ANALYTICKÁ GEOMETRIE

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "ANALYTICKÁ GEOMETRIE"

Transkript

1 Technická niverzit v Liberci Fklt přírodovědně-hmnitní pedgogická Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky NLYTICKÁ GEOMETRIE Pomocný čební text Petr Pirklová Liberec, listopd 2015

2 NLYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVRŮ V E3 V tomto text vedeme některé pozntky vektorového počt pro popis lineárních útvrů (bodů, přímek, rovin) v prostor E 3. Tké bdeme zkomt jejich polohové metrické vzthy. Požívt bdeme výhrdně popis pomocí rovnic, tzv. nlyticko metod. VEKTOR Veličin, která je dán poze číslem (velikostí) se nzývá sklár. Pokd je dán nejen velikostí, le tké směrem, pk ji nzýváme vektor. Vektor zprvidl grficky znázorňjeme úsečko, která vychází z rčitého počátečního bod jejíž délk dává velikost vektor směr dává směr vektor. Ke koncovém bod připisjeme šipk, bychom vyznčili orientci vektor, tj. n ktero strn směřje. Tto úsečk nzýváme orientovno úsečko. Orientovná úsečk Velikostí orientovné úsečky rozmíme vzdálenost jejího počátečního koncového bod, znčíme ji. Splývá-li počáteční bod koncový bod orientovné úsečky, pk je její velikost rovn nle. Definice: Vektorem nzveme množin všech rovnoběžných, stejně velkých stejně orientovných úseček. Kždo z těchto úseček nzýváme místěním vektor. (Npř. orientovná úsečk je místěním vektor.) Vektor Velikostí vektor pk rozmíme velikost jeho libovolného místění. Je-li = = 1, nzýváme vektor jednotkovým vektorem. Nlový vektor znčíme o. 1. Rovnost vektorů Operce s vektory Dv vektory, b jso si rovny, jso-li reprezentovány stejno množino rovnoběžných, sohlsně orientovných stejně velkých orientovných úseček. 2

3 2. Sočet vektorů Předpokládejme, že jso dány dv vektory b. Sočet vektorů, b získáme, jestliže do koncového bod vektor místíme počáteční bod vektor b, pk vektor c s počátečním bodem v počátečním bodě vektor s koncovým bodem v koncovém bodě vektor b je sočtem vektorů b (c = + b ). b c Sočet vektorů Pro sčítání dvo vektorů pltí komttivní zákon pro sčítání více vektorů pltí tké socitivní zákon. 3. Násobek vektor reálným číslem k Vektor c = k, kde k je reálné číslo, dostneme tk, že k-krát sečteme vektor. Velikost tkového vektor je k -násobek velikosti vektor, tj. c = k. Je-li k = 0, pk je c = k = 0. Orientce vektor c = k je stejná jko orientce vektor, je-li k > 0, opčná jko orientce vektor, je-li k < 0. Opčný vektor k vektor je tkový, mjí-li stejný směr velikost, le opčno orientci. Opčný vektor k vektor můžeme získt tké tk, že vektor násobíme číslem -1. Opčný vektor k vektor se obvykle znčí. Z definice plyno tyto vlstnosti: 1. Komttivnost: k = k 2. socitivnost: (k h) = k (h ) 3. Distribtivnost vzhledem ke sčítání čísel: (k + h) = k + h 4. Distribtivnost vzhledem ke sčítání vektorů: k( + b ) = k + k b 4. Odčítání vektorů Odčítání vektor b od vektor je definováno jko sočet vektor s vektorem opčným k vektor b, tj. b = + ( b ). -b -b b Odčítání vektorů 3

