1 Vektorové prostory.

Save this PDF as:
Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 Vektorové prostory."

Transkript

1 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které každé uspořádané dvojici (a, b) V V přiřazuje prvek a + b V tak, že platí: (a) (b) (c) (d) a, b V : a + b = b + a a, b, c V : a + (b + c) = (a + b) + c o V, a V : a + o = a a V, ( a) V : a + ( a) = o Prvky množiny V budeme nazývat vektory, zobrazení V V V nazýváme sčítání na množině V, vektor a + b se nazývá součet vektorů a, b 2 Je dáno zobrazení R V V, které každé uspořádané dvojici (c, a) (R V ) přiřazuje vektor ca V tak, že platí: (a) a V : 1a = a (b) c, d R, a V : c(d a) = (cd) a (c) c, d R, a V : (c + d) a = c a + d a (d) c R, a, b V : c (a + b) = c a + c b Toto zobrazení budeme nazývat násobením vektorů reálným číslem, vektor c a se nazývá c - násobek vektoru a Množina V je neprázdná, neboť je zaručena existence prvku o, tento prvek nazýváme nulový vektor Podobně vektor ( x) nazýváme vektor opačný k vektoru x Aritmetický vektorový prostor R n Jde o vektorový prostor všech uspořádaných n tic reálných čísel Snadno ověříte, že pokud definujeme operace sčítání dvou uspořádaných n tic jako sčítání po složkách, tj (a 1, a 2,, a n ) (b 1, b 2,, b n ) = = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,, a n + b n ) a násobení vektoru reálným číslem jako násobení po složkách, tj α (a 1, a 2,, a n ) = (α a 1, α a 2,, α a n ), tak tímto způsobem definované operace vyhovují definici vektorového prostoru Jedná se nejdůležitější příklad vektorového prostoru Příklad Vypočtěte souřadnice vektoru w, pro který platí: Řešení w = 3(2, 6, 4, 3) 2( 3, 1, 2, 4) + 4(7, 6, 3, 2) w = 3(2, 6, 4, 3) 2( 3, 1, 2, 4) + 4(7, 6, 3, 2) = (6, 18, 12, 9) + (6, 2, 4, 8) + (28, 42, 12, 8) = = (40, 58, 20, 7) Definice Nechť S = {u 1, u 2,, u n } je skupina vektorů ve vektorovém prostoru V Potom vektor v = α 1 u 1,, α n u n, kde všechna α i R, se nazývá lineární kombinace skupiny vektorů S Vektor w je tedy podle definice lineární kombinací vektorů (2, 6, 4, 3), ( 3, 1, 2, 4) a (7, 6, 3, 2) Definice Nechť S = {u 1, u 2,, u n } je skupina vektorů ve vektorovém prostoru V (1) Nechť n > 1 Potom o skupině vektorů S řekneme, že je lineárně závislá, jestliže alespoň jeden ze skupiny vektorů je lineární kombinací ostatních vektorů této skupiny V opačném případě říkáme, že skupina S je lineárně nezávislá 1

