R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
|
|
- Libuše Janečková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu <, > integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá. Definice.1.. Nechť je funkce f( x ) integrovtelná n intervlu <, >, D je dělení intervlu <, > R n výěr reprezentntů. Řekneme, že funkce f je Riemnnovsky integrovtelná n intervlu <, >, jestliže existuje číslo I R s vlstností lim σ ( f, Dn, Rn) = I n pro liovolnou posloupnost dělení n D, pro kterou pltí lim ν ( D ) = 0 při liovolné volě n n reprezentntů R n. Číslo I nzýváme určitý (Riemnnův) integrál funkce f n intervlu <, > píšeme I = f( x) dx. Číslo nzýváme dolní mez, číslo horní mez, intervl <, > integrční oor funkci f integrnd. n Or Integrální součet funkce f Geometrický význm určitého integrálu Je-li f ( x) 0 n intervlu <, >, pk f ( xdx ) předstvuje osh křivočrého lichoěžník ohrničeného shor grfem funkce f( x), přímkmi x=, x= osou x. Výsledkem neurčitého integrálu je funkce (množin funkcí), výsledkem určitého integrálu je číslo. Přestože se jedná o zcel odlišné pojmy, existuje mezi nimi duležitá souvislost (vet..1).
2 .. Výpočet vlstnosti určitého integrálu Vět..1. (Newtonov Leinizov formule) Nechť funkce f( x ) je spojitá n intervlu <, > F( x) je primitivní funkce k funkci f( x ) v intervlu <, >, pk f ( xdx ) = F ( ) F ( ). Vět... Nechť funkce f( x ) g( x ) jsou integrovtelné n intervlu <, > c je liovolná konstnt. Pk pltí ) [ f ( x) ± g( x) ] dx= f( x) dx ± g( x) dx, ) cf ( x) dx = c f ( x) dx. Definice..1. Nechť je funkce f( x ) integrovtelná n intervlu <, >. Pk f ( xdx ) = f( xdx ). Vět..3. Nechť je funkce f( x ) integrovtelná n intervlu <, > c je liovolné reálné číslo < c<. Pk je f( x ) integrovtelná n intervlech < c, > < c, > pltí c f ( xdx ) = f( xdx ) + f( xdx ). c.3. Metod per prtes pro určité integrály Vět.3.1. Mjí-li funkce ux ( ) vx ( ) v intervlu <, > spojité derivce u ( x) v ( x), pk pltí u ( x) vx ( ) dx= [ ux ( ) vx ( )] ux ( ) v( xdx ). Poznámk Prktické použití metody per prtes je zcel nlogické jko v přípdě neurčitého integrálu (kp. 1.3). Zejmén pltí návody, pro které funkce je metod per prtes vhodná.
3 .4. Sustituční metod pro určité integrály Vět.4.1. (Integrování sustituční metodou ϕ ( x) = u ) Nechť funkce f( u ) je spojitá n intervlu <, >. Nechť funkce u = ϕ( x) má spojitou derivci ϕ ( x) n intervlu <, > nechť pro kždé x <, > pltí ϕ( x), = ϕ( ), = ϕ( ) (tedy funkce ϕ zorzuje intervl <, > n intervl <, >). Potom pltí f ( ϕ( x)) ϕ ( x) dx = f ( u) du. Poznámky 1. Při výpočtu určitého integrálu zvedeme vhodnou sustituci u = ϕ( x) vypočteme diferenciál du = ϕ ( x) dx jko u neurčitého integrálu. Nvíc musíme ještě určit nové meze. Stré meze, jsou pro původní proměnnou x. Nová proměnná u ude mít meze = ϕ( ), = ϕ( ).. V řešených příkldech vyznčíme změnu mezí tkto: ϕ( ) (stré dolní mezi odpovídá nová dolní mez ϕ ( ) ), resp. ϕ( ) (stré horní mezi odpovídá nová horní mez ϕ ( ) ). 3. V konkrétním přípdě se může stát, že ϕ( ) > ϕ( ) (nová dolní mez je větší než mez horní). Podle definice..1 můžeme meze změnit znménko integrálu se změní n opčné. Pokud dostneme ϕ( ) = ϕ( ), je podle poznámky k definici..1 integrál roven nule nemusíme dále počítt. Integrce sudých neo lichých funkcí Vět.4.. (Integrál sudé, popř. liché funkce) Nechť je funkce f( x ) integrovtelná n intervlu <, >. Je-li f( x ) n intervlu <, > sudá, pk f ( xdx ) = f( xdx ), 0 Je-li f( x ) n intervlu <, > lichá, pk f( x) dx= 0.
