Mendelova univerzita v Brně Lesnická a dřevařská fakulta Ústav nauky o dřevě

Transkript

1 Mendelova univerzita v Brně Lesnická a dřevařská fakulta Ústav nauky o dřevě Model vázaného pohybu vlhkostního a teplotního pole ve dřevě Disertační práce 2012 Miroslav Trcala

2 2

3 Prohlášení Prohlašuji, že jsem disertační práci na téma: Model vázaného pohybu vlhkostního a teplotního pole ve dřevě zpracoval sám a uvedl jsem všechny použité prameny. Souhlasím, aby moje diplomová práce byla zveřejněna v souladu s 47b Zákona č. 111/1998 Sb., o vysokých školách a uložena v knihovně Mendelovy univerzity v Brně, zpřístupněna ke studijním účelům ve shodě s Vyhláškou rektora MU v Brně o archivaci elektronické podoby závěrečných prací. Autor kvalifikační práce se dále zavazuje, že před sepsáním licenční smlouvy o využití autorských práv díla s jinou osobou (subjektem) si vyžádá písemné stanovisko univerzity o tom, že předmětná licenční smlouva není v rozporu s oprávněnými zájmy univerzity a zavazuje se uhradit případný příspěvek na úhradu nákladů spojených se vznikem díla dle řádné kalkulace. V Brně, dne:... Miroslav Trcala 3

4 Poděkování Děkuji mému školiteli doc. Dr. Ing. Petru Horáčkovi za rady a připomínky k této práci. Dále děkuji doc. Ing. Petru Koňasovi, Ph.D. za odborné diskuze, které pomohly nasměrovat mou práci. Velké poděkování patří prof. Ing. Janu Čermákovi, CSc. za dlouhodobou spolupráci a pomoc s publikacemi. V neposlední řadě chci touto cestou poděkovat lidem, kteří mi byli a stále jsou oporou, je to rodina, přítelkyně a všichni mí blízcí. 4

5 1 ÚVOD DETERMINISTICKÉ MODELOVÁNÍ FYZIKÁLNÍCH POLÍ VE DŘEVĚ STOCHASTICKÉ MODELOVÁNÍ FYZIKÁLNÍCH POLÍ VE DŘEVĚ MĚŘENÍ TRANSPIRAČNÍHO PROUDU A TEPELNÉ VODIVOSTI DŘEVA V KMENU STROMU CÍL PRÁCE LITERÁRNÍ PŘEHLED DETERMINISTICKÉ MODELOVÁNÍ FYZIKÁLNÍCH POLÍ VE DŘEVĚ STOCHASTICKÉ MODELOVÁNÍ FYZIKÁLNÍCH POLÍ VE DŘEVĚ MĚŘENÍ TRANSPIRAČNÍHO PROUDU A TEPELNÉ VODIVOSTI DŘEVA V KMENU STROMU METODIKA MODELOVÁNÍ FYZIKÁLNÍCH POLÍ VE DŘEVĚ BĚHEM SUŠENÍ NEBO V DŘEVOSTAVBÁCH Deterministické modelování fyzikálních polí ve dřevě Modelování vázaného teplotního a vlhkostního pole ve dřevě Simulace teplotního a vlhkostního pole ve dřevě Modelování vázaného teplotního, vlhkostního a deformačního pole ve dřevě Stochastické modelování fyzikálních polí ve dřevě Stochastické modelování difuzních problémů při sušení dřeva Stochastické modelování teplotních problémů v konstrukci dřevostavby MODELOVÁNÍ FYZIKÁLNÍCH POLÍ VE DŘEVĚ PŘI MĚŘENÍ TRANSPIRAČNÍHO PROUDU A TEPELNÉ VODIVOSTI V BĚLI KMENE STROMU Měření s lineárním ohřevem Metoda tepelné bilance kolem lineárního ohřevu Výpočet transpiračního toku a tepelné vodivosti současně Měření s objemovým ohřevem Současný stav metody tepelné bilance (THB metody) Vyjádření fiktivního toku v závislosti na tepelné vodivosti a okamžité hodnotě transpiračního toku ZÁVĚR SEZNAM POUŽITÉ LITERATURY PUBLIKACE AUTORA DISERTAČNÍ PRÁCE

6 1 Úvod V inženýrských problémech se často řeší úlohy spojené s tepelným a vlhkostním chováním dřeva. Setkáváme se s nimi například při sušení řeziva nebo u dřevostaveb, ale také při měření transpiračního proudu nebo tepelné vodivosti dřeva stromů. Dřevo jako materiál se složitou vnitřní strukturou se často v těchto situacích chová nepředvídatelně a k analýze tohoto chování je výhodné použít kvalitních fyzikálních a matematických přístupů, které umožní daný problém vyřešit. Jde především o přístupy, které pro popis těchto fyzikálních jevů využívají soustav parciálních diferenciálních rovnic s příslušnými okrajovými a počátečními podmínkami. Tyto soustavy jsou pak řešeny pomocí numerických metod (nejčastěji metodou konečných prvků). Snahou vědecko-výzkumných pracovníků je sestavit matematické modely těchto složitých fyzikálních jevů spojených s teplotně-vlhkostním chováním dřeva v různých úlohách dřevařské a lesnické praxe. Matematické modelování se stalo důležitým nástrojem při simulacích, analýzách, předvídání a optimalizaci různých procesů, jevů a chování systémů. Systém je v této práci chápán jako určitá abstrakce reálného světa, kterou si lidé vytvářejí během jeho poznání. Použití matematického modelu systému umožňuje zjistit informace o chování systému, i když ze skutečného systému je to nemožné nebo obtížné, urychluje, usnadňuje a racionalizuje proces poznání objektivní reality, umožňuje variantní řešení a tím i nalezení optimálního řešení a v neposlední řadě identifikuje a kvantifikuje nejistoty v hledaném řešení vzhledem k nejistotám ve vstupních údajích modelu. Matematické modely lze pro účely této práce rozdělit do dvou skupin: deterministické a stochastické. Model je vždy jen zjednodušením reálného systému, a obsahuje tak prvky, kterým se říká neurčitosti nebo nejistoty. S analýzou nejistot je úzce spojena tzv. analýza citlivosti. Zatímco při analýze nejistot charakterizujeme veškeré nejistoty na vstupu a chceme kvantifikovat celkovou neurčitost na výstupu modelu, při analýze citlivosti zkoumáme, jak konkrétně ovlivňují výstup jednotlivé parametry modelu. 6

