Planimetrické a stereometrické vzorce

Transkript

1 Gymnázium Ivn Olbrcht v Semilech Plnimetrické stereometrické vzorce Mtemtik Mgr. Mrtin Krjíc Jroslv Grof 24 strn 3. ročník

2 Obsh Obsh... 1 Seznm použitých zkrtek Úvod Plnimetrické vzorce Pythgorov vět Trojúhelníky Prvoúhlý trojúhelník Rovnormenný trojúhelník Rovnostrnný trojúhelník Obecný trojúhelník Čtyřúhelníky Čtverec Kosočtverec Obdélník Kosodélník Lichoběžník Prvidelné n-úhelníky Kruh, kružnice Kruhová výseč Stereometrické vzorce Skupin Krychle Kvádr N-boké hrnoly Válec Skupin Čtyřboký jehln Kužel Čtyřboký komolý jehln Komolý kužel Koule Závěr Seznm litertury

3 Seznm použitých zkrtek α, β, γ úhly, b, c strny trojúhelníků, hrny těles A, B, C vrcholy obrzců těles h výšk těles d průměr kruhu n neurčité poslední číslo o obvod obrzce o p r S S p u v V obvod podstvy poloměr kruhu obsh obrzce, povrch těles obsh podstvy úhlopříčk obrzce výšk obrzce objem těles 2

4 1. Úvod Zvoní. Učitel mtemtiky vstupuje do třídy. Dnes máme n progrmu hodiny komolý jehln. Profesor npíše n tbuli vzoreček pro výpočet povrchu objemu. Zdává příkld. Počítáme. Tto mnohé dlší situce mě přiměly ponořit se hlouběji do vzorečků v mtemtice. Kde se vzly? Od čeho jsou odvozeny? Jk jsme se k nim dostli? Chápu, že učitel nemá v hodině prostor vysvětlovt zrod kždého vzorečku, jednk z čsových důvodů, jednk kvůli náročnosti učiv. A tk jsem se rozhodl zjistit to sám. Následujících dvcet strn jsem zsvětil svým myšlenkovým pochodům při vlstním odvozování vzorců pro výpočty v mtemtice, převážně plnimetrii stereometrii. Chtěl bych dokázt, že průměrný středoškolský student je schopen si většinu těchto vzorců odvodit tudíž není nucen si kždý pmtovt. Učení vzorců nzpměť je totiž velmi zrádné, stčí mlé odchýlení hned je z objemu kvádru obvod trojúhelníku. 3

5 Odvozování mých vzorců je postveno n třech xiomech: 1) obvod je dán součtem délek všech strn 2) obsh obdélník je dán součinem délek dvou jeho různých strn (obsh čtverce o strně 1j je 1j 2 ) 3) objem kvádru je dán součinem délek třech jeho různých strn (objem krychle o strně 1j je 1j 3 ) 4

6 2. Plnimetrické vzorce 2.1 Pythgorov vět Velmi nezbytná vět, používná nejen v geometrii. S jejím využitím jsem se setkl i ve fyzice to při výpočtech, které n první pohled s trojúhelníkem vůbec nesouvisí. Pojednává o vzthu délek v prvoúhlém trojúhelníku. První odvození důkz této věty nám poskytl již v 6. století př. n. l. velmi slvný filosof, stronom mtemtik Pythgors ze Smu. [1] Od té doby počet důkzů vzrostl ž nd 300. [2] Obsh čtverce sestrojeného nd přeponou prvoúhlého rovinného trojúhelníku je roven součtu obshů čtverců sestrojených nd jeho odvěsnmi. Tento čtverec je rozdělen n jeden menší čtverec čtyři shodné prvoúhlé trojúhelníky. Uprvením rozdílných vyjádření obshu téhož obrzce v rovnosti dostáváme výsledný vzorec: b b c c (Viz 2.2 Trojúhelníky n strně Čtverec n strně 9.) b c c b 5

