VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál"

Transkript

1 VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu I, jestliže pro kždé x I existuje F (x) pltí F (x) = f(x). Vět (jednoznčnost primitivní funkce). Nechť F G jsou primitivní funkce k funkci f n otevřeném intervlu I. Pk existuje c R tk, že F (x) = G(x) + c pro kždé x I. Poznámk. nožinu všech primitivních funkcí k funkci f znčíme symbolem f(x) dx. Skutečnost, že F je primitivní funkcí k f n I zpisujeme f(x) dx c = F (x), x I. Vět 2 (o existenci primitivní funkce). Nechť f je spojitá funkce n neprázdném otevřeném intervlu I. Pk f má n I primitivní funkci. Tvrzení 3 (linerit neurčitého integrálu). Nechť funkce f má n otevřeném intervlu I primitivní funkci F, funkce g má n I primitivní funkci G α, β R. Potom funkce αf + βg je primitivní funkcí k αf + βg n I. Primitivní funkce k některým důležitým funkcím x n dx = c xn+ n R pro n N {0}; n + n (, 0) n (0, ) pro n Z, n <, x α dx = c xα+ n (0, + ) pro α R \ { }, α + x dx = c log x n (0, + ), x dx = c log( x) n (, 0), e x dx = c e x n R, sin x dx = c cos x n R, cos x dx = c sin x n R, cos 2 x dx = c tg x n kždém z intervlů ( π 2 + kπ, π 2 + kπ), k Z, sin 2 x dx c = cotg x n kždém z intervlů (kπ, (k + )π), k Z, + x 2 dx c = rctg x n R, x 2 dx c = rcsin x n (, ),

2 dx = c rccos x n (, ). x 2 Vět 4 (o substituci). (i) Nechť F je primitivní funkce k f n (, b). Nechť je ϕ funkce definovná n (α, β) s hodnotmi v intervlu (, b), která má v kždém bodě t (α, β) vlstní derivci. Pk f ( ϕ(t) ) ϕ (t) dt = c F ( ϕ(t) ) n (α, β). (ii) Nechť funkce ϕ má v kždém bodě intervlu (α, β) vlstní derivci, která je buď všude kldná, nebo všude záporná, ϕ ( (α, β) ) = (, b). Nechť funkce f je definovná n intervlu (, b) pltí f ( ϕ(t) ) ϕ (t) dt = c G(t) n (α, β). Pk f(x) dx c = G ( ϕ (x) ) n (, b). Vět 5 (integrce per prtes). Nechť I je neprázdný otevřený intervl, funkce f g jsou spojité n I, F je primitivní funkce k f n I G je primitivní funkce ke g n I. Pk pltí g(x)f (x) dx = G(x)F (x) G(x)f(x) dx n I. Integrce rcionálních funkcí Definice. Rcionální funkcí budeme rozumět podíl dvou polynomů, kde polynom ve jmenovteli není identicky roven nule. Vět ( zákldní vět lgebry ). Nechť n N, 0,..., n C, n 0. Pk rovnice má lespoň jedno řešení z C. n z n + n z n + + z + 0 = 0 Lemm 6 (o dělení polynomů). Nechť P Q jsou dv polynomy (s komplexními koeficienty), přičemž polynom Q není identicky roven nule. Pk existují jednoznčně určené polynomy R Z splňující: Polynom Z je nulový nebo má stupeň menší než stupeň Q. P (x) = R(x)Q(x) + Z(x) pro všechn x C. Pokud mjí P Q reálné koeficienty, mjí i R Z reálné koeficienty. Důsledek. Je-li P polynom λ C je jeho kořen (tj. P (λ) = 0), pk existuje polynom R, pro který pltí P (x) = (x λ)r(x) pro x C. Vět 7 (o rozkldu n kořenové činitele). Nechť P (x) = n x n + + x + 0 je polynom stupně n. Pk existují čísl x,..., x n C tková, že P (x) = n (x x ) (x x n ), x R. Definice. Nechť P je polynom, λ C k N. Řekneme, že λ je kořen násobnosti k polynomu P, jestliže existuje polynom R, který splňuje R(λ) 0 P (x) = (x λ) k R(x) pro x C. (Tj. násobnost kořene λ je rovn počtu výskytů čísl λ v n-tici x, x 2,..., x n z věty 7.) Tvrzení 8 (o kořenech polynomu s reálnými koeficienty). Nechť P je polynom s reálnými koeficienty z C je kořen P násobnosti k N. Pk i komplexně sdružené číslo z je kořenem P násobnosti k. Vět 9 (o rozkldu polynomu s reálnými koeficienty). Nechť P (x) = n x n + + x + 0 je polynom stupně n s reálnými koeficienty. Pk existují reálná čísl x,..., x k, α,..., α l, β,..., β l přirozená čísl p,..., p k, q,..., q l tková, že 2