2 (2) Nechť n = 1 O skupině S řekneme, že je lineárně závislá, jestliže u 1 = o V opačném případě řekneme, že S je lineárně nezávislá Definice Nechť ve vektorovém prostoru V existuje skupina vektorů B = {a 1,, a n } těchto dvou vlastností: (1) B je lineárně nezávislá skupina vektorů, (2) každý vektor x V je lineární kombinací skupiny vektorů B Potom V nazýváme konečně rozměrným vektorovým prostorem a B nazýváme bází vektorového prostoru V Definice Dimenzí vektorového prostoru rozumíme číslo, které označujeme dim V a které definujeme takto: (1) dim V = 0 právě tehdy, když V je triviální vektorový prostor (2) dim V = n právě tehdy, když V má bázi složenou z n vektorů Definice Nechť W je neprázdná podmnožina vektorového prostoru V Jestliže vzhledem k operacím sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem je W vektorovým prostorem, potom W nazýváme vektorovým podprostorem vektorového prostoru V a píšeme W V Definice Množinu všech lineárních kombinací skupiny vektorů W = {w 1,, w n } z vektorového prostoru V budeme nazývat lineárním obalem skupiny vektorů W a označovat ji 2 Matice a její hodnost Definice Schéma mn reálných čísel A = (a mn ) = L w 1,, w n a 11, a 12,, a 1n a 21, a 22,, a 2n a m1, a m2,, a mn nazýváme maticí typu (m, n) Poznámky: Čísla a ij nazýváme prvky matice (1) Prvky a ii se nazývají diagonální prvky a v matici tvoří hlavní diagonálu Matice (1) se skládá z m řádků, každý z nich můžeme chápat jako n rozměrný aritmetický vektor Dále se matice skládá z n sloupců, každý z nich můžeme chápat jako m rozměrný aritmetický vektor Jestliže jsou v matici všechny diagonální prvky různé od nuly a všechny prvky pod hlavní diagonálou rovny nule, mluvíme o horní lichoběžníkové matici (ve speciálním případě m = n o horní trojúhelníkové matici) Jsou-li všechny prvky matice (1) rovny nule, nazýváme ji nulovou maticí a označuje ji O mn nebo stručně O Jestliže m = n, nazývá se matice (1) čtvercová matice Čtvercová matice, jejíž všechny diagonální prvky se rovnají jedné a jejíž ostatní prvky se rovnají nule, se nazývá jednotková matice Budeme ji značit J Definice Dvě matice A, B se sobě rovnají (značíme A = B), jestliže jsou stejného typu a pro všechny uspořádané dvojice (i, j) platí a ij = b ij Definice Hodností matice A typu (m, n) nazýváme číslo, které je rovné dimenzi lineárního obalu řádků matice chápaných jako n-rozměrné aritmetické vektory Hodnost matice A označujeme h(a) Z této definice vyplývá, že hodností matice rozumíme číslo udávající maximální počet jejích lineárně nezávislých řádkových vektorů Definice Dvě matice se nazývají ekvivalentní, jestliže mají stejný počet sloupců a stejnou hodnost Úpravy, které převádějí matici v matici s ní ekvivalentní nazýváme ekvivalentní úpravy Věta Následující operace patří mezi ekvivalentní úpravy: a) Změna pořadí řádkových vektorů b) Vynásobení řádkového vektoru nenulovým číslem c) K libovolnému řádkovému vektoru přičteme lineární kombinaci zbývajících řádkových vektorů (1) 2

3 d) Jestliže je některý řádkový vektor lineární kombinací ostatních řádkových vektorů, potom jej vynecháme e) Připojení dalšího řádkového vektoru, který je lineární kombinací řádkových vektorů matice f) Záměna pořadí sloupcových vektorů Gaussův algoritmus výpočtu hodnosti matice spočívá v tom, že danou matici převedeme pomocí ekvivalentních úprav na horní lichoběžníkovou matici Hodnost (tj počet řádků) této horní lichoběžníkové matice je rovna hodnosti původní matice Poznámka Gaussova metoda umožňuje rozhodnout o dané skupině vektorů v aritmetickém vektorovém prostoru, zda je či není lineárně závislá, vypočítat dimenzi vektorového prostoru určeného skupinou generátorů, popřípadě stanovit bázi takového podprostoru Příklad Určeme hodnost matice A: A = Řešení: Použijeme Gaussův algoritmus A 0, 4, 1, 3, 9 0, 8, 9, 2, 9 0, 4, 1, 3, 9 2, 6, 3, 0, 1 1, 1, 3, 1, 5 2, 2, 13, 2, 1 0, 4, 1, 3, 9 0, 8, 9, 2, 9 0, 4, 1, 3, 9 Získali jsme horní lichoběžníkovou matici, která má hodnost 3 Proto je h(a) = 3 3 Soustavy lineárních algebraických rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, (2) kde a ij, b i jsou reálná čísla a x i neznámé, se nazývá soustava m lineárních algebraických rovnic o n neznámých, stručně soustava lineárních rovnic Definice Matice a 11, a 12,, a 1n a 21, a 22,, a 2n a m1, a m2,, a mn je tzv matice soustavy (2) a matice se nazývá rozšířená matice soustavy (2) a 11, a 12,, a 1n a 21, a 22,, a 2n a m1, a m2,, a mn b 1 b 2 b m 3