4 Lineární kombince vektorů Lineární kombincí vektorů, 1, 2, n nzveme vektor, jestliže existjí reálná čísl k 1, k 2,, k n tková, že Vektory, 1, 2, n pro něž pltí, = k k k n. n k k k n n = o zároveň lespoň jeden koeficient je nenlový, pk se nzývjí lineárně závislé. Nopk, jestliže pro vektory, 1, 2, n pltí k k k n n = o, poze když k 1 = k 2 = = k n = 0, pk se nzývjí lineárně nezávislé. Vektory kolineární Nechť jso dány dv lineárně závislé vektory, b, pk můžeme psát npř. b = k. Z definice k násobk vektor víme, že místění vektorů, b jso rovnoběžná s tož přímko (tj. vektory, b jso rovnoběžné). Vektory rovnoběžné se stejno přímko nzýváme kolineární. Vektory komplnární Skpin tři více vektorů, které leží v téže rovině, jso vektory nvzájem lineárně závislými. Všechny vektory, které leží v jedné rovině, nebo které lze do jedné roviny místit, říkáme vektory komplnární. Máme-li dány tři lineárně závislé vektory, b, c, pk lespoň jeden z nich je lineární kombincí osttních dvo. Npř.: c = k 1 + k 2 b. áze vektorového prostor Vektorový prostor je kždá sostv vektorů, které mjí tto vlstnost: Obshje-li vektorový prostor všechny vektory nějké skpiny, 1, 2,, n obshje i kždo jejich lineární kombinci ť jso jejich koeficienty k 1, k 2,, k n jkékoliv. k k k n, n Nechť jso ve vektorovém prostor E 3 dány tři lineárně nezávislé vektory, b, c libovolný vektor vektorového prostor lze vyjádřit jednoznčně jko jejich lineární kombinci, tj. = k 1 + k 2 b + k 3 c, {k 1, k 2, k 3 } R, pk tyto vektory tvoří v dném vektorovém prostor bázi. 4

5 Sořdnice vektor bod v prostor V krtézské sostvě sořdnic bdeme z bázi vektorového prostor volit vždy trojici jednotkových nvzájem kolmých vektorů i, j, k. Tto trojice jednotkových vektorů i, j, k je lineárně nezávislá, proto lze jkýkoliv vektor v prostor vyjádřit jko jejich lineární kombinci, = x i + y j + z k. Uspořádno trojici čísel koeficientů x, y, z nzýváme sořdnice vektor vektory x, i, y j, z k nzýváme složkmi vektor. Vektor pk píšeme ve tvr = ( x, y, z ). i x k i k z j Sořdnice vektor Předpokládejme, že ve vektorovém prostor E 3 máme dné dv vektory = ( x, y, z ) b = (b x, b y, b z ) pomocí sořdnic, pk pltí následjící prvidl: ) dv vektory, b jso si rovny, tj. = b, právě když i = b i pro i = 1, 2, 3; b) sořdnice sočt vektorů dostneme ze vzth + b = ( x + b x, y + b y, z + b z ); c) sořdnice k - násobk vektor jso rčeny vzthem k = (k x, k y, k z ); d) sořdnice nlového vektor jso dány předpisem o = (0, 0, 0); e) velikost vektor je dán předpisem j = x 2 + y 2 + z 2 ; f) jednotkový vektor příslšný k vektor je dán předpisem = ( x, y, z ). y Umístíme-li jednotkové vektory i, j, k n sořdnicové osy x, y, z jejich počáteční body do počátk sostvy sořdnic jejich směr bde shodný s kldným směrem os (sořdnice jednotkových vektorů n sořdnicových osách jso dány předpisy i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)), pk z vektorového prostor přejdeme k prostor bodovém. Počátkem osmi je dán sostv bodových sořdnic v prostor. Kždý bod v prostor pk můžeme vyjádřit jeho polohovým vektorem, tedy vektorem, jehož počáteční bod je v počátk sostvy sořdnic koncový bod je v dném bod. 5

