Svazy. Jan Paseka. Masarykova univerzita Brno. Svazy p.1/37
|
|
- Roman Havel
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Svazy Jan Paseka Masarykova univerzita Brno Svazy p.1/37
2 Abstrakt Zmíníme se krátce o úplných a distributivních svazech, resp. jaké vlastnosti má řetězec reálných čísel. Svazy p.2/37
3 Abstrakt V této kapitole budeme podrobněji studovat speciální uspořádané množiny Zmíníme se krátce o úplných a distributivních svazech, resp. jaké vlastnosti má řetězec reálných čísel. Svazy p.2/37
4 Abstrakt V této kapitole budeme podrobněji studovat speciální uspořádané množiny svazy. Zmíníme se krátce o úplných a distributivních svazech, resp. jaké vlastnosti má řetězec reálných čísel. Svazy p.2/37
5 Obsah přednášky Dolní závora a horní závora. Suprema a infima. Svazy a úplné svazy. Svazy p.3/37
6 Obsah přednášky Dolní závora a horní závora. Suprema a infima. Svazy a úplné svazy. Suprema a infima ohraničených množin reálných čísel. Svazy jako algebraická struktura. Distributivní svazy. Svazy p.3/37
7 Dolní závora Bud (A, ) uspořádaná množina a B A podmnožina. Prvek a A se nazývá dolní závora množiny B, jestliže pro každý prvek b B platí a b. Svazy p.4/37
8 Dolní závora Bud (A, ) uspořádaná množina a B A podmnožina. Prvek a A se nazývá dolní závora množiny B, jestliže pro každý prvek b B platí a b. Podmnožina B A se nazývá zdola ohraničená, má-li alespoň jednu dolní závoru v(a, ). Svazy p.4/37
9 Příklad dolní závora Příklad Z 1. V hasseovském diagramu a) je např. prvek {a} nebo prvek dolní závorou množiny {{a, b}, {a, c}}. Jiné dolní závory množina {{a,b}, {a,c}} nemá. a) Svazy p.5/37
10 Horní závora Bud (A, ) uspořádaná množina a B A podmnožina. Prvek a A se nazývá horní závora množiny B, jestliže pro každý prvek b B platí a b. Svazy p.6/37
11 Horní závora Bud (A, ) uspořádaná množina a B A podmnožina. Prvek a A se nazývá horní závora množiny B, jestliže pro každý prvek b B platí a b. Podmnožina B A se nazývá shora ohraničená, má-li alespoň jednu horní závoru v(a, ). Svazy p.6/37
12 Příklad horní závora Příklad Z 2. V hasseovském diagramu b) uspořádané množiny(n, ) je každé přirozené číslo dělitelné šesti horní závorou množiny {2, 3}. Jiné horní závory množina {2, 3} nemá. b) Svazy p.7/37
13 Duální pojmy Horní závora a dolní závora jsou duální pojmy. Svazy p.8/37
14 Duální pojmy Horní závora a dolní závora jsou duální pojmy. Prvek a A je horní závorou množiny B v(a, ) právě tehdy, když tento prvek je dolní závorou množiny B v duálně uspořádané množině(a, ). Svazy p.8/37
15 Duální pojmy Horní závora a dolní závora jsou duální pojmy. Prvek a A je horní závorou množiny B v(a, ) právě tehdy, když tento prvek je dolní závorou množiny B v duálně uspořádané množině(a, ). Podmnožina B je shora ohraničená v(a, ) právě tehdy, když je zdola ohraničená v(a, ). Svazy p.8/37
16 Příklad dolní a horní závora Příklad Z 3. V hasseovském diagramu c) uspořádané množiny(n, ) je každé přirozené číslo ostře větší než 2 horní závorou množiny {2,3} a každé přirozené číslo ostře menší než 3 dolní závorou množiny {2, 3}. Jiné horní resp. dolní závory množina {2, 3} nemá. c) Svazy p.9/37
17 Infimum Bud (A, ) uspořádaná množina a B A podmnožina. Svazy p.10/37
18 Infimum Bud (A, ) uspořádaná množina a B A podmnožina. Prvek a A se nazývá infimum množiny B, jestliže a je dolní závora množiny B a pro každou dolní závoru c A množiny B platí c a. Svazy p.10/37
19 Infimum Bud (A, ) uspořádaná množina a B A podmnožina. Prvek a A se nazývá infimum množiny B, jestliže a je dolní závora množiny B a pro každou dolní závoru c A množiny B platí c a. Takový prvek a je největší dolní závorou množiny B. Infimum množiny B, pokud existuje, je určeno jednoznačně a značí se symbolem inf B. Svazy p.10/37