7 1.1 Deterministické modelování fyzikálních polí ve dřevě Náplní této práce je popsat teplotně-vlhkostní stavy dřeva při jeho sušení nebo zabudování do stavby. Tento popis lze zajistit sestavením adekvátního matematického modelu. Aby mohl být odvozený matematický model využíván osobami bez hlubší znalosti matematiky a programování, jsou k němu vyvíjeny (programovány) aplikace. Tyto aplikace mají příjemné grafické uživatelské rozhraní, kde uživatel jednoduše zadá jen základní materiálové charakteristiky (rozměry, fyzikální vlastnosti jako hustota v absolutně suchém stavu apod.), parametry okolního prostředí (vzduchu) a aplikace sama spočítá a v přehledné formě zobrazí údaje o vlhkosti a teplotě uvnitř zvolené konstrukce dřevostavby nebo sušeného řeziva. Sušení řeziva je dynamický proces, při kterém se podmínky působící na dřevo mění s časem a dřevo vysychá nerovnoměrně v celém svém objemu. Tyto vnější podmínky regulujeme dle sušících režimů. Pro srovnání různých sušících režimů je důležité znát nejen energetickou a časovou nákladnost, ale i kvalitu sušení (vysušit na požadovanou vlhkost s minimálními odchylkami, udržovat vznikající vnitřní napětí v dovolených mezích). Tyto požadavky jsou často protichůdné a důležitou činností je pak optimalizace sušících režimů, jejíž výsledek (rozhodnutí o tom, který sušící režim je v konkrétním případě vhodné použít) ovlivňuje ekonomiku sušení a rozhoduje tak o hospodářské úspěšnosti či neúspěšnosti daného sušícího podniku. Pro získání představy o tom, který sušící režim je či není agresivní pro daný materiál, lze v současné době využít výše zmíněných počítačových simulací. Toto lze provést sestavením vhodného modelu, který co nejvěrněji popíše stavové proměnné, kterými jsou vlhkost a deformace sušeného materiálu. Z tohoto důvodu jsou k teplotně-vlhkostním rovnicím přidány rovnice popisující deformace vznikající v důsledku změn vlhkosti a v menší míře (často zanedbatelné) v důsledku změn teploty. 1.2 Stochastické modelování fyzikálních polí ve dřevě Cílem simulace je zjistit, jak se bude systém chovat pro zadaná vstupní data. Například jak se bude měnit vlhkostní pole (nebo deformačně-napěťové pole) ve dřevě během sušení pro zadaný sušící režim. Pokud tuto simulaci provedeme opakovaně pro různé sušící režimy, tak lze podle stanoveného kritéria (nejen fyzikálního, ale i 7

8 ekonomického apod.) rozhodnout o tom, který sušící režim je nejvhodnější pro sušení daného druhu řeziva. Ovšem toto řezivo je pro účely simulace bráno jako fyzikální kontinuum, které je jednoznačně definováno pomocí svých fyzikálních vlastností jako je hustota, měrné teplo, tepelná vodivost, vlhkostní vodivost apod. Tyto vlastnosti jsou stejně jako sušící režim vstupními daty, na kterých závisí výsledky simulace a tedy i přesnost, se kterou aproximujeme reálný systém (reálné vlhkostní pole). Tyto vlastnosti však mnohdy nejsou u dřeva známy s dostatečnou přesností a hodnota vlastnosti reálného systému je dost odlišná od tabelovaných průměrných hodnot. Je to dáno složitou strukturou dřeva, nepřesností měření materiálových vlastností a také lidskou neschopností přesně popsat všechny fyzikální zákonitosti. Tyto nejistoty ve vstupních parametrech modelu lze statistickými nástroji kvantifikovat a počítat s nimi při simulaci. Nejčastěji se tento problém řeší metodou Monte Carlo, která používá generátor pseudonáhodných čísel. Princip metody je jednoduchý. Pomocí generátoru náhodných čísel opakovaně generujeme hodnoty náhodných vstupních parametrů modelu a pro každý takto vygenerovaný vstup provedeme numerický výpočet, který je založen na standardním deterministickém modelu. Výsledky těchto simulací se ukládají a po provedení dostatečného počtu simulací se výsledky statisticky vyhodnotí, konkrétně se zjistí pravděpodobnostní rozložení výsledků (histogram) a vypočítá se průměr, směrodatná odchylka apod. V této práci je věnována pozornost speciální třídě metod, které jsou založené na sestavení tzv. spektrálního stochastického modelu, který je pomocí vhodných výpočetních programů řešen a výsledky jsou srovnány se statistickými výstupy metody Monte Carlo. Ukazuje se, že použití těchto spektrálních metod je u některých úloh výhodnější, protože dají stejný výsledek za mnohem kratší dobu výpočtu a tím se výrazně ušetří náklady na testování a vývoj nových konstrukcí nebo technologií. 1.3 Měření transpiračního proudu a tepelné vodivosti dřeva v kmenu stromu Vodní provoz rostlin je všeobecně spojen s největšími toky energie v ekosystémech. Voda je nejčastější přírodní limitující faktor růstu a nezbytným základem umožňujícím existenci dalších fyziologických procesů. Lesy jsou největším kontrolním mechanismem koloběhu vody na kontinentech a klimatu. Největší objem 8

9 struktur stromů a porostů představuje jejich vodo-vodivý systém, zahrnující jak dřevo, tak lýko. Změny velikosti tohoto vodivého systému představují růst. Současná technika nám umožňuje měřit mobilní soupravou přístrojů nezávislou na stacionárních objektech kvantitativní parametry vodního provozu, struktury a růstu na úrovni celých stromů a porostů a jejich kombinací i na úrovni povodí či větších lesních celků. Metod pro měření transpiračního proudu je několik (viz. kapitola 3 Literární přehled). Tato práce se zabývá metodami termodynamickými, které jsou zde rozděleny do dvou skupin. První skupinu tvoří metody, které pro měření transpiračního proudu využívají lineárního ohřevu měřeného místa (pomocí vyhřívané jehle) a druhou skupinu tvoří metody využívající objemového ohřevu v místě měření (například pomocí elektrod). Cíl obou metod je stejný - ze zákonů termodynamiky z naměřených teplotních diferencí odvodit transpirační proud. V prvním případě (lineární ohřev) je příkladem metoda deformace teplotního pole (HFD - heat field deformation) a ve druhém případě metoda tepelné bilance části kmene (THB - trunk heat balance). Metoda HFD je založena na měření teplotního pole kolem lineárního ohřevu (kolem vyhřívané jehly) vloženého do kmene v radiálním směru. Tato metoda je založena na poměru teplotních diferencí v axiálním a tangenciálním směru a umožňuje měřit v řadě bodů napříč bělí a tím získat radiální profily transpiračního proudu. Tyto diference jsou měřeny dvěma páry termočlánků vloženými (podobně jako ohřev) v injekční jehle z nerezové oceli o průměru 1.5 mm. Reverzní toky spojené s vodní redistribucí mohou být touto metodou také měřeny stejně jako noční resaturační toky, které poskytují cenné informace o vodním stavu rostlin. U velkých stromů může být HFD metoda použita, jen pokud aplikujeme multibodová teplotní čidla, která umožňují měření radiálního profilu transpiračního proudu a lze pak provést přibližnou integraci proudu přes celou tloušťku běle. Jednobodová teplotní čidla tedy mohou být použita pouze v případě malých kmenů, kořenů nebo větví. Nevýhodou této metody je (jako u všech metod s lineárním ohřevem) nejistota při měření velkých transpiračních proudů. Metoda THB je založena na výpočtu tepelné bilance rozměrově definované, mírně zahřívané části kmene. Přiváděné množství tepelné energie je odváděno kondukcí skrze rostlinná pletiva a také vodním (transpiračním) proudem, který těmito pletivy (xylemem) protéká. Většina tepla je odváděna proudící vodou a kondukcí (zahříváním pletiv v okolí měřiště) je ztracena menší část tohoto tepla (asi 10-20%). Tyto tepelné 9

10 ztráty zahrnuté do aplikovaných rovnic jsou částečně technicky eliminovány (tepelnou izolací měřiště např. polyuretanovou pěnou a jeho odstíněním proti přímé sluneční radiaci reflexním štítem), avšak přesto k nim dochází. Mění se spolu s tepelným polem v závislosti na intenzitě vodního proudu. Naproti tomu vliv změn obsahu vody v xylemu je zanedbatelný. Tepelné ztráty jsou zřetelně viditelné na záznamech vodního proudu jako určitá hodnota fiktivního toku, který je zaznamenáván i když skutečný proud se rovná nule. Jestliže vypočítáváme skutečnou hodnotu vodního toku, je nutné tento fiktivní tok ze zaznamenávaných dat odečíst. Jediným problémem, který je řešen v této práci, je jak tento fiktivní tok vypočítat. Je zde také řešen problém měření nulového a záporného toku pomocí nového zapojení se symetrickým uspořádáním termočlánků nad a pod vyhřívanou oblastí (elektrodami). 10

