Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Transkript

1 Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/

2 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

3 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

4 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

5 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

6 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

7 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

8 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

9 Obsah 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 2 / 93

10 Obsah přednášky Základní definice a označení 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 3 / 93

11 Základní definice a označení Základní definice a označení Definice Maticí typu m n (popř. (m, n))rozumíme uspořádanou soustavu m.n čísel zapsaných ve tvaru tabulky do m řádků a n sloupců. Matici typu m n zapisujeme a 11 a a 1n a 21 a a 2n..... a m1 a m2... a mn Čísla a 11, a 12,..., a mn nazýváme prvky matice, prvek ležící v i-tém řádku a j-tém sloupci značíme a ij. První index se nazývá řádkový, druhý sloupcový. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 4 / 93

12 Základní definice a označení Základní definice a označení Definice Nechť A je matice typu (m, n). Je-li m n, nazýváme A obdélníkovou maticí, pro m = n čtvercovou maticí. Číslo n pak nazýváme řádem čtvercové matice. Prvky a 11, a 22,..., a nn tvoří hlavní diagonálu, prvky a 1 n, a 2 n 1,..., a n1 vedlejší diagonálou. Matici typu (1, n) nazýváme řádkovou maticí (též řádkovým vektorem), matici typu (n, 1) sloupcovou maticí (sloupcovým vektorem). Definice Čtvercovou matici řádu n nazýváme diagonální, jsou-li všechny její prvky mimo hlavní diagonálu nulové, tj. a ij = 0 pro i j (i, j = 1, 2,..., n). V případě, že navíc platí a ii = 1 nazývá se diagonální matice jednotková a značí se E (nebo I ). Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 5 / 93

13 Základní definice a označení Základní definice a označení Definice Čtvercovou matici nazýváme dolní, resp. horní trojúhelníkovou maticí, jestliže všechny její prvky nad, resp. pod hlavní diagonálou jsou nulové, tj. jestliže a ij = 0 pro j > i, resp. i > j. Definice Čtvercovou matici A = (a ij ) nazýváme symetrickou, je-li a ij = a ji pro i, j = 1, 2,..., n. Čtvercovou matici A = (a ij ) nazýváme antisymetrickou, je-li a ij = a ji pro i, j = 1, 2,..., n. Matici typu (m, n) nazýváme nulovou, je-li a ij = 0 pro i {1,..., m}, j {1,..., n}. (Značíme ji O.) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 6 / 93

14 Základní definice a označení Základní definice a označení Příklady matic , , , ( ),, ,,, Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 7 / 93

15 Obsah přednášky Operace s maticemi 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 8 / 93

16 Rovnost matic Operace s maticemi Rovnost matic Definice (Rovnost matic) Dvě matice A = (a ij ), B = (b ij ) téhož typu (m, n) jsou si rovny (píšeme A = B), právě když a ij = b ij (i = 1,..., m; j = 1,..., n). Věta Rovnost matic má tyto vlastnosti: 1 A = A (reflexivnost) 2 A = B B = A (symetrie) 3 A = B, B = C A = C (tranzitivnost) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 9 / 93

17 Rovnost matic Operace s maticemi Rovnost matic Poznámka 1 Relace, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní, se nazývá ekvivalence. 2 Každá rovnost mezi maticemi je stručným zápisem právě jedné soustavy rovností mezi čísly. Příklad x t x 2 = x 3 t 3 4t x 1 = 1 + t x 2 = t x 3 = 3 4t Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 10 / 93

18 Operace s maticemi Součet matic a násobení matice číslem Součet matic a násobení matice číslem Definice Nechť A = (a ij ), B = (b ij ) jsou matice téhož typu (m, n). Součtem matic A, B rozumíme matici C = (c ij ) (píšeme C = A + B) typu (m, n), jejíž prvky jsou c ij = a ij + b ij (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n). Definice (Násobení matice číslem) Součinem matice A = (a ij ) s číslem k rozumíme matici C (píšeme C = ka) téhož typu jako A, pro jejíž prvky c ij platí c ij = ka ij Poznámka 1 Matici ( 1)A nazýváme maticí opačnou k matici A a označujeme ji A. 2 Jsou-li A, B téhož typu, nazýváme A + ( B) rozdílem matic A, B a píšeme A + ( B) = A B. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 11 / 93