7 2.2 Trojúhelníky Prvoúhlý trojúhelník Vzorec pro obvod (z definice obvodu): Při počítání obshu využijeme prvého úhlu. Pokud totiž položíme dv shodné prvoúhlé trojúhelníky k sobě, dostáváme obdélník. Pro výpočet tedy dělíme dvěm obsh tohoto obdélníku. b (Pro výpočet délek strn lze použít Pythgorov vět. Viz 2.1 Pythgorov vět n strně 4. Pro výpočet obshu obdélníku viz Obdélník n strně 10.) Rovnormenný trojúhelník Trojúhelník, který má dvě strny stejně dlouhé, odlišně od strny třetí. Z toho tedy vyplývá, že má stejné i dv úhly, odlišně od úhlu třetího. Vzorec pro obvod lze z definičního vzthu zkrátit: Rozdělením rovnormenného trojúhelníku získáme dv shodné prvoúhlé trojúhelníky. Vzorec pro obsh lze proto zpst: β (Doplněním rovnoběžek k zákldně výšce získáváme obdélník s dvojnásobným obshem.) v b α 6

8 Je všk velmi čstým jevem, že neznáme výšku. Pokud známe strny (, b), lze vzorec pouprvit pomocí Pythgorovy věty. Pokud známe strnu úhel, můžeme si pomocí goniometrických funkcí spočítt výšku dosdit do předchozích vzorečků: Rovnostrnný trojúhelník Má všechny strny stejně dlouhé tudíž i všechny úhly vždy stejně velké (60 ). Vzorec pro obvod lze tedy zkrátit: Obsh vypočteme obdobně jko u předchozích trojúhelníků: (Součin zákldny výšky nám dá obdélník s dvojnásobným obshem než má trojúhelník, proto dělíme dvěm.) v 60 Pokud neznáme výšku, lze vzorec uprvit opět pomocí goniometrických funkcí: 7

9 2.2.4 Obecný trojúhelník Trojúhelník, který nelze zřdit do žádné z konkrétních skupin. Nelze n něj tedy upltnit žádný z výše uvedených vzorců. Obvod (vychází z definice): Obsh lze spočítt, pokud známe strnu výšku n ni kolmou. Jejich součinem opět vzniká obdélník s dvojnásobným obshem. Proto dělíme dvěm. c v b α Pokud si výšku vyjádřím goniometrickou funkcí, dostávám známější zápis vzorečku: 8

10 2.3 Čtyřúhelníky Čtverec Má čtyři strny, vždy dvě dvojice strn jsou nvzájem kolmé nebo rovnoběžné. Jeho úhlopříčky jsou stejně dlouhé, kolmé nvzájem se půlí. Vše vychází z definice: u u Pokud známe úhlopříčku čtverce, lze jeho obsh spočítt (Velký čtverec má 8 mlých trojúhelníků, mlý čtyři. Proto tedy dělíme dvěm.) Kosočtverec Sešlápnutý čtverec. Má všechny strny stejně dlouhé vždy dv protější úhly jsou stejné, různé od úhlu prvého. Jeho úhlopříčky jsou nvzájem kolmé, půlí úhly i sebe smé vzájemně. Vzorec pro obvod vychází z definice: Obsh lze spočítt pomocí úhlopříček jko u čtverce. Jejich součinem získáváme obdélník s dvojnásobným obshem. α v u 2 u 1 β Součinem zákldny výšky získáme obsh obdélníku, kterému n jedné strně do kosočtverce část chybí, le n strně druhé mu ttáž část přebývá, proto má obsh stejný. 9

11 Pokud délky některých úseček neznáme, můžeme je dopočítt přes jeden z úhlů pomocí goniometrických funkcí Obdélník Protější strny jsou rovnoběžné stejně dlouhé. Jeho úhlopříčky jsou stejně dlouhé nvzájem se půlí. Obvod lze z definičního vzthu zkrátit: b u Obsh vychází z definice: Kosodélník Sešlápnutý obdélník. Má vždy dvě protější strny i úhly stejně velké. Jeho úhlopříčky se vzájemně půlí. Obvod lze z definičního vzthu zkrátit: b α v u 2 u 1 β Obsh lze odvodit stejně jko u kosočtverce. Součinem zákldny její výšky získáváme obdélník s obshem stejným, jko má dný kosodélník. funkce. Pokud neznáme některé z délek, můžeme si je opět dopočítt přes goniometrické 10

12 2.3.5 Lichoběžník Má jednu dvojici protějších strn rovnoběžnou. Obvod vychází z definice: Pro vypočítání obshu si dopomůžeme přeskupením lichoběžníku n trojúhelník. c d v b α β + c Z tohoto obrázku je již zřejmé, jk bude výsledný vzorec vypdt. Výšk délky strn lze opět dopočítt pomocí goniometrických funkcí. 11