11 2 Cíl práce Cílem práce je v podobě matematických modelů a numerických simulací aplikovat současné teoretické poznatky z oblasti studie fyzikálních polí ve dřevě, zejména pole teplotního a vlhkostního, a tyto teoretické poznatky podle potřeb v daných oblastech dále rozvinout. Práce je zaměřena na studium fyzikálních polí ve dřevě v oblasti sušení řeziva nebo stavební fyziky u dřevostaveb. Dále se práce zabývá měřením transpiračního proudu a tepelné vodivosti dřeva v kmenu stromu. Přehledně jsou dílčí cíle práce shrnuty do následujících bodů: sestavení a řešení multifyzikálního modelu popisujícího teplotní a vlhkostní pole ve dřevě v mezích vody vázané s obecně-ortotropním charakterem materiálu návrh a vývoj aplikací pro simulaci vlhkostního a teplotního pole v řezivu během jeho teplovzdušného sušení nebo ve vybraných konstrukcích dřevostavby tak, aby tyto aplikace mohli využívat i uživatelé bez hlubších znalostí matematiky a programování rozšíření modelu o mechanickou analýzu (deformace a napětí), která je nezbytná při optimalizaci parametrů sušícího prostředí stochastické modelování vlhkostního pole ve dřevě během sušení stochastické modelování teplotního pole v rámové konstrukci dřevostavby měření transpiračního proudu a tepelné vodivosti dřeva lineárním ohřevem v bělové části kmene stromu měření transpiračního proudu a tepelné vodivosti dřeva objemovým ohřevem v bělové části kmene stromu 11

12 3 Literární přehled Pohyb vody ve dřevě lze rozdělit na objemový tok (popisován nejčastěji Darcyho zákonem) a molekulární nebo tzv. difuzní tok (popisován nejčastěji Fickovým zákonem). Teplo se šíří vedením (Fourierův zákon), prouděním nebo sáláním. Všechny zmiňované způsoby šíření tepla a vody ve dřevě mohou nastat ve všech možných kombinacích, tedy i všechny najednou. V této práci je u tzv. mrtvého dřeva pro účely sušení řeziva nebo stavební fyziky pozornost zaměřena na popis fyzikálních polí ve dřevě s vlhkostí pod mezí hygroskopicity (tedy v oblasti vody vázané, kdy dochází pouze k difuzi vody ve dřevě). U tzv. živého dřeva stromu je pro účely měření transpiračního proudu a tepelné vodivosti v běli kmene stromu brána do úvahy i konvekce (proudění tepla), ale pouze z makroskopického (fenomenologického) hlediska. 3.1 Deterministické modelování fyzikálních polí ve dřevě Vývoj matematických modelů popisující teplotní a vlhkostní pole (pod mezí hygroskopicity) ve dřevě byl založen na makroskopickém popisu těchto dvou fyzikálních polí (Avramidis et al. 1994). Tento makroskopický popis byl odvozen ze zmiňovaného Fourierova zákona pro teplotu a Fickova zákona pro vlhkost (Babiak 1995) a také ze zákonů termodynamiky (Stanish et al. 1985, Plumb et al. 1984, Beard et al. 1983, Thomas et al. 1980, Adesanya et al. 1988, Bramhall 1979a, 1979b, Liu 1990, Kayihan 1986, Avramidis a Siau 1987, Avramidis et al. 1992, Barbour a Johnson 1989). Termodynamický popis obou fyzikálních polí je vhodný při sestavování multifyzikálních (vázaných) matematických modelů. Jako první pro modelování pohybu vody ve dřevě byly použity difuzní modely (Sherwood 1929) a jsou stále běžně uplatňovány (Simpson 1993, Bramhall 1995). U listnatých dřev, lze k vůli jejich nepropustnosti pro tekutiny v příčném směru využít difuzních modelů pro šíření vlhkostního pole u dřev s vlhkostí pod i nad mezí hygroskopicity (Horáček 2004). U jehličnatých dřev tento předpoklad zaujmout nemůžeme (nelze zanedbat objemový tok tekutin v makrokapilárním systému dřeva), tedy difuzní modely se mohou při sušení použít u těchto dřev pouze s počáteční vlhkostí pod mezí hygroskopicity. Difuzní modely vycházející z gradientu vlhkosti (koncentrace 12

13 vody ve dřevě), jako konkrétní hybné síly celého difuzního děje, jsou nejrozšířenější (Droin et al. 1988, Droin-Josserand et al. 1988, 1989a, 1989b, Vergnaud 1991). Další hybnou silou difuze může být parciální tlak vodních par ve dřevě (Nelson 1986a, 1986b, 1986c, Siau 1983b, 1984a, 1984b, Cloutier et al. 1992). Pro teoretický popis multifyzikálních jevů se termodynamické modely zdají být nejužitečnější. Luikov (1966) a také Whitaker (1977) objevili způsob, jak popsat sdružený tepelný a vlhkostní pohyb při sušení dřeva, který je založen na ireverzibilních termodynamických procesech. Potíže při matematickém popisu vázaného šíření vlhkosti a tepla jsou vyvolány počtem fyzikálních mechanismů vysvětlující tento jev, vzájemnými závislosti mezi nimi a mnoha proměnnými, které s tím souvisejí. V případě šíření vlhkostního a teplotního pole bylo provedeno několik experimentů (Avramidis et al. 1994), ale doposud nebyly všechny navržené modely dostatečně verifikovány. Mnoho prací se zabývalo modelováním vlhkostních a tepelných toků v materiálech jako jsou polymery, dřevo nebo zemědělské produkty (Salin 1991, Kamke and Vanek 1994). Modely vlhkostních toků v závislosti na nestacionárních neisotermálních podmínkách nebyly experimentálně verifikovány, ačkoliv teorie se vyskytla už v práci (Siau 1983a). Vlhkostní a tepelný tok by měl být uvažován jako vázaný proces zohledňující: gradientem teploty indukovaný vlhkostní tok tzv. Soretův efekt (Siau 1984a, Avramidis et al. 1994) a tepelnou spotřebu vycházející z difuze vlhkosti tzv. Dufourův efekt (Siau 1992). Zmíněný termodynamický přístup tedy umožňuje v rovnici pro vlhkostního pole popsat fyzikální jev zvaný termodifuze. Další multifyzikální analýzy teplotního a vlhkostního pole jsou popsány v pracích (Voigt et al. 1940, Siau a Babiak 1983, Siau et al. 1986, Horáček 2004). Rychlost a kvalita teplovzdušného sušení jsou především ovlivňovány teplotou, vlhkostí a rychlostí proudění vzduchu, což jsou primární faktory, které rozhodují o průběhu sušení dřeva. Průběh sušení je však ovlivňován i vlastnostmi dřeva, které jsou většinou nezanedbatelně závislé na teplotě a vlhkosti. Za předpokladu konstantní hodnoty materiálových koeficientů mají rovnice lineární charakter a jejich řešení se podstatně zjednoduší. Ovšem je to mnohdy na úkor přesnosti řešení a dosažené výsledky se nemusí shodovat se skutečnými stavovými hodnotami. U dřeva je potřeba tyto materiálové koeficienty vyjádřit v závislosti na hodnotách stavových veličin (vlhkosti, teplotě). K popisu koeficientů difuze vody ve dřevě je možno použít vztahy z 13

