( a) Okolí bodu

Transkript

1 0..5 Okolí bodu Předpokldy: 40 Pedgogická poznámk: Hodin zjevně překrčuje možnosti většiny studentů v 45 minutách. Myslím, že nemá cenu přethovt do dlší hodiny, příkldy s redukovnými okolími nejsou nutné, je pouze potřeb, by studenti pojem redukovného okolí slyšeli tké by se pokusili vyrobit závěrečnou přehlednou tbulku, která npomáhá zpmtování odhluje souvislosti. Co znmenjí slov spojitost limit víme, le nedokážeme to mtemticky ektně popst. Než se k tomu dostneme, musíme se nučit prcovt s několik jednoduchými pojmy, které se v této části mtemtiky používjí. Není n nich nic těžkého, jde pouze o to, bychom si je zžili ony nám nečinily potíže ve chvílích, kdy budeme muset uvžovt o jiných problémech. Jk u spojitosti, tk u limit jsme zkoumli, jk se hodnoty funkce mění, když se blíží lim f když se blíží ), jinými slovy co se děje, když je k nějké hodnotě (třeb u ( ) okolo bodu. Definice: Okolím bodu ( -okolím bodu ) se nzývá otevřený intervl ( ; ), kde je libovolné kldné reálné číslo. Číslo se nzývá střed okolí, číslo se. nzývá poloměr okolí. -okolí bodu znčíme ( ) Poznámk: Různá okolí bodu se neznčí v mtemtice jednotně. Klsická gymnzijní sd, nebo používá znčení pomocí speciálního znku podobného tiskcímu bez indeu ( ) ( ), v jiné litertuře se objevují npříkld prokládná písmen ( ). My se budeme držet (podobně jko v kombintorice) využívní indeu, bychom rozlišili rozdílný význm : = poloměr, vzdálenost; = střed okolí, hodnot proměnné. obou čísel pro okolí ( ) V poznámkách pod kždou z definic pk zmíníme jiné druhy znčení. Př. : N číselné ose nkresli libovolné -okolí čísl. Vytvoříme libovolný otevřený intervl se středem v bodě. Pedgogická poznámk: Někteří studenti mjí problémy s tím, že není stnoven velikost okolí. Je dobré jim vysvětlit, že v přípdě, že os není očíslován (pouze číslem ), je úplně jedno jk okolí uděljí velké.

2 Př. : N číselné ose nkresli zpiš intervlem: ) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( 5) ) ( ) = okolí bodu s poloměrem = ; = ; ( ) 4 6 b) ( ) = okolí bodu s poloměrem ( ) = ( ; ) = (,5;,5) c) ( ) = okolí bodu - s poloměrem ( ) = ( ; ) = ( 4; ) d) ( 5) = nesmysl, bod 5 nemůže mít okolí s poloměrem Př. : Zpiš řešení nerovnice < jko okolí bodu (rdy: pro řešení nerovnice použij význm bsolutní hodnoty z rozdílu dvou čísel, řešení si nkresli n číselnou osu). Význm bsolutní hodnoty z rozdílu dvou čísel: = vzdálenost obrzů čísel n číselné ose < hledáme čísl, která jsou od čísl vzdálen méně než o (,5;,5) ( ) K = = ( ) tvoří všechn reálná čísl, která vyhovují nerovnostem: < <, zkráceně zpsáno <. Př. 4: Zpiš intervly jko okolí bodu. Kždé okolí pk vyjádři nerovnicí s bsolutní hodnotou. ; ) (,9;, ) b) ( ;5 ) c) ( ;4 ) d)(;4 e) ( ) ) (,9;, ) střed intervlu = průměr krjních čísel:,9, = poloměr okolí:, = 0,,9;, = R, < 0, b) ( ;5 ) 0,