3 P (x) = n (x x ) p (x x k ) p k (x 2 + α x + β ) q (x 2 + α l x + β l ) q l, žádné dv z mnohočlenů x x, x x 2,..., x x k, x 2 + α x + β,..., x 2 + α l x + β l nemjí společný kořen, mnohočleny x 2 + α x + β,..., x 2 + α l x + β l nemjí žádný reálný kořen. Vět 0 (o rozkldu n prciální zlomky). Nechť P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty tkové, že stupeň P je ostře menší než stupeň Q, Q(x) = n (x x ) p (x x k ) p k (x 2 + α x + β ) q (x 2 + α l x + β l ) q l, n, x,..., x k, α,..., α l, β,..., β l R, n 0, p,..., p k, q,..., q l N, žádné dv z mnohočlenů x x, x x 2,..., x x k, x 2 + α x + β,..., x 2 + α l x + β l nemjí společný kořen, mnohočleny x 2 + α x + β,..., x 2 + α l x + β l nemjí žádný reálný kořen. Pk existují jednoznčně určená reálná čísl A,..., A p,..., A k,..., A k p k, B, C,..., Bq, Cq,..., B, l C, l..., Bq l l, Cq l l tková, že pltí P (x) Q(x) = A (x x ) + + A p (x x ) p + + Ak (x x k ) + + A k p k (x x k ) p k + + B x + C (x 2 + α x + β ) + + B q x + C q (x 2 + α x + β ) q + Bx l + C l (x 2 + α l x + β l ) + + Bq l l x + Cq l l (x 2 + α l x + β l ) q. l VIII.3. Zobecněný Riemnnův integrál Lemm (Spojitost Riemnnov integrálu). Nechť, b R, < b funkce f má Riemnnův integrál n, b. Pk b f(x) dx = lim y y b f(x) dx = lim b y + y f(x) dx. Lemm 2 (Korektnost zobecněného RI). Nechť, b R, < b c (, b). Nechť funkce f má Riemnnův integrál n kždém podintervlu y, z (, b) výrz lim c y + y z f(x) dx + lim f(x) dx () z b c má smysl (tj. limity existují jejich součet má smysl).pk pro kždé d (, b) má výrz smysl je roven výrzu (). lim d y + y f(x) dx + lim z z b d f(x) dx Definice. Nechť f : (, b) R,, b R, < b nechť c (, b). Zobecněným Riemnnovým integrálem od do b z funkce f rozumíme b f(x) dx := lim c y + y pokud limity existují jejich součet má smysl. z f(x) dx + lim f(x) dx, (2) z b c 3