14 Siau (1995) a Skaar (1988), pro koeficienty tepelné vodivosti MacLean (1941), pro měrné teplo Skaar (1988) a pro hustotu Kollmann (1951). Hodnoty teplotních a vlhkostních koeficientů pro numerické simulace sušícího procesu byly diskutovány v Soderstrom a Salin (1993), Avramidis et al. (1994), Siau (1995), Pang (1996), Plumb et al. (1985). Samotný materiál je nejčastěji považován za homogenní kontinuum, protože reálná stavba dřeva analytické i numerické postupy znesnadňuje. U tohoto homogenního kontinua se musí zohlednit anizotropní charakter dřeva. Materiálové koeficienty, které specifikují konkrétní materiál, musí být určeny pro každý anatomický směr dřeva. Tyto anatomické (hlavní) koeficienty se dají použít pouze u speciálně ortotropních těles. U těles s obecně ortotropním charakterem, jakými většinou reálná tělesa jsou, je nutné pomocí transformace další koeficienty dopočítat (Trcala 2012). Sušení dřeva je stále ve velké míře řízeno empirickými zkušenostmi. Z tohoto důvodu se mnozí výzkumníci už několik let snaží vyvinout model, kterým by kompletně popsali sušící proces na teoretické i praktické úrovni. Tyto modely se využívají k popisu sušícího procesu a nalezení způsobu, kterým by šla zvýšit kvalita sušení při současném snížení energetické spotřeby a času. Vývoj takových modelů je založen na studii tří fundamentálních jevů (přenos tepla, šíření vlhkosti a mechanické deformace). Řada teoretických modelů byla navržena a analyzována (např. Chen a Pei 1989, Irudayaraj et al. 1990), ale modely se nedají kompletně aplikovat tak, aby simulovaly reálný sušící proces. Důvodem je nízká komplexnost předkládaných modelů. Tato komplexnost je dána širokým rozsahem vázaných polí, specifikací okrajových podmínek, experimentálním vyhodnocováním materiálových charakteristik atd. (Koňas 2008). Dřevo při změnách vlhkosti mění své rozměry a také tvar. Těmto změnám se říká vlhkostní deformace a lze je popsat pomocí experimentálně zjišťovaných koeficientů vlhkostní deformace. V důsledku těchto deformací vznikají ve dřevě napětí, které lze pomocí konstitutivních vztahů z těchto deformací vypočítat. Pro malé deformace a předpoklad lineární závislosti napětí na těchto deformacích lze využít obecně známého Hookova zákona. V případě nelineární závislosti napětí na deformaci (plastické chování, viskoplastické chování apod.) je situace mnohem komplikovanější, ale numerická matematika již má nástroje, které tento problém dokáží vyřešit (například pomocí Newton-Raphsonovy metody). Výpočty značně komplikují i geometrické 14

15 nelinearity, které se vyskytují při velkých deformacích bez ohledu na to, zda je vztah mezi napětími a deformacemi lineární nebo nelineární. I tento problém je po matematické stránce vyřešen a existují softwary, které mají tyto matematické algoritmy implementovány. 3.2 Stochastické modelování fyzikálních polí ve dřevě Přesnost matematických modelů je dána, jak už bylo řečeno, zahrnutím všech fyzikálních jevů (multifyzikální úlohy), ale také přesností zadávaných materiálových vlastností. Hodnoty materiálových vlastností je obtížné přesně určit a v některých případech je to přímo vyloučeno. Bohužel materiálové vlastnosti dřeva patří k těmto případům, kdy nelze přesně předvídat hodnotu fyzikální nebo mechanické vlastnosti dřeva. Většinou je k dispozici jen průměrná hodnota materiálové vlastnosti a zřídka na internetu nebo v literatuře najdeme další důležité charakteristiky jako je směrodatná odchylka, typ pravděpodobnostního rozložení dané materiálové vlastnosti, přestože lze tyto údaje získat ze stejných dat, ze kterých byla vypočítána průměrná hodnota. Tyto informace jsou velmi důležité, protože umožňují kvantifikovat nejistotu v materiálových vlastnostech a tím umožňují tuto nejistotu v matematických modelech zohlednit a jako výsledek z těchto modelů získat nejenom informaci o průměrném chování reálného systému, ale navíc informaci o pravděpodobnostním chování systému pro všechny možné stavy výsledků simulací (předpovědí), které mohou nastat. Tímto přístupem je pak celá analýza systému zpřesněna a lze tak dospět k důkladnějšímu zhodnocení výstupů tohoto systému. Kvantifikace nejistot a jejich šíření skrze fyzikální systémy hraje důležitou roli při zlepšování vypovídací schopnosti (predikci) těchto systémů (Nouy 2009). Standardním přístupem pro řešení těchto problémů byla a stále je metoda Monte Carlo (MC). Tato metoda vzorkuje vstupní náhodné veličiny, pro každý vzorek vstupu počítá výstup systému a tyto výstupy pak statisticky vyhodnotí (Helton a Davis 2003). Tato metoda je stále široce využívána vzhledem k její robustnosti a jednoduché implementaci. MC metoda má však také nevýhody, hlavní z nich je pomalá konvergence. Pokud vyhodnocení výstupu pro každý vstupní vzorek je náročné (numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic pro každý vstupní vzorek), pak vyhodnocení pro tisíce vzorků může být dosti časově nákladné. V těchto případech je vhodné použít 15

16 jinou metodu, která by srovnatelného výsledku dosáhla za mnohem kratší čas a byla by tedy efektivnější (Xiu a Karniadakis 2002). Bylo vyvinuto a použito několik alternativních metod, které dokáží vypočítat nejistoty ve stochastických modelech (Hosder et al. 2006, Debusschere et al. 2004, Reagan et al. 2003, Isukapalli 1999, Debusschere et al. 2004, Mathelin et al. 2005). Jednou z těchto metod je spektrální metoda, která dokáže zohlednit nejistoty na vstupu a efektivně vypočítat nejistoty ve výstupech daného matematického modelu tvořeného parciálními diferenciálními rovnicemi (Constantine 2009). V posledních dvou desetiletí je zaznamenán rostoucí zájem o tyto spektrální metody, kterými se řeší tzv. stochastické diferenciální rovnice (obyčejné i parciální). V této práci je zaměřena pozornost na spektrální metody, které využívají tzv. polynomial chaos expansion hledaných náhodných výstupních veličin. Hlavní výhodou této metody jsou především nízké výpočetní náklady (hlavně časové, ale i paměťové). Ghanem a Spanos (1990) a Ghanem (1999) aplikovali tuto metodu ve svých pracích. Mathelin et al. (2004) tuto metodu použil pro stochastický popis turbulentních proudění. Xiu and Karniadakis (2003) analyzovali tok kolem válce a rozšířili metodu od původní Wienerovi formulace (1938), aby mohli zahrnout různé bázové funkce, které tvoří daný pravděpodobnostní prostor. Walters (2003) aplikoval polynomial chaos expansion metodu na dvoudimenzionální problém vedení tepla, ve kterém se nejistoty vyskytovaly v geometrii. Stochastické Eulerovy rovnice byly řešeny v pracích (Perez a Walters 2005). Polynomial chaos expansion metoda je založena na rozkladu náhodných veličin vyskytující se v matematickém modelu do bázových funkcí daného pravděpodobnostního prostoru. Koeficienty tohoto spektrálního rozkladu jsou neznámé funkce, které budou nalezeny pomocí Galerkinovy projekce. Po provedení známé Galerkinovy projekce postupně na každou z těchto bázových funkcí dostaneme ze stochastické parciální diferenciální rovnice soustavu vázaných deterministických parciálních diferenciálních rovnic, kterou lze řešit standardními numerickými metodami (například metodou konečných prvků). 16