20 Příklady infima I Příklad U 1. V uspořádané množině(n, ) má každá neprázdná podmnožina M N infimum inf M je jím nejmenší číslo v M. Svazy p.11/37
21 Příklady infima I Příklad U 1. V uspořádané množině(n, ) má každá neprázdná podmnožina M N infimum inf M je jím nejmenší číslo v M. Pro prázdnou množinu jakožto podmnožinu v N pak infimum neexistuje. Totiž každé číslo m N je dolní závorou prázdné množiny a(n, ) nemá největší prvek. Svazy p.11/37
22 Příklady infima II Příklad U 2. V uspořádané množině(n, ) má každá neprázdná podmnožina M N infimum inf M je jím největší společný dělitel čísel obsažených v M. Svazy p.12/37
23 Příklady infima II Příklad U 2. V uspořádané množině(n, ) má každá neprázdná podmnožina M N infimum inf M je jím největší společný dělitel čísel obsažených v M. Pro prázdnou množinu jakožto podmnožinu v N pak infimum neexistuje. Totiž každé číslo m N je dolní závorou prázdné množiny a(n, ) nemá největší prvek. Svazy p.12/37
24 Supremum Bud (A, ) uspořádaná množina a B A podmnožina. Svazy p.13/37
25 Supremum Bud (A, ) uspořádaná množina a B A podmnožina. Prvek a A se nazývá supremum množiny B, jestliže a je horní závora B a pro každou horní závoru c A množiny B platí c a. Svazy p.13/37
26 Supremum Bud (A, ) uspořádaná množina a B A podmnožina. Prvek a A se nazývá supremum množiny B, jestliže a je horní závora B a pro každou horní závoru c A množiny B platí c a. Takový prvek a je nejmenší horní závorou množiny B. Supremum množiny B, pokud existuje, je určeno jednoznačně a značí se symbolem sup B. Svazy p.13/37
27 Supremum a infimum A a Bud (A, ) uspořádaná množina. Pakinf A a sup existují právě tehdy, když v A existuje nejmenší prvek, a v tom případě platí inf A=sup =. Svazy p.14/37
28 Supremum a infimum A a Bud (A, ) uspořádaná množina. Pakinf A a sup existují právě tehdy, když v A existuje nejmenší prvek, a v tom případě platí inf A=sup =. Duální tvrzení platí prosupa ainf. Svazy p.14/37
29 Supremum a infimum A a Bud (A, ) uspořádaná množina. Pakinf A a sup existují právě tehdy, když v A existuje nejmenší prvek, a v tom případě platí inf A=sup =. Duální tvrzení platí prosupa ainf. To znamená, že tyto prvky existují právě tehdy, když v A existuje největší prvek, a v tom případě platísupa=inf =. Svazy p.14/37
30 Supremum a infimum, svaz Bud dále B A podmnožina. Existují-li prvky inf B, resp.supb, pak každý z těchto prvků může, ale obecně nemusí ležet v samotné množině B. Svazy p.15/37
31 Supremum a infimum, svaz Bud dále B A podmnožina. Existují-li prvky inf B, resp.supb, pak každý z těchto prvků může, ale obecně nemusí ležet v samotné množině B. První případ nastává právě tehdy, když množina B má nejmenší, resp. největší prvek. Tyto prvky pak představují prvkyinf B, resp.supb. Svazy p.15/37
32 Supremum a infimum, svaz Bud dále B A podmnožina. Existují-li prvky inf B, resp.supb, pak každý z těchto prvků může, ale obecně nemusí ležet v samotné množině B. První případ nastává právě tehdy, když množina B má nejmenší, resp. největší prvek. Tyto prvky pak představují prvkyinf B, resp.supb. Uspořádaná množina(a, ), v níž pro libovolné prvky a,b A existujísup{a,b} ainf{a,b}, se nazývá svaz. Svazy p.15/37
33 Příklady svazu Příklad S 1. První hasseovský diagram je svaz, druhý ne (stačí uvážit supremum množiny {a 1,a 2 }). Svazy p.16/37
34 Úplný svaz Uspořádaná množina(a, ), v níž pro libovolnou podmnožinu B A existujísupb ainf B, se nazývá úplný svaz. Svazy p.17/37