4 Poznámk.. Definice nezávisí n volbě c (, b) (dle Lemmtu 2). 2. Pokud má funkce Riemnnův integrál n intervlu, b, pk má i zobecněný Riemnnův integrál n (, b) ob integrály jsou si rovny (důsledek lemmtu ). Poznámk. 3. Zobecněný Riemnnův integrál může být roven + nebo. Pokud je tomu tk, říkáme, že integrál b f diverguje. Pokud má konečnou hodnotu, říkáme, že konverguje. Pokud výrz n prvé strně v 2 nemá smysl, říkáme, že funkce f nemá zobecněný Riemnnův integrál od do b. Tvrzení 3 (linerit zobecněného RI). Nechť f g jsou funkce mjící zobecněný RI n intervlu (, b),, b R, < b nechť α R. Potom (i) funkce αf má zobecněný RI n (, b) pltí (ii) funkce f + g má zobecněný RI n (, b) pltí b b b αf = α f + g = pokud je součet n prvé strně definován. b f, b f + Tvrzení 4 (zobecněný RI nerovnosti). Nechť, b R, < b, nechť f g jsou funkce mjící zobecněný Riemnnův integrál n intervlu (, b). Potom pltí: (i) Je-li f(x) g(x) pro kždé x (, b), pk b f (ii) Funkce f má zobecněný RI n (, b) pltí b f Tvrzení 5 (zobecněný RI podintervly). Nechť, b R, < b, funkce f má zobecněný RI n intervlu (, b) c (, b). Pk funkce f má zobecněný RI n intervlech (, c) (c, b) pltí b f = c b b b f + Poznámk. POZOR! Pro zobecněné RI (n rozdíl od RI) nepltí: Existují-li zobecněné RI c f, b c f, pk existuje zobecněný RI b f. Vět 6 (Newtonův Leibnizův vzorec). Nechť f, je spojitá n intervlu (, b),, b R, < b, nechť F je primitivní funkce k f n (, b). Integrál b f(x) dx existuje, právě když existují limity lim x + F (x), lim x b F (x) jejich rozdíl má smysl.v tomto přípdě pltí Výrz n prvé strně v (3) znčíme [F ] b. b c g. f. f. g, f(x) dx = lim F (x) lim F (x). (3) x b x + 4

5 Vět 7 (per prtes pro určitý integrál). Nechť, b R, < b f g mjí n intervlu (, b) spojitou první derivci. Pk pltí b b f g = [fg] b fg, (4) pokud má výrz n prvé strně smysl. Vět 8 (substituce pro určitý integrál). Nechť, b R, < b f je spojitá n (, b). Nechť α, β R, α < β φ má n intervlu (α, β) spojitou první derivci, je ryze monotónní zobrzuje (α, β) n (, b). Pk pltí b pokud spoň jeden z integrálů existuje. f(x) dx = β α f(φ(t)) φ (t) dt, (5) Vět (zvedení logritmu). Existuje jediná funkce (znčíme ji log nzýváme ji přirozeným logritmem), která má tyto vlstnosti: (L) D log = (0, + ), (L2) funkce log je n (0, + ) rostoucí, (L3) x, y (0, + ): log xy = log x + log y, (L4) lim x log x x =. Vět 9 (srovnávcí kritérium pro integrály). Nechť, b R, funkce f, g splňují 0 f(x) g(x) pro všechn x (, b) f je n (, b) spojitá. Pokud b g konverguje, pk b f konverguje. Vět 20 (limitní srovnávcí kritérium). Nechť f g jsou spojité nezáporné funkce n, b), b R existuje limit lim x b f(t) g(t) = c R. Je-li c (0, + ), pk konvergence b f je ekvivlentní konvergenci b g. Je-li c = 0, pk z konvergence b g plyne konvergence b f. Je-li c = +, pk z divergence b g plyne divergence b f. Vět 2 (integrální kritérium konvergence řd). Nechť f : (0, + ) R je nezáporná, nerostoucí spojitá. Řd n= f(n) konverguje, právě když + f(x) dx konverguje. VIII.4. Lebesgueův integrál v R n Zvedení pojmu Riemnnov integrálu bylo mj. motivováno snhou umět změřit plochu pod grfem některých funkcí. Rádi bychom tento pojem plochy dále rozšířili tk, by bylo možné npř. měřit mnohem obecnější podmnožiny R 2, přípdně R n. Ukzuje se všk, že tkovýto pojem míry množiny nelze zvést tk, by měl rozumné vlstnosti od něj očekávné zároveň uměl změřit všechny podmnožiny R n. (Viz též Bnchův-Trského prdox.) Proto zvádíme následující definici. Definice. Nechť A je nějký systém podmnožin R n. Řekneme, že A je σ-lgebr, jestliže pltí: (i) A, (ii) je-li A A, pk tké R n \ A A, (iii) jsou-li A, A 2,... A, pk tké j= A j A. Z definice je ihned vidět, že R n A jsou-li A, A 2,... A, pk tké j= A j A (plyne z de orgnových prvidel). Dále, jsou-li A, B A, pk tké B \ A A. 5