17 3.3 Měření transpiračního proudu a tepelné vodivosti dřeva v kmenu stromu K měření transpiračního proudu jsou většinou používány metody založené na různých variantách termodynamického principu. Mnohem méně často jsou používány metody založené na jiných principech, např. magnetohydrodynamickém, elektrickém, nukleární magnetické rezonanci, využívající radioaktivních izotopů apod. Mezi nejčastěji ve světě používané termodynamické metody patří např. metoda tepelného pulzu (HPV), kdy je měřena postupná rychlost proudu dle pohybu tepelné vlny v krátkodobě zahřáté části kmene (Huber 1932, Huber a Schmidt 1936, Marshall 1958, Swanson 1971, Green a Clothier 1988) a metoda dissipace tepla (HD), vycházející z úměry mezi teplotou zahřívaného čidla a hustotou proudu (Granier 1985). Mezi metody, které poskytují kvantitativní údaje aniž by vyžadovaly jakoukoli kalibraci patří metoda tepelné bilance kmene (Daum 1967, Sakuratani 1981) a metoda deformace teplotního pole v kmeni, HFD (Naděždina a Čermák 1998 b, Naděždina et al a). Metoda deformace teplotního pole (heat field deformation - HFD) je založena na měření teplotního pole kolem lineárního ohřevu (kolem vyhřívané jehly) vloženému do kmene v radiálním směru (Nadezhdina et al. 1998a, 2002a, 2006; Čermák et al. 2004). Přední pohled na HFD zapojení s teplotním polem vypadá jako symetrická elipsa vzhledem k různým tepelným vodivostem kmene v příčném a podélném směru za podmínky nulového toku. Kmen je brán jako fyzikální kontinuum, ale při stanovení jeho tepelných vlastností je zohledňována skutečnost, že je běl kmene tvořena dřevní substancí, vodou a vzduchem. Vzorec HFD metody pro výpočet transpiračního proudu je odvozen ze závislosti tvaru teplotních isočar na aktuální hodnotě transpiračního proudu (na různé deformaci teplotního pole v důsledku různého transpiračního proudu). Tedy tvar elipsy, který má isočára teplotního pole za předpokladu nulového toku se v případě rostoucího toku více a více deformuje. Vzorec vyhodnocuje transpirační proud ze dvou měřených teplotních diferencí (symetrické vertikální dt sym a horizontální asymetrické dt asym ) a vychází z jejich poměru. Tyto diference jsou měřeny dvěma páry termočlánků vložené (podobně jako ohřev) do injekční jehly z nerezové oceli o průměru 1.5 mm. Reverzní toky spojené s vodní redistribucí (Daum 1967; Burgess et al. 1998) mohou být touto metodou také měřeny (Nadezhdina et al. 2009, 2010) stejně jako noční resaturační toky (Kunia 1955; Daum 1967; Burgess et al. 2000a; Brooks et al. 2002), které poskytují cenné informace o vodním stavu rostlin. U velkých stromů může být 17

18 HFD metoda použita, jen pokud aplikujeme multibodová teplotní čidla, které umožňují měření radiálního profilu transpiračního proudu (Čermák a Nadezhdina 1998; Nadezhdina a Čermák 1998a, 1998b; Nadezhdina et al. 2009, 2010). Nevýhodou této metody je (jako u všech metod s lineárním ohřevem) nejistota při měření velkých transpiračních proudů. Multibodová teplotní čidla umožňují vytvoření 3D obrazu transpiračního proudu v závislosti na umístění v běli (Čermák et al. 2004). Jednobodová teplotní čidla mohou být použita u metod založených na lineárním ohřevu pouze v případě malých kmenů, kořenů nebo větví (nad 10 mm v průměru). Metoda tepelné bilance kmene s přímým elektrickým ohřevem pletiv a vitřním měřením teploty (metoda THB) byla na lesnické fakultě v Brně původně vyvinuta pro velké stromy (Čermák a Deml 1974; Čermák et al., 1973, 1976, 1982; Kučera 1977; Kučera et al., 1977). Vychází z principu, že určité místo kmene, které je známým výkonem ohříváno je současně transpiračním proudem ochlazováno. Vybraná sekce kmene stromu je zahřívána zevnitř jouleovým teplem, které se uvolňuje při průchodu od země odděleného střídavého (aby nedocházelo k elektrolýze) elektrického proudu xylemem. Teplo je uvolňováno uvnitř kmene poměrně rovnoměrně a nedochází ke ztrátě energie ohřevem skrze krycí pletiva (především borku). Elektronické obvody jsou schopny udržovat konstantní přiváděný výkon P (který je přímo úměrný intenzitě proudu) nebo teplotní rozdíl dt mezi zahřívanou a nezahřívanou částí měřiště (která je nepřímo úměrná intenzitě proudu), zatímco změny druhé veličiny jsou zaznamenávány. (jiné způsoby regulace výkonu, (např. jeho změny s denní dobou) by mohly vést k významným chybám v důsledku tepelné inerce pletiv. THB metoda je robustní, poskytuje spolehlivá data po dlouhou dobu měření u stromů s průměrem kmene přes 15 cm pro různé dřeviny a podmínky prostředí a má dobré dynamické vlastnosti (Čermák a Kučera 1991), ikdyž v malé míře může výsledek ovlivnit teplotní setrvačnost. Tato metoda přibližně integruje radiální profil transpiračního proudu a byla používána jako standard pro testování jiných metod (Offenthaler and Hietz 1998; Schubert 1999). 18

19 4 Metodika Celou práci lze shrnout do následujících bodů: 1. Modelování fyzikálních polí ve dřevě během sušení nebo v dřevostavbách a) deterministické modelování sestavení matematického modelu popisující vázané šíření vlhkosti a teploty ve dřevě v mezích vody vázané s obecně-ortotropním charakterem materiálu (Trcala a Koňas, 2012) návrh a vývoj aplikací vycházející z výše odvozeného modelu a popisující vlhkostní a teplotní pole v řezivu během jeho teplovzdušného sušení nebo ve dřevě zabudovaném ve stavbě tak, aby je mohl použít uživatel bez hlubších znalostí matematiky a programování rozšíření modelu o mechanickou analýzu (deformace a napětí), která je nezbytná pro optimalizaci parametrů sušícího prostředí (Trcala a Koňas, submitted 2012) b) stochastické modelování stochastické modelování difuzních problémů při sušení dřeva (Trcala, submitted 2012a) stochastické modelování teplotních problémů v rámové konstrukci dřevostavby (Trcala, submitted 2012b) 2. Modelování fyzikálních polí ve dřevě při měření transpiračního proudu a tepelné vodivosti v běli kmene stromu měření s lineárním ohřevem (Trcala a Čermák, submitted 2011) měření s objemovým ohřevem (Trcala a Čermák, submitted 2012) 19