6 od v prostor má tedy tři sořdnice, které jso shodné se sořdnicemi jeho polohového vektor. Tyto sořdnice bod bdeme zpisovt [x, y, z ]. z z k x i k i j y j y x Sořdnice bod Máme-li dány dv body [x, y, z ], [x, y, z ], pk sořdnice vektor s počátečním bodem koncovým bodem získáme tkto: = (x x, y y, z z ). SKLÁRNÍ SOUČIN Sklární sočin dvo vektorů, b je číslo b = b cosφ, kde, b je velikost vektorů je velikost úhl, který tyto vektory svírjí (0 φ 180 ). b Velikost úhl dvo vektorů Mjí-li vektory sořdnice = ( x, y, z ) b = (b x, b y, b z ), pk je sklární sočin: b = x b x + y b y + z b z. Vlstnosti sklárního sočin: ) komttivnost: b = b, b) distribtivnost vzhledem ke sčítání vektorů: (b + c ) = b + c, c) (k ) b = k( b ) = (kb ), d) b = 0, pk nebo b je nlový vektor nebo nenlové vektory jso k sobě kolmé. vzth Ze sklárního sočin vyplývá, že velikost úhl mezi vektory b můžeme vypočítt ze cosφ = xb x + y b y + z b z. b 6

7 VEKTOROVÝ SOUČIN Vektorovým sočinem dvo vektorů, b je vektor c (c = b ), který je kolmý n ob dv vektory, orientovný tk, by všechny tři vektory tvořily prvotočivý systém. Velikost vektorového sočin je rčen vzthem: c = b sin φ, kde je úhel, který svírjí vektory, b. c b Vektorový sočin Vektorový sočin vektorů = ( x, y, z ) b = (b x, b y, b z ) vypočteme jko hodnot determinnt: i j k c = b = x y z = ( y b z z b y )i + ( z b x x b z )j + ( x b y y b x )k = b x b y b z ( y b z z b y, z b x x b z, x b y y b x ) = (c x, c y, c z ). Vlstnosti vektorového sočin: ) b = b (vzhledem ke smysl otáčení) b) (b + c ) = b + c c) ( + b ) c = c + b c d) (k ) b = (kb ) = k( b ) e) b = o, jestliže jeden z vektorů je nlový nebo ob vektory jso nenlové nvzájem rovnoběžné f) i j = k, j k = i, i k = j g) Velikost vektorového sočin se rovná ploše rovnoběžník, jehož strny jso rčeny vektory, b. Výšk rovnoběžník je v = b sinφ jeho ploch P = v = b sinφ = b. v b Vektorový sočin 7

8 ROVNICE PŘÍMKY Přímk v nlytické geometrii lze vyjádřit několik způsoby: 1. Vektorová rovnice přímky Přímk p prochází bodem [x, y, z ] rovnoběžně s nenlovým vektorem = ( x, y, z ), který nzýváme směrovým vektorem přímky p. od X[x, y, z] ležící n přímce rčje s bodem vektor X, který msí být násobkem vektor. Tedy X = k, kde k je reálné číslo, tzv. prmetr bod X. k p X 2. Prmetrické vyjádření přímky Vektorová rovnice přímky Přepíšeme-li vektorovo rovnici přímky pomocí bodů, X, dostáváme X = X = k, X = + k. Doszením sořdnic bodů, X vektor do vedené rovnice dostneme trojici tzv. prmetrických rovnic přímky x = x + k x y = y + k y z = z + k z Kždý bod n přímce má jiný prmetr k R. Směrový vektor přímky není rčen jednoznčně, je-li rčen vektorem, pk může být rčen tké jkýmkoliv vektorem s, s Knonický tvr rovnice přímky Jso-li všechny tři sořdnice směrového vektor přímky nenlová čísl, můžeme z trojice prmetrických rovnic přímky vyjádřit prmetr k, čímž získáme knonický tvr rovnice přímky k = x x x = y y y = z z z 4. Přímk jko průsečnice rovin V prostor může být přímk rčen jko průsečnice dvo rovin α, β. Potom její rovnice je rčen sostvo obecných rovnic rovin α, β, tj. α: α x + b α y + c α z + d = 0 β: β x + b β y + c β z + d = 0 8

