2.5. Soustava lineárních rovnic

Transkript

1 Mtemtik I část I Soustv lineáních ovnic.5. Soustv lineáních ovnic Cíle Řešení soustv lineáních ovnic e úloh kteá se velmi čsto vyskytue neen při řešení úloh v ůzných olstech mtemtiky le tké ve většině vědních disciplín. Doé pktické zvládnutí ednoduchých úloh o řešení soustv lineáních ovnic e smozřemým předpokldem využití vhodného mtemtického softwe. Definice.5.. Soustvou m lineáních ovnic o n neznámých... n R nzveme množinu výokových funkcí n n n n () : : m mn n m kde i R i... m... n nzýváme koeficienty soustvy ()... m e sloupec pvých stn n-tici (... n ) T R n nzveme řešením soustvy () estliže po doszení z... n se stnou všechny výokové fomy pvdivými výoky. Jestliže zvedeme mtice n n X B n m mn m lze soustvu () psát ve tvu.x B. Mtice se nzývá mtice soustvy mtice -

2 Mtemtik I část I Soustv lineáních ovnic B m n n mn m mtice ozšířená. Jestliže k po k... m pk soustvu () nzýváme soustvou homogenních ovnic estliže e lespoň edno k hovoříme o soustvě nehomogenních ovnic. Řešené úlohy Příkld Po soustvu e mtice soustvy X B 4 e ozšířená mtice soustvy. B Vět.5.. (Cmeovo pvidlo). Je-li mtice typu (nn) det pk soustv. X B má pávě edno řešení X (det det... det det n ) T kde -

3 Mtemtik I část I Soustv lineáních ovnic n nn n n n n in i i i i n Důkz : Vynásoíme ovnici. X B zlev mticí - dostneme -.. X -. B tedy X -. B. Vyádříme-li invezní mtici vynásoíme mticí B dostneme v i-tém řádku + + n i i i n i i i det det det ) ( det. det ) ( det potože součet v předposledním výzu e ozvo det i podle i-tého sloupce. Eistenci iného řešení lze vyloučit spoem. Řešené úlohy Příkld Řešme soustvu ovnic +. Řešení: det det det det. Podle předchozí věty e X ( ) T tedy. Můžeme povést zkoušku. -

4 Mtemtik I část I Soustv lineáních ovnic Výkld Řešení soustvy pomocí invezní mtice Je-li mtice soustvy typu (m n) det ( e egulání) můžeme soustvu.x B řešit násoením zlev invezní mticí - dostneme řešení dné soustvy X -. B. Řešené úlohy Příkld Řešme soustvu pomocí invezní mtice Řešení: 4 det 4 5 X -. B Vět.5.. (Foeniov). Soustv ovnic. X B má řešení pávě když h() h( B). Oznčíme-li h() h( B) e typu (m n) pk v přípdě n (n počet neznámých) má soustv ediné řešení v přípdě n > má soustv nekonečně mnoho řešení kteá můžeme zpst pomocí (n - ) pmetů. Důkz e otížný neudeme e povádět. - 4

5 Mtemtik I část I Soustv lineáních ovnic Výkld Gussov eliminční metod řešení soustv lineáních ovnic Předpokládeme že mtice B vznikne z ozšířené mtice soustvy B úpvmi:. Výměnou dvou řádků. vynásoením řádku číslem ůzným od nuly. vynecháním řádků se smými nulmi 4. přičtením k-násoku (k ) řádku k inému řádku. Pk soustvy. X B. X B mí stená řešení. Spávnost úvhy vyplývá z toho že kždý řádek ozšířené mtice soustvy odpovídá příslušné ovnici. Uvedené úpvy můžeme s ovnicemi povádět. Úpvy - 4 nemění hodnost mtice ni mtice B. Foeniovu větu udeme poto plikovt ž n vhodně upvenou soustvu ovnic. Užitím úpv - 4 udeme postupně upvovt ozšířenou mtici soustvy n toúhelníkový tv tk y i po i >. Způso úpvy ukážeme v následuících příkldech. Řešené úlohy Příkld Řešme soustvu ovnic Řešení: Úpvy ozšířené mtice soustvy udeme zpisovt do následuící tulky. Poslední sloupec po ehož pvky pltí n i + i i... m - 5