13 2.4 Prvidelné n-úhelníky Obrzce se stejným počtem strn i úhlů. Všechny strny i úhly jsou stejně velké. Obvod vychází z definice: Pro výpočet obshu si obrzec rozdělím n n trojúhelníků. Obsh se pk rovná součtu obshů všech těchto trojúhelníků: (Pro různé vrinty přepočtů mezi úhly délkmi viz 2.2 Trojúhelníky n strně 6.) v b 12

14 2.5 Kruh, kružnice Kružnice je množin všech bodů, které mjí od dného bodu v rovině stejnou vzdálenost r. Kruh je množin všech bodů, které od dného bodu mjí vzdálenost stejnou nebo menší r. U kružnice tedy není možné určovt obsh, budu se zbývt pouze kruhem. Pro výpočet obvodu využiji obrázek: d = 2r Pokud budu s kruhem otáčet po rovné ploše, jedním otočením kolem dokol se dostnu n vzdálenost, která je přibližne 3,14ti násobkem jeho průměru. Zvádí se konstnt, má nekonečný desetinný rozvoj. Pro obsh je nutný dlší obrázek: r 13

15 2.6 Kruhová výseč Její obvod i obsh lze odvodit nprosto nlogicky jko u kruhu. γ Kruhovou výsečí budu po rovné ploše otáčet pouze s jejím zkřiveným obvodem. Vyjde mi určitá konstnt, kterou vynásobím průměrem výseče. Avšk je tu mlý problém. Kždá výseč s různým úhlem by měl jinou konstntu. Z toho mi plyne, že se konstnt mění s úhlem. Přímo úměrně. Jk jsou spolu tto čísl spojen? Jednoduše! 360 zkrátk odpovídá 2. Pokud budu mít výseč úhel 180, konstnt bude rovn td. Pro výpočet obshu jsem zvolil jinou metodu. Vytvořím si poměr mezi obvodem obshem u normálního kruhu. Přes ten poté spočítám obsh u kruhové výseče, u které znám úhel, tedy i obvod. Úhel γ je nutné doszovt nikoli ve stupních, le ve stupních odpovídjící výše uvedené konstntě, tedy v rdiánech! stupně rdiány 14

16 3. Stereometrické vzorce Tyto výpočty nejsou nic jiného, než složení předchozích vzorců dohromdy se třetím xiomem. Pro lepší pochopení výpočtu povrchu těles je dobré nkreslit si jejich síť. Proto u kždého těles bude menší schém. Skupin 1 Těles rozdělím do dvou skupin: - těles, pro která pltí následující (rovnost třetího xiomu definice skupiny 1) (rovnost druhého xiomu definice skupiny 1) Skupin 2 - osttní těles, pro která prvidl skupiny 1 nepltí 15

17 3.1 Skupin Krychle skládá. Abych spočítl povrch krychle, musím sečíst obsh šesti čtverců, ze kterých se Nebo mohu vyjít z definice Skupiny 1: Objem krychle vychází z definice: (Násobím obsh podstvy výškou.) Kvádr Pro povrch kvádru sčítám šest obdélníků z nichž vždy dv jsou stejné. Z definice skupiny 1: Objem počítám dle obecného vzorce: b c c b 16

18 3.1.3 N-boké hrnoly Spočítt povrch n-bokých hrnolů nebude o nic složitější. Vyjdu z definice: h Pro výpočet objemu tktéž: (Výpočet obvodu obshu n-úhelníku viz 2.4 Prvidelné n-úhelníky n strně 12.) h Válec V podsttě jde o n-úhelník, u kterého se n blíží nekonečnu. Povrch válce se skládá ze dvou kruhů (podstvy) obdélníku (rozrolovný plášť). h r o Pro objem válce stále vycházím z definice: r d h 17

