Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem délky křivky.

Transkript

1 .. Délk olouku křivky.. Délk olouku křivky Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem délky křivky. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.). Dále předpokládáme, že znáte zákldní metody výpočtu určitého integrálu. Budeme tké používt prmetrické rovnice křivky. Výkld Mějme část rovinné křivky dné rovnicí y = f( x) pro x (or...). Zjímá nás, jká je délk této křivky. Předpokládejme, že jsou funkce f( x ) její derivce f ( x) spojité n intervlu <, >. Budeme postupovt nlogicky jko při zvedení Riemnnov určitého integrálu (kp..). Křivku nhrdíme lomenou črou, která se ude skládt z n úseček (or...). Z Pythgorovy věty ude délk i té úsečky rovn si ( xi) ( yi) = +. Norm dělení ude ν ( Dn) = mx xi. i=,..., n Délk celé křivky ude přiližně rovn součtu délek jednotlivých úseček: n s si i=. Or.... Aproximce křivky y = f( x) lomenou črou

2 .. Délk olouku křivky Je zřejmé, že pro zvětšující se počet dílčích úseček udeme dostávt přesnější proximci délky olouku křivky. Pro délku uvžovné křivky dostneme: ( ) ( ). s = dx + dy n normu dělení ν ( ) ude x dx, y dy pro dy Jelikož f ( x) = (Mtemtik I, část II, kpitol.6), sndno vzth uprvíme n tvr dx ( dy) dy s = dx + dy = + dx= + dx= + f x ( dx) dx ( ) ( ) [ ( )] dx. D n Vět... Nechť je funkce f( x ) definovná n intervlu <, > má zde spojitou derivci. Pk délk této křivky [ ] s= + f ( x) dx. Křivk nemusí ýt vždy zdán explicitní funkcí y = f( x), může ýt dán rovněž prmetrickými rovnicemi x = ϕ() t, y = ψ () t, t < α, β >. Křivku si můžeme předstvit jko trjektorii, kterou urzí od, který se v čse spojitě pohyuje v rovině. Spojité funkce ϕ () t ψ () t udávjí x-ovou y-ovou souřdnici pohyujícího se odu. Délk tkové křivky je z fyzikálního hledisk vlstně dráh, kterou od urzí od okmžiku α do okmžiku β. Vět... Nechť je křivk dán prmetrickými rovnicemi x = ϕ() t, y = ψ () t, t < α, β >, přičemž funkce ϕ () t ψ () t mjí spojité derivce n intervlu < α, β >. Pk je délk této křivky β [ ϕ ()] [ ψ ()]. α s = t + t dt

3 .. Délk olouku křivky Důkz: Funkce ϕ () t ψ () t mjí spojité derivce n intervlu < α, β >, pk pltí dx = ϕ () t dt dy = ψ () t dt. Doszením do vzthu β β s= dx + dy = t dt + t dt = t + t ( ) ( ) [ ϕ () ] [ ψ () ] [ ϕ ()] [ ψ ()] dostneme tvrzení věty. α α dt Poznámk Liovolnou funkci y = f( x), x <, > můžeme sndnou prmetrizovt, když položíme x = t, y = f() t, t <, >. Jelikož ϕ () t =, vidíme, že tvrzení věty.. je speciálním přípdem věty... Řešené úlohy Příkld... Vypočtěte délku semikuické (Neilovy) proly <, >. y = x n intervlu Řešení: Křivk se skládá ze dvou částí y x = y x = symetrických podle osy x (or...). Or.... Grf semikuické proly y = x pro x <, > Délk ude rovn dvojnásoku délky části nd osou x. Použijeme vzth z věty.., kde f ( x) = x f ( x) = x

4 .. Délk olouku křivky s = + x dx= x 9 + = = Poznámk Integrál pro výpočet délky křivky oshuje odmocninu. Proto se nám i pro jednoduché funkce stne, že neumíme příslušný integrál vypočítt. V tkovém přípdě ude nutno použít nějkou numerickou metodu neo některý mtemtický progrm (npř. Derive, Mple, Mthemtic). Příkld... Vypočtěte délku kružnice o poloměru r >. Řešení: Bez újmy n oecnosti uvžujme kružnici se středem v počátku. Rovnice této kružnice je x + y = r. Odtud y =± r x, přičemž x < rr, >. Vezmeme rovnici horní půlkružnice y =+ r x vypočítáme její derivci že derivce není definován pro x splněny. y = x r x. Prolém je v tom, = r x= r. Předpokldy věty.. nejsou tedy Sndno njdeme prmetrické rovnice kružnice. Z definice funkcí sinus kosinus určíme polohu liovolného odu A = ( xy, ) ležícího n kružnici (or...). Or.... Odvození prmetrických rovnic kružnice Hledné prmetrické rovnice kružnice udou: x = rcost, y = rsin t, t <, >. Měníme-li úhel t od nuly do, oěhne od A celou kružnici. Pro výpočet délky kružnice použijeme větu... Jelikož ϕ () t = ( rcos) t = rsint ψ () t = ( rsin t) = rcost, dostáváme - 6 -