4 Definice Řešením soustavy (2) nazýváme každý aritmetický vektor u = (u 1, u 2,, u n ) R n, jehož složky u i dosazeny za neznámé x i přemění soustavu m rovnic (2) v soustavu m rovností Definice Charakteristický vektor lineární rovnice je vektor, jehož složky jsou tvořeny koeficienty rovnice a pravou stranou této rovnice Definice Dvě soustavy lineárních rovnic se nazývají ekvivalentní, jestliže obě soustavy mají tytéž neznámé a jestliže množina všech řešení první soustavy je rovna množině všech řešení druhé soustavy Věta Každé řešení soustavy lineárních rovnic (2) je zároveň řešením každé rovnice, jejíž charakteristický vektor náleží do lineárního obalu všech řádků rozšířené matice soustavy (2) Věta Předpokládejme, že dvě soustavy lineárních rovnic mají tytéž neznámé zapsané v tomtéž pořadí Jestliže lineární obaly řádků rozšířených matic obou soustav jsou si rovny, potom obě soustavy rovnic jsou ekvivalentní Věta (Frobeniova) Soustava lineárních rovnic má alespoň jedno řešení právě tehdy, když matice soustavy a rozšířená matice soustavy mají tutéž hodnost Jestliže soustava lineárních rovnic o n neznámých má matici soustavy a rozšířenou matici soustavy téže hodnosti rovné číslu h, potom platí: 1 Jestliže h = n, soustava má právě jedno řešení 2 Jestliže h < n, soustava má nekonečně mnoho řešení Přitom všechna řešení dostaneme tak, že jistých n h neznámých volíme (všemi možnými způsoby) a zbývajících h neznámých (jednoznačně) vypočítáme 4 Soustavy homogenních lineárních algebraických rovnic Definice Soustava lineárních rovnic, jejichž pravé strany jsou rovny nule, se nazývá homogenní soustava lineárních rovnic Každou takovou soustavu můžeme zapsat ve tvaru: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0, a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 (3) Poznámka: Soustava (3) je pouze speciálním případem soustavy (2) Má však některé speciální zajímavé vlastnosti Nejdůležitější z nich jsou obsahem následující věty Věta Soustava homogenních lineárních algebraických rovnic má vždy řešení Množina všech jejích řešení je vektorovým prostorem, jehož dimenze je rovna číslu n h, kde n je počet neznámých a h je hodnost matice soustavy Věta Množina M všech řešení soustavy lineárních rovnic (2) je vektorovým podprostorem vektorového prostoru R n Množina M je rovna součtu m + V libovolného (pevného) řešení m soustavy (2) s vektorovým prostorem V všech řešení příslušné soustavy homogenních rovnic (3) 5 Determinanty Uvažujme jednoduchou soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x a y a snažme se nalézt nějaký vzorec vhodný k výpočtu této soustavy Budeme postupovat pomocí sčítací metody ax + by = p ax + by = p cx + dy = q cx + dy = q acx bcy = pc acx + ady = aq (ad bc)y = aq pc y = aq cp ad bc adx + bdy = pd bcx bdy = bq (ad bc)x = pd bq x = dp bq ad bc 4