35 Úplný svaz Uspořádaná množina(a, ), v níž pro libovolnou podmnožinu B A existujísupb ainf B, se nazývá úplný svaz. V uspořádané množině(a, ) pro libovolné prvky a,b A platí a b inf{a,b}=a sup{a,b}=b. Svazy p.17/37
36 Úplný svaz Uspořádaná množina(a, ), v níž pro libovolnou podmnožinu B A existujísupb ainf B, se nazývá úplný svaz. V uspořádané množině(a, ) pro libovolné prvky a,b A platí a b inf{a,b}=a sup{a,b}=b. Tedy každý řetězec je svaz. Jsou ale řetězce, které nejsou úplnými svazy například řetězec (Q, ). Svazy p.17/37
37 Příklady úplného svazu I Příklad S 2. Oba hasseovské diagramy jsou úplné svazy, pokud je řetězec množina přirozených čísel. Pokud bude řetězec tvořen nezápornými racionálními čísly, úplnými svazy nebudou. Svazy p.18/37
38 Příklady úplného svazu II Příklad S 3. Hasseovský diagram uspořádané množiny D 180 znázorňuje úplný svaz. Svazy p.19/37
39 Příklady úplného svazu III Příklad S 4. Bud A množina a bud P(A) její potenční množina. Svazy p.20/37
40 Příklady úplného svazu III Příklad S 4. Bud A množina a bud P(A) její potenční množina. Pak v uspořádané množině(p(a), ) libovolná podmnožina Q P(A) má supremum i infimum a platí pro ně Svazy p.20/37
41 Příklady úplného svazu III Příklad S 4. Bud A množina a bud P(A) její potenční množina. Pak v uspořádané množině(p(a), ) libovolná podmnožina Q P(A) má supremum i infimum a platí pro ně sup Q= Q, inf Q= Q. Svazy p.20/37
42 Příklady úplného svazu III Příklad S 4. Bud A množina a bud P(A) její potenční množina. Pak v uspořádané množině(p(a), ) libovolná podmnožina Q P(A) má supremum i infimum a platí pro ně sup Q= Q, inf Q= Q. (Přitom pro podmnožinu P(A) zde chápeme jako A.) Je tedy(p(a), ) úplný svaz. Svazy p.20/37
43 Příklady úplného svazu IV Příklad S 5. Bud A množina. Připomeňme, že symbolem E(A) jsme značili množinu všech ekvivalencí na A. Svazy p.21/37
44 Příklady úplného svazu IV Příklad S 5. Bud A množina. Připomeňme, že symbolem E(A) jsme značili množinu všech ekvivalencí na A. Tyto ekvivalence jakožto relace na A, tedy jakožto podmnožiny v A A lze porovnávat množinovou inkluzí. Svazy p.21/37
45 Příklady úplného svazu IV Příklad S 5. Bud A množina. Připomeňme, že symbolem E(A) jsme značili množinu všech ekvivalencí na A. Tyto ekvivalence jakožto relace na A, tedy jakožto podmnožiny v A A lze porovnávat množinovou inkluzí. Vzniká tak uspořádaná množina(e(a), ), která tvoří úplný svaz. Svazy p.21/37
46 Příklady úplného svazu IV Příklad S 5. Bud A množina. Připomeňme, že symbolem E(A) jsme značili množinu všech ekvivalencí na A. Tyto ekvivalence jakožto relace na A, tedy jakožto podmnožiny v A A lze porovnávat množinovou inkluzí. Vzniká tak uspořádaná množina(e(a), ), která tvoří úplný svaz. Pro libovolné podmnožiny G, H E(A) existuje inf G= G asup H= G H, kde G H = {R E(A):H R H H}. Svazy p.21/37
47 Konečná suprema ve svazu Tvrzení. Bud (A, ) svaz. Pak pro libovolnou neprázdnou konečnou podmnožinu B A existujísupb ainf B. Svazy p.22/37
48 Konečná suprema ve svazu Tvrzení. Bud (A, ) svaz. Pak pro libovolnou neprázdnou konečnou podmnožinu B A existujísupb ainf B. Důsledek. Každý konečný neprázdný svaz je úplný. Svazy p.22/37
49 Konečná suprema ve svazu Tvrzení. Bud (A, ) svaz. Pak pro libovolnou neprázdnou konečnou podmnožinu B A existujísupb ainf B. Důsledek. Každý konečný neprázdný svaz je úplný. Věta. Bud (A, ) uspořádaná množina, v níž pro každou podmnožinu B A existujeinf B. Pak pro libovolnou podmnožinu C A existuje také supc. Svazy p.22/37
50 Řetězec reálných čísel Tvrzení. Každá neprázdná zdola ohraničená podmnožina M R má infimum v(r, ). Svazy p.23/37