6 Definice. Nechť A je σ-lgebr podmnožin R n. Zobrzení µ: A 0, + ) {+ } se nzývá mír, jestliže µ( ) = 0, jestliže je σ-ditivní, tj. pokud A, A 2,... A jsou po dvou disjunktní, pk µ( j= A j) = j= µ(a j). Z definice plyne, že µ je monotónní, tj. µ(a) µ(b) pro kždé dvě množiny A, B A splňující A B. nožinám z A se říká měřitelné (přípdně µ-měřitelné) množiny. Vět 22. Existuje právě jedn σ-lgebr Λ n R n právě jedn mír λ n Λ mjící následující vlstnosti: (i) Λ obshuje všechny otevřené podmnožiny R n ; (ii) jestliže A, B Λ, A E B, λ(b \ A) = 0, pk E Λ; (iii) je-li I =, b 2, b 2 n, b n R n, pk λ(i) = n j= (b j j ); (iv) λ je trnslčně invrintní, tj. λ(x + A) = λ(a) pro kždou A Λ x R n. ír λ z předchozí věty se nzývá Lebesgueov mír množinám v Λ se říká lebesgueovsky měřitelné množiny. Příkld. Příkldy lebesgueovsky měřitelných množin: otevřené uzvřené množiny, konvexní množiny, konečné množiny, {x k R n : k N}, tj. množin všech členů nějké posloupnosti v R n. Zvláštní význm mjí množiny míry nul. Podle vlstnosti (ii) z Věty 22 je kždá podmnožin množiny s nulovou mírou měřitelná ( má nulovou míru). Příkld. Příkldy množin nulové míry v R n : konečné množiny, {x k R n : k N}, tj. množin všech členů nějké posloupnosti v R n, ndroviny v R n, grfy spojitých funkcí z R n do R, hrnice konvexních množin, Cntorovo diskontinuum v R. Je-li V (x), x R n výroková form, pk říkáme, že V (x) pltí pro skoro všechn x nebo skoro všude, jestliže existuje množin E nulové míry tková, že x R n \ E : V (x). Npříkld Dirichletov funkce je skoro všude rovn nule. Definice. Pro A R n definujeme chrkteristickou funkci množiny A tkto: { x A, χ A (x) = 0 x R n \ A. Nechť A,..., A k R n c,..., c k R. Funkci tvru k j= c jχ Aj nzýváme jednoduchou funkcí. Jsou-li nvíc A,..., A k Λ, pk funkci k j= c jχ Aj nzýváme jednoduchou měřitelnou funkcí. Definice. Zobrzení f : R n R nzýváme numerickou funkcí. Řekneme, že numerická funkce f je měřitelná, jestliže existuje posloupnost jednoduchých měřitelných funkcí {f j } j= tková, že pro všechn x R n pltí lim j f j (x) = f(x). 6

7 Definice. Je-li {f j } j= posloupnost numerických funkcí, řekneme že numerická funkce f je bodovou limitou posloupnosti {f j }, jestliže pro kždé x R n pltí lim j f j (x) = f(x). Znčíme lim j f j = f nebo f j f. Vět 23 (vlstnosti měřitelných funkcí). ěřitelné funkce mjí následující vlstnosti: (i) Jsou-li f, g měřitelné α R, pk i αf, f + g, fg, f g celém R n. (ii) Jsou-li f, g měřitelné, pk i mx{f, g} min{f, g} jsou měřitelné. (iii) Je-li f reálná měřitelná g reálná spojitá, pk g f je měřitelná. jsou měřitelné, pokud jsou definovné n (iv) Je-li {f j } j= posloupnost měřitelných funkcí s bodovou limitou f, pk f je tké měřitelná. (v) Spojité funkce jsou měřitelné. Definice. Lebesgueův integrál jednoduché nezáporné měřitelné funkce f := k j= c jχ Aj definujeme předpisem k f dλ = c j λ(a j ), kde používáme konvenci 0 (+ ) = 0. Definice. Lebesgueův integrál nezáporné měřitelné funkce definujeme předpisem { } f dλ = sup g dλ : g J +, g f, kde J + je množin všech nezáporných jednoduchých měřitelných funkcí. Oznčme f + := mx{f, 0} f := mx{ f, 0}. Definice. Lebesgueův integrál měřitelné funkce definujeme předpisem f dλ = f + dλ f dλ, pokud je rozdíl definován. Říkáme, že funkce f je (lebesgueovsky) integrovtelná, pokud má konečný Lebesgueův integrál. j= Nezáporné měřitelné funkce mjí Lebesgueův integrál. Pro obecné měřitelné funkce to nemusí být prvd. Definice. Je-li R n měřitelná množin f měřitelná funkce, pk definujeme f dλ = χ f dλ. Vět 24 (vlstnosti Lebesgueov integrálu). Nechť je měřitelná množin f, g jsou měřitelné funkce. (i) Nechť α R. Pk αf dλ = α f dλ (f + g) dλ = f dλ + g dλ, pokud jsou výrzy nprvo definovány. (ii) Pltí-li f g skoro všude n, pk f dλ g dλ, pokud ob integrály existují. (iii) Jestliže f dλ existuje, pk existuje i f dλ pltí f dλ f dλ. (iv) Je-li f = 0 skoro všude n, pk f dλ = 0. (v) Je-li f = g skoro všude n, pk f dλ = g dλ, pokud lespoň jeden z integrálů existuje. 7

