Lineární nerovnice a jejich soustavy

Transkript

1 teorie řešené úlohy cvičení tipy k mturitě výsledky Lineární nerovnice jejich soustvy Víš, že pojem nerovnice není opkem pojmu rovnice? lineární rovnice má většinou jediné řešení, kdežto lineární nerovnice má většinou nekonečně mnoho řešení? lineární nerovnice umožňuje popst polopřímku? násoíme-li, neo dělíme-li nerovnost záporným číslem, orcí se znk nerovnosti? Nučíš se pojmy související s lineárními nerovnicemi jejich soustvmi řešit lineární nerovnice jejich soustvy početně i grficky

2 Lineární nerovnice Lineární nerovnicí s neznámou udeme rozumět některý ze vzthů: + >, +, +, + <, kde, jsou reálné koeficienty English Terms inequlity / nerovnice solution of n inequlity / řešení nerovnice system of inequlities / soustv nerovnic equivlent inequlity / ekvivlentní nerovnice grphic solution / grfické řešení Příkldy lineárních nerovnic jsou nerovnice >, neo 1 Domluvme se, že zde udeme z lineární nerovnice povžovt i nerovnice, kdy je =, tj npř i nerovnice + <, + Lineárními nerovnicemi se oznčují i tkové nerovnice, které lze n výše uvedený tvr převést Npř nerovnici < 4 lze ekvivlentními úprvmi převést n nerovnici 6 < Nejčstějšími ekvivlentními úprvmi lineární nerovnice jsou: přičtení liovolného reálného čísl k oěm strnám nerovnice, vynásoení (či vydělení) oou strn nerovnice kldným reálným číslem, kdy se znk nerovnosti nemění, vynásoení (či vydělení) oou strn nerovnice záporným reálným číslem, kdy se znk nerovnosti orcí, záměn prvé levé strny nerovnice převrácení znku nerovnosti souvislosti Se soustvmi lineárních nerovnic s jednou neznámou se setkáte v dlších kpitolách při řešení kvdrtických nerovnic či nerovnic s solutními hodnotmi Řešení lineárních nerovnic Lineární nerovnici + >, >, uprvíme n ekvivlentní tvr: > /: > > Této nerovnici vyhovují všechn reálná čísl větší než, tkže množinu řešení zpíšeme jko intervl K = ; + Npříkld množin řešení nerovnice + > je: + > > > K = ; + 1 teorie 1 4 Testy, cvičení, postupy Lineární řešení Nkldtelství nerovnice n wwwskolsndhledemcz, Frus, jejich s r o soustvy zdejte kód 491 4

3 Lineární nerovnici + >, <, uprvíme n ekvivlentní tvr: > /: < < Nerovnici vyhovují všechn reálná čísl menší než, tkže množinu řešení zpíšeme jko intervl K = ; Npříkld množin řešení nerovnice + > je: + > > < K = ; 1 Osttní typy lineárních nerovnic řešíme nlogicky Zkoušk y měl ýt součástí řešení kždé nerovnice, měl y se tedy provádět i po vyřešení lineární nerovnice Lineární nerovnice má le většinou nekonečně mnoho řešení, tkže zkoušku doszováním číselných hodnot provést nelze Musíme se proto spolehnout n správnost lgerických úprv ěhem řešení Vždy je pk doré provést úprvy ještě jednou Tké je užitečné dosdit do nerovnice několik konkrétních číselných hodnot, ověřit tk správnost řešení spoň pro některé hodnoty Grfické řešení lineární nerovnice Lineární nerovnice lze tké řešit grficky K tomu využijeme grfy lineárních funkcí Vysvětlíme si tkové řešení npříkld n nerovnici + >, < Postup: Převedeme levou i prvou strnu nerovnice do podoy funkcí y= + zároveň y = Grfy oou funkcí znázorníme do jedné soustvy souřdnic; první souřdnici průsečíku grfů funkcí oznčíme Všechny ody grfu funkce y= +, které se ncházejí nd osou, promítneme n osu V nšem přípdě je intervl ( ; ) grfickým řešením dné nerovnice (or 1) y y = or 1 y = + teorie Testy, cvičení, postupy Lineární řešení Nkldtelství nerovnice n wwwskolsndhledemcz, Frus, jejich s r o soustvy zdejte kód 491

4 V přípdě nerovnice + c + d postupujeme následovně: Zkreslíme grfy funkcí y= + y= c+ d znázorníme jejich průsečík Jelikož nás zjímá jen hodnot neznámé, promítneme průsečík n osu do odu Následně vyereme jko řešení dné nerovnice jeden z intervlů ( ;, neo ; + ) Intervl určíme podle toho, ve kterém z nich jsou hodnoty funkce y= + výše, neo rovny v porovnání s hodnotmi funkce y= c+ d V nšem přípdě je grfickým řešením dné nerovnice intervl ( ; (or ) y y = c + d or y = + Soustvy lineárních nerovnic Soustvou lineárních nerovnic s jednou neznámou rozumíme několik lineárních nerovnic s jednou neznámou, jejíž řešení musí vyhovovt zároveň všem zdným nerovnicím Soustv lineárních nerovnic s jednou neznámou je npříkld: > neo 4 + 1> + < + Pokud nejsou ještě nerovnice uprveny do předchozích tvrů, může tková soustv ýt npříkld: > Při řešení soustv lineárních rovnic se používjí ekvivlentní úprvy Ekvivlentnost tkových úprv udeme znčit oddělovcí vodorovnou črou: > > + Soustvu lineárních nerovnic řešíme tk, že stnovíme množinu řešení kždé nerovnice soustvy celkové řešení soustvy je pk rovno průniku všech získných množin řešení Řešením uvedené soustvy nerovnic je tedy: 7 > + 6 > Po ekvivlentních úprvách dostáváme, že řešením první nerovnice je intervl 6 ; + řešením druhé nerovnice je 7 intervl 1; + ) Řešením dné soustvy nerovnic je průnik oou intervlů: K = 6 ; + 1; + ) = 1; + ) 7 teorie 6 Testy, cvičení, postupy Lineární řešení Nkldtelství nerovnice n wwwskolsndhledemcz, Frus, jejich s r o soustvy zdejte kód 491 6

5 Příkld 1 Njděte všechn řešení nerovnice < řešení 1 krok Nerovnici postupně uprvujeme: < < < krok Poslední nerovnici vyhovuje nekonečně mnoho čísel, proto zkoušku není možné provést doszováním čísel z neznámou Úprvy yly le ekvivlentní, tkže teoreticky zkoušku není nutné provádět krok Množinou řešení jsou všechn <, což zpíšeme jko otevřený intervl K = ; 1 Příkld Njděte všechn řešení nerovnice řešení 1 krok Nerovnici postupně uprvujeme: / / / 1 / : 1 krok Poslední nerovnici vyhovuje nekonečně mnoho čísel, proto zkoušku není možné provést doszováním čísel z neznámou Úprvy yly le ekvivlentní, tkže teoreticky zkoušku není nutné provádět krok Množinu řešení zpíšeme jko polouzvřený intervl: K = 1 ; + ) 1 1 řešené úlohy 1 7 Testy, cvičení, postupy Lineární řešení Nkldtelství nerovnice n wwwskolsndhledemcz, Frus, jejich s r o soustvy zdejte kód 491 7