51 Řetězec reálných čísel Tvrzení. Každá neprázdná zdola ohraničená podmnožina M R má infimum v(r, ). Každá neprázdná shora ohraničená podmnožina N R má supremum v(r, ). Svazy p.23/37
52 Řetězec reálných čísel Tvrzení. Každá neprázdná zdola ohraničená podmnožina M R má infimum v(r, ). Každá neprázdná shora ohraničená podmnožina N R má supremum v(r, ). Připojme k množině R dva nové prvky a a rozšiřme uspořádání z R na R {, } tak, aby pro každé r R platilo < r <. Tímto způsobem vzniká řetězec(r {, }, ). Důsledek. Řetězec(R {, }, ) je úplný svaz. Svazy p.23/37
53 Řetězec reálných čísel Tvrzení. Každá neprázdná zdola ohraničená podmnožina M R má infimum v(r, ). Každá neprázdná shora ohraničená podmnožina N R má supremum v(r, ). Připojme k množině R dva nové prvky a a rozšiřme uspořádání z R na R {, } tak, aby pro každé r R platilo < r <. Tímto způsobem vzniká řetězec(r {, }, ). Důsledek. Řetězec(R {, }, ) je úplný svaz. Svazy p.23/37
54 Značení Je-li(A, ) svaz, pak pro libovolné prvky a,b A prveksup{a,b} značíme krátce jako a b a prvek inf{a,b} značíme krátce jako a b. Svazy p.24/37
55 Značení Je-li(A, ) svaz, pak pro libovolné prvky a,b A prveksup{a,b} značíme krátce jako a b a prvek inf{a,b} značíme krátce jako a b. Takto jsou současně definována také dvě zobrazení : A A A a : A A A přiřazující každé dvojici(a,b) A A prvek a b, případně a b. Svazy p.24/37
56 Svaz jako algebraická struktura Tvrzení. Bud (A, ) svaz. Potom pro libovolné prvky a,b,c A platí následující rovnosti: a a=a (idempotence ) a a=a (idempotence ) Svazy p.25/37
57 Svaz jako algebraická struktura Tvrzení. Bud (A, ) svaz. Potom pro libovolné prvky a,b,c A platí následující rovnosti: a a=a a b=b a (idempotence ) (komutativita ) a a=a a b=b a (idempotence ) (komutativita ) Svazy p.26/37
58 Svaz jako algebraická struktura Tvrzení. Bud (A, ) svaz. Potom pro libovolné prvky a,b,c A platí následující rovnosti: a a=a a b=b a (a b) c=a (b c) (idempotence ) (komutativita ) (asociativita ) a a=a a b=b a (a b) c=a (b c) (idempotence ) (komutativita ) (asociativita ) Svazy p.27/37
59 Svaz jako algebraická struktura Tvrzení. Bud (A, ) svaz. Potom pro libovolné prvky a,b,c A platí následující rovnosti: a a=a a b=b a (a b) c=a (b c) a (a b)=a a a=a a b=b a (a b) c=a (b c) a (a b)=a (idempotence ) (komutativita ) (asociativita ) (absorbce) (idempotence ) (komutativita ) (asociativita ) (absorbce) Svazy p.28/37
60 Rovnocennost pohledu na svazy I Začněme nejprve se svazem(a, ), na němž výše uvedeným způsobem vznikají binární operace, : A A A, Svazy p.29/37
61 Rovnocennost pohledu na svazy I Začněme nejprve se svazem(a, ), na němž výše uvedeným způsobem vznikají binární operace, : A A A, Dostáváme algebraickou strukturu(a,, ), v níž jsou splněny výše uvedené rovnosti. Svazy p.29/37
62 Rovnocennost pohledu na svazy I Začněme nejprve se svazem(a, ), na němž výše uvedeným způsobem vznikají binární operace, : A A A, Dostáváme algebraickou strukturu(a,, ), v níž jsou splněny výše uvedené rovnosti. V(A, ) pro libovolné prvky a,b A platí a b a b=a a b=b. Svazy p.29/37
63 Rovnocennost pohledu na svazy I Začněme nejprve se svazem(a, ), na němž výše uvedeným způsobem vznikají binární operace, : A A A, Dostáváme algebraickou strukturu(a,, ), v níž jsou splněny výše uvedené rovnosti. V(A, ) pro libovolné prvky a,b A platí a b a b=a a b=b. Známe-li algebru(a,, ), můžeme z ní uspořádanou množinu(a, ) zpět rekonstruovat. Svazy p.29/37
64 Rovnocennost pohledu na svazy II Necht (A,, ) je algebra splňující uvedené rovnosti. Svazy p.30/37
65 Rovnocennost pohledu na svazy II Necht (A,, ) je algebra splňující uvedené rovnosti. Pak předchozí formulí je možno k ní pořídit uspořádanou množinu(a, ), která bude svazem, přičemž algebra odvozená z tohoto svazu bude totožná s algebrou výchozí. Svazy p.30/37
