13. Exponenciální a logaritmická funkce

Transkript

1 @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze všechn kldná reálná čísl. Když změníme konstntu nezávisle proměnnou, dostneme předpis g: y =, R, >0 kde zákld smí být pouze kldný reálný, >0, nezávisle proměnná, eponent, může nbývt libovolné reálné hodnoty. Úkol: Eistuje jedn hodnot zákldu >0, pro kterou dostneme již dříve známou funkci. Která je to hodnot která je to funkce? výsledek

2 @14 Úkol: Je číslo 1 0,7 ( ) větší nebo menší než jedn? Nepoužijte klkulčku le mozek. 7 je větší než 1 je menší než 1

3 @17 Co je ep (-)? 1 1 ep ( ) ( ) ep1 ( ) Funkce eponenciální o zákldu je osově souměrná s eponenciální funkcí o zákldu 1/. Příkld: Pro který zákld pltí ep = 5? Řešení: Zápis znmená ep = = 5 => = 5 Úkol: Určete zákldy eponenciálních funkcí, pro které pltí: ep 4 = 16 ep b (-1) = ep c (-1/) = 1/ ep d (1/) = ep e 1 = - výsledek

4 @140 Eponenciální funkce je prostá proto k ní eistuje inverzní funkce. Její definice následuje: Definice: Funkce inverzní k funkci eponenciální o zákldu se nzývá logritmická funkce o zákldu, R + \{1}. Znčí se y = log Je-li = e =,718818, pk mluvíme o přirozeném logritmu znčíme jej ln (někdy lg). Je-li = 10, pk mluvíme o dekdickém logritmu znčíme jej log. Poznámk: Funkce inverzní k logritmické funkci je eponenciální funkce o stejném zákldu nopk. Úkol: N zákldě znlostí o průběhu eponenciální funkce, popište vlstnosti průběhu logritmické funkce: - definiční obor obor hodnot - význčné body, průsečíky - symptoty - monotonost - grfem je logritmická křivk, udělejte náčrtky výsledek

5 @14 Úvh: Studujme mocninu u = t Připomeňme si, že pro nvzájem inverzní funkce pltí f(u) = t u = f -1 (t) f(f -1 ()) = f -1 (f()) = Uvedenou mocninu můžeme zpst jko funkční hodnotu eponenciely ep (t) = u Protože logritmus eponenciel jsou vzájemně inverzní funkce, lze též psát t=log (u) Definice: Číslo t se nzývá logritmus o zákldu z čísl u, právě když pltí t=log (u) <=> u = t Vět: Pro u > 0, t R pltí u = log (u) t=log ( t ) Vět: Vlstnosti logritmické funkce, prvidl počítání s logritmy, pro,y > 0, r R: ) log (.y) = log () + log (y) b) log ( y ) = log () - log (y) c) log ( r ) = r.log () d) log (1)= 0 e) log () = 1 Poznámk: V době počítčů kpesních klkulček ztrtily logritmy část svého význmu pro numerické výpočty. V 17. století, kdy