20 4.1 Modelování fyzikálních polí ve dřevě během sušení nebo v dřevostavbách Deterministické modelování fyzikálních polí ve dřevě Modelování vázaného teplotního a vlhkostního pole ve dřevě Jde o úlohy modelování a simulace teplotního a vlhkostního pole ve dřevě při jeho sušení nebo při jeho zabudování do obvodového pláště dřevostavby. Důraz je kladen na provázanost těchto dvou fyzikálních polí prostřednictvím Soretova efektu, Duforova efektu a závislosti materiálových vlastností na teplotě a vlhkosti. Je zohledněna anizotropie dřeva a jsou odvozeny transformační vztahy pro obecně-ortotropní případ modelu. Tímto způsobem je odvozena soustava parciálních diferenciálních rovnic s příslušnými okrajovými a počátečními podmínkami pro popis vázaného šíření vlhkostního a teplotního pole ve dřevě. Pro reálný popis distribuce zmíněných fyzikálních polí není možné použít Fickova a Fourierova zákona izolovaně. Difuzní přenos tepla a hmoty je možné, za předpokladu zavedení teorie kontinua a zohlednění anisotropie vlastností dřeva, popsat soustavou parciálních diferenciálních rovnic. V rovnicích vystupují jednak koeficienty z Fickova a Fourierova zákona, také ale koeficienty související například s termodifuzí (Horáček 2004). Tyto koeficienty byly odvozené z teorie termodynamické rovnováhy chemické (koncentrace vody-vlhkosti) a fyzikální (teplotní). Vycházelo se z abstraktní soustavy Luikovových rovnic se zahrnutím termodifuze a tepelných ztrát daných potřebou aktivační energie pro pohyb vody vázané. Odvození obou koeficientů není náplní této práce a je podrobněji popsáno v práci Horáčka (2004). Výsledný tvar koeficientu termodifuze vody ve dřevě (tzv. Soretův efekt) (Avramidis et al. 1994, Horáček 2004) lze zapsat v následujícím tvaru: E b ϕ EMC s = RT ϕ T, (4.1) kde EMC [-] je rovnovážná vlhkost dřeva (equilibrium moisture content), která je funkcí teploty T [K] a relativní vlhkosti vzduchu φ [-], EMC( ϕ, T ) = 1/ B ln( A / ln(1/ ϕ)), EMC / ϕ je tedy směrnice sorpční izotermy, Eb = M [Jmol -1 ] je aktivační energie vody 20

21 vázané, A = T, B = T jsou de Boer- Zwickerovy koeficienty a R [Jmol -1 K -1 ] je univerzální plynová konstanta. Obecně, tyto izotermy jsou specifické pro daný druh dřeva, protože diferenciální teplo sorpce se pro různé druhy dřev liší (Babiak 1990). Příslušná soustava rovnic potom vypadá následovně: M ( D M + sd T ) = 0 (4.2) t E b ρ T M C λ T = 0 t 1.8C t kde D je matice difuzních koeficientů, λ je matice koeficientů tepelné vodivosti, s je Soretův efekt [-/K], sd je matice difuzních koeficientů D vynásobená Soretovým efektem s, M je vlhkost [-], T je teplota [K], C je měrná tepelná kapacita [Jkg -1 K -1 ], ρ je hustota dřeva [kgm -3 ]. V modelu jsou zahrnuty okrajové podmínky 3. řádu. Tyto podmínky zachycují tok vlhkosti nebo tepla na povrchu tělesa. Zachycují tok ve směru kolmém na tento povrch a v podstatě popisují vypařování vody z povrchu tělesa nebo ohřev povrchu tělesa. Hustota difuzního toku je počítána z rozdílu mezi povrchovou vlhkostí a rovnovážnou vlhkostí dřeva odpovídající okamžitým okolním parametrům vzduchu. Matematicky jde o lineární vztah mezi hustotou vlhkostního toku a zmíněným rozdílem povrchové a rovnovážné vlhkosti. Vztah vypadá následovně: n ( D M + sd T ) = αm ( M Ω EMC), (4.3) kde α M je koeficient přestupu vlhkosti [ms -1 ], M Ω je vlhkost na povrchu tělesa [-], EMC je rovnovážná vlhkost dřeva [-]. Nejdůležitějším a také nejtěžším úkolem je přesné stanovení koeficientu přestupu vlhkosti α M (Siau 1992, Avramidis et al. 1994, Horáček 2004). Ten závisí na spoustě parametrů (vlhkosti, teplotě, tvaru a rozměrech tělesa, apod.). 21

22 Hustota tepelného toku je počítána analogicky (vychází z Newtonova zákona ochlazování) a má následující tvar: n λ T = αt ( T Ω Tair ), (4.4) kde α T je koeficient přestupu tepla [Wm -2 K -1 ], T Ω je teplota na povrchu tělesa [-], T air je teplota okolního vzduchu [K]. I zde je nejobtížnější stanovit koeficient přestupu. Ten závisí na spoustě jiných parametrech a všechny tyto závislosti jsou v této práci zohledněny a zahrnuty do modelu. Počáteční podmínky jsou zadány jako funkce polohy v tělese. V této práci jsou uváženy počáteční podmínky udávající rovnoměrně rozloženou vlhkost i teplotu po celém objemu tělesa. M=M 0 (4.5) T=T 0 Mohli by být uváženy i nekonstantní podmínky. Potom by šlo o počáteční podmínky zadané jako funkční závislosti. (,, ) M f x y z = M (4.6) T (,, ) T = f x y z Běžně je teplota dřeva před sušením v celém objemu rozložena rovnoměrně, ale vlhkost nikoliv. 22

23 Simulace teplotního a vlhkostního pole ve dřevě Pro výše uvedený model jsou vyvíjeny dvě aplikace, které uživatel může použít pro simulaci teplotního a vlhkostního pole ve dřevě při jeho sušení nebo ve dřevě zabudovaném ve stavbě. Obě aplikace jsou vytvářeny tak, aby je mohl použít uživatel bez hlubších znalostí matematiky a programování. Použití aplikací je velmi intuitivní a uživatel musí znát jen základní vstupní údaje, jako jsou rozměry, okolní teploty a vlhkosti vzduchu, počáteční teploty a vlhkosti a v případě stavební fyziky jen základní fyzikální vlastnosti (hustota, měrné teplo, tepelná vodivost, difuzní vodivost, apod.) materiálů dané konstrukce. Zde je základní jednoduché metodické schéma při vytváření aplikací: Fig. 4.1 Schéma postupu při vytváření aplikací pro simulaci teplotního a vlhkostního pole ve dřevě při jeho sušení nebo ve dřevě zabudovaném do stavební konstrukce. 23

24 Simulace teplotního a vlhkostního pole ve dřevě během sušení Aplikace je zaměřena především na analýzu procesu teplovzdušného sušení dřeva. Jde o aplikaci, kterou může uživatel využít bez větších znalostí fyziky, matematiky a programování k tomu, aby simuloval rozložení a průběh vlhkosti v čase uvnitř dřeva, které je vystaveno nějakému sušícímu režimu nebo obecně jakýmkoli parametrům okolního vzduchu. Aplikace je vytvořena v programu MATLAB a COMSOL Multiphysics. V programu COMSOL Multiphysics je zajištěno řešení matematického modelu popisující daný fyzikální problém sušení, v programu MATLAB je vytvořeno grafické uživatelské rozhraní (GUI) aplikace, zajištěna parametrizace úloh a obohacuje aplikaci o nezbytné programátorské prvky. Simulace teplotního a vlhkostního pole v konstrukci dřevostavby Je vyvíjena aplikace pro simulaci teplotního a vlhkostního pole ve vybraných konstrukcích dřevostavby. Je zde snaha o sestavení a implementaci modelu do aplikace, který bude popisovat vázané šíření tepla a vlhkosti v konstrukci dřevostavby obecně zapsaném v následujícím tvaru p T C pp + C pt ( K pp p + K pt T ) = 0 t t, p T CTp + CTT ( KTp p + KTT T ) = 0 t t (4.7) kde T je teplota, p je parciální tlak vodních par. Pro dřevo je problém vázaného šíření tepla a vlhkosti řešen rovnicemi (4.2) a je otázkou, jak tento model použít v rámci celé konstrukce, kde se vyskytují i nedřevěné materiály s velkými vzduchovými póry, ve kterých se šíření vlhkosti popisuje pomocí gradientu parciálního tlaku vodních par a sleduje se zároveň i tlak nasycených vodních par. Pokud hodnota parciálního tlaku vodních par přesáhne v některých místech konstrukce hodnotu tlaku nasycených vodních par, tak v tomto místě dojde ke kondenzaci vodních par. Kondenzace vodních par je nežádoucím jevem ve stavebních konstrukcích a je třeba, aby byla při návrzích konstrukcí vzhledem k daným 24