66 Rovnocennost pohledu na svazy III Tvrzení. Bud (A,, ) množina se dvěma binárními operacemi vyhovujícími všem podmínkám z předchozího tvrzení. Svazy p.31/37
67 Rovnocennost pohledu na svazy III Tvrzení. Bud (A,, ) množina se dvěma binárními operacemi vyhovujícími všem podmínkám z předchozího tvrzení. Pak relace na A definovaná pro každá a,b A předpisem a b a b=a a b=b je uspořádání a(a, ) je svaz. Svazy p.31/37
68 Rovnocennost pohledu na svazy III Tvrzení. Bud (A,, ) množina se dvěma binárními operacemi vyhovujícími všem podmínkám z předchozího tvrzení. Pak relace na A definovaná pro každá a,b A předpisem a b a b=a a b=b je uspořádání a(a, ) je svaz. Navíc pak v tomto svazu platí, že pro libovolná a,b A jesup{a,b}=a b ainf{a,b}=a b. Svazy p.31/37
69 Distributivní svazy I Tvrzení. Bud (A, ) libovolný svaz. Pak jsou následující dvě podmínky ekvivalentní: Svazy p.32/37
70 Distributivní svazy I Tvrzení. Bud (A, ) libovolný svaz. Pak jsou následující dvě podmínky ekvivalentní: ( ) ( a,b,c A)(a (b c)=(a b) (a c)), Svazy p.32/37
71 Distributivní svazy I Tvrzení. Bud (A, ) libovolný svaz. Pak jsou následující dvě podmínky ekvivalentní: ( ) ( a,b,c A)(a (b c)=(a b) (a c)), ( ) ( e,f,g A)(e (f g)=(e f) (e g)). Svazy p.32/37
72 Distributivní svazy I Tvrzení. Bud (A, ) libovolný svaz. Pak jsou následující dvě podmínky ekvivalentní: ( ) ( a,b,c A)(a (b c)=(a b) (a c)), ( ) ( e,f,g A)(e (f g)=(e f) (e g)). Svaz(A, ) splňující kteroukoliv z podmínek( ), ( ) uvedených v předchozím tvrzení se nazývá distributivní. Svazy p.32/37
73 Distributivní svazy I Tvrzení. Bud (A, ) libovolný svaz. Pak jsou následující dvě podmínky ekvivalentní: ( ) ( a,b,c A)(a (b c)=(a b) (a c)), ( ) ( e,f,g A)(e (f g)=(e f) (e g)). Svaz(A, ) splňující kteroukoliv z podmínek( ), ( ) uvedených v předchozím tvrzení se nazývá distributivní. Distributivita je samoduální vlastnost. Svazy p.32/37
74 Distributivní svazy I Tvrzení. Bud (A, ) libovolný svaz. Pak jsou následující dvě podmínky ekvivalentní: Svazy p.33/37
75 Distributivní svazy I Tvrzení. Bud (A, ) libovolný svaz. Pak jsou následující dvě podmínky ekvivalentní: ( ) ( a,b,c A)(a (b c)=(a b) (a c)), Svazy p.33/37
76 Distributivní svazy I Tvrzení. Bud (A, ) libovolný svaz. Pak jsou následující dvě podmínky ekvivalentní: ( ) ( a,b,c A)(a (b c)=(a b) (a c)), ( ) ( e,f,g A)(e (f g)=(e f) (e g)). Svazy p.33/37
77 Distributivní svazy I Tvrzení. Bud (A, ) libovolný svaz. Pak jsou následující dvě podmínky ekvivalentní: ( ) ( a,b,c A)(a (b c)=(a b) (a c)), ( ) ( e,f,g A)(e (f g)=(e f) (e g)). Svaz(A, ) splňující kteroukoliv z podmínek( ), ( ) uvedených v předchozím tvrzení se nazývá distributivní. Svazy p.33/37
78 Distributivní svazy I Tvrzení. Bud (A, ) libovolný svaz. Pak jsou následující dvě podmínky ekvivalentní: ( ) ( a,b,c A)(a (b c)=(a b) (a c)), ( ) ( e,f,g A)(e (f g)=(e f) (e g)). Svaz(A, ) splňující kteroukoliv z podmínek( ), ( ) uvedených v předchozím tvrzení se nazývá distributivní. Distributivita je samoduální vlastnost. Svazy p.33/37
79 Příklady distributivních svazů I Příklad D 1. Následující hasseovské diagramy znázorňují úplné svazy, které jsou distributivní. Svazy p.34/37
80 Příklady nedistributivních svazů I Příklad D 2. Následující hasseovské diagramy znázorňují úplné svazy, které nejsou distributivní. Svazy p.35/37
81 Příklady nedistributivních svazů I Příklad D 2. Následující hasseovské diagramy znázorňují úplné svazy, které nejsou distributivní. Například v uspořádané množině M n, n 3, máme rovnosti a 1 a 3 = =a 2 a 3, tj.(a 1 a 3 ) (a 2 a 3 ) =, ale (a 1 a 2 ) a 3 = a 3. Svazy p.35/37
