší osou A 2 B 2. Body TT pechodu viditelnosti pro nárys leží v pdoryse na hlavní pímce druhé osnovy. 76
25 Píklad 37 : Sestrojte ez dané kulové plochy rovinou. Popis konstrukce : Sted O kulové plochy je prseíkem pímky k. která je kolmá k rovin ezu a prochází bodem s, a roviny ezu (získáme ho pomocí krycí pímky m). ez sestrojíme pomocí pomocné tetí prmtny 3, která je kolmá jak k rovin ezu, tak k pdorysn a prochází body S a O. Ve sklopení vidíme polomr elipsy ( (O)(S) ). Do nárysu peneseme body A, B (leží na hlavní pímce první osnovy). Dále známe velikost hlavní osy na hlavní pímce druhé osnovy jdoucí bodem O. V náryse elipsu dorýsujeme pomocí proužkové konstrukce. Body pechodu viditelnosti UU pro pdorys leží na hlavní pímce první osnovy, body TT pro nárys na hlavní pímce druhé osnovy. 77
26 Píklad 38 : Je dána rovina a v ní kružnice. Sestrojte prmt kulové plochy, která obsahuje tuto kružnici a má sted v rovin. Popis konstrukce : Sted S kulové plochy leží na kolmici k k rovinám a, najdeme ho pomocí hlavní pímky. Pokud vedeme pomocnou rovinu 3, která je kolmá jak k rovin ezu, tak k nárysn a prochází body S a O, mžeme ve sklopení urit obraz kulové plochy (Sklopíme body S a O, zadanou kružnici i roviny a. Kulová plocha prochází prseíky kružnice s rovinou.). Polomr ve sklopení se zobrazí ve skutené velikosti. 78
Definice : Jsou li povrchové pímky kolmé k rovin, vzniká kolmá kruhová válcová plocha a pomocí roviny také kolmý kruhový válec.
3. EZY NA VÁLCÍCH 3.1. VÁLCOVÁ PLOCHA, VÁLEC Definice : Je dána kružnice k ležící v rovin a pímka a rznobžná s rovinou. Všechny pímky rovnobžné s pímkou a protínající kružnici k tvoí kruhovou válcovou
Více2. EZY NA JEHLANECH. Píklad 47 : Sestrojte ez pravidelného tybokého jehlanu ABCDV rovinou.
2. EZY NA JEHLANECH Píklad 47 : Sestrojte ez pravidelného tybokého jehlanu ABCDV rovinou. Popis konstrukce : Podobn jako u píkladu 41 je výhodné proložit nkterými dvma hranami jehlanu rovinu kolmou k pdorysn.
VícePr niky ploch a t les
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 RONÍKOVÁ PRÁCE Prniky ploch a tles Vypracoval: Tomáš Martínek ída: 4.C Školní rok: 2013/2014 Seminá: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem svou
VíceMONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část
MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE PLOCHY A OBLÁ TĚLESA V KOSOÚHLÉM PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY DIPLOMOVÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok
VíceKapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
Vícepůdorysu; pro každý bod X v prostoru je tedy sestrojen pouze jeho nárys X 2 a pro jeho
Řešené úlohy Rotační paraboloid v kolmém promítání na nárysnu Příklad: V kolmém promítání na nárysnu sestrojte tečnou rovinu τ v bodě A rotačního paraboloidu, který má ohnisko F a svislou osu o, F o, rotace;
VíceMONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím
část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po
VíceRozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou
Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří
VíceKlíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha.