25 exteriérovým a interiérovým podmínkám posouzena a vyloučena pomocí co nejdůvěryhodnějších simulací. Simulace mohou být založeny na matematickém modelu, který principiálně vychází z následující teorie. Hustota difuzního toku může být vyjádřena v závislosti na gradientu koncentrace a také na gradientu parciálního tlaku vodních par. V případě gradientu koncentrace se ve vztahu vyskytuje tzv. difuzní koeficient D x a v případě gradientu parciálního tlaku vodních par tzv. součinitel difuzní vodivosti δ x. U dřeva je nám známa funkční závislost difuzního koeficientu D x na teplotě a vlhkosti a bylo vhodné toto zohlednit při simulaci teplot a vlhkostí uvnitř konstrukce obsahující dřevo jako konstrukční materiál. U ostatních stavebních materiálů jsou však především známy hodnoty součinitelů difuzní vodivosti δ x, protože kvůli možnosti kondenzace vodních par se v konstrukci sleduje parciální tlak vodních par p a jako hybné síly difuze se využívá gradientu této veličiny. Cílem této části práce tedy bylo vyjádřit u dřeva součinitel difuzní vodivosti ze známého difuzního koeficientu. Pro hustotu difuzního toku j x platí následující vztahy, ze kterých lze vyjádřit součinitel difuzní vodivosti dřeva δ x ze známého difuzního koeficientu D x : M jx = ρr Dx x j p = δ x, M p ρ D = δ r x x x, M δ = ρ D x x r x p, x x p M M ϕ M psat ρr M δ x = ρrdx = ρrdx = ρrd x = Dx p ϕ p ϕ p p ϕ sat (4.8) (4.9) a následně hledaný vztah pro hustotu difuzního toku ρ M p, ρr M j = D p p ϕ. (4.10) r jx = Dx p sat ϕ x sat Základní diferenciální rovnice pro popis vlhkostního pole ve dřevě vypadá následovně c j = 0 (4.11) t kde 25

26 p c M M ϕ M p M 1 p p p sat ρ ρ ρ (4.12) = = = = ρ p t t t t p t t sat r r r r 2 sat ϕ ϕ ϕ sat Redukovaná hustota se vykrátí a dostaneme následující tvar nestacionární rovnice M 1 p psat 1 M p 0 2 sat p p ϕ p sat t t D =, (4.13) psat ϕ po úpravě a dopsání rovnice popisující teplotní pole dostaneme následující soustavu dvou rovnic M 1 p M 1 p sat 1 M p p 0 2 D = ϕ psat t ϕ psat t psat ϕ (4.14) T ρc λ T = 0. t Problém lze také vyřešit tak, že u dřeva se bude řešit M a jinak se bude řešit p a na hranicích se tato dvě fyzikální pole provážou následujícími okrajovými podmínkami: ( ρ ) j = n δ p = n D c = n D M r. (4.15) Modelování vázaného teplotního, vlhkostního a deformačního pole ve dřevě V tomto bodě jsou ke stávajícím teplotně-vlhkostním rovnicím přidány rovnice popisující deformace a napětí ve dřevě, které vznikají při změnách vlhkosti a teploty. Vliv gradientu teploty na deformace dřeva je většinou zanedbatelný. Simulace je provedena na konkrétním experimentálním vzorku v programu Comsol Multiphysics s podporou programu MATLAB. Pro popis deformací a napětí je třeba definovat složky posunutí ve směru os x, y, z vektorem ( u, v, w ). Deformace jsou potom popsány symetrickým tensorem obsahující tři normálové složky ( ε x, ε y, ε z ) a v případě symetrie tři smykové složky ( xy, yz, xz ) ε ε ε. 26

27 Napětí jsou analogicky k deformacím popsány symetrickým tensorem o třech normálových ( σ x, σ y, σ z ) a třech smykových složkách ( xy, yz, xz ) τ τ τ. Vztah mezi napětími a deformacemi je v této práci popisován tzv. Hookovým zákonem, který předpokládá malé deformace a lineární vztah mezi napětími a deformacemi. Zaveďme následující značení u x v σ x ε x y σ y ε w y σ z ε z z σ = τ, ε = = 1 u v xy ε, (4.16) xy + τ 2 y x yz ε yz τ xz ε 1 v w xz + 2 z y 1 w u + 2 x z ε Mx CMET ε My CMER ε CME ( M M ) ε Myz 0 ε Mxz 0 Mz L Tz ε M = = 0 ε, T = = 0 Mxy 0 εtxy εtx CTET ε Ty CTER ε CTE L ε ( T T ) (4.17) 0 ε Tyz 0 ε Txz 0 kde ε M je vektor vlhkostních deformací, ε T je vektor teplotních deformací, CME T, CME R, CME L jsou koeficienty vlhkostní deformace a CTE T, koeficienty teplotní deformace. Potom podle Hookova zákona platí následující vztah CTE R, CTE L jsou kde σ = C(ε εm ε T ), (4.18) 27

28 C ( Cij ) Ex(1 µ yzµ zy ) Ex( µ yx + µ zxµ yz ) Ex( µ zx + µ yxµ zy ) Ey ( µ xy + µ xzµ zy ) Ey (1 µ zxµ xz ) Ey ( µ zy + µ zxµ xy ) E ( µ + µ µ ) E ( µ + µ µ ) E (1 µ µ ) = = z xz xy yz z yz xz yx z xy yx i, j= 1,.., G G G xy yz xz = 1 µ xyµ yx µ yzµ zy µ zxµ xz 2µ xyµ yzµ zx (4.19) je Hookova matice s mechanickými vlastnostmi material jako jsou moduly pružnosti E x, E y, E z a Poissonovy čísla µ kl, kde indexy k,l=x, y, z. Výsledná soustava tří parciálních diferenciálních rovnic pro neznámé tři složky posunutí ( u, v, w ) vypadá následovně: 2 u σ τ x xy τ xz ρ = F 2 t x y z 2 v τ xy σ y τ yz ρ = F 2 t x y z 2 w τ τ xz yz σ z ρ = F 2 t x y z x y z, (4.20) kde F=(F x, F y, F z ) značí vnější silové působení na těleso. 28

29 4.1.2 Stochastické modelování fyzikálních polí ve dřevě Stochastické modelování difuzních problémů při sušení dřeva Parciální diferenciální rovnice popisující nestacionární vlhkostní pole ve dřevě vypadá následovně: M t D M = 0, (4.21) kde D je matice difuzních koeficientů [m 2 s -1 ] and M je vlhkost [-]. Okrajové podmínky jsou dány přestupem vlhkosti z povrchu materiálu do okolního vzduchu. Pro numerické řešení byla použita následující okrajová podmínka: n D M = α ( ) M M Ω EMC, (4.22) kde α M koeficient přestupu vlhkosti [ms -1 ], M Ω je vlhkost povrchu sušeného materiálu [-], EMC je rovnovážná vlhkost dřeva [-]. Použitím polynomial chaos expansion je vlhkostní pole vyjádřeno následujícím způsobem (je rozloženo do bázových funkcí Φi ( ξ ) pravděpodobnostního prostoru) M ( x, t, ξ( ω)) = M i ( x, t) Φi ( ξ ). (4.23) i= 0 Matice difuzních koeficientů jako náhodná veličina: D D + σ ξ, (4.24) kde ξ je náhodná proměnná s rovnoměrným rozdělením pravděpodobnosti ξ U ( 1,1). Dosazením výrazů (4.23, 4.24) můžeme rovnice (4.21, 4.22) přepsat do tvaru 29