5 .. Délk olouku křivky [ sin ] [ cos ] (sin cos ) [] r. s= r t + r t dt = r t+ t dt = r dt = r t = Příkld... Vypočtěte délku steriody. Řešení: Asteroid je zvláštním přípdem hypocykloidy. Hypocykloid je cyklická křivk, kterou vytvoří od pevně spojený s kružnicí, která se vlí (kotálí) po vnitřní strně nehyné kružnice. Asteroidu dostneme v přípdě, kdy se kružnice o poloměru.. červená) kotálí po vnitřní strně kružnice poloměru R=. r = (n or. Prmetrické rovnice steroidy jsou Or.... Asteroid x cos t =, y = sin t, t <, >. Protože steroid je symetrická podle oou souřdnicových os, stčí, určíme-li délku její jedné čtvrtiny v prvním kvdrntu, tj. pro t <, >. Tím se tké vyhneme prolémům se znménky goniometrických funkcí sinus kosinus v dlších kvdrntech. Vypočteme derivce prmetrických rovnic dosdíme do vzthu ve větě... x = cos t( sin t), y = sin tcost, s = cos tsin t sin tcost + dt = 9 (cos tsin t+ sin tcos t) dt = = sin tcos t(cos t+ sin t) dt = sin tcost dt = sin t dt = - 6 -

6 .. Délk olouku křivky cost = (cos cos ) ( ) = = =. Délk celé steroidy je tedy s = = 6. Poznámky. Při integrci jsme použili známý vzth sin t = sintcost.. Vzth pro výpočet délky křivky dné prmetrickými rovnicemi lze sndno rozšířit i n prostorové křivky. Přiude pouze třetí souřdnice odu křivky. Křivk ude mít prmetrické rovnice x = ϕ() t, y = ψ () t, z = ζ () t, t < α, β >. Pro její délku ude (z předpokldu spojitých derivcí ϕ () t, ψ () t, ζ () t ) pltit β s= [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] + [ ζ () t ] dt. α Podronější informce nleznete v Mtemtice III v kpitole Křivkový integrál. Příkld... Vypočtěte délku elipsy. Řešení: Vzorec pro výpočet oshu elipsy jste si již odvodili v kpitole.. (Kontrolní otázk.) Elips s poloosmi, ( předpokládejme < <, or...5) má prmetrické rovnice x = cost, y = sin t, t <, >, pokud vedlejší poloos leží v ose x hlvní poloos v ose y. Or...5. Elips o poloosách, - 6 -

7 .. Délk olouku křivky Protože elips je symetrická podle oou souřdnicových os, stčí, určíme-li délku její jedné čtvrtiny v prvním kvdrntu, tj. pro t <, >. Vypočteme derivce prmetrických rovnic dosdíme do vzthu ve větě... x = sin t, y = cost, s [ sin t] [ cost] dt sin t cos tdt = = + = + = sin t + ( sin t) dt = ( )sin tdt = sin tdt = = k sin tdt, kde jsme oznčili = k. Délk celé elipsy ude. s = k sin tdt Prolém spočívá v tom, že primitivní funkci nelze vyjádřit pomocí konečného počtu elementárních funkcí. Podívejte se n kpitolu.7. Pro konkrétní hodnoty ude nutno použít vhodnou numerickou metodu některého mtemtického progrmu (npř. Derive, Mple, Mthemtic). Poznámk ϕ Integrál typu E( k, ϕ ) = k sin t dt je oznčován jko eliptický integrál druhého druhu, neoť je jím vyjádřen délk elipsy. Kontrolní otázky. Uveďte vzth pro výpočet délky křivky y = f( x) pro x <, >.. Uveďte vzth pro výpočet délky křivky dné prmetrickými rovnicemi