Abstrakt Tento text je určen všem zájemcům z řad široké veřejnosti, především jako studijní materiál pro studenty Konstruktivní a počítačové geometrie. Práce pojednává o rotačních kvadratických plochách,
VíceCyklografie. Cyklický průmět bodu
Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE Diplomová práce Řezy rotačních těles v projekcích Vedoucí diplomové práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok odevzdání:
Více! " # $ % # & ' ( ) * + ), -
! " # $ % # & ' ( ) * + ), - INDIVIDUÁLNÍ VÝUKA MATEMATIKA METODIKA Kuželosek Mgr. Petra Dunovská bezen 9 Obtížnost této kapitol matematik je dána tím, že se pi výkladu i ešení úloh komplexn vužívají vdomosti
VíceJe-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:
Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme
VícePŘÍMKOVÉ PLOCHY. Přednáška DG2*A
PŘÍMKOVÉ PLOCHY Přednáška DG*A PŘÍMKOVÉ PLOCHY = plocha, jejímž každým bodem prochází alespoň jedna přímka plochy. Každá přímková plocha je určena třemi řídícími křivkami, příp. plochami. p k k k 3 Je-li
Více8. Deskriptivní geometrie
8. Deskriptivní geometrie 337 Volitelný pedmt - dvouletý Vzdlávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdlávací obor: Matematika a její aplikace Vyuovací pedmt: Deskriptivní geometrie 1. Charakteristika
VíceDalší servery s elektronickým obsahem
Právní upozornění Všechna práva vyhrazena. Žádná část této tištěné či elektronické knihy nesmí být reprodukována a šířena v papírové, elektronické či jiné podobě bez předchozího písemného souhlasu nakladatele.
VíceDefinice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost
Kuželosečky Kružnice Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost (poloměr r).?! Co získáme, když v definici výraz stejnou nahradíme stejnou nebo
VíceMONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]
ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten MONGEOVO PROMÍTÁNÍ π 1... půdorysna π 2... nárysna x... osa x (průsečnice průměten) sdružení průměten A 1... první průmět bodu A A 2... druhý průmět bodu A ZOBRAZENÍ
VíceDeskriptivní geometrie 2
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl II Světlana Tomiczková Plzeň 4. května 2011 verze 1.0 Obsah 1 Středové promítání
Více0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.
strana 9 3.1a Sestrojte sdružené průměty stopníků přímek a = AB, b = CD, c = EF. A [-2, 5, 1], B [3/2, 2, 5], C [3, 7, 4], D [5, 2, 4], E [-5, 3, 3], F [-5, 3, 6]. 3.1b Určete parametrické vyjádření přímek
VíceŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní
VíceAXONOMETRIE - 2. část
AXONOMETRIE - 2. část Průmět přímky K určení přímky stačí její dva libovolné průměty, zpravidla používáme axonometrický průmět a půdorys. Bod ležící na přímce se zobrazí do bodu na přímce v každém průmětu.
VíceKonstruktivní geometrie PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU
Konstruktivní geometrie & technické kreslení PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
Více1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem
Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed
VíceVyužití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika. Bítov Blok 1: Kinematika
Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika Bítov 13.-17.8.2012 Blok 1: Kinematika Pro lepší orientaci v obrázku je vhodné umísťovat. Nabízí se dvě rychlé varianty. Buď pomocí příkazu
VíceBA008 Konstruktivní geometrie. Kolmá axonometrie. pro kombinované studium. učebna Z240 letní semestr
BA008 Konstruktivní geometrie pro kombinované studium Kolmá axonometrie Jan Šafařík Jana Slaběňáková přednášková skupina P-BK1VS1 učebna Z240 letní semestr 2016-2017 31. března 2017 Základní literatura
VíceDeskriptivní geometrie pro střední školy
Deskriptivní geometrie pro střední školy. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz Deskriptivní geometrie Díl Deskriptivní geometrie,. díl Mgr. Ivona Spurná Jazyková úprava:
VíceDeg2-Kvadriky. Světlana Tomiczková
KMA FAV ZČU Plzeň 18. března 2016 Kvadriky Rotační kvadriky singulární (vzniknou rotací singulární kuželosečky) a) rotační válcová plocha x2 + y2 = 1 a 2 a 2 b) rotační kuželová plocha x2 + y2 z2 = 0 a
VíceZadání domácích úkolů a zápočtových písemek
Konstruktivní geometrie (KG-L) Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Sestrojte elipsu, je-li dáno a = 5cm a b = 3cm. V libovolném bodě sestrojte její tečnu. Tento úkol je na krásu, tj. udělejte oskulační
VíceGymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem
VíceElementární plochy-základní pojmy
-základní pojmy Kulová plocha je množina bodů v prostoru, které mají od pevného bodu S stejnou vzdálenost r. Hranolová plocha je určena lomenou čarou k (k σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s σ),
VíceP R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,
P R O M Í T Á N Í Promítání je zobrazení prostorového útvaru do roviny. Je určeno průmětnou a směrem (rovnoběžné) nebo středem (středové) promítání. Princip rovnoběžného promítání rovina π - průmětna vektor
Více5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ
5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na
VícePracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ
Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich
VíceKRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI
KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení
VíceŠroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem
Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................
VíceBAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Řešené úlohy v axonometrii. UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Přírodovědecká fakulta Katedra algebry a geometrie BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Řešené úlohy v axonometrii Vypracovala: Barbora Bartošová M-DG, III. ročník Vedoucí práce: RNDr. Miloslava
VíceDESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta. ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) ---
DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE - elektronická skripta ŘEZY HRANOLŮ A JEHLANŮ V MONGEOVĚ PROMÍTÁNÍ (sada řešených příkladů) --- PŘÍKLA: A4 na výšku, O [10,5; 9,5] Pravidelný šestiboký hranol má podstavu v půdorysně
VícePravoúhlá axonometrie
Pravoúhlá axonometrie bod, přímka, rovina, bod v rovině, trojúhelník v rovině, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou, čtverec v půdorysně, kružnice v půdorysně V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou
VíceDESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze:
DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA Mgr. Ondřej Machů --- Pracovní verze: 6. 10. 2014 --- Obsah Úvodní slovo... - 3-1 Základy promítacích metod... - 4-1.1 Rovnoběžné promítání...
VíceDeskriptivní geometrie 1
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 1 Pomocný učební text 1. část Světlana Tomiczková Plzeň 2. října 2006 verze 2.0 Předmluva Tento pomocný
VíceL I C H O B Ž N Í K (2 HODINY) ? Co to vlastn lichobžník je? Podívej se napíklad na následující obrázky:
L I C H O B Ž N Í K (2 HODINY)? Co to vlastn lichobžník je? Podívej se napíklad na následující obrázky: Na obrázcích je vyobrazena hospodáská budova a židlika, kterou urit mají tvoji rodie na chodb nebo
VíceZákladní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1
Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu
VíceObrázek 34: Vznik středové kolineace
6 Středová kolineace Jak naznačuje Obr. 34, středová kolineace (se středem S), jako vzájemně jednoznačné zobrazení Ē 2 na sebe, je výsledkem středového průmětu (se středem S ) středového promítání (se
VíceKonstruktivní geometrie
Konstruktivní geometrie Elipsa Úloha 1: Najděte bod M takový, aby součet jeho vzdáleností od bodů F 1 a F 2 byl 12cm; tj. F 1 M+F 2 M=12. Najděte více takových bodů. Konstruktivní geometrie Elipsa Oskulační
VíceAXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.
AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna
VíceZobrazení hranolu. Příklad 5: Sestrojte řez pravidelného šestibokého hranolu s podstavou v půdorysně rovinou ρ. Sestrojte síť seříznuté části.
Zobrazení hranolu Příklad 1: Zobrazte pravidelný pětiboký hranol s podstavou v půdorysně π. Podstava je dána středem S a vrcholem A. Výška hranolu je v. Určete zbývající průmět bodu M pláště hranolu. 1
VíceKuželoseč ky. 1.1 Elipsa
Kuželoseč ky 1.1 Elipsa Definice: Elipsa je množina všech bodů v 2, které mají od dvou pevných (různých) bodů v 2, zvaných ohniska (značíme F 1, F 2 ), stálý součet vzdáleností rovný 2a, který je větší
VíceDeskriptivní geometrie 1
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 1 Pomocný učební text 1. část Světlana Tomiczková Plzeň 22. září 2009 verze 3.0 Předmluva Tento pomocný
VíceMongeovo zobrazení. Řez jehlanu
Mongeovo zobrazení Řez jehlanu Středová kolineace Středová kolineace Definice Geometrická příbuznost mezi útvary dvou rovin (různých nebo totožných) splňující následující podmínky Středová kolineace Definice
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě
MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA DIPLOMOVÁ PRÁCE Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě BRNO 2006 BLANKA MORÁVKOVÁ Prohlášení: Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracovala
VíceRELIÉF. Reliéf bodu. Pro bod ležící na s splynou přímky H A 2 a SA a reliéf není tímto určen.