9 Tto sostv je sostvo dvo rovnic o třech neznámých x, y, z. bychom mohli sostv vyřešit, zvolíme si jedn neznámo z prmetr. Osttní dvě neznámé pk vyjádříme pomocí tohoto prmetr. Odtd pk dostáváme prmetrické vyjádření přímky. Směrový vektor přímky je kolmý n normálové vektory rovin α, β, proto může být rčen jko jejich vektorový sočin = n α n β. n n Směrový vektor průsečnice rovin ROVNICE ROVINY Tké rovin lze v prostor vyjádřit několik způsoby: 1. Normálový tvr rovnice roviny Je-li dán rovin α bodem M[x M, y M, z M] dvěm lineárně nezávislými vektory, v, pk nenlový vektor n kolmý k rovině α je rčen vektorovým sočinem vektorů, v, tj. n = v. Tento vektor n nzýváme normálovým vektorem roviny α. Je-li bod X libovolný bod roviny α, pk jso vektory n MX n sebe kolmé, tj. pltí n MX = 0. Tto rovnice se nzývá normálový tvr rovnice roviny. 2. Obecná rovnice roviny M n Normálový tvr rovnice roviny Dosdíme-li do normálového tvr rovnice roviny sořdnice bodů M[x M, y M, z M], X [x, y, z] sořdnice nenlového normálového vektor n = (, b, c), pk dostáváme v n MX = 0, (X M)n = 0, (x x M, y y M, z z M ) (, b, c) = 0, x + by + cz (x M + by M + cz M ) = 0. Oznčíme-li d = (x M + by M + cz M ), pk získáme tvr obecné rovnice roviny, tj. x + by + cz + d = 0. X 9

10 3. Úsekový tvr rovnice roviny Neprochází-li rovin počátkem sostvy sořdnic, pk ji lze rčit pomocí úseků, které vytíná n sořdnicových osách. Úsekový tvr rovnice roviny odvodíme z obecného tvr rovnice roviny. Je-li d 0, pk jím můžeme obecno rovnici roviny vydělit. d x + b d y + c d z + 1 = 0 Doszením = d, = d, C = d dostneme úsekový tvr rovnice roviny b c x + y + z C = 1, kde čísl,, C rčjí úseky, v nichž rovin protíná sořdnicové osy. Trojice čísel,, C by neměl být nlová, pokd by bylo některé číslo rovno nle, pk je rovin rovnoběžná s příslšno sořdnicovo oso. 4. Vektorová rovnice roviny Je-li dán rovin α bodem M[x M, y M, z M] dvěm směrovými vektory, v, pk bod roviny X[x, y, z] vytvoří s bodem M vektor MX, který je lineární kombincí vektorů, v. Můžeme tedy psát, MX = X M = k + lv, kde k, l jso reálná čísl. Uvedená rovnice je vektorovo rovnicí roviny. 5. Prmetrické vyjádření roviny Vyjádříme-li z vektorové rovnice roviny bod X, pk pltí, že X = M + k + lv. Dosdíme-li do této rovnice sořdnice vektorů = ( x, y, z ), v = (v x, v y, v z ) sořdnice bod M[x M, y M, z M] dostáváme, že pro sořdnice libovolného bod X roviny pltí x = x M + k x + lv x y = y M + k y + lv y Pokd bychom z těchto rovnic vyjádřili prmetry k, l, pk získáme obecný tvr rovnice roviny. z = z M + k z + lv z POLOHOVÉ ÚLOHY 1. Vzájemná poloh dvo přímek V prostor máme dány dvě přímky bodem směrovým vektorem: p: X = P + t, t R q: X = Q + rv, r R 10

11 Vzájemno poloh těchto přímek rčíme podle vektorů, v, PQ : Vzájemná poloh dvo přímek, v kolineární vektory, v nekolineární vektory, PQ kolineární vektory, PQ nekolineární vektory, v, PQ lineárně závislé, v, PQ lineárně nezávislé totožné přímky různé rovnoběžky různoběžky mimoběžky P Q v p=q P Q p v q p P Q v q P Q v p q 2. Vzájemná poloh dvo rovin Zdáme-li v prostor dvě roviny v normálovém tvr, pk jejich vzájemno poloh můžeme rčit pomocí normálových vektorů n α, n β rovin vektor, přičemž bod leží v rovině bod leží v rovině. n α = 0 n α, n β kolineární vektory α: X n α = 0 β: X n β = 0. Vzájemná poloh dvo rovin n α 0 n α, n β nekolineární vektory totožné roviny různé rovnoběžné roviny různoběžné roviny n n n n n n 11