8 .. Délk olouku křivky. Jká je délk řetězovky x x e + e y = pro x <, >?. S řetězovkou se můžeme setkt v rchitektuře. Tvr této křivky mjí smonosné kleny strých stve stejně jko některé moderní stvy. Zdejte slovo řetězovk do Všeho vyhledávče (npř. Google). Jk vypdá grf této křivky? 5. Jk vypočtete velikost dráhy, kterou urzí od od t = do t = při pohyu po křivce dné prmetrickými rovnicemi x = 5t, y= t? 6. Sestvte integrál pro výpočet délky proly y= x, x. Nvrhněte metodu řešení tohoto integrálu. (Využijte příkldů..6 poznámky k příkldu..8). 7. Sestvte integrál pro výpočet délky kuické proly y= x, x. Zkuste integrál řešit pomocí některého mtemtického progrmu (npř. Derive, Mple, Mthemtic). Úlohy k smosttnému řešení. Vypočtěte délku křivky x x e + e ) y = ; x ) y= rcsin x+ x ; x c) y = ln x ; x 8 d) y = ln(cos x) ; x e) f) g} y = x ; x ; y > y = ln( x ) ; x x ln x y = ; x e. Vypočtěte délku křivky ) x = cos t, y = sin t; t ) c) x= cos t, y = sin t; t t x= t, y = t ; t

9 .. Délk olouku křivky d) x = (t sin t), y = ( cos t) ; t e) x = cost+ tsin t, y = sin t tcos t; t f) x + y = Výsledky úloh k smosttnému řešení. ) e ; ) ; c) e + ln ; d) ln tg 8 ; e) 9 7 ; f) ln ; g) e.. ) ; ) ; c) ; d) ; e) ; f) 8. Kontrolní test. Vypočtěte délku olouku křivky ) x y = ln x pro x e. ( e ), ) ( e + ), c) ( e ) +, d) e +.. Vypočtěte délku olouku křivky y= rcsin x+ x pro x. ), ) ( + ), c), d) +.. Vypočtěte délku olouku křivky 6 + x y = pro x. 8x ) 6, ), c), d) Vypočtěte ovod křivočrého trojúhelník, jehož strny tvoří olouky křivek x + y = 6 5x = y. ) 6 + 6( rcsin ), ) ( + rcsin ), 7 6 c) 6 + 6( rcsin ), d) ( rcsin ) Vypočtěte délku olouku křivky y = ln( + e ) ln( e ) pro ln x ln 5. x x ) l n+ ln5, ) 8ln ln5, c) 5 ln, d) 6 6 ln

10 6. Vypočtěte délku olouku křivky y = ln x pro x... Délk olouku křivky ) ln 9, ) + ln, c) ln, d) + l n. 7) Vypočtěte délku smyčky křivky x t, y t t = = pro t. ), ), c), d) 8. 8) Vypočtěte délku jednoho olouku prosté cykloidy x = t ( sin t), y= ( cos t), > konst., ( t ). ), ) 6, c), d) 8. 9) Vypočtěte délku olouku křivky v. kvdrntu. ) 6, ) 9, x t y t = = mezi průsečíky s osmi souřdnic, c) 9, d) 8. t ) Vypočtěte délku olouku křivky x = cost+ lntg, y = sin t pro t. 6 ) ln, ), c) ln, d). Výsledky testu. );. c);. );. c); 5. d); 6. ); 7. ); 8. d); 9. );. c). Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 přípdech, pokrčujte dlší kpitolou. V opčném přípdě je tře prostudovt kpitolu. znovu. Shrnutí lekce Dlší možností použití určitého integrálu je výpočet délky křivky. Z Pythgorovy věty odvodíme zákldní vzth pro výpočet délky křivky s = ( dx) + ( dy). Jednoduchou

11 úprvou dostneme vzorec s= + [ f ( x) ].. Délk olouku křivky dx pro výpočet délky křivky zdné explicitní funkcí y = f( x), x, < > vzorec = [ ϕ ()] + [ ψ ()] β pro délku křivky, která je α s t t dt dán prmetrickými rovnicemi x = ϕ() t, y = ψ () t, t < α, β >. Prolém je v tom, že velmi čsto neumíme integrál, který oshuje odmocninu, vypočítt pomocí elementárních funkcí. V těchto přípdech nezývá než použít nějkou přiližnou metodu. Vzth pro výpočet délky křivky lze rozšířit i n křivky v prostoru. Podronosti nleznete v textu Mtemtik III, kpitol