82 Příklady nedistributivních svazů I Příklad D 2. Následující hasseovské diagramy znázorňují úplné svazy, které nejsou distributivní. Svazy p.36/37
83 Příklady nedistributivních svazů I Příklad D 2. Následující hasseovské diagramy znázorňují úplné svazy, které nejsou distributivní. V uspořádané množině N máme rovnosti a c=a, b c=, tj.(a c) (b c)=a, ale(a b) c=c a. Svazy p.36/37
84 Příklady distributivních svazů II Příklad D 3. Následující hasseovský diagram znázorňuje úplný distributivní svaz, který vznikl jako kartézský součin prvního a třetího svazu z příkladu D 1. Svazy p.37/37
Matematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VícePojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,
Vícep 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že
KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =
VícePŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů
PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Definujeme svazové kongruence a ukážeme jak pro vhodné binární relace svazu ověřit, že se jedná o svazové kongruence. Popíšeme svaz Con(A) kongruencí
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VíceM M. Je-li ρ M 2 relace, pak vztah (x, y) ρ zapisujeme x ρ y.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 8. Uspořádání asvazy Uspořádání je další užitečná abstraktní struktura na množině. Modeluje
VíceText může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
VíceMnožiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
VícePŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy
PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)
VíceÚlohy k procvičování textu o svazech
Úlohy k procvičování textu o svazech Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky - zadání
VíceMatematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:
Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní
VíceOproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.
Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice
VíceAplikovaná matematika I, NMAF071
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
VíceDoporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019
Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019 1. přednáška, 21. 2. 2019 1. Napište množina x je prázdná (přesněji množina x nemá žádné prvky ) formulí základního jazyka teorie množin. 2. Dokažte ((x
Více1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad
1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
VíceBooleovy algebry. Irina Perfilieva. logo
Booleovy algebry Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 25. března 2010 Outline 1 Komplementární svazy 2 Booleovy algebry 3 Věty o Booleových algebrách Outline 1 Komplementární svazy 2 Booleovy algebry
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz 26.9.2016 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická
VíceMarkl: 3.3.Svazy /ras33.doc/ Strana 1
Markl: 3.3.Svazy /ras33.doc/ Strana 1 3.3. Svazy V kapitole 2.4. jsme definovali svaz jako uspořádanou množinu, jejíž každé prvky mají uvnitř této množiny supremum a infimum, tj. definovali jsm e svaz
VíceMatematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25
Matematika 2 Úvod Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Studijní materiály web předmětu: aix-slx.upol.cz/ fiser St. Trávníček: Matematická analýza kag.upol.cz/travnicek/1-matan.
Více1 Základní pojmy. 1.1 Množiny
1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat
VíceTeorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.
Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při
Více0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
Více1. Množiny, zobrazení, relace
Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách
VíceMatematika IV - 7. přednáška Uspořádané množiny, svazy a Booleovy algebry
S Matematika IV - 7. přednáška Uspořádané množiny, svazy a Booleovy algebry Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 31. 3. 2008 O Uspořádané množiny Množinová a booleovská (Booleova) algebra
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice
VíceMatematika IV - 7. přednáška Uspořádané množiny, svazy a Booleovy algebry
Matematika IV - 7. přednáška Uspořádané množiny, svazy a Booleovy algebry Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 31. 3. 2008 O Uspořádané množiny Q Množinová a booleovská (Booleova) algebra
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 1. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 14. února 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VícePrincip rozšíření a operace s fuzzy čísly
Center for Machine Perception presents Princip rozšíření a operace s fuzzy čísly Mirko Navara Center for Machine Perception Faculty of Electrical Engineering Czech Technical University Praha, Czech Republic
Více3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům
RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních
VíceREÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
VíceÚvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce
Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky (logika) Naivní teorie množin Co je to množina? Množina je soubor prvků
VíceDefinice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí. x y = 1, x y = 0.
Kapitola 4 Booleovy algebry 4.1 Definice Definice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí x y = 1, x y = 0. Představu o
VíceMarie Duží
Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Co je to množina? Množina je soubor prvků a je svými prvky plně určena; množinu s prvky a, b, c značíme: {a, b, c}. Prvkem množiny může být opět množina, množina nemusí mít
VíceCo je to univerzální algebra?
Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé
VíceNAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5
NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.
Vícemnožinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,
Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:
Více3. Algebraické systémy
Markl: 3.1. Morfismy a kongruence /ras31.doc/ Strana 1 3. Algebraické systémy Na rozdíl od klasické algebry, jejíž ústředním tématem jsou rovnice a potřebný aparát pro jejich řešení /matice, polynomy,.../,
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
Více1. Posloupnosti čísel
1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VíceFormální systém výrokové logiky
Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)
VícePoznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.
2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny
VíceOmezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
VíceAritmetika s didaktikou I.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 02 Opakování základních pojmů - 2. část O čem budeme hovořit: Binární relace a jejich vlastnosti Speciální typy binárních relací
VícePro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní
VíceMnožiny, základní číselné množiny, množinové operace
2 Množiny, základní číselné množiny, množinové operace Pokud kliknete na některý odkaz uvnitř textu kromě prezentace, zobrazí se odpovídající příklad nebo tabulka. Levý Alt+šipka doleva nebo ikona Vás
VíceAplikovaná matematika 1 NMAF071, ZS
Aplikovaná matematika 1 NMAF071, ZS 2012-13 Milan Pokorný MÚ MFF UK Sylabus = obsah (plán) přednášky 1. Úvod: něco málo o logice, teorii množin, číslech a zobrazeních; posloupnosti 2. Funkce jedné reálné
VíceObsah. Množiny (opakování) Relace a zobrazení (opakování) Relace Binární relace na množině Zobrazení Rozklady, ekvivalence Uspořádání
Obsah Množiny (opakování) Relace a zobrazení (opakování) Relace Binární relace na množině Zobrazení Rozklady, ekvivalence Uspořádání lgebry lgebry s jednou operací lgebry se dvěma operacemi Svazy 2 Teorie
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
VíceVýroková a predikátová logika - VII
Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2018/2019 1 / 15 Platnost (pravdivost) Platnost ve struktuře
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceCílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.
1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat
VícePožadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15
Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
Více2. Test 07/08 zimní semestr
2. Test 07/08 zimní semestr Příklad 1. Najděte tříprvkový poset (částečně uspořádanou množinu), která má právě dva maximální a právě dva minimální prvky. Řešení. Takový poset je až na izomorfismus jeden:
VíceAnalýza internetových vyhledávačů metodami formální konceptuální analýzy
Analýza internetových vyhledávačů metodami formální konceptuální analýzy Analysis of internet search engines using formal concept analysis method Bc. Petr Fišnar Diplomová práce 2012 UTB ve Zlíně, Fakulta
VíceRELACE, OPERACE. Relace
RELACE, OPERACE Relace Užití: 1. K popisu (evidenci) nějaké množiny objektů či jevů, které lze charakterizovat pomocí jejich vlastnostmi. Entita je popsána pomocí atributů. Ty se vybírají z domén. Různé
VíceKaždé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
VíceKATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Olomouc
VícePříklad 4.1 Zapište pomocí kvantifikátorů definice minima, maxima, infima a suprema podmnožiny R. Čemu se rovná sup a inf? 2n M = 3n + 1 n N.