5 Získané vztahy lze zobecnit i na soustavy vyšších řádů Při jejich odvozování budeme potřebovat determinanty Permutace Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,, n} Každá uspořádaná n-tice (k 1, k 2,, k n ) (4) sestavená ze všech čísel množiny M se nazývá permutace množiny M Inverze Jestliže pro dva prvky z (4) platí i < j a současně k i > k j, potom se uspořádaná dvojice (k i, k j ) nazývá inverze v permutaci (4) Permutace, která má lichý, resp sudý počet všech inverzí, se nazývá lichá, resp sudá permutace PříkladJe dána množina M = {1, 2, 3} Určeme všechny možné permutace množiny M a rozhodněme, zda jsou sudé nebo liché Řešení: (1, 2, 3) sudá permutace bez inverzí, (1, 3, 2) lichá permutace s inverzí (3, 2), (2, 1, 3) lichá permutace s inverzí (2, 1), (2, 3, 1) sudá permutace s inverzemi (2, 1), (3, 1), (3, 1, 2) sudá permutace s inverzemi (3, 1), (3, 2), (3, 2, 1) lichá permutace s inverzemi (3, 2), (3, 1), (2, 1) Věta Jestliže v permutaci (4) zaměníme vzájemně dva prvky, změní se permutace z liché na sudou, resp ze sudé na lichou Determinant matice Předpokládejme, že je dána čtvercová matice Součet A = K=(k 1,,k n) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a m2 a nn ( 1) α a 1k1 a 2k2 a nkn (5) n! součinů, v němž se sčítá přes všechny permutace K = (k 1,, k n ) množiny M = {1,, n} a v němž α značí počet inverzí v permutaci K, nazýváme determinantem matice A a značíme jej det A Poznámka: Pro determinant užíváme tato další označení: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = det (a ij ) = A = a ij = a n1 a m2 a nn Příklad Vypočtěme determinant třetího stupně b 11 b 12 b 13 det B = b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 Řešení: Pro n = 3 existuje 6 permutací množiny {1, 2, 3} Použijeme-li předchozí příklad a vzorec (5), můžeme psát: det B = b 11 b 22 b 33 + b 12 b 23 b 31 + b 13 b 21 b 32 (b 13 b 22 b 31 + b 11 b 23 b 32 + b 12 b 21 b 33 ) 5

6 Tento vzorec vyjadřuje tzv Sarussovo pravidlo pro výpočet determinatu třetího stupně; lze si jej snadno zapamatovat podle schématu b 11 b 12 b 13 b 11 b 12 b 21 b 22 b 23 b 21 b 22 b 31 b 32 b 33 b 31 b 32 Věta Vyměníme-li ve čtvercové matici dva řádky, resp dva sloupce, je determinant nové matice roven minus determinantu původní matice Věta Je-li některý řádek, resp sloupec čtvercové matice A násobkem jiného řádku, resp sloupce, potom det A = 0 Věta Jestliže některý řádek, resp sloupec čtvercové matice je lineární kombinací ostatních řádků, resp sloupců, potom determinant této matice je roven nule Subdeterminant a doplněk Definice Ve čtvercové matici A vynechme i-tý řádek a j-tý sloupec Obdržíme tak matici typu (n 1, n 1) Její determinant označíme S ij a nazveme subdeterminantem prvku a ij v matici A Číslo D ij = ( 1) i+j S ij nazýváme doplňkem prvku a ij v matici A Příklad Vypočtěte doplňky k prvkům a 12, a 23, a 33 v matici A = Řešení Pro S 12 platí, že příslušný determinant vznikne vynecháním prvního řádku a druhého sloupce z matice A Je tedy S 12 = = = 2 Analogicky se dopočítá, že D 12 = ( 1) 2+1 S 12 = ( 1) ( 2) = 2 D 23 = ( 1) D 33 = ( 1) = ( 1)5 4 = 4, = ( 1)6 1 = 1 Věta Nechť je dána čtvercová matice A = (a ij ) typu (n, n), nechť i, j {1,, n} Potom platí vzorec pro tzv rozvinutí determinantu podle prvků i-tého řádku det A = a i1 D i1 + a i2 D i2 + + a in D in (6) a vzorec pro tzv rozvinutí determinantu podle prvků j-tého sloupce det A = a 1j D 1j + a 2j D 2j + + a nj D nj (7) Příklad Pomocí rozvinutí podle prvků třetího řádku vypočítejme determinant matice A: det A = Řešení: Hodnotu determinantu určíme rozvinutím podle 3 řádku = 2 ( 1) ( 1)