12 3. Vzájemná poloh přímky roviny Nechť je v prostor dán přímk p: X = + t, t R, rovin α: X n α = 0. Vzájemno poloh přímky roviny bdeme poszovt podle sklárního sočin n α sklárního sočin n. α Vzájemná poloh přímky roviny n α = 0 n α = 0 n α 0 n α 0 přímk je rovnoběžná s rovino leží v ní přímk je rovnoběžná s rovino neleží v ní přímk rovin jso různoběžné n n p n n p n n p METRICKÉ ÚLOHY Vzdálenost 1. Vzdálenost dvo bodů, Vzdálenost dvo bodů [x, y, z ], [x, y, z ] v prostor je rčen velikostí vektor : d = = (x x ) 2 + (y y ) 2 + (z z ) Vzdálenost bod od přímky q Vzdálenost bod od přímky je možné vypočítt dvěm různými způsoby:. odem proložíme rovin kolmo n přímk q rčíme průsečík M přímky q s rovino ρ. Pk vzdálenost bod od přímky q je stejná jko vzdálenost bod od průsečík M: d(, q) = M. 12

13 q M Vzdálenost bod od přímky rovin kolmá b. Pomocí vlstností vektorového sočin: Přímk q je rčen bodem směrovým vektorem. Vektory jso nekolineární tedy rčjí rovnoběžník CD. Ploch rovnoběžník CD o strnách je: P = (z vlstností vektorového sočin). Z geometrických vlstností rovnoběžník zse získáme P = d. Tedy vzdálenost d bod od přímky vypočítáme: d = D d q C Vzdálenost bod od přímky vektorový sočin 3. Vzdálenost bod od roviny Konstrktivní postp řešení úlohy vede k rčení pty Q kolmice k vedené z bod k rovině. nlogickým způsobem bdeme postpovt i při výpočt vzdálenosti bod od roviny. Stejně jko v konstrktivním postp vedeme bodem [x, y, z ] kolmici k k rovině. Směrový vektor kolmice k je stejný jko normálový vektor n α = (, b, c) roviny. Pk prmetrické rovnice kolmice k jso tvr: x = x + t, y = y + tb, z = z + tc, t R. 13

14 k n Q n Kolmice k rovině dným bodem Doszením prmetrických rovnic kolmice do obecné rovnice roviny rčíme průsečík Q[x Q, y Q, z Q ] roviny s kolmicí: Vyjádříme prmetr t průsečík Q z této rovnice: (x + t) + b(y + tb) + c(z + tc) + d = 0. t = x +by +cz +d 2 +b 2 +c 2. Doszením sořdnic bodů Q do vzth pro velikost vektor Q, získáme vzdálenost bod od roviny: Q = (x Q x ) 2 + (y Q y ) 2 + (z Q z ) 2, Q = (x + t x ) 2 + (y + tb y ) 2 + (z + tc z ) 2, Q = t 2 + b 2 + c 2, Q = x +by +cz +d 2 + b 2 + c 2, 2 +b 2 +c 2 Q = x +by +cz +d. 2 +b 2 +c 2 4. Vzdálenost dvo rovnoběžných přímek p q Vzdálenost dvo rovnoběžných přímek p q rčjeme jko vzdálenost zvoleného bod n jedné z dných přímek od drhé přímky. 5. Vzdálenost přímky p od rovnoběžné roviny Vzdálenost přímky p od rovnoběžné roviny je stejná jko vzdálenosti zvoleného bod přímky p od dné roviny. 6. Vzdálenost dvo rovnoběžných rovin, Vzdálenost dvo rovnoběžných rovin, se rovná vzdálenosti zvoleného bod v jedné rovině od drhé roviny. 14