8 Z vlstnosti (v) plyne, že pro práci s integrálem f dλ stčí, by f byl definován skoro všude n. N rozdíl od Riemnnov integrálu pltí pro Lebesgueův i obrácení (iii): f dλ existuje, právě když existuje f dλ. Vět 25 (souvislost s Riemnnovým integrálem). (i) Jestliže existuje Riemnnův integrál b f, pk existuje i Lebesgueův integrál f dλ ob integrály (,b) se rovnjí. (ii) Je-li f omezená n, b, pk její Riemnnův integrál existuje, právě když je skoro všude spojitá. (iii) Je-li f spojitá nezáporná funkce n (, b), pk (,b) f dλ = b f, kde vprvo je zobecněný Riemnnův integrál. Vět 26 (Příkldy integrovtelných funkcí). (i) Nechť R n je omezená otevřená nebo uzvřená množin f je omezená spojitá funkce n. Pk f je integrovtelná n. (ii) Nechť R n je omezená konvexní otevřená množin f je spojitá funkce n. Pk f je integrovtelná n i n pltí f dλ = f dλ. R Vět 27 (Fubiniov). Nechť m, n N f : R m+n R je integrovtelná funkce. Pro kždé x R m definujme funkci f x : R n R předpisem f x (y) = f(x, y). Pk pro skoro všechn x R m je funkce f x integrovtelná pltí R m R n dλ(y) f dλ = f x (y) dλ(x). (6) Poznámk. Nechť m, n N f : R m+n R je nezáporná měřitelná funkce. Pro kždé x R m definujme funkci f x : R n R předpisem f x (y) = f(x, y). Pk pro skoro všechn x R m je funkce f x měřitelná pltí opět vzorec (6). Zde ovšem může být integrál R m+n f dλ nekonečný. Vět 28 (o substituci). Nechť G R n je otevřená množin, funkce ϕ,..., ϕ n C (G) zobrzení ϕ: G R n definovné předpisem ϕ(x) = [ϕ (x),..., ϕ n (x)] nechť je prosté. Dále předpokládejme, že determinnt (tzv. jkobián) ϕ ϕ x (x)... x n (x) J ϕ (x) =..... ϕ n ϕ x (x)... n x n (x) je nenulový v kždém bodě x G. Pk ϕ(g) je otevřená pro kždou měřitelnou ϕ(g) kždou f : G R pltí f dλ = f ( ϕ(x) ) J ϕ (x) dλ(x), ϕ () pokud je lespoň jeden z těchto integrálů definován. 8

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,

Více

5.5 Elementární funkce

5.5 Elementární funkce 5.5 Elementární funkce Lemm 5.20. Necht x R. Potom existuje kldné C R (závisející n x) tkové, že pro kždé n N h ( 1, 1) pltí (x + h) n x n nhx n 1 h 2 C n. Definice. Exponenciální funkci exp definujme