3 střed intervlu = průměr krjních čísel: 5 = poloměr okolí: 5 = ;5 = R, < c) ( ;4 ) střed intervlu = průměr krjních čísel: 4 =,5 poloměr okolí: 4,5 =,5 ; 4 =,5 R,,5 <,5,5 d)(;4 - nejde zpst jko okolí bodu, nejde o otevřený intervl e) ( ;) střed intervlu = průměr krjních čísel: ;5 = R = <, ( ) = poloměr okolí: ( ) = Pedgogická poznámk: Protože v následujících hodinách budeme čsto zápisy pomocí nerovnice s bsolutní hodnotou používt, trvám n tom, by je studenti psli tk si n ně zvykli. Protože jsme v předchozích hodinách neurčovli pouze spojitost limitu v bodě, le i spojitost (limitu) zlev (přípdně zprv), nebude nám stčit pouze okolí bodu (jde n obě strny). Musíme si zvést i levé (prvé) okolí bodu. Př. 5: Zpiš definici levého (prvého) -okolí bodu (pouze nlogii první věty v definici okolí bodu). Levým okolím bodu (levým -okolím bodu ) se nzývá polouzvřený intervl ( ;, kde je libovolné kldné reálné číslo. Levé -okolí bodu znčíme ( ). Prvým okolím bodu (prvým -okolím bodu ) se nzývá polouzvřený intervl ;. ), kde je libovolné kldné reálné číslo. Prvé -okolí bodu znčíme ( ) Pomocí nerovností píšeme: = R; < ( ) { } ( ) = { R; < } Př. 6: N číselné ose nkresli, zpiš intervlem pomocí nerovnosti: ) ( ) b) ( ) c) ( ) 0 ) ( ) = levé okolí bodu - s poloměrem = ; = ; ( ) ( (

4 ( ) = { R < } ; b) ( ) = prvé okolí bodu - s poloměrem ( ) = ; ) = ;,5 ) ( ) = { R < } ;,5 = prvé okolí bodu 0 s poloměrem c) ( ) ( 0) = 0;0 0, 5) = 0;0, 5) ( ) = { R < } 0 ;0 Př. 7: Zpiš intervly jko okolí bodu: ) ;, ) b) ( ; c) 0,997; ) ) ;, ) střed okolí: poloměr okolí:, = 0, ) = ( ) ;, b) ( ; 0, střed okolí: poloměr okolí: ( ) = ( ; = ( ) c) 0,997; ) střed okolí: 0,997 poloměr okolí: 0,997 = 0, 00 ) = ( ) 0,997; 0,997 0,00 Při určování limit n hodnotě v bodě vůbec nezáleží z nšich úvh ji tedy vynecháme smotný bod, ve kterém limitu hledáme, budeme ignorovt Definice: Redukovným okolím bodu (redukovným -okolím bodu ) se nzývá ;, kde je libovolné kldné reálné číslo. Číslo se množin ( ) { } nzývá střed okolí, číslo se nzývá poloměr okolí. Redukovné -okolí bodu R. znčíme ( ) Poznámk: Ve znčení redukovných (prstencových) okolí je ještě větší zmtek než ve znčení normálních okolí. Někdy se vychází ze znčení normálního okolí přidáním indeu, P. My se budeme postupovt ( ) nebo ( ), jinde se používá jiné písmeno ( ) 4

5 stejně jko u normálního okolí s tím, že změní písmeno písmenem R. Všechn osttní prvidl budou pro ob druhy okolí stejná. Př. 8: Přečti následujících oznčení, sestv jejich definice zpiš je jko množiny: R ) R ( ) b) ( ) ) ( ) R = prvé redukovné -okolí bodu Prvým redukovným okolím bodu (prvým redukovným -okolím bodu ) se nzývá ;, kde je libovolné kldné reálné číslo. otevřený intervl ( ) R ( ) = { R; < < } b) R ( ) Levým redukovným okolím bodu (levým redukovným -okolím bodu ) se nzývá ;, kde je libovolné kldné reálné číslo. otevřený intervl ( ) R ( ) = { R; < < } Př. 9: Zpiš intervlem (sjednocením intervlů) vyznč n ose: ) R 0, (,5 ) b) R 0,0 (, 4) c) R ( ) ) R 0, (,5 ) = redukovné okolí bodu,5 s poloměrem 0, R ( ) = ( ) ( ) 0,,5, 4;,5,5;, 6 R = prvé redukovné okolí bodu,4 s poloměrem 0,0 b) 0,0 (, 4) R ( ) = ( ) = ( ) 0,0, 4, 4;, 4 0,0,4;, 44 c) ( ) R ( ) = ( ) = ( ) R = levé redukovné okolí bodu - s poloměrem ; ; Př. 0: Sestv přehled různých druhů okolí bodu. Všechny druhy okolí můžeme zpst do tbulky. oboustrnné levé prvé obshuje střed ( ) ( ) ( ) neobshuje střed R ( ) R ( ) R ( ) Shrnutí: Čísl, která obklopují nějké číslo, zpisujeme pomocí okolí otevřených nebo polouzvřených intervlů. 5