19 Operace s maticemi Součet matic a násobení matice číslem Součet matic a násobení matice číslem Příklad Pro zadané matice A a B spočtěte matice C = A + B, D = 2A a E = 3A B. ( ) ( ) A = ; B = ( ) ( ) 1 + ( 1) 2 + ( 2) C = = ( 3) ( ) ( ) D = = ( 5) ( ) ( 3 1 ( 1) 3 2 ( 2) E = = ( 5) ( 3) ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 12 / 93

20 Operace s maticemi Součet matic a násobení matice číslem Součet matic a násobení matice číslem Věta Jsou-li A, B, C libovolné matice téhož typu, k, k 1, k 2 libovolná čísla, pak platí: 1 A + B = B + A (komutativní zákon) 2 A + (B + C) = (A + B) + C (asociativní zákon) 3 A + O = O + A = A (O je nulová matice téhož řádu jako A) 4 Ke každé maitci A existuje matice opačná ( A) tak, že A + ( A) = ( A) + A = O 5 1.A = A 6 k 1(k 2A) = (k 1k 2)A (asociativní zákon pro násobení číslem) 7 (k 1 + k 2)A = k 1A + k 2A 8 k(a + B) = ka + kb Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 13 / 93

21 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Definice (Součin matic) Nechť A = (a ij ) je matice typu (m, n), B = (b jk ) je matice typu (n, p). Součinem matice A s maticí B (v daném pořadí) rozumíme matici C = (c ik ) typu (m, p), pro jejíž prvky platí Píšeme C = AB. c ik = n a ij b jk, i = 1,..., m, k = 1,..., p. j=1 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 14 / 93

22 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Součin matic Pro zadané matice A a B spočtěte matice AB a BA A = ( ), B = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 15 / 93

23 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Součin matic ( ) = ( = ( 3) ) ( ) 11 = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 16 / 93

24 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Součin matic ( ) = ( = ( 3) ( 1) ) ( ) 11 1 = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 17 / 93

25 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Součin matic ( ) = ( = ( 3) ( 1) ( 1) ( 3) ( 2) 3 ) ( 11 1 = 1 ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 18 / 93

26 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Součin matic ( ( = = ) = ( 3) ( 1) ( 1) ( 3) ( 2) 3 ( 1) ( 2) ( 1) ( ) ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 19 / 93

27 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Součin matic = = ( ) = ( 1) ( 2) ( 3) ( 1) ( 3) ( 3) ( 3) ( 2) ( 1) ( 2) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 20 / 93

28 Součin matic Operace s maticemi Součin matic Věta (Základní vlastnosti součinu matic) Nechť A, B, C jsou matice, k-číslo. Pro násobení matic platí: 1 (AB)C = A(BC) (asociativní zákon) 2 k(ab) = (ka)b = A(kB) (asociativní zákon pro násobení součinu matic číslem) 3 (A + B)C = AC + BC 4 A(B + C) = AB + AC Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 21 / 93

29 Transpnování matic Operace s maticemi Transpnování matic Definice Nechť matice A = (a ij ) je typu (m, n). Potom matici a 11 a a m1 A T a 12 a a m2 =... a 1n a 2n... a mn typu (n, m) nazýváme transponovanou maticí k matici A. Věta (Základní vlastnosti transponování matic) 1 (A T ) T = A 2 (A + B) T = A T + B T 3 (AB) T = B T A T 4 (ka) T = ka T Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 22 / 93

30 Transpnování matic Operace s maticemi Transpnování matic Příklad Nalezněte matici X vyhovující rovnici 3X 5A + B T = X + 3B T + 3A ( ) A =, B = Řešení: 2X = 8A + 2B T X = 4A + B T ( X = ( X = ( ) X = ) + ) ( T ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 23 / 93