Více

6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace

6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží. NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:

Více

Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)

Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál) Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)

Více

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží. NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:

Více

Integrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek

Integrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ

Více

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace) Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c ) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším

Více

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26 Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz

Více

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje. 4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost

Více

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu. Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5. 10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány

Více

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4) KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1

Více

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující

Více

Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1

Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1 9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funke Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funke Definie. Neht funke f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funke F W I! R je primitivní funke k f n I, jestliže

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

2. Pokud nedojde k nejasnostem, budeme horní a dolní součty značit pouze

2. Pokud nedojde k nejasnostem, budeme horní a dolní součty značit pouze 8. Určitý integrál 8.1. Newtonův integrál Definice 8.1 Buďte,b R. Řekneme,žeNewtonůvintegrálzfunkce fnintervlu(,b) existuje(znčímejej(n) f(x)dx),jestliže 1.existuje primitivní funkce F k f n intervlu(,

Více

17 Křivky v rovině a prostoru

17 Křivky v rovině a prostoru 17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,

Více

Kapitola 7: Integrál.

Kapitola 7: Integrál. Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci

Více

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby: .. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto

Více

Kapitola 1. Taylorův polynom

Kapitola 1. Taylorův polynom Kpitol Tylorův polynom Definice. Budeme psát f = o(g) v R, je-li lim x ( f )(x) =, f = O(g) g v R, je-li ( f ) omezená n nějkém U (). g Příkld. lim x (x + x + 3) 5 (x 5 x 3 + 7x 9) = lim x + o(x ) x x

Více

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál) Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh

Více

1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2.

1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2. 1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2. Množinu komplexních čísel znčíme C. N množině C definujeme operce sčítání + jko v R 2 násobení. předpisem (x, y).(u,

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

ZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.

ZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x. VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. IV. Základy integrálního počtu

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. IV. Základy integrálního počtu MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejz Dohnl, CSc. IV. ákldy integrálního počtu 1 Mtemtik I. I. Lineární lgebr II. ákldy mtemtické nlýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Mtemtik I. IV. Integrální

Více

f dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou

f dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou Přehled probrné látky z MAII, LS 2004/05 1. přednášk 21.2.2005. Opkování látky o primitivních funkcích ze závěru zimního semestru (23.-25. přednášk). Rozkld rcionální funkce n prciální zlomky. Popis hledání

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním

Více

12.1 Primitivní funkce

12.1 Primitivní funkce Integrání počet. Primitivní funkce Již jsme definovli pojem derivce funkce, k funkci f(x) jsme hledli její derivci f (x). Nyní chceme ukázt opčný postup, tzn. k funkci f (x) njít funkci f(x). Přesněji,

Více

2.3 Aplikace v geometrii a fyzice Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti funkcí... 17

2.3 Aplikace v geometrii a fyzice Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti funkcí... 17 Obsh Derivce Integrály 6. Neurčité integrály.................. 6. Určité integrály....................3 Aplikce v geometrii fyzice............ 6 3 Posloupnosti řdy funkcí 7 3. Posloupnosti funkcí.................

Více

Diferenciální počet. Spojitost funkce

Diferenciální počet. Spojitost funkce Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti

Více

KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t

KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá

Více

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní

Více

Limity, derivace a integrály Tomáš Bárta, Radek Erban

Limity, derivace a integrály Tomáš Bárta, Radek Erban Limity, derivce integrály Tomáš Bárt, Rdek Erbn Úvod Definice. Zobrzení(téžfunkce) f M Njemnožinuspořádnýchdvojic(x, y) tková,žekekždému xexistujeprávějedno y,žedvojice(x,y) f.tj.kždývzor xmáprávějedenobrz

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Lineární funkce f: y = kx + q, D f = R, H f = R, grf je přímk množin odů [x, y], x D f, y = f(x) q úsek n ose y, tj. od [0, q], k směrnice, k = tn φ = 2 2 1 1, A[ 1, 2 ], B[ 1, 2

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe

Více

je daná funkce. Množinu všech primitivních funkcí k f na I nazveme neurčitým f(x)dx nebo f.

je daná funkce. Množinu všech primitivních funkcí k f na I nazveme neurčitým f(x)dx nebo f. MATEMATICKÁ ANALÝZA INTEGRÁLNÍ POČET PŘEDNÁŠEJÍCÍ ALEŠ NEKVINDA. Přednášk Oznčme R = R {, } jko v minulém semestru. V tomto semestru se budeme zbývt opčným úkonem k derivování. Primitivní funkce. Definice.