4 4. týden 4.1 supremum a infimum množiny Příklad 4.1 Zapište pomocí kvantifikátorů definice minima, maxima, infima a suprema podmnožiny R. Čemu se rovná sup a inf? Příklad 4.2 Zkuste uhádnout sup M, inf
Více2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se
MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina
VíceZáklady teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a
VíceZáklady teorie množin
Základy teorie množin Teorie Výběr základních pojmů: Množina Podmnožina Prázdná množina Označení běžně používaných množin Množinová algebra (sjednocení, průnik, rozdíl) Doplněk množiny Potenční množina
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
Více3 Množiny, Relace a Funkce
3 Množiny, Relace a Funkce V přehledu matematických formalismů informatiky se v této lekci zaměříme na základní datové typy matematiky, tj. na množiny, relace a funkce. O množinách jste sice zajisté slyšeli
VíceMatice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
VícePetr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125
Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125 Obsah 1 Množiny a číselné obory Množinové operace Reálná
VíceLimita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a
Více12. Booleova algebra, logická funkce určitá a neurčitá, realizace logických funkcí, binární kódy pro algebraické operace.
12. Booleova algebra, logická funkce určitá a neurčitá, realizace logických funkcí, binární kódy pro algebraické operace. Logická proměnná - proměnná nesoucí logickou hodnotu Logická funkce - funkce přiřazující
VíceÚlohy k procvičování textu o univerzální algebře
Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky
VíceAlgebra 2 KMI/ALG2. Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. slidy k přednáškám
Algebra 2 slidy k přednáškám KMI/ALG2 Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. Vytvořeno za podpory projektu FRUP_2017_052: Tvorba a inovace výukových opor
VíceModely Herbrandovské interpretace
Modely Herbrandovské interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 8 1 Uvedli jsme termové interpretace a termové modely pro logické programy a také nejmenší
VíceTOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. PAVEL RŮŽIČKA 4.1. (Kvazi)kompaktnost a sub-báze. Buď (Q, ) uspořádaná množina. Řetězcem v Q budeme rozumět lineárně
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
Více2.4. Relace typu uspořádání
Markl: 2.4.Relace typu uspořádání /ras24.doc/ Strana 1 2.4. Relace typu uspořádání Definice 2.4.1: na množině X je /částečné a neostré/ uspořádání, jestliže je současně refl exivní, antisymetrická a tranzitivní.
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
VíceZákladní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Sémantická věta o dedukci Věta Pro
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Relace, zobrazení, algebraické struktury Michal Botur Přednáška
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceTeorie grup 1 Příklad axiomatické teorie
Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
VíceDiskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004
Diskrétní matematika Roman Čada Tomáš Kaiser Zdeněk Ryjáček Katedra matematiky FAV Západočeská univerzita v Plzni 2004 ii Úvodem Máte před sebou text k přednášce Diskrétní matematika pro první ročník na
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí
Vícea = a 0.a 1 a 2 a 3...
Reálná čísla Definice 1 Nekonečným desetinným rozvojem čísla a nazýváme výraz a = a 0.a 1 a 2 a 3... kde a 0 je celé číslo a každé a i, i =1, 2,... je jedna z číslic 0,...,9. Pokud existuje m N takové,
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno
Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teorie čísel Nekonečno strana 2 Opakování z minulé přednášky Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl? Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský
VíceLebesgue Manuál. Josef Hekrdla 1. prosince (Vzniklo pro potřeby předmětu Matematická teorie signálů ) 1 Objem intervalu. 3
Lebesgue Manuál Josef Hekrdla 1. prosince 2011 (Vzniklo pro potřeby předmětu Matematická teorie signálů Obsah I Měřitelné množiny v R p Lebesgueova míra 3 1 Objem intervalu. 3 2 Objem otevřené množiny.
VíceCvičení 1. Úvod do teoretické informatiky(2014/2015) cvičení 1 1
Úvod do teoretické informatiky(2014/2015) cvičení 1 1 Cvičení 1 Příklad 1: Pro každý z následujících formálních zápisů množin uveďte(svými slovy), jaké prvky daná množina obsahuje: a) {1,3,5,7,...} b)
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 2. Homomorfismy V souvislosti se strukturami se v moderní matematice studují i zobrazení,
VíceFuzzy množiny, Fuzzy inference system. Libor Žák
Fuzzy množiny, Fuzzy inference system Proč právě fuzzy množiny V řadě případů jsou parametry, které vstupují a ovlivňují vlastnosti procesu, popsané pomocí přibližných nebo zjednodušených pojmů. Tedy
Více