31 Obsah přednášky Hodnost matice 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 24 / 93

32 Hodnost matice Hodnost matice Definice Čtvercovou matici typu (p, p), která vznikne z matice A typu (m, n) vypuštěním m p řádků a n p sloupců, nazveme submaticí řádu p matice A. Determinant této submatice nazveme subdeterminantem (též minorem) řádu p matice A. Věta Jsou-li v matici A všechny subdeterminanty řádu p rovny nule, jsou rovny nule i všechny subdeterminanty řádu vyššího než p. Definice (Hodnost matice) Řekneme, že matice A má hodnost h, jestliže existuje alespoň jeden její subdeterminant řádu h různý od nuly a všechny její subdeterminanty řádu h + 1 (pokud existují) jsou rovny nule. Nulové matici přiřazujeme hodnost rovnu nule. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 25 / 93

33 Hodnost matice Hodnost matice Věta (Elementární operace) Hodnost matice se nemění: 1 vyměníme-li v matici řádky za sloupce (transponování) 2 výměnou dvou řádků nebo sloupců 3 násobením některého řádku nebo sloupce číslem k 0 4 přičtením k-násobku řádku (sloupce) k jinému řádku (sloupci) 5 přičteme-li k nějakému řádku (sloupci) lineární kombinaci ostatních řádků (sloupců) 6 připojením nového řádku (sloupce), který je lineární kombinací ostatních řádků (sloupců) 7 vynecháním řádku (sloupce), který je lineární kombinací ostatních řádků (sloupců) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 26 / 93

34 Hodnost matice Hodnost matice Věta Každou nenulovou matici lze převést úpravami z předchozí věty na lichoběžníkový (resp. stupňový) tvar. Věta Nechť A je nenulová matice typu (m, n), která má hodnost h. Pak existuje právě h řádků matice A tak, že ostatní řádky matice A jsou jejich lineární kombinací. Poznámka Na základě předchozích vět můžeme tedy stanovit hodnost matice i tak, že ji nejprve převedeme na lichoběžníkový (stupňový) tvar a její hodnost je pak rovna počtu nenulových řádků. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 27 / 93

35 Hodnost matice Hodnost matice Příklad Stanovte hodnost matice A. Řešení: r 2 = 2r 1 + r 2 r 3 = 2r 1 + r 3 r 4 = r 1 + r 4 A = Prohodíme r 2 a r 3. V matici jsou 2 stejné řádky. Jeden z nich tedy můžeme vynechat. Matici A jsme převedli na lichoběžníkový tvar, ve kterém jsou tři nenulové řádky. Hodnost matice je tedy 3 (h(a) = 3). Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 28 / 93

36 Hodnost matice Hodnost matice Příklad Stanovte hodnost matice A. Řešení: A = r 2 = 2r 1 + r 2 r 3 = 3r 1 + r 3 r 4 = r 1 + r r3 = 2r 2 + r 3 r 4 = 3r 2 + r 4 Matici A jsme převedli na stupňovitý tvar. Máme 2 nenulové řádky. Proto h(a) = 2. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 29 / 93

37 Obsah přednášky Determinanty 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 30 / 93

38 Determinanaty Determinanty Definice Determinantem n-tého řádu rozumíme číslo (které značíme A, popř. A, det(a), a ij ) přiřazené schématu a 11 a a 1n a 21 a a 2n..,.. a n1 a n2... a nn kde a ij jsou reálná nebo komplexní čísla a nazýváme je prvky determinantu, čísla a 11, a 22,..., a nn tvoří tzv. hlavní diagonálu, čísla a 1n, a 2,n 1,..., a n1 tzv. vedlejší diagonálu. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 31 / 93

39 Determinanaty Determinanty Sarrusovo pravidlo Poznámka Přechod od schématu k číslu nazýváme vyčíslením (výpočtem) determinantu. Samotné číslo nazýváme hodnotou determinantu. Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantů řádu 2 a 3 Determinanty řádu 2 a11 a12 a 21 a 22 = a11a22 a12a21. Determinanty řádu 3 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 a 31 a 32 a 33 a 13a 22a 31 a 12a 21a 33 a 23a 32a 11. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 32 / 93