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

Poznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (, 0) = {x R : < x < 0} = {x R : x < 0}, (, + ) = R (otevřené i s ± ).

Poznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (, 0) = {x R : < x < 0} = {x R : x < 0}, (, + ) = R (otevřené i s ± ). v 8--7 Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná č: délky, doplnění it, suprem/infim, řezy R \ Q ircionální čísl, π, e, ) C komplení čísl:

Více

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Preklkulus 5. Reálná čísl................................................ 5. Funkce jejich zákldní vlstnosti....................................3

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

Předpoklady: a 1, a 0, f spojité na intervalu I, a 1 0 na I. Vydělením a 1 (x) dostaneme LDR ve tvaru (p, q spojité):

Předpoklady: a 1, a 0, f spojité na intervalu I, a 1 0 na I. Vydělením a 1 (x) dostaneme LDR ve tvaru (p, q spojité): Diferenciální rovnice Obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu: F x, y, y, y,, y n Řešení n intervlu I: funkce y : I R tková, že pro kždé x I je F x, yx, y x,, y n x Mximální řešení: neexistuje řešení

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci

Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Pokud tato primitivní funkce platí na více intervalech, zapisujeme to najednou ve tvaru

Pokud tato primitivní funkce platí na více intervalech, zapisujeme to najednou ve tvaru Definice tvrzení funce(integrál Nechť f je funce n intervlu I. Řeneme,žefunce Fjeprimitivnífuncefn I,jestližeje Fspojitán I,diferencovtelnánvnitřu I O F = fn I O. Nechť Fjeprimitivnífuncefnintervlu I.

Více

Z aklady funkcion aln ı anal yzy Kubr Milan 16. ˇ cervna 2005

Z aklady funkcion aln ı anal yzy Kubr Milan 16. ˇ cervna 2005 Zákldy funkcionální nlýzy Kubr Miln 6. červn 2005 Obsh Metrické prostory.. Zákldní vlstnosti......................................2 Úplné, seprbilní kompktní prostory......................... 7.3 Zobrzení

Více

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží. NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Bylo uvedeno, že rozdíl F (b) F () funkčních hodnot primitivní funkce k

Více

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ . INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Učební text k přednášce Matematická analýza II (MAI055)

Učební text k přednášce Matematická analýza II (MAI055) Učební text k přednášce Mtemtická nlýz II (MAI055) Mrtin Klzr 20. červn 2007 Přednášk pokrývá v letním semestru následující látku:. Riemnnův integrál. 2. Posloupnosti řdy funkcí, mocninné řdy Fourierovy

Více

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 1 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 7 6

Více

množina, na které je zavedena určitá struktura. Zejména, součet každých dvou prvků X = [x 1,..., x n ] R n,

množina, na které je zavedena určitá struktura. Zejména, součet každých dvou prvků X = [x 1,..., x n ] R n, Náplní předmětu bude klkulus R n R (přípdně R m ). Proč se zbývt funkcemi více proměnných? V prxi je čsto třeb uvžovt veličiny, které závisejí n více než jedné proměnné, npř. objem rotčního kužele závisí

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Poznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (, 0) = {x R : < x < 0} = {x R : x < 0}, (, + ) = R (otevřené i s ± ).

Poznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (, 0) = {x R : < x < 0} = {x R : x < 0}, (, + ) = R (otevřené i s ± ). Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná č: délky úseček, doplnění limit, suprem, infim, des rozvoj:,, Z, n {,, 9} pro n N R \ Q ircionální

Více

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený

Matematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická

Více

Technická univerzita v Liberci. Pedagogická fakulta. Katedra matematiky a didaktiky matematiky. Matematika I. (Obor: Informatika a logistika)

Technická univerzita v Liberci. Pedagogická fakulta. Katedra matematiky a didaktiky matematiky. Matematika I. (Obor: Informatika a logistika) Technická univerzit v Liberci Pedgogická fkult Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky Mtemtik I (Obor: Informtik logistik) Václv Finěk Kpitol Zákldní pojmy Cílem této kpitoly je vysvětlit význm zákldních pojmů

Více

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4

Více

Matematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné

Matematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Mtemtik II: Prcovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Ostrv 8 Obsh Neurčitý integrál.