RELIÉF Lineární (plošná) perspektiva ne vždy vyhovuje pro zobrazování daných předmětů. Například obraz, namalovaný s osvětlením zleva a umístěný tak, že je osvětlený zprava, se v tomto pohledu "nemodeluje",
VíceKonstruktivní geometrie - LI. Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44
Kótované promítání Konstruktivní geometrie - LI Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání 1 / 44 Obsah 1 Polohové úlohy 2 Spád přímky a roviny Konstruktivní geometrie - LI () Kótované promítání
VíceKuželosečky. Klasické definice. Základní vlastnosti. Alča Skálová
Kuželosečky Alča Skálová Klasické definice Elipsa je množina všech bodů v rovině, majících od dvou pevně daných různých bodů E, F(ohnisek)konstantnísoučetvzdáleností2a,kde2a > EF =2e. Parabola je množina
VíceM N O Ž I N Y B O D D A N É V L A S T N O S T I V R O V I N 3 HODINY
M N O Ž I N Y B O D D A N É V L A S T N O S T I V R O V I N 3 HODINY V této kapitole se budeme zabývat množinami (skupinami) bod, které spojuje njaká spolená vlastnost. Tato vlastnost je pro všechny body
VíceROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou
ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.
VíceMongeova projekce - úlohy polohy
Mongeova projekce - úlohy polohy Mgr. František Červenka VŠB-Technická univerzita Ostrava 16. 2. 2010 Mgr. František Červenka (VŠB-TUO) Mongeova projekce - úlohy polohy 16. 2. 2010 1 / 14 osnova 1 Mongeova
VíceOBECNÉ ROTAČNÍ PLOCHY
OBECNÉ ROTAČNÍ PLOCHY 1. Základní konstrukce na rotačních plochách, tečné roviny a řezy rotačních ploch. Rotační plochy vznikají rotačním pohybem kolem osy. Máme-li v prostoru dánu přímku o a orientovaný
VíceZápadočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 11. září 2006 verze 4.0 Předmluva
VícePrùniky tìles v rùzných projekcích
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PØÍRODOVÌDECKÁ FAKULTA Katedra algebry a geometrie Prùniky tìles v rùzných projekcích Bakalářská práce Vedoucí práce: RNDr. Lenka Juklová, Ph.D. Rok odevzdání: 2010 Vypracoval:
Více10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod
10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10.1. Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y 2 + 7 = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x 2 + 10x + y 2 18 = 0, d) (x 10)
Vícetečen a osu o π, V o; plochu omezte hranou vratu a půdorysnou a proved te rozvinutí
Řešené úlohy Rozvinutelná šroubová plocha v Mongeově promítání Příklad: V Mongeově promítání zobrazte půl závitu rozvinutelné šroubové plochy, jejíž hranou vratu je pravotočivá šroubovice, která prochází
VíceDalší plochy technické praxe
Další plochy technické praxe Dosud studované plochy mají široké využití jak ve stavební tak ve strojnické praxi. Studovali jsme možnosti jejich konstrukcí, vlastností i využití v praxi. Kromě těchto ploch
Víceprostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného
Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDĚCKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE KOSOÚHLÉ PROMÍTÁNÍ DO PŮDORYSNY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vedoucí práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok odevzdání: 2012 Vypracovala:
VíceŘez jehlanu. Mongeovo promítání. Pravidelný šestiboký jehlan o výšce v má podstavu ABCDEF v půdorysně. Zobrazte řez jehlanu rovinou σ.