6 Mtemtik I část I Soustv lineáních ovnic e kontolní součet pvků v řádku mtice ozšířené musí vždy po povedení úpvy ve všech sloupcích ýt oven příslušnému pvku ve sloupci kontolním. B úpvy Po povedení úpv pltí: h( ) h( B ) podle Foeniovy věty má soustv ediné řešení kteé učíme řešením nové soustvy: tedy X ( -) T. 44 -

7 Mtemtik I část I Soustv lineáních ovnic Příkld Řešme soustvu ovnic Řešení: B úpvy vyměníme řádek řádek Po povedení úpv pltí h( ) h( B ) 4. Podle Foeniovy věty nemá soustv řešení. - 7

8 Mtemtik I část I Příkld Řešme soustvu ovnic Soustv lineáních ovnic Řešení: úpvy Soustv ovnic e homogenní tedy vždy pltí h() h( B) neoť B () T t. soustv má řešení. Není tedy nutno psát sloupec B. Hodnost h(). Po soustvu ovnic

9 Mtemtik I část I Soustv lineáních ovnic zvolíme vhodně (t.. (5 - )) pmety: 5 p q. Pk dostneme 4 p q + 5p 7p - q. Řešení soustvy e 7p - q 5p +q q 4 p 5 p p q R. Výkld Učení invezní mtice užitím Gussovy metody Měme mtice E oě typu (n n). Budeme-li povádět v mtici úpvy uvedené pod ody - 4 Gussovy eliminční metody po řešení soustv ovnic upvíme-li tk mtici n mtici E typu (n n) lze všechny povedené úpvy vyádřit ko násoení mtice mticí B kde. B E. Z toho e zřemé že mtice B -. Poveďme stené úpvy i po mtici E t.. E. B E To znmená že tkto vzniklá mtice e invezní mticí k mtici. Řešené úlohy Příkld Učeme invezní mtici k mtici. Řešení: Mtice E zpíšeme do následuící tulky. E úpvy

10 Mtemtik I část I Soustv lineáních ovnic (- ). - E E Kontolní otázky. Mtice soustvy e mtice vytvořená ) ze sloupce pvých stn ( m) ) z koeficientů soustvy i c) z n neznámých n.. Pokud sloupec pvých stn k po k m pk soustvu nzýváme ) soustvou homogenních ovnic soustvou nelineáních ovnic ) soustvou nehomogenních ovnic.. Cmeovým pvidlem lze řešit ) koukoli soustvu lineáních ovnic ) soustvu lineáních ovnic pokud mtice soustvy e singulání c) soustvu lineáních ovnic pokud mtice soustvy e egulání. 4. Mtemtická vět podle kteé se učue počet řešení soustvy lineáních ovnic se nzývá ) Gussov ) Cmeov c) Foeniov. 5. Soustv lineáních ovnic X B má řešení ) vždy ) pávě když h( ) h( / B) -

11 Mtemtik I část I Soustv lineáních ovnic c) pokud e počet neznámých n počet ovnic stený.. Gussov eliminční metod řešení soustv lineáních ovnic spočívá v úpvě ozšíření mtice soustvy ) tk y ve sloupci pvých stn yly smé nuly ) n toúhelníkový tv tk y i po i> c) n toúhelníkový tv tk y i po i. 7. Homogenní soustv lineáních ovnic ) má vždy řešení ) má vždy nenulové řešení c) nemá řešení. Odpovědi n kontolní otázky. );. );. c); 4. c); 5. );. ); 7. ). Úlohy k smosttnému řešení. Řešte ůznými způsoy soustvy lineáních ovnic (Cmeovým pvidlem pomocí invezní mtice Gussovou elimincí): y ) + y 7 ) y 4 y 5 y + z 4 9 c) + 5y z y + z 7 4 y + z 4 y y z 4 d) e) 4y 7z 8y + 5z 5 + z 4 y 7z f ) + + g)

12 Mtemtik I část I Soustv lineáních ovnic h) Řešte soustvy lineáních ovnic: ) + ) c) d) e ) f ) g) h) i) ) y + z 4 y + z y + z Řešte soustvy homogenních ovnic: 4 y ) ) 5 + y c) d) e) f )