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 5

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 5 Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 5 Preklkulus 7. Reálná čísl................................................ 7. Funkce jejich zákldní vlstnosti...................................

Více

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm

Více

11. Číselné a mocninné řady

11. Číselné a mocninné řady 11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +

Více

Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce

Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce Obsh PŘEDMLUVA OBSAH 5 I. PRIMITIVNÍ FUNKCE 7 Definice vlstnosti primitivní funkce............ 7 Metody výpočtu primitivních funkcí............. Rcionální funkce................... 7 Ircionální funkce...................

Více

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro

Více

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí

Více

(5) Primitivní funkce

(5) Primitivní funkce (5) Primitivní funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 1 / 20 Def: Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu (a,

Více

6.1. Limita funkce. Množina Z má dva hromadné body: ±. Tedy Z ={+, }.

6.1. Limita funkce. Množina Z má dva hromadné body: ±. Tedy Z ={+, }. 6.1. Limit funkce Číslo R nzveme hromdným bodem množiny A R, pokud v kždém jeho okolí leží nekonečně mnoho bodů z množiny A. Body z A, které neptří mezi hromdné body A, se nzývjí izolovné. Alterntivně

Více

17. Posloupnosti a řady funkcí

17. Posloupnosti a řady funkcí 17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.

Více

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To

Více

2.3 Aplikace v geometrii a fyzice... 16

2.3 Aplikace v geometrii a fyzice... 16 Obsh Derivce 3 Integrály 7. Neurčité integrály.................. 7. Určité integrály................... 3.3 Aplikce v geometrii fyzice............ 6 3 Diferenciální rovnice 8 3. Motivce.......................

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Integrální počet a jeho využití v ekonomii UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Integrální počet a jeho využití v ekonomii UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Integrální počet jeho využití v ekonomii Vedoucí diplomové práce: RNDr. Mrtin Pvlčková,

Více

Uzavřené a otevřené množiny

Uzavřené a otevřené množiny Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,

Více

II. INTEGRÁL V R n. Obr. 9.1 Obr. 9.2 Integrál v R 2. z = f(x, y)

II. INTEGRÁL V R n. Obr. 9.1 Obr. 9.2 Integrál v R 2. z = f(x, y) . NTEGRÁL V R n Úvod Určitý integrál v intervlu, b Pro funki f :, b R jsme definovli určitý integrál jko číslo, jehož hodnot je obshem obrze znázorněného n obrázíh. Pro funki f : R n R budeme zvádět integrál

Více

1.2 Množina komplexních čísel... 10

1.2 Množina komplexních čísel... 10 Obsh Číselné množiny reálné funkce 5. Množin reálných čísel...................................... 5. Množin kompleních čísel.....................................3 Reálné funkce jedné reálné proměnné..............................

Více

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Fakulta aplikovaných věd

Fakulta aplikovaných věd Zápdočeská univerzit v Plzni Fkult plikovných věd Diplomová práce Mgr. Ev Kleknerová RŮZNÉ TYPY INTEGRÁLŮ A JEJICH APLIKACE Fkult plikovných věd Vedoucí diplomové práce: RNDr. Petr Tomiczek, CSc. - KMA

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34. Vzdělávcí mteriál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zářeh, náměstí Osvoození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo název klíčové ktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek pro

Více

TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose.

TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. Kvůli těmto těžkostem se měření zúžilo jen na délku

Více

I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet

I. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x

Více

Křivkový integrál funkce

Křivkový integrál funkce Kpitol 6 Křivkový integrál funkce efinice způsob výpočtu Hlvním motivem pro definici určitého integrálu funkce jedné proměnné byl úloh stnovit obsh oblsti omezené grfem dné funkce intervlem n ose x. Řd

Více