40 Determinanty Sarrusovo pravidlo Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantů řádu 3 Příklad 1 Vypočtěte determinant = 2 ( 2) 3 1 = Vypočtěte determinant = ( 3) ( 5) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 33 / 93

41 Determinanty Sarrusovo pravidlo Sarrusovo pravidlo pro výpočet determinantů řádu 3 Příklad 1 Vypočtěte determinant = 2 ( 2) 3 1 = Vypočtěte determinant = ( 3) ( 5) ( ( 3) ( 5) ) = = ( ) = 15 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 34 / 93

42 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Definice Nechť A = a ij je determinant. 1 Subdeterminantem M ij přidruženým k prvku a ij rozumíme determinant, který vznikne z determinantu A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce, tj. řádku a sloupce, ve kterém leží prvek a ij. (Hovoříme též o minoru M ij.) 2 Algebraickým doplňkem A ij prvku a ij rozumíme subdeterminant přidružený k prvku a ij vynásobený číslem ( 1) i+j. Platí tedy A ij = ( 1) i+j M ij. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 35 / 93

43 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Určete subdeterminant a algebraický doplněk k prvku a 32 v determinantu A = , M 32 = = 5, A 32 = ( 1) = 5 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 36 / 93

44 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Věta Determinant je roven součtu prvků libovolného (ale pevně zvoleného) řádku (sloupce) násobených příslušnými algebraickými doplňky, tj. A = j a ij A ij = i a ij A ij. Tento vztah nazýváme rozvojem determinantu A podle i tého řádku (j-tého sloupce). Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 37 / 93

45 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle prvního řádku = = 1 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 38 / 93

46 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce A = = ( 1) 1+4 ( 1) ( 1)2+4 (2) ( 1) 3+4 (0) ( 1)4+4 (1) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 39 / 93

47 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce ( 1) 1+4 ( 1) +( 1) 3+4 (0) A = = ( 1)2+4 (2) ( 1)4+4 (1) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 40 / 93

48 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce A = = ( 1) 1+4 ( 1) ( 1)2+4 (2) ( 1) 3+4 (0) ( 1)4+4 (1) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 41 / 93

49 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce A = = ( 1) 1+4 ( 1) ( 1)2+4 (2) ( 1) 3+4 (0) ( 1)4+4 (1) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 42 / 93

50 Determinanaty Determinanty Rozvoj determinantu Příklad Vypočtěte determinant rozvojem podle čtvrtého sloupce = ( 1) 1+4 ( 1) + ( 1) 3+4 (0) A = ( 1)2+4 (2) + ( 1)4+4 (1) = = + = ( 1) 6 ( 11) + ( 1) 6 2 ( 22) + ( 1) 7 0 ( 24) + ( 1) 8 33 = = = 22 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 43 / 93

51 Determinanaty Determinanty Vlastnosti Vlastnosti determinantů 1 Hodnota determinantu se nezmění, vyměníme-li sloupce se řádky (transponováním). 2 Vyměníme-li v determinantu mezi sebou dva různé řádky (sloupce), změní se znaménko determinantu. 3 Obsahuje-li některý řádek (sloupec) determinantu samé nuly, je hodnota determinantu rovna nule. 4 Determinant, který má dva stejné řádky (sloupce), je roven nule. 5 Vynásobíme-li některý řádek (sloupec) determinantu číslem k, je hodnota nově vzniklého determinantu rovna k-násobku hodnoty původního determinantu. 6 Je-li některý řádek (sloupec) determinantu roven k-násobku jiného řádku (sloupce), je determinant roven nule. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 44 / 93

52 Determinanaty Determinanty Vlastnosti Vlastnosti determinantů 7 Jsou-li A, B, C determinanty lišící se pouze v k-tém řádku (sloupci), přičemž k-tý řádek (sloupec) determinantu C je součtem k-tých řádků (sloupců) determinantů A a B, je C = A + B. 8 Hodnota determinantu se nemění, přičteme-li k jednomu řádku (sloupci) k-násobek jiného řádku (sloupce). 9 Hodnota determinantu se nemění, přičteme-li k danému řádku (sloupci) lineární kombinai zbylých řádků (sloupců). 10 Jsou-li v determinantu všechny prvky nad (pod) hlavní diagonálou rovny nule, je hodnota determinantu rovna součinu prvků v hlavní diagonále. 11 Determinant je roven 0, právě když je některý jeho řádek (sloupec) lineární kombinací ostatních řádků (sloupců). Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 45 / 93