7 +0 ( 1) = = 6 Často je výhodné počítat hodnotu determinantu pomocí rozvoje podle řádku či sloupce až po jistých úpravách Během těchto úprav využíváme dříve vyslovené věty i dvě následující věty Věta Vynásobíme-li některý řádek, resp sloupec čtvercové matice číslem α R, potom determinant nové matice se rovná α-násobku determinantu původní matice Věta Jestliže k některému řádku, resp sloupci čtvercové matice přičteme lineární kombinaci zbývajících řádků, resp sloupců, potom determinant nové matice se rovná determinantu původní matice Tyto dvě věty umožňují urychlit výpočet Je výhodné upravit determinant tak, aby se v nějakém řádku či sloupci nacházelo co nejvíce nulových prvků Doplňky k těmto prvkům pak není nutné počítat, protože při výpočtu hodnoty determinantu jsou násobeny nulou Příklad Vypočtěte hodnotu determinantu Řešení: Pro přehledný výpočet upravíme determinant tak, aby jej bylo možné rozvinout podle prvního sloupce, přičemž se snažíme, aby se v levém horním rohu nacházelo číslo 1 Nejdříve prohodíme první a druhý sloupec, čímž se budou postupně měnit znaménka u determinantu Tím získáme = ( 1) = Dále postupně upravíme druhý, třetí a čtvrtý řádek tak, že k nim přičteme lineární kombinaci prvního řádku (tedy jeho reálný násobek) a to takovým způsobem, aby všechny tyto tři řádky měly na začátku nulový prvek První řádek opíšeme beze změny, k druhému řádku přičteme ( 1) násobek prvního řádku - touto operací dosáhneme nuly na počátku druhého řádku Analogicky k třetímu řádku přičteme ( 2) násobek prvního řádku a k poslednímu řádku přičteme ( 3) násobek prvního řádku Tím postupně dostaneme = Následným rozvinutím podle prvního sloupce získáme D D D 41 = = = = = = 6 11 ( 11 1) = 55 Věta (Cramerovo pravidlo) Nechť je dána soustava n rovnic o n neznámých a 11 x a 1n x n = b 1, a n1 x a nn x n = b n (8) Nechť determinant matice A této soustavy je různý od nuly, tj det A = 0 Potom soustava (8) má právě jedno řešení a platí: x i = det B i det A pro všechna i {1,, n}, (9) 7

8 kde B i je matice, která vznikne z matice A tak, že i-tý sloupec matice A nahradíme aritmetickým vektorem pravých stran soustavy (8) a ostatní sloupce ponecháme beze změny Příklad Nalezněte řešení soustavy rovnic: x + 2y z = 3 2x + z = 7 x 2y + z = 7 Řešení: Postup je zcela mechanický Vypočtěme hodnoty jednotlivých determinantů 1, 2, 1 det A = 2, 0, 1 1, 2, 1 = 4, det B 3, 2, 1 1 = 7, 0, 1 7, 2, 1 = 8, Tedy: det B 2 = 1, 3, 1 2, 7, 1 1, 7, 1 = 4, det B 3 = 1, 2, 3 2, 0, 7 1, 2, 7 = 12 x = det B 1 det A = 8 4 = 2, y = det B 2 det A = 4 4 = 1, z = det B 3 det A = 12 4 = 3 Z uvedeného výpočtu lze snadno odvodit následující větu Věta Hodnota determinantu horní trojúhelníkové matice je rovna součinu prvků na diagonále matice Příklad Vypočtěte hodnotu determinantu a b c d Řešení: Postupným rozvojem determinantů podle prvního sloupce budeme dostávat následující rovnosti a b 2 5 b c 2 = a 0 c d 0 0 d = a b c 2 0 d = a b c d Získaný výsledek je zdůvodněním poslední uvedené věty Lze snadno zobecnit na determinanty o jiných rozměrech 8

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo

10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo 0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule. Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

7. Lineární vektorové prostory

7. Lineární vektorové prostory 7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární

Více

Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,

Obsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b, Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární

Více

Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,

Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, Soutavy lineárních algebraických rovnic Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, X R n je sloupcový vektor n neznámých x 1,..., x n, B R m je daný sloupcový vektor pravých stran

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Operace s maticemi

Operace s maticemi Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =

Více

1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic

1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic 1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x 1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA. 1. část - Lineární algebra. doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc.

ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA. 1. část - Lineární algebra. doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc. ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA 1. část - Lineární algebra doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc. Obsah 1 Aritmetické vektory 2 1.1 Základní pojmy............................ 2 1.2

Více

7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech

7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech 7. Důležité pojmy ve vektorových prostorech Definice: Nechť Vje vektorový prostor a množina vektorů {v 1, v 2,, v n } je podmnožinou V. Pak součet skalárních násobků těchto vektorů, tj. a 1 v 1 + a 2 v

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Matematika 2 pro PEF PaE

Matematika 2 pro PEF PaE Determinanty / 8 Matematika 2 pro PEF PaE 3 Determinanty Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Permutace Determinanty Výpočet determinantu z definice 2 / 8 Permutací množiny {,, n} rozumíme prosté

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

z textu Lineární algebra

z textu Lineární algebra 2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

Soustavy linea rnı ch rovnic

Soustavy linea rnı ch rovnic [1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.

Více

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0 Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,

Více

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326

Více

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme

Více

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)

Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory

Více

Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců

Čtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant matice Čtvercové matice Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár (reálné číslo).

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p. Např: (-2) = -3

SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p. Např: (-2) = -3 SOUČIN MATIC A m n B n p = C m p, přičemž: a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a in b nj = c ij, i=1 m, j=1 p Např: 2 2 + (-2) 4 + 0 0 + 1 1 = -3 INVERZNÍ MATICE Pro čtvercovou matici B může (ale nemusí) existovat

Více

10. DETERMINANTY " # $!

10. DETERMINANTY  # $! 10. DETERMINANTY $ V této kapitole zavedeme determinanty čtvercových matic libovolného rozměru nad pevným tělesem, řekneme si jejich základní vlastnosti a naučíme se je vypočítat včetně příkladů jejich

Více

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi 2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Aplikovaná numerická matematika - ANM Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici

[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici [1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra 2 Lineární algebra 2A Matice a maticové operace 2 Lineární algebra Verze října 201 Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s. 3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:

V: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti: Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,

Více

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC

SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),

Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád), 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Determinant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet

Determinant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet Řešené příklady z lineární algebry - část 2 Příklad 2.: Určete determinant matice A: A = 4 4. Řešení: Determinant matice řádu budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku

Více

Vektorový prostor. d) Ke každému prvku u V n existuje tzv. opačný prvek u, pro který platí, že u + u = o (vektor u nazýváme opačný vektor k vektoru u)

Vektorový prostor. d) Ke každému prvku u V n existuje tzv. opačný prvek u, pro který platí, že u + u = o (vektor u nazýváme opačný vektor k vektoru u) Hodnost matice Vektorový prostor Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání vektorů a reálný násobek vektoru, přičemž platí: a) V n je uzavřenou množinou vůči

Více

Báze a dimenze vektorových prostorů

Báze a dimenze vektorových prostorů Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 2. ZÁKLADY MAICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY V této kapitole se dozvíte: jak je definována reálná nebo komplexní matice a co rozumíme jejím typem; co jsou to prvky matice, co vyjadřují jejich indexy

Více

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28. INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška

Více

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic. 12. února 2018

Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic. 12. února 2018 Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic Přednáška první 12. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace 2 Soustavy lineárních rovnic 3 Matice Frobeniova věta Úvodní informace Olga Majlingová : Na Okraji, místnost

Více

VEKTOROVÝ PROSTOR. Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru.

VEKTOROVÝ PROSTOR. Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru. VEKTOROVÝ PROSTOR Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru. Soubor n-složkových vektorů je libovolná skupina vektorů,

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více