Řez jehlanu Mongeovo promítání Pravidelný šestiboký jehlan o výšce v má podstavu ABCDEF v půdorysně. Zobrazte řez jehlanu rovinou σ. A[ 3; 1; 0], B[0; 2; 0], y C > y B, v = 8cm, σ(4; 7; 3) B 2 A 2 Vyneseme
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
VíceDeskriptivní geometrie II.
Střední průmyslová škola elektrotechnická a Vyšší odborná škola Pardubice, Karla IV. 13 Deskriptivní geometrie II. Ing. Rudolf Rožec Pardubice 2001 Skripta jsou určena pro předmět deskriptivní geometrie
VíceROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy
ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího
VícePerspektiva. Doplňkový text k úvodnímu cvičení z perspektivy. Obsahuje: zobrazení kružnice v základní rovině metodou osmi tečen
Perspektiva Doplňkový text k úvodnímu cvičení z perspektivy Obsahuje: úvodní pojmy určení skutečné velikosti úsečky zadané v různých polohách zobrazení kružnice v základní rovině metodou osmi tečen 1 Příklad
VíceDůkazy vybraných geometrických konstrukcí
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie
VíceDefinice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,
5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu
VíceDeskriptivní geometrie pro střední školy
Deskriptivní geometrie pro střední školy Mongeovo promítání 1. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz Obsah TEMATICKÉ ROZDĚLENÍ DÍLŮ KNIHY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE 1. díl
VíceO P A K O V Á N Í A P R O H L O U B E N Í U I V A O J E D N O D U C H Ý C H K O N S T R U K C Í C H 1,5 HODINY
O P A K O V Á N Í A P R O H L O U B E N Í U I V A O J E D N O D U C H Ý C H K O N S T R U K C Í C H 1,5 HODINY Díve, než spolen pikroíme k uivu o množinách bod, pokusíme se zopakovat nkteré jednoduché
VíceZobrazení a řezy těles v Mongeově promítání
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky Michaela Sukupová 3. ročník prezenční studium Obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání a český jazyk se zaměřením na vzdělávání
VíceJAK NA HYPERBOLU S GEOGEBROU
Trendy ve vzdělávání 015 JAK NA HYPERBOLU S GEOGEBROU KRIEG Jaroslav, CZ Resumé Článek ukazuje, jak pomocí GeoGebry snadno řešit úlohy, které vedou na konstrukci hyperboly, případně jak lehce zkonstruovat
VíceZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Zpracovala: Kristýna Rožánková FA ČVUT 2011 ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY Zborcené přímkové plochy jsou určeny třemi křivkami k, l, m, které neleží na jedné rozvinutelné
Více2 OSOVÁ AFINITA V ROVINĚ 37
Kuželosečky Obsah 1 OHNISKOVÉ VLASTNOSTI KUŽELOSEČEK 5 1.1 Úvod..................................... 5 1.2 Elipsa.................................... 9 1.2.1 Ohniskové vlastnosti elipsy.....................
VíceZápadočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie. Pomocný učební text. František Ježek, Světlana Tomiczková
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň 20. září 2004 verze 2.0 Předmluva Tento pomocný text
Více5 Kuželosečky ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 5 Kuželosečky
5 Kuželosečky S kuželosečkami jsme se seznámili již na střední škole. Těchto středoškolských znalostí jsme již využili i v několika příkladech v předchozím textu. V této kapitole své znalosti prohloubíme
VíceDRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI 1 HODINA
DRUHY ROVNOBŽNÍK A JEJICH VLASTNOSTI HODINA Podívej se na následující obrázek: Na obrázku je rovnobžník s vyznaeným pravým úhlem. Odpovídej na otázky:? Jaká je velikost vnitního úhlu pi vrcholu C? Je rovna
VíceAnalytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,
Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží
Více3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru
3.MONGEOVO PROMÍTÁNÍ A B E 3 E 2 Rovnoběžný průmět 3D těles na rovinu není vzájemně jednoznačné zobrazení, k obrazu neumíme jednoznačně určit objekt v prostoru 3.1.Kartézský souřadnicový systém O počátek
VíceR O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)
R O V N O B Ž N Í K (2 HODINY)? Co to vlastn rovnobžník je? Na obrázku je dopravní znaka, která íká, že vzdálenost k železninímu pejezdu je 1 m (dva pruhy, jeden pruh pedstavuje vzdálenost 80 m): Pozorn
VíceKatedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Plzeň 1. února 2009 verze 6.0
Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 1. února 2009 verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie
VíceKARTOGRAFIE. Rovinné projekce. Gnómické projekce. 1. Pólová gnómonická projekce
KARTOGRAFIE Kartografie se zabývá zobrazováním zemského povrchu. Zemský povrch (geoid) nahrazujeme plochou kulovou a tu zobrazujeme. Délky zmenšujeme v daném měřítku. Na kulové ploše zavádíme souřadný
VíceGymnázium, Brno, Elgartova 3
Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma: Analytická geometrie
Více[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]
Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.
VíceKonstruktivní geometrie
Mgr. Miroslava Tihlaříková, Ph.D. Konstruktivní geometrie & technické kreslení Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny
VíceObsah a průběh zkoušky 1PG
Obsah a průběh zkoušky PG Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Písemná část (cca 6 minut) dvě konstrukční úlohy dle části po. bodech a jedna úloha výpočetní úloha dle části za bodů. Ústní část jedna
VíceJihoeská univerzita v eských Budjovicích Pedagogická fakulta
Jihoeská univerzita v eských Budjovicích Pedagogická fakulta Konstrukní úlohy ešené pomocí Cabri geometrie Miroslava Lutzová Finanní matematika 2001-2004 Vedoucí diplomové práce: Mgr. Pavel Leischner Most,
VícePravoúhlá axonometrie - řezy hranatých těles
Pravoúhlá axonometrie - řezy hranatých těles KG - L MENDELU KG - L (MENDELU) Pravoúhlá axonometrie - řezy hranatých těles 1 / 1 Příklad (Řez šikmého hranolu) Sestrojte řez šikmého čtyřbokého hranolu ABCDA
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI. Bakaláská práce. Analytická geometrie kuželoseek
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky Bakaláská práce Martin Krbec, DiS. Analytická geometrie kuželoseek Olomouc 2013 vedoucí práce: Mgr. David Nocar, Ph.D. Prohlášení
VíceMendelova univerzita. Konstruktivní geometrie
Mendelova univerzita Petr Liška Konstruktivní geometrie rno 2014 Tato publikace vznikla za přispění Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu ČR prostřednictvím Operačního programu Vzdělávání pro
VíceGymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické osvětlení
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické osvětlení Vypracoval: Martin Hanuš Třída: 8.M Školní rok: 2015/2016 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem ročníkovou
VíceDeskriptivní geometrie AD7 AD8
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Deskriptivní geometrie AD7 AD8 Kombinované studium Jan Šafařík Pavel Hon Brno c 2003 2004 Test č. 1 1 Deskriptivní
VíceKreslení, rýsování. Zobrazení A B. Promítání E 3 E 2
Kreslení, rýsování Zobrazení A B Promítání E 3 E 2 1 Promítání lineární 1. Obrazem bodu je bod 2. Obrazem přímky je přímka (nebo bod) 3. Obrazem roviny je rovina (nebo přímka) Nelineární perspektivy: válcová...
VíceO rovinných konstrukcích odvozených z prostorových útvarů
O rovinných konstrukcích odvozených z prostorových útvarů 3. Řešení úloh o kuželosečkách prostorovými vztahy In: Josef Holubář (author): O rovinných konstrukcích odvozených z prostorových útvarů. (Czech).
VíceDeskriptivní geometrie
Deskriptivní geometrie Stavebnictví RNDr. Milan Vacka 2013 České Budějovice 1 Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora studentů se specifickými vzdělávacími potřebami na Vysoké
Více