53 Determinanaty Determinanty Vlastnosti Příklad Vypočtěte determinant úpravou na schodovitý tvar A = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 46 / 93

54 Determinanaty Determinanty Vlastnosti Příklad A = = = = r 2 = 2r 1 + r 2 r 3 = 3r 1 + r 3 r 4 = 2r 1 + r = r2 = r 4 r 4 = r = r 3 = r 2 + r 3 r 4 = 3r 2 + r 4 r 3 = 1 2 r3 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 47 / 93

55 Determinanaty Determinanty Vlastnosti Příklad r 4 = 3r 3 + r 4 = = = ( 2) = 22 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 48 / 93

56 Determinanty Kondenzační metoda Kondenzační metoda výpočtu determinantů Věta Nechť je v determinantu A řádu n 3 prvek a Pak pro hodnotu determinantu platí vztah det A = a 2 n 11 det A, kde det A je determinant řádu n 1, jejíž prvky a ij, i, j = 1,..., n 1, jsou tvaru a ij = a11 a 1,j+1. a i+1,1 a i+1,j+1 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 49 / 93

57 Determinanty Kondenzační metoda Kondenzační metoda výpočtu determinantů Poznámky 1 Prvek a 11 se nazývá vůdčí prvek nebo pivot. 2 Je-li v determinantu prvek a 11 = 0, pak výměnou řádků, případně sloupců docílíme toho, aby na místě pivota bylo nenulové číslo, přičemž je třeba dbát na to, že při každé výměně řádků (sloupců) se mění znaménko determinantu. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 50 / 93

58 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad Vypočtěte determinant kondenzační metodou A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 51 / 93

59 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 52 / 93

60 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 53 / 93

61 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 54 / 93

62 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 55 / 93

63 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 56 / 93

64 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 57 / 93

65 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 58 / 93

66 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Příklad A = = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 59 / 93

67 Determinanty Kondenzační metoda Determinanaty Pokračování příkladu = = = = ( ) = 22 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 60 / 93

68 Obsah přednášky Inverzní matice 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 61 / 93

69 Inverzní matice Inverzní matice Definice Nechť A je daná matice. Existuje-li matice Z tak, že platí AZ = ZA = E, nazýváme ji inverzní maticí k dané maici A a značíme Z = A 1. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 62 / 93

70 Inverzní matice Inverzní matice Označení Nechť A = (a ij ) je čtvercová matice. Matici A 11 A A n1 A 12 A A n2...., A 1n A 2n... A nn kde A ij je algebraický doplněk prvku a ij, budeme nazývat adjungovanou maticí k matici A a značit adja (resp. A ). Věta Nechť A je čtvercová matice, jejíž determinant je různý od nuly. Pak matice je inverzní maticí k matici A. A 1 = 1 det A adja Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 63 / 93

71 Inverzní matice Inverzní matice Definice Čtvercová matice se nazývá regulární, je-li její determinant různý od nuly. Je-li det A = 0, hovoříme o singulární matici. Věta Inverzní matice ke čtvercové matici A existuje právě tehdy, je-li A regulární matice. Poznámka Inverzní matici k matici A lze také nalézt pomocí řádkových úprav matice. Sestavíme novou matici tak, že nejdříve napíšeme matici A a za ni matici E. Pro přehlednost je oddělíme čarou. Pomocí řádkových úprav převedeme matici před čarou na jednotkovou matici a matice za čarou se převede (pomocí stejných úprav) na matici inverzní k matici A. ( A E ) ( E A 1 ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 64 / 93