13 Mtemtik I část I Soustv lineáních ovnic + 4 g) h) Poveďte diskusi řešení soustv vzhledem k pmetu k: + 4 y + z + 4 ) y + z ) y z k k 5. Zvětšíme-li ednu stnu toúhelník o cm duhou stnu o cm zmenšíme dostneme ovnostnný toúhelník. Když pvní stnu vynásoíme čtyřmi e o cm větší než tonásoek třetí stny. Vypočtěte velikosti stn toúhelník.. Kyselin síová e složen z vodíku síy kyslíku. Pomě hmotnosti vodíku síy e : pomě hmotnosti kyslíku síy e :. Kolik kždého pvku oshue g kyseliny? 7. Hutník má čtyři ůzné slitiny kteé oshuí cín olovo vizmut kdmium. Pvní slitin oshue kg cínu kg olov. Duhá oshue kg olov kg cínu. Třetí oshue 5 kg vizmutu 4 kg olov kg cínu. Poslední slitin oshue kg vizmutu 5 kg olov 5 kg kdmi 5 kg cínu. Jké množství kždé slitiny e tře použít n přípvu slitiny kteá y oshovl 8 kg vizmutu 75 kg olov 5 kg kdmi 4 kg cínu? 8. Vypočtěte poudy (podle Kichhoffových zákonů) ve všech větvích elektických sítí podle o. kde hodnoty ednotlivých odpoů elektomotoického npětí sou: ) R Ω R 5 Ω R 5 Ω U V ) U 4 V U V R Ω R Ω R Ω R 4 4 Ω R 5 5 Ω R Ω. ) ) R I U B I I R U R - B R R I R 4 I I 4 R 5 C I 5 R U R I I D I

14 Mtemtik I část I Soustv lineáních ovnic Výsledky úloh k smosttnému řešení. ) ( -5) ) nemá řešení c) ( -) d) ( -) e) (5 ) f) ( 5 -) g) ( 4 5) h) nemá řešení.. ) ( 8 5+ t 7t ) ) (t+ t t) c) nemá řešení d) ( + t t) t 7t4 5 t e) ( 5-4s-9 s 7-+s) f) (4-5- ) g) (-t -t t) h) nemá řešení i) ( +s- s -+s) ) (- -t - t).. ) ( ) ) (t -t t) c) ( ) d) (t t t) e) (7t t -t t) f) (-t t -t t) g) (t t t 4t) h) (t -t t t t). 4. ) po k nekonečně mnoho řešení ) po k - nemá řešení po k nemá řešení po k - nekonečně mnoho řešení. 5. Stny mí délku 4 cm 5 cm 54 cm.. 7 g vodíku 4 g síy 84 g kyslíku. 7. Je tře 54 kg. slitiny 45 kg. slitiny 4 kg. slitiny kg 4. slitiny. 8. ) I 45 m I 48 m I 9 m ) I I 7 I 9 I 4 I 5 I -4. Kontolní test. Řešte soustvu lineáních ovnic pomocí Cmeov pvidl: ) (;9 ;) ) (;; ).. Řešte soustvu lineáních ovnic: ) (; ; ) ) ( 8t; + t; + t) t R. - 4

15 Mtemtik I část I Soustv lineáních ovnic. Řešte soustvu lineáních ovnic: + y + z + y z + 4y + z. ) nemá řešení ) ( t; t;+ t)t R. 4. Řešte soustvu lineáních ovnic ) ( t;+ t;t)t R ) (4;;). 5. Řešte soustvu ovnic pomocí Cmeov pvidl: y + z + 5y 4z y z 4. ) ( 9) ) (5). 4. Řešte soustvu lineáních ovnic užitím Gussovy metody: ) ( tt t t) ) ( t tt+ t). 7. Řešte soustvu kompleních lineáních ovnic ) ( t tt t) ) ( t t t t). 8. Řešte soustvu lineáních ovnic pomocí invezní mtice + y + z y + z 4 + y + z 4. ) ( ) ) ( ). 5-5

16 Mtemtik I část I Soustv lineáních ovnic Výsledky testu. );. );. ); 4. ); 5. );. ); 7. ); 8. ). Původce studiem Pokud ste spávně odpověděli neméně v přípdech pokčute dlší kpitolou. V opčném přípdě e tře postudovt kpitolu.5. znovu. -