15 1. Odchylk dvo přímek Odchylk Velikost odchylky úhl dvo přímek p, q, je stejná jko velikost odchylky směrových vektorů, v těchto přímek. Tto odchylk zjistíme z definice sklárního sočin. Odchylk dvo přímek vždy volíme od 0 do 90, proto msí být hodnot sklárního sočin vždy kldná tedy sklární sočin msí být v bsoltní hodnotě. φ = rccos v v. 2. Odchylk dvo rovin Odchylk φ dvo rovin, je rčen odchylko jejich normálových vektorů n α, n β. Pltí tedy φ = rccos nα n β n α n. β 3. Odchylk přímky roviny Odchylk φ přímky p od roviny je úhel, který svírá přímk p její prvoúhlý průmět p 0 do roviny. Odchylk přímky od roviny je dán vzorcem sin φ = cos ω = nα n, α kde n α je normálový vektor roviny, je směrový vektor přímky p je úhel, který svírá normálový vektor n α roviny směrový vektor přímky p. Přitom pltí, že φ = π ω. 2 15

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory

Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory Vektorový počet.1 Eklidovský prostor E 3 Eklidovský prostor E 3 je prostor spořádaných trojic (tj. bodů), v němž je definována vzdálenost dvo jeho bodů A, B (značíme ji AB ). Vzdálenost bodů A = [a 1,

Více

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ANALYTICKÁ GEOMETRIE. 8. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ANALYTICKÁ GEOMETRIE. 8. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrav se na státní matritní zkošk z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 8. tematický okrh: ANALYTICKÁ GEOMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online příprav

Více

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5. 10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány

Více

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému

Více

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje. 1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/

Více

9 Axonometrie ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 9 Axonometrie

9 Axonometrie ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 9 Axonometrie 9 Axonometrie Mongeov projekce má řdu předností: jednoduchost, sndná měřitelnost délek úhlů. Je všk poměrně nenázorná. Podsttnou část technických výkresů proto tvoří kromě půdorysu, nárysu event. bokorysu

Více

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25 56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4;

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4; 1 BUAnlytická geometrie - bod, souřdnice bodu, vzdálenost bodů 11 1BRozhodněte, zd trojúhelník s vrcholy A [ ; ], B [ 1; 1] C [ 11; 6] je prvoúhlý 1 1BN ose y njděte bod, který je vzdálený od bodu A [

Více

14. přednáška. Přímka

14. přednáška. Přímka 14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1

Více

9.6. Odchylky přímek a rovin

9.6. Odchylky přímek a rovin 9 Stereometrie 96 Odchylky přímek rovin Odchylku dvou přímek, dvou rovin přímky od roviny převádíme n určení velikosti úhlu dvou různoběžek Odchylk dvou přímek Odchylk dvou přímek splývjících nebo rovnoběžných

Více

Stereometrie metrické vlastnosti

Stereometrie metrické vlastnosti Stereometrie metrické vlstnosti Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek

Více

6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE

6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Stereometrie metrické vlastnosti 01

Stereometrie metrické vlastnosti 01 Stereometrie metrické vlstnosti 01 Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek

Více

8 Mongeovo promítání

8 Mongeovo promítání 8 Mongeovo promítání Pomocí metod uvedených v kpitolách 3. 4., 3. 6. bychom mohli promítnout do roviny 3 libovolný útvr U E. V prxi všk většinou nestčí sestrojit jeden průmět. Z průmětu útvru U je většinou

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Analytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37)

Analytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Analytická geometrie přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Název: XI 3 21:42 (2 z 37) Rovnice přímky a) parametrická A B A B C A X Název: XI 3 21:42 (3 z

Více

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306 7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu

Více

Vzdálenosti přímek

Vzdálenosti přímek 5..11 Vzdálenosti přímek Předpokldy: 510 Př. 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti dvou přímek nvrhni definici této vzdálenosti. Vzdálenost přímek má smysl, když přímky nemjí společné body tedy

Více

Vzdálenosti přímek

Vzdálenosti přímek 5..1 Vzdálenosti přímek Předpokldy: 511 Př. 1: Rozhodni, kdy má smysl uvžovt o vzdálenosti dvou přímek nvrhni definici této vzdálenosti. Vzdálenost přímek má smysl, když přímky nemjí společné body tedy

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

3) Vypočtěte souřadnice průsečíku dané přímky p : x = t, y = 9 + 3t, z = 1 + t, t R s rovinou ρ : 3x + 5y z 2 = 0.

