16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

Transkript

1 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost, CZ 1.5 Název šablony klíčové aktivity Číslo šablony, sady a materiálu Vzdělávací oblast dle RVP Tematický celek dle ŠVP Předmět, obor, ročník Anotace III/2 Zvyšování kvality výuky prostřednictvím ICT VY_32_INOVACE_10_01_16 Matematika Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Matematika, Obráběč kovů, Strojní mechanik, Opravář zemědělských stojů, 1. ročník Pracovní list názorně seznamuje žáky se základními vlastnostmi trojúhelníku, uvádí rozdělení trojúhelníků a jejich základní prvky. Pomáhá zvládat základní konstrukční úlohy. Realizátorem tohoto projektu je Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

2 Trojúhelník vlastnosti rozdělení Trojúhelník je rovinný obrazec ohraničený třemi úsečkami. Označení ABC Popis trojúhelníku: body ABC jsou vrcholy trojúhelníku úsečky AB = c; BC = a; AC = b jsou strany trojúhelníku vnitřní úhly = BAC = ABC = ACB vnější úhly strana 2

3 Vlastnosti trojúhelníku: Součet dvou stran trojúhelníku musí být větší než strana třetí a + b > c Proti větší (menší) straně trojúhelníku leží větší (menší) úhel trojúhelníku je-li a > b; je > je-li a < b; je < je-li a = b; je = Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je = 180 Součet vnějších úhlů trojúhelníku je = 360 Vnější úhel trojúhelníku se rovná součtu zbývajících vnitřních úhlů = + = + = + V trojúhelníku je nejvýše jeden úhel pravý, nebo tupý Rozdělení trojúhelníků: Podle úhlů ostroúhlý všechny úhly ostré pravoúhlý jeden úhel pravý tupoúhlý jeden úhel tupý Podle stran rovnostranný - všechny strany stejné délky rovnoramenný dvě ramena stejné délky obecný nemá žádnou shodnou stranu strana 3

4 Příklady: 1. V trojúhelníku jsou dány dva úhly. Urči velikost třetího úhlu a druh trojúhelníku. a) 115 ; b) 45 ; 45 c) 35 ; 55 d) ; 40 e) 30 ; 60 f) 45 ; Rovnoramenný trojúhelník má velikost úhlu u vrcholu C = 70 ; určete velikost zbývajících úhlů 3. V trojúhelníku ABC je dán úhel = 50 a vnější úhel = 115 ; určete zbývající vnitřní a vnější úhly trojúhelníku a která strana je nejkratší 4. Rozhodněte, zda existuje trojúhelník je-li dáno a) a = 24 cm; b = 28 cm; c = 56 cm b) a = 22 cm; b = 20 cm; obvod = 48 cm c) a = 20 cm; b = 7 cm; obvod= 35 cm 5. Určete velikosti úhlů v trojúhelníku jsou-li v poměru 4 : 5 : 6 Řšení: 1. a) tupoúhlý; b) 90 pravoúhlý; c) 90 pravoúhlý; d) ostroúhlý; e) 90 pravoúhlý; f) ostroúhlý; 2. = 55 ; = = 65 ; = 115 ; = 65 ; = 130 ; 4. a) není pravoúhlý; b) není pravoúhlý; c) není pravoúhlý; ; 60 ; 72 ; Prvky trojúhelníku, konstrukční úlohy Pro pochopení konstrukčních úloh, je třeba abychom se seznámili se základními prvky trojúhelníku. Výška trojúhelníku Kolmice spuštěná z vrcholu na protilehlou stranu Označení v a; v b ; v c Výšky se protínají v průsečíku V strana 4

5 Střední příčky trojúhelníku Spojují středy protějších stran trojúhelníku, jsou rovnoběžné s protilehlými stranami a mají jejich poloviční délku Těžnice Spojnice vrcholu trojúhelníku a středu protější strany. Průsečík těžnic se nazývá těžiště T a dělí těžnici v poměru 2 : 1; od středu strany 1 díl a od těžiště k vrcholu 3 díly Označení t a ; t b ; t c strana 5

6 Kružnice trojúhelníku vepsaná Střed kružnice je dán průsečíkem os úhlů trojúhelníka Kružnice trojúhelníku opsaná Střed je dán průsečíkem os stran trojúhelníka strana 6

7 Úloha Do trojúhelníku, který je dán rozměry: a = 4 cm; b = 5 cm; c = 6cm sestrojte výšky, těžnice, střední příčky, kružnici opsanou a vepsanou Konstrukční úlohy Postup při konstrukčních úlohách provedeme náčrt úlohy, ve které stanovíme co je dáno provedeme rozbor úlohy - stanovíme postup řešení provedeme konstrukci Příklady 1. Sestrojte trojúhelník, kde je dáno b = 5,7 cm; c = 4,8 cm; = 42 C a a b A c B strana 7

8 Rozbor sestrojíme stranu b, v bodu A naměříme úhel a narýsujeme polopřímku. Z bodu B na polopřímku naneseme vzdálenost strany a v průsečíku získáme bod C sestrojte 2. Sestrojte trojúhelník: c = 7,2 cm; = 43 ; = 59 C A c B Rozbor sestrojíme stranu c; v bodu A naneseme úhel ; sestrojíme polopřímku, v bodu B naneseme úhel ; sestrojíme polopřímku. V průsečíku polopřímek získáváme bod C sestrojte 3. Sestrojte trojúhelník c = 6 cm; v c = 3,5 cm; t c = 4 cm C v c t c A c B Rozbor sestrojíme stranu c; k ní sestrojíme rovnoběžku ve vzdálenosti výšky v c ; ze středu strany C naneseme vzdálenost těžnice t c na rovnoběžku a v průsečíku získáme bod C sestrojte strana 8

9 Použitá literatura: CALDA, Emil: Matematika pro dvouleté a tříleté obory středních odborných učilišť, 1. díl, 2. upravené vydání Nakladatelství Prometheus, Praha s HUDCOVÁ, Milada; KUBIČÍKOVÁ, Libuše: Sbírka úloh z matematiky pro střední odborná učiliště a střední odborné školy, 1. Vydání Nakladatelství Prometheus, Praha 2001 s FUCHS, Eduard; BINTEROVÁ, Helena a kolektiv: Standardy a testové úlohy z matematiky pro střední odborná učiliště, 1. Vydání Nakladatelství Prometheus Praha 2004 s.26 strana 9