30 i= 0 M i ( x, t) Φi ( ξ) ( D + σξ ) M i ( x, t) Φ i ( ξ) = 0 t i= 0 (4.25) ( ξ ) n D + σ M ( x, t) Φ ( ξ ) = α ( M ( x, t) Φ ( ξ ) EMC). (4.26) i i M i i i= 0 i= 0 Galerkinovou projekcí rovnic (4.25, 4.26) do bázových funkcí { Φ j ( )} { 0,1,..., } ξ pro každé j = se obdrží soustava ( + 1) vázaných parciálních diferenciálních rovnic: i= 0 M i ( x, t) t ( ξ ) Φi ( ξ), Φ j ( ξ) D Φi ( ξ), Φ j ( ξ) + σ Φi ( ξ), Φ j ( ξ) M i ( x, t) = 0 (4.27) n i( ), j ( ) ξ ( ), ( ) D Φ ξ Φ ξ + σ Φi ξ Φ j ξ M i ( x, t) = α M M i ( x, t) Φi ( ξ), Φ j ( ξ) EMC 1, Φ j ( ξ). i= 0 i= 0 (4.28) Tato soustava je numericky pomocí metody konečných prvků řešena a výsledkem jsou koeficienty polynomial chaos expansion, ze kterých lze podle následujících vztahů přibližně spočítat průměr rozptyl E[ M (, t, ( ω))] E[ M (, t) ( )] M (, t) E[ ( )] M (, t) x ξ = x i Φ ξ i = x i Φ ξ i = x 0, (4.29) i= 0 i= [ ( x,, ξ( ω))] [( i ( x, ) i ( ξ) 0( x, )) ] [( i ( x, ) i ( ξ)) ] i= 0 i= 1 Var M t = E M t Φ M t = E M t Φ = M i t E i M i t i i i= 1 i= 1 = ( x, ) [ Φ ( ξ) ] = ( x, ) Φ ( ξ), Φ ( ξ ) (4.30) a směrodatnou odchylku výsledného vlhkostního pole [ (,, ( ω))] = 2 i (, ) Φi ( ), Φi ( ). i= 1 Std M x t ξ M x t ξ ξ (4.31) 30

31 Stochastické modelování teplotních problémů v konstrukci dřevostavby Parciální diferenciální rovnice popisující stacionární teplotní pole vypadá následovně: λ T = 0 (4.32) kde λ je matice koeficientů tepelné vodivosti dřeva [Wm -1 K -1 ] and T je teplota [K]. Okrajové podmínky jsou dány přestupem tepla mezi povrchem stěny a okolní vzduchem. Vztah mezi tepelným tokem z (do) stěny a rozdílem mezi povrchovou teplotou a teplotou okolního vzduchu je lineární: n λ T = αt ( T Ω Tair ), (4.33) kde α T je koeficient přestupu tepla [Wm -2 K -1 ], T Ω je povrchová teplota [K], T air je teplota okolního vzduchu [K]. Použitím polynomial chaos expansion je teplotní pole vyjádřeno následujícím způsobem (je rozloženo do bázových funkcí Φi ( ξ ) pravděpodobnostního prostoru) T ( xξ, ( ω)) = Ti ( x) Φi ( ξ ). (4.34) i= 0 Matice koeficientů tepelné vodivosti je brána jako náhodná veličina λ λ + σ ξ, (4.35) kde ξ je náhodná veličina rovnoměrného rozdělení pravděpodobnosti ξ U ( 1,1). Dosazením výrazů (4.34, 4.35) můžeme rovnice (4.32, 4.33) přepsat do tvaru ( λ + σξ ) Ti ( x) Φ i ( ξ ) = 0 i= 0 (4.36) ( + ξ ) Ti ( ) Φ i ( ) = αt Ti ( ) Φi ( ) Text. i= 0 i= 0 (4.37) 31

32 Galerkinovou projekcí rovnic (4.36, 4.37) do bázových funkcí { Φ j ( )} { 0,1,..., } ξ pro každé j = se obdrží soustava ( + 1) vázaných parciálních diferenciálních rovnic: i= 0 ( ξ ) λ Φi ( ξ), Φ j ( ξ) + σ Φi ( ξ), Φ j ( ξ) Ti ( x ) = 0 (4.38) n i ( ), j ( ) ξ ( ), ( ) λ Φ ξ Φ ξ + σ Φi ξ Φ j ξ Ti ( x) = αt Ti ( x) Φi ( ξ), Φ j ( ξ) Text 1, Φ j ( ξ) i= 0 i= 0 (4.39) a pro části konstrukce s deterministickými koeficienty tepelné vodivosti i= 0 ( ) λ Φi ( ξ), Φ j ( ξ) Ti ( x ) = 0 (4.40) n ( ), ( ) λ Φi ξ Φ j ξ Ti ( x) = αt Ti ( x) Φi ( ξ), Φ j ( ξ) Text 1, Φ j ( ξ) i= 0 i= 0 (4.41) Tato soustava je numericky pomocí metody konečných prvků řešena a výsledkem jsou koeficienty polynomial chaos expansion, ze kterých lze podle následujících vztahů přibližně spočítat průměr rozptyl xξ ω = x i Φ ξ i = x i Φ ξ i = x 0, (4.42) i= 0 i= 0 E[ T (, ( ))] E[ T ( ) ( )] T ( ) E[ ( )] T ( ) 2 2 [ ( xξ, ( ω))] [( i ( x) i ( ξ) 0( x)) ] [( i ( x) i ( ξ)) ] i= 0 i= 1 Var T = E T Φ T = E T Φ = Ti E i Ti i i i= 1 i= 1 = ( x) [ Φ ( ξ) ] = ( x) Φ ( ξ), Φ ( ξ) (4.43) a směrodatnou odchylku výsledného teplotního pole 2 [ (, ( ω))] = Ti ( ) Φi ( ), Φi ( ) i= 1 Std T xξ x ξ ξ. (4.44) 32

33 4.2 Modelování fyzikálních polí ve dřevě při měření transpiračního proudu a tepelné vodivosti v běli kmene stromu Modelování a simulace jevů při měření transpiračního proudu a tepelné vodivosti termodynamickými metodami jsou založeny na řešení známé parciální diferenciální rovnice popisující teplotní pole pro kondukčně-konvekční šíření tepla v anisotropním kontinuu (Tatarinov et al., 2005): kde T ρc = qconduction + qconvection + P, (4.45) t qconduction = T T λ, qconvection = cww y a potom dostáváme výsledný tvar rovnice ρ T T c = T + c + P t y (4.46) λ w w, (4.47) kde T je teplota (K), w je hustota transpiračního proudu (kg.m -2.s -1 ), λ je matice koeficientů tepelné vodivosti čerstvého bělového dřeva (W.m -1.K -1 ), ρ je hustota čerstvého bělového dřeva (kg.m -3 ), c je měrné teplo čerstvého bělového dřeva (J.kg -1.K - 1 ), c w je měrné teplo vody (J.kg -1.K -1 ), P je zdroj tepla (W.m -3 ). Tuto rovnici lze použít pro simulaci lineárního nebo objemového ohřevu části běle s libovolně definovanou hodnotou hustoty transpiračního proudu w. Tyto simulace jsou provedeny v softwarech COMSOL Multiphysics a MATLAB a jsou založeny na řešení výše zminěné rovnice pomocí metody konečných prvků (finite element method FEM) Měření s lineárním ohřevem Metoda tepelné bilance kolem lineárního ohřevu Byla vyvinuta nová tzv. Metoda tepelné bilance kolem lineárního ohřevu, anglicky Linear Heat Balance method LHB method, která při měření sap flow 33