3) Vypočtěte souřadnice průsečíku dané přímky p : x = t, y = 9 + 3t, z = 1 + t, t R s rovinou ρ : 3x + 5y z 2 = 0. M1 Prog4 D1 1) Určete vektor c kolmý na vektory a = 2 i 3 j + k, b = i + 2 j 4 k. 2) Napište obecnou a parametrické rovnice roviny, která prochází bodem A[ 1; 1; 2] a je kolmá ke dvěma rovinám ρ : x 2y

Více

Analytická geometrie (AG)

Analytická geometrie (AG) Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie

Více

Analytická geometrie v rovině

Analytická geometrie v rovině nltická geometrie v rovině Souřdnicová soustv v rovině Zvolme v rovině dvě nvájem kolmé přímk číselné os. růsečík O těchto přímek nveme počátek souřdnic. Vodorovnou přímku ončíme osou svislou ončíme osou

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s. 3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů. Přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů) Rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

5.2.4 Kolmost přímek a rovin II

5.2.4 Kolmost přímek a rovin II 5..4 Kolmost přímek rovin II Předpokldy: 503 Př. 1: Zformuluj stereometrické věty nlogické k plnimetrické větě: ným bodem lze v rovině k dné přímce vést jedinou kolmici. Vět: ným bodem lze v prostoru k

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

4. cvičení z Matematiky 2

4. cvičení z Matematiky 2 4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y

Více

3.1.3 Vzájemná poloha přímek

3.1.3 Vzájemná poloha přímek 3.1.3 Vzájemná poloh přímek Předpokldy: 3102 Dvě různé přímky v rovině mximálně jeden společný od Jeden společný od průsečík různoěžné přímky (různoěžky) P Píšeme: P neo = { P} Žádný společný od rovnoěžné

Více

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami 5.1.5 Zákldní vzthy mezi body, přímkmi rovinmi Předpokldy: 510 Prostor má tři rozměry, skládá se z bodů přímk - jednorozměrná podmnožin prostoru (množin bodů), rovin - dvojrozměrná podmnožin prostoru (množin

Více

Rovnice přímky v prostoru

Rovnice přímky v prostoru Rovnice přímky v prostoru Každá přímka v prostoru je jednoznačně zadána dvěma body. K vyjádření všech bodů přímky lze použít parametrické rovnice. Parametrická rovnice přímky p Pokud A, B jsou dva různé

Více

= prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty

= prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty STROMTRI STROMTRI = prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty xióm je jednoduché názorné tvrzení, které se nedokazuje.

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 (Souřdnicové výpočty) 1 ročník bklářského studi studijní progrm G studijní obor G doc Ing Jromír Procházk CSc listopd 2015 1 Geodézie 1 přednášk č7 VÝPOČET SOUŘADNIC JEDNOHO

Více

Kolmost rovin a přímek

Kolmost rovin a přímek Kolmost rovin a přímek 1.Napište obecnou rovnici roviny, která prochází boem A[ 7; ;3] a je kolmá k přímce s parametrickým vyjářením x = + 3 t, y = t, z = 7 t, t R. Řešení: Hleanou rovinu si označíme α:

Více

Metrické vlastnosti v prostoru

Metrické vlastnosti v prostoru Metrické vlastnosti v prostoru Ž2 Metrické vlastnosti v prostoru Odchylka přímek p, q v prostoru V planimetrii jsme si definovali pojem odchylky dvou přímek p, q pro různoběžky a pro rovnoběžky. Ve stereometrii

Více

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c ) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším

Více

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY 3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou

Více

M - Příprava na 12. zápočtový test

M - Příprava na 12. zápočtový test M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x. KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou

Více

14 Kuželosečky v základní poloze

14 Kuželosečky v základní poloze 4 Kuželosečk v zákldní poloze Následující tet 4 7 se týkjí geometrie v rovině. Až dosud jsme studovli útvr lineární (v nltickém vjádření l vžd proměnné,, z v první mocnině). Nní se udeme zývt některými

Více

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich

Více

7.2.10 Skalární součin IV

7.2.10 Skalární součin IV 7.2.10 Sklární sočin IV Předpokld: 7209 Pedgogiká poznámk: Tto hodin je kontet čebnie zláštní. Obshje d důkz jeden příkld z klsiké čebnie. Všehn tři zdání jso znčně obtížná ždjí nápd, proto je řeším normálně

Více

Matematika I 12a Euklidovská geometrie

Matematika I 12a Euklidovská geometrie Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky

Více

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky. 2.cvičení 1. Polopřímk: od O dělí přímku n dvě nvzájem opčné polopřímky. Úsečk: průnik dvou polopřímek,. Polorovin: přímk dělí rovinu n dvě nvzájem opčné poloroviny. Úhel: průnik polorovin (pozor n speciální

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4) KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1

Více

Mongeova projekce - úlohy polohy

Mongeova projekce - úlohy polohy Mongeova projekce - úlohy polohy Mgr. František Červenka VŠB-Technická univerzita Ostrava 16. 2. 2010 Mgr. František Červenka (VŠB-TUO) Mongeova projekce - úlohy polohy 16. 2. 2010 1 / 14 osnova 1 Mongeova

Více

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost

Více

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II

2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II 2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II Předpokldy: 020406 Př. 1: oplň tbulku. Zdání sss α < 180 c Zdání Náčrtek Podmínky sss sus usu b + b > c b + c > c + c > b b α < 180 c α + β < 180 c Pedgogická poznámk: Původní

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ07/500/34080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii

Analytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor

Více

Základy teorie matic

Základy teorie matic Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich

Více

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení

Více

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK p: a x b y c 0 q: a x b y c 0 ROVNOBĚŽNÉ PŘÍMKY (RŮZNÉ) nemají žádný společný bod, můžeme určit jejich vzdálenost, jejich odchylka je 0. Normálové

Více

DUM č. 10 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla

DUM č. 10 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla projekt GML Brno Docens DUM č. 10 sadě Ma- Přípraa k matritě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla 14. Ator: Magda Krejčoá Datm: 1.08.01 Ročník: matritní ročníky Anotace DUM: Analytická

Více

8. cvičení z Matematiky 2

8. cvičení z Matematiky 2 8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru,

Více

17 Křivky v rovině a prostoru

17 Křivky v rovině a prostoru 17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

Diferenciální počet. Spojitost funkce

Diferenciální počet. Spojitost funkce Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti

Více

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce. KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

ROVNOBĚŽNÉ PROMÍTÁNÍ, VOLNÉ ROVNOBĚŽNÉ PROMÍTÁNÍ

ROVNOBĚŽNÉ PROMÍTÁNÍ, VOLNÉ ROVNOBĚŽNÉ PROMÍTÁNÍ Technická univerzit v Liberci Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky ROVNOĚŽNÉ PROMÍTÁNÍ, VOLNÉ ROVNOĚŽNÉ PROMÍTÁNÍ Pomocný učební text Petr Pirklová Liberec, září 2013

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.

Více

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ: Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme

Více

Matematické metody v kartografii

Matematické metody v kartografii Mtemtické metody v krtogrfii. Přednášk Referenční elipsoid zákldní vzthy. Poloměry křivosti. Délky poledníkového rovnoběžkového oblouku. 1. Zákldní vzthy n rotčním elipoidu Rotční elipsoid dán následujícími

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

Vybrané kapitoly z matematiky

Vybrané kapitoly z matematiky Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2017-2018 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 1 / 19 Základní informace předmět: 714-0513, 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: radek.kucera@vsb.cz,

Více

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY Prostorové útvary zobrazujeme do roviny pomocí promítání, což je jisté zobrazení trojrozměrného prostoru (uvažujme rozšířený Eukleidovský prostor) do roviny, které je zadáno

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY V PŘÍKLADECH

ROTAČNÍ KVADRIKY V PŘÍKLADECH Univerzit Plckého v Olomouci Rozšíření kreditce učitelství mtemtiky učitelství deskriptivní geometrie n PřF UP v Olomouci o formu kombinovnou CZ..07/..00/8.003 ROTAČNÍ KVADRIKY V PŘÍKLADECH Mrie OŠLEJŠKOVÁ,

Více