4 Mtemtik II 3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 3.1. Osh rovinné olsti Vět Nechť je funkce f ( x ) integrovtelná n intervlu <, > je n něm nezáporná. Pk pro osh křivočrého lichoěžník ohrničeného shor grfem funkce f ( x ), přímkmi x Vět =, x = osou x pltí Nechť jsou funkce f ( x ) P= f( x) g( x ) integrovtelné pltí g( x) f( x) pro kždé x <, >. Pk pro osh křivočrého lichoěžník ohrničeného zdol grfem funkce g( x ), shor grfem funkce f ( x ) přímkmi x =, x = pltí Vět P= f( x) g( x) ( ) Nechť funkce f je dán prmetrickými rovnicemi x = ϕ() t y = ψ () t, přičemž funkce ϕ () t ψ () t jsou spojité pro t <, >. Je-li funkce ϕ () t ryze monotonní má spojitou derivci n intervlu <, >, přičemž ϕ( ) = ϕ( ) =, pk pro osh křivočrého lichoěžník ohrničeného shor grfem funkce f, přímkmi x P = ψ() t ϕ () t dt. =, x = osou x pltí
5 3.. Délk olouku křivky Vět Nechť je funkce f( x ) definovná n intervlu <, > má zde spojitou derivci. Pk délk této křivky [ ] s= 1 + f ( x) Or Aproximce křivky y = f( x) lomenou črou ( dy) dy s = dx + dy = + dx= + dx= + f x ( dx) dx ( ) ( ) [ ( )] Vět 3... Nechť je křivk dán prmetrickými rovnicemi x = ϕ() t, y = ψ () t, t <, >, přičemž funkce ϕ () t ψ () t mjí spojité derivce n intervlu <, >. Pk je délk této křivky [ ϕ ()] [ ψ ()]. s = t + t dt
6 3.3. Ojem rotčního těles Vět Nechť je funkce f ( x ) spojitá nezáporná n intervlu <, >. Pk rotční těleso, které vznikne rotcí křivočrého lichoěžník ohrničeného shor funkcí f ( x ), osou x přímkmi x =, x = kolem osy x, má ojem V = π f ( x ) Vět Or Rozřezání těles n tenké plátky Nechť funkce f je dán prmetrickými rovnicemi x = ϕ() t, y = ψ () t, t <, >, přičemž funkce ϕ() t má spojitou derivci n intervlu <, > funkce ψ () t je spojitá nezáporná n intervlu <, >. Pk pro ojem rotčního těles, které vznikne rotcí elementární olsti ϕ( ) x ϕ( ), 0 y ψ ( t), kolem osy x, pltí V = ψ () t ϕ () t dt. Pro výpočet ojemu rotčního těles, které vznikne rotcí olsti ohrničené křivkmi g( x) f( x) kolem osy x pro x <, >, použijeme vzth. V= π f ( xdx ) π g ( xdx ) = π f ( x) g ( x) dx Čsto se setkáváme s chyou, kdy je umocněn rozdíl funkcí. [ Vzth V = π f ( x) g( x) dx je evidentně nesprávný! ]
26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
VíceSeznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.
.. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceIntegrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)
Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceIntegrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)
Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26
Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz
Více18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.
I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.
Vzdělávcí mteriál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zářeh, náměstí Osvoození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo název klíčové ktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek pro
VícePři výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu
Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je
VíceIntegrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)
Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh
Více6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace
Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,
Více6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.
KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou
VíceJak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto
VíceObsah na dnes Derivácia funkcie
Johnnes Kepler Dec 2, 57- Nov 5, 63 Mtemtik I Prednášjúci: prof. RNDr. Igor Podlný, DrSc. http://www.tke.sk/podln/ # Osh n dnes Deriváci fnkcie 74 KAPITOLA 3. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Určitý integrál 8. Vlstnosti
Více2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme
VíceVýpočet obsahu rovinného obrazce
Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh
Víceintegrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.
Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze
Více3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU
APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít
Více10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí
10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou
Více7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál
7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)
VíceIntegrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek
Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ
VíceII. 5. Aplikace integrálního počtu
494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu
Více5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti
Určitý intgrál Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f() n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(), pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f() od do vzthm [,, 7: [ F( ) = F( ) F( ) f ( ) d = (6)
VíceMatematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné
Mtemtik II: Prcovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Ostrv 8 Obsh Neurčitý integrál.
VíceMatematika II: Testy
Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit
VíceV předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
Více17 Křivky v rovině a prostoru
17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,
VíceNEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
Více4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.
4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost
VíceIntegrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.
Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu
Víceje jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.
10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány
VíceFunkce jedné proměnné
Funkce jedné proměnné Lineární funkce f: y = kx + q, D f = R, H f = R, grf je přímk množin odů [x, y], x D f, y = f(x) q úsek n ose y, tj. od [0, q], k směrnice, k = tn φ = 2 2 1 1, A[ 1, 2 ], B[ 1, 2
VíceMATEMATIKA II V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Ostrv Ing. Petr Schreierová, Ph.D. Vsoká škol áňská Technická univerzit
VíceMasarykova univerzita
Msrykov univerzit Přírodovědecká fkult Diplomová práce Web k témtu: Integrální počet Bc. Ev Schlesingerová Brno 9 Prohlášení Prohlšuji, že jsem tuto diplomovou práci npsl sm s použitím uvedené litertury.
VíceDigitální učební materiál
Digitální učení mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo název šlony klíčové ktivity III/ Inovce zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe
VíceObsah rovinného obrazce
Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce
VícePřehled základních vzorců pro Matematiku 2 1
Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,
VíceJEDNODUCHÝ INTEGRÁL příklady. pro vysoké školy
JEDNODUCHÝ INTEGRÁL příkldy pro vysoké školy Bohemicus mthemticus doctor Pvel Novotný 0 Vzor citce: NOVOTNÝ, P. Jednoduchý integrál příkldy : pro vysoké školy. Bučovice : Nkldtelství Mrtin Stříž, 0. 6
VíceUr itý integrál. Úvod. Denice ur itého integrálu
V tomto lánku se budeme v novt ur itému integrálu, který dné funkci p i zuje íslo. My²lenk integrování pochází z geometrických poºdvk - zji² ování povrch, objem délek geometrických útvr. To znmená, ºe
Více2. Pokud nedojde k nejasnostem, budeme horní a dolní součty značit pouze
8. Určitý integrál 8.1. Newtonův integrál Definice 8.1 Buďte,b R. Řekneme,žeNewtonůvintegrálzfunkce fnintervlu(,b) existuje(znčímejej(n) f(x)dx),jestliže 1.existuje primitivní funkce F k f n intervlu(,
VíceOBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL
OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,
VíceMatematika II: Listy k přednáškám
Mtemtik II: Listy k přednáškám Rdomír Pláček, Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Kpitol 1 Integrální počet funkcí jedné proměnné 1.Řy 11
VíceMatematika II: Listy k přednáškám
Mtemtik II: Listy k přednáškám Rdomír Pláček, Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Kpitol 1 Integrální počet funkcí jedné proměnné 1.Řy 11
VíceFAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 URČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Dněček, Oldřich Dlouhý,
Vícex + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
Více2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem
2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice
VíceDERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická
Více11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci
VíceSprávné řešení písemné zkoušky z matematiky- varianta A Přijímací řízení do NMgr. studia učitelských oborů 2010
právné řešení písemné koušky mtemtiky- vrint A Přijímcí říení do NMgr. studi učitelských oborů Příkld. Vyšetřete průběh funkce v jejím mimálním definičním oboru nčrtněte její grf y Určete pritu (sudá/lichá),
VíceSeznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.
Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že
Více2.3 Aplikace v geometrii a fyzice Posloupnosti a řady funkcí Posloupnosti funkcí... 17
Obsh Derivce Integrály 6. Neurčité integrály.................. 6. Určité integrály....................3 Aplikce v geometrii fyzice............ 6 3 Posloupnosti řdy funkcí 7 3. Posloupnosti funkcí.................
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
VíceObsah. Perspektivy krajinného managementu - inovace krajinářských discipĺın. Jakob Steiner švýcarský matematik - geometr. vzorce, integrační metody
Moment setrvčnosti průřezů - použití určitýc integrálů v ecnické mecnice Dn Říová, Pvl Kotásková Mendelu Brno Perspektiv krjinnéo mngementu - inovce krjinářskýc discipĺın reg.č. CZ..7/../5.8 Os Moment
VíceKomplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.
7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1
VíceDiferenciální počet. Spojitost funkce
Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti
VíceNMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4
VíceMATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. IV. Základy integrálního počtu
MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejz Dohnl, CSc. IV. ákldy integrálního počtu 1 Mtemtik I. I. Lineární lgebr II. ákldy mtemtické nlýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Mtemtik I. IV. Integrální
Více3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru
Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém
VíceLimity, derivace a integrály Tomáš Bárta, Radek Erban
Limity, derivce integrály Tomáš Bárt, Rdek Erbn Úvod Definice. Zobrzení(téžfunkce) f M Njemnožinuspořádnýchdvojic(x, y) tková,žekekždému xexistujeprávějedno y,žedvojice(x,y) f.tj.kždývzor xmáprávějedenobrz
VícePOUŽITÍ RIEMANNOVA INTEGRÁLU K VÝPOČTU MATEMATICKO-FYZIKÁLNÍCH ÚLOH
JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH PEDAGOGICKÁ FAKULTA Ktedr mtemtik POUŽITÍ RIEMANNOVA INTEGRÁLU K VÝPOČTU MATEMATICKO-FYZIKÁLNÍCH ÚLOH Ondřej MAREČEK České Budějovice, duen 8 PROHLÁŠENÍ Prohlšuji,
VíceIII.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E
VíceGeometrické a fyzikální aplikace určitého integrálu. = b a. je v intervalu a, b záporná, je integrál rovněž záporný.
4. přednášk Geometické zikální plikce učitého integálu Geometické plikce. Osh ovinného útvu A. Pokud se jedná o ovinný útv omezený osou přímkmi gem spojité nezáponé unkce pk je jeho osh dán učitým integálem
VíceMatematické metody v kartografii
Mtemtické metody v krtogrfii. Přednášk Referenční elipsoid zákldní vzthy. Poloměry křivosti. Délky poledníkového rovnoběžkového oblouku. 1. Zákldní vzthy n rotčním elipoidu Rotční elipsoid dán následujícími
Více1.1 Numerické integrování
1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme
VíceSeznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.
.4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli
VíceObecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)
KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1
VíceZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.
VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální
VíceINTEGRÁLNÍ POČET. Primitivní funkce. Neurčitý integrál. Pravidla a vzorce pro integrování
INTEGRÁLNÍ POČET Primiivní unkce. Neurčiý inegrál Deinice. Jesliže pro unkce F einovné n oevřeném inervlu J plí F pro kžé J, říkáme, že F je primiivní unkcí k unkci n J. Vě. Je-li spojiá n J, pk k ní eisuje
Více5.5 Elementární funkce
5.5 Elementární funkce Lemm 5.20. Necht x R. Potom existuje kldné C R (závisející n x) tkové, že pro kždé n N h ( 1, 1) pltí (x + h) n x n nhx n 1 h 2 C n. Definice. Exponenciální funkci exp definujme
Více12.1 Primitivní funkce
Integrání počet. Primitivní funkce Již jsme definovli pojem derivce funkce, k funkci f(x) jsme hledli její derivci f (x). Nyní chceme ukázt opčný postup, tzn. k funkci f (x) njít funkci f(x). Přesněji,
Více8.6. Aplikace určitého integrálu ve fyzice Index
8 Určitý integrál 8.. Integrování - sčitání mnoh mlých příspěvků.......................... 3 8.. Výpočet určitého integrálu.............................................9 8.3. Zákldní vlstnosti určitého
Víceje daná funkce. Množinu všech primitivních funkcí k f na I nazveme neurčitým f(x)dx nebo f.
MATEMATICKÁ ANALÝZA INTEGRÁLNÍ POČET PŘEDNÁŠEJÍCÍ ALEŠ NEKVINDA. Přednášk Oznčme R = R {, } jko v minulém semestru. V tomto semestru se budeme zbývt opčným úkonem k derivování. Primitivní funkce. Definice.
VíceKŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t
KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek
VíceKřivkový integrál prvního druhu verze 1.0
Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm
VíceMatice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra
Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel
Vícef dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou
Přehled probrné látky z MAII, LS 2004/05 1. přednášk 21.2.2005. Opkování látky o primitivních funkcích ze závěru zimního semestru (23.-25. přednášk). Rozkld rcionální funkce n prciální zlomky. Popis hledání
VíceAž dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním
Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož
VíceKapitola Křivkový integrál 1. druhu Délka oblouku
x 5 x 6 x 7 x 8 pitol 3 řivkové integrály 3. řivkový integrál. druhu líčová slov: délk oblouku, délk křivky, křivkový integrál. druhu po oblouku, křivkový integrál. druhu po křivce, neorientovný křivkový
VíceA DIRACOVA DISTRIBUCE 1. δ(x) dx = 1, δ(x) = 0 pro x 0. (1) Graficky znázorňujeme Diracovu distribuci šipkou jednotkové velikosti (viz obr. 1).
A DIRACOVA DISTRIBUCE A Dircov distribuce A Definice Dircovy distribuce Dircovu distribuci δx) lze zvést třemi ekvivlentními způsoby ) Dirc [] ji zvedl vzthy δx) dx, δx) pro x ) Grficky znázorňujeme Dircovu
VíceII. INTEGRÁL V R n. Obr. 9.1 Obr. 9.2 Integrál v R 2. z = f(x, y)
. NTEGRÁL V R n Úvod Určitý integrál v intervlu, b Pro funki f :, b R jsme definovli určitý integrál jko číslo, jehož hodnot je obshem obrze znázorněného n obrázíh. Pro funki f : R n R budeme zvádět integrál
Více8. Elementární funkce
Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceSouhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A
Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty
VíceSeznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.
Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti sttických mometů souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme že jste
VíceDefinice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1
9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump
VíceVýznam a výpočet derivace funkce a její užití
OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat
Vícevás seznámí s učivem, které v dané kapitole poznáte a které byste po jejím prostudování měli umět.
POKYNY KE STUDIU Pokyny ke studiu V úvodu si vysvětlíme jednotnou pevnou strukturu kždé kpitoly tetu, která by vám měl pomoci k rychlejší orientci při studiu Pro zvýrznění jednotlivých částí tetu jsou
Více5. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
Intgrální počt funkc jdné proměnné. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ V kpitolách věnovných difrnciálnímu počtu jsm poznli, ž vypočítt drivci funkc j úloh vclku jdnoduchá. Stčí znát doř drivc lmntárních
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek
Více1. Pokyny pro vypracování
1. Pokyny pro vyprcování Zvolený příkld z druhé kpitoly vyprcujte písemně (nejlépe vysázejte pomocí LATEXu) dodejte osobně po předchozí domluvě milem n krbek@physics.muni.cz. Dále si vyberte tři z jednodušších
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
Více