19 3.2 Skupin Čtyřboký jehln Povrch čtyřbokého jehlnu se skládá ze čtyř rovnormenných trojúhelníků jednoho čtverce (obdélníku). Použiji již odvozené plnimetrické vzorce: Pokud by byl podstvou obdélník: v e Pro jeho objem všk již nelze upltnit definice skupiny 1. Pokud budu uvžovt prvidelný jehln krychli o stejné zákldně budu hledt vzth mezi jejich objemy, nrzím n zjímvý fkt. Jehlny lze umístit do krychle tři to tk, že zplňují celý její objem vzájemně se nepřekrývjí. Pro lepší pochopení, n obrázku to jsou jehlny se zákldnmi ABCD, ABFE BCGF, všechny s vrcholem H. [3] Proto lze objem jehlnu určit: H G E F Nyní je vidět, že objem je roven třetině součinu zákldny výšky. D C A B 1 h [3] RNDR., POMYKALOVÁ, Ev. Mtemtik pro gymnázi: Stereometrie. 3. vydání. Žitná 25, , Prh 1: Prometheus, s. r. o., 2002, s Učebnice pro střední školy. ISBN

20 (Z tohoto vzorce mohu vytvořit obecný vzorec, který pltí pro všechn podobná těles. Těles, kterým vedou z kždého bodu obvodu jejich podstvy úsečky do jednoho bodu. Př. neprvidelný čtyřboký jehln, kužel, čtyřstěn, n-boký jehln, ) Kužel Povrch kužele se skládá z obshu kruhu obshu kruhové výseče, která má stejný obvod jko kruh. r Pro přepočty mezi výškou, strnou poloměrem lze sndno využít goniometrických funkcí. Objem vychází z obecného vzorce pro výpočet objemu jehlnu, protože v tomto ohledu mjí stejnou chrkteristiku. h r Čtyřboký komolý jehln Komolý jehln je tkový jehln, který má uříznutou špičku. Jeho dvě podstvy jsou vzájemně rovnoběžné. Povrch se skládá ze dvou čtverců čtyř lichoběžníků. 19

21 Pokud je podstvou obdélník. Pro výpočet objemu vyjdu z jednoduché myšlenky. Odečtu objem mlého jehlánku od objemu velkého jehlnu. Já všk budu znát pouze 1, 2 h 1. Proto si neznámé h 2 h vyjádřím pomocí osttních známých. Poměr h: je vždy stejný, protože tn α se nemění. h Nyní můžu h dosdit do původní rovnice uprvit: (Tento vzorec pltí pro komolé jehlny se čtvercovou podstvou. Pokud ho ještě uprvím, dostávám vzorec pltný pro všechn komolá těles, neboť v něm nevystupuje délk strny, le obsh podstvy, u kterého mi nebude záležet n tvru) 20

22 3.2.4 Komolý kužel Povrch se skládá ze dvou kružnic jednoho kruhového pásu. Pro výpočet obshu kruhového pásu odečtu od obshu velké výseče o poloměru obsh mlé výseče o poloměru lze zpst jko (viz obrázek) 1 2 vyjádřím: (Spojení Pythgorovy věty vzorce použitého při výpočtu objemu komolého jehlnu n strně 20.) Objem spočítám podle obecného vzorce. 21

23 3.2.5 Koule Svými středoškolskými znlostmi průměrného student nedokážu odvodit vzorce pro kouli. Dokáži pouze určit, v jkém poměru bude její povrch její objem. Její povrch S rozdělím n spoustu mlých plošek, které budou sloužit jko podstvy pro spoustu jehlnů o výšce r. Tyto jehlny vyplní celý objem koule. r r r 22

24 4. Závěr Zvoní. Učitel mtemtiky vstupuje do třídy. Dnes máme n progrmu hodiny velikosti vektorů operce s nimi. Vzoreček již nepotřebuji, odvodím si ho sám. V této seminární práci jsem odvodil většinu vzorců, které bude středoškolský student během svého studi potřebovt. Nechť tto práce není pouze průvodcem vzorečky, pomůckou při učení, či náhrdou tbulek. Kéž je i inspircí studentům k hlubšímu bádání, zkoumání mtemtiky hlvně odrzením od psivního přijímání vzorců. 23

25 5. Seznm litertury [1] Pythgors. In: Wikipedi: the free encyclopedi [online]. Sn Frncisco (CA): Wikimedi Foundtion, [cit ]. Dostupné z: [2] Pythgorov vět. In: Wikipedi: the free encyclopedi [online]. Sn Frncisco (CA): Wikimedi Foundtion, [cit ]. Dostupné z: [3] RNDR., POMYKALOVÁ, Ev. Mtemtik pro gymnázi: Stereometrie. 3. vydání. Žitná 25, , Prh 1: Prometheus, s. r. o., 2002, s Učebnice pro střední školy. ISBN