72 Inverzní matice Inverzní matice Příklad Určete matici inverzní k matici A = A 11 = ( 1) = 2 A23 = 2 1 ( 1) = 3 A 12 = ( 1) = 4 A31 = 1 3 ( 1) = 1 A 13 = ( 1) = 3 A32 = 2 3 ( 1) = 7 A 21 = ( 1) = 4 A33 = 2 1 ( 1) = 3 A 22 = ( 1) = 1 A = a 11A 11 + a 12A 12 + a 13A 13 = 2 ( 2) ( 3) 3 = 9. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 65 / 93

73 Inverzní matice Inverzní matice Pokračování příkladu Určete matici inverzní k matici A = A 1 = = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 66 / 93

74 Inverzní matice Inverzní matice Příklad - jiný postup Určete matici inverzní k matici A = A { }} { E { }} { Zaměníme 1. a 2. řádek r 1 + r 2 r 1 + r r 2 + r 3 r 3/3 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 67 / 93

75 Inverzní matice Inverzní matice Pokračování příkladu r 2 + 7r 3 r r 1 2r 2/ r 1 + r 3 } {{ } E A 1 = = } {{ } A Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 68 / 93

76 Obsah přednášky Maticové rovnice 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 69 / 93

77 Maticové rovnice Maticové rovnice Maticové rovnice typu A X = B Uvedenou rovnici vynásobíme matící A 1 zleva (za podmínky, že inverzní matice existuje): A 1 AX = A 1 B Protože pro inverzní matici platí A 1 A = E dostáváme: EX = A 1 B A konečně protože EX = X můžeme psát výsledek X = A 1 B Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 70 / 93

78 Maticové rovnice Maticové rovnice Příklad Vyřešte maticovou rovnici tvaru AX = B ( 2 3 A = 5 8 ), B = ( Řešení bude ve tvaru X = A 1 B. Nejdřve najdeme matici inverzní k matici A. ( ) A = 5 2 Pro matici X tedy platí ( 8 3 X = 5 2 ) ( ) = ) ( ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 71 / 93

79 Maticové rovnice Maticové rovnice Příklad Nalezněte matici X vyhovující rovnici AX = B A = 4 3 3, B = Řešení bude ve tvaru X = A 1 B. Nejdřve najdeme matici inverzní k matici A. A = ( ) = 0 Determinanat vyšel roven 0 což znamená, že k matici A neexistuje matice inverzní a danou maticovou rovnici nelze řešit pomocí inverzních matic. Lze však použít obecného postupu, kdy maticovou rovnici přepíšeme do soustavy rovnic. 3x 1 x 4 + 2x 7 = 3 3x 2 x 5 + 2x 8 = 9 3x 3 x 6 + 2x 9 = 7 4x 1 3x 4 + 3x 7 = 1 4x 2 3x 5 + 3x 8 = 11 4x 3 3x 6 + 3x 9 = 7 x 1 + 3x 4 = 7 x 2 + 3x 5 = 5 x 3 + 3x 6 = 7 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 72 / 93

80 Maticové rovnice Maticové rovnice Maticové rovnice typu X A = B Uvedenou rovnici vynásobíme matící A 1 zprava (za podmínky, že inverzní matice existuje): XAA 1 = BA 1 Protože pro inverzní matici platí AA 1 = E dostáváme: XE = BA 1 A konečně protože XE = X můžeme psát výsledek X = BA 1 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 73 / 93

81 Maticové rovnice Maticové rovnice Příklad Vyřešte maticovou rovnici tvaru XA = B A = 2 1 2, B = Nejdříve určíme matici inverzní k matici A A 1 = 0 1 2/ /3 Pro matici X platí X = BA X = / / = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 74 / 93

82 Maticové rovnice Maticové rovnice Příklad Vyřešte maticovou rovnici tvaru XA = B A = 2 2 2, B = X = BA 1 = ( ) ( = ) ( ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 75 / 93

83 Maticové rovnice Maticové rovnice Maticové rovnice typu A X B = C Uvedenou rovnici vynásobíme matící A 1 zleva a maticí B 1 zprava (za podmínky, že inverzní matice existují): A 1 AXBB 1 = A 1 CB 1 Protože pro inverzní matici platí A 1 A = E (a samozřejmě také BB 1 = E) dostáváme: EXE = A 1 CB 1 A konečně protože EXE = X můžeme psát výsledek X = A 1 CB 1 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 76 / 93

84 Maticové rovnice Maticové rovnice Příklad Vyřešte maticovou rovnici tvaru AXB = C A = 2 0 5, B = Pro matici x platí X = A 1 CB 1. Nejdříve vypočteme matice inverzní k maticím A a B. A 1 = B 1 = 1 3, C =, Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 77 / 93

85 Maticové rovnice Maticové rovnice Pokračování příkladu X = ( 1 ) ( 1 ) 3 2 = = 1 3 = = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 78 / 93

86 Obsah přednášky Příklady 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 79 / 93

87 Příklady Příklady k procvičení: Operace s maticemi 1 Určete x, y a z tak aby platilo A = B. ( ) ( x A =, B = 2 0 z 2 y 5 2 Pro dané matice A, B a C spočtěte 3A, A C, 2A B + 3C a určete matici X pro kterou platí A + 3X = 2B C + 2X A = , B = , C = ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 80 / 93

88 Příklady Příklady k procvičení: Součin matic a) Pro matice A a B, spočtěte matice AB a BA ( ) ( ) b) A =, B = c) A = 2 2 2, B = A = ( ) 1 2 2, B = Vypočtěte ( ) Vypočtěte ( ) ( ) ( ) T ( ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 81 / 93

89 Příklady Příklady k procvičení: Hodnost matice Určete hodnost matice Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 82 / 93

90 Příklady Příklady k procvičení: Determinanty Vypočítejte hodnoty determinantů ex e x 1 2e x Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 83 / 93

91 Příklady Příklady k procvičení: Determinanty Řešte v R x x 2 4x = 0 2 2x 3 x 1 1 x 0 x x = 0 3x x 7 < 0 Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 84 / 93

92 Příklady Příklady k procvičení: Determinanty Různými způsoby vypočítejte hodnotu determinantu Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 85 / 93

93 Příklady Příklady k procvičení: Inverzní matice K daným maticím určete inverzní matice (pokud existují). ( ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 86 / 93

94 Příklady Příklady k procvičení: Maticové rovnice Nalezněte matici X, která vyhovuje dané rovnici. ( ) ( ) X = X = ( ) ( ) ( ) X = ( ) ( ) ( ) X = ( ) ( ) ( ) C + XA = BA, kde A =, B =, C = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 87 / 93

95 Obsah přednášky Příklady pro samostatné studium 1 Základní definice a označení 2 Operace s maticemi Rovnost matic Součet matic a násobení matice číslem Součin matic Transpnování matic 3 Hodnost matice 4 Determinanty Sarrusovo pravidlo Rozvoj determinantu Vlastnosti Kondenzační metoda 5 Inverzní matice 6 Maticové rovnice 7 Příklady 8 Příklady pro samostatné studium Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 88 / 93

96 Příklady pro samostatné studium Příklady pro samostatné studium Příklad 1: Najděte matici X pro kterou platí: 3(A X ) + B = A 2X + C + 2B, kde A = , B = C = Příklad 2: Vypočtěte AB, BA a A T B pro matice A = 2 1 2, B = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 89 / 93

97 Příklady pro samostatné studium Příklady pro samostatné studium Příklad 3: Určete hodnost matice A Příklad 4: Vypočtěte determinant a) b) A = Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 90 / 93

98 Příklady pro samostatné studium Příklady pro samostatné studium Příklad 5: Kdaným maticím určete inverzní matice ( ) 3 5 a) b) c) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 91 / 93

99 Příklady pro samostatné studium Příklady pro samostatné studium Příklad 6: Nalezněte matici X, která vyhovuje dané rovnici a) X = ( ) ( ) b) X = c) 4 2 ( ) X ( ) = d) A + BX = C + 2AX, kde ( 1 2 A = 0 2 ), B = ( ) ( ) ( 2 1, C = 1 3 ) Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 92 / 93

100 Konec Následuje téma Soustavy lineárních rovnic. Lucie Doudová (UO Brno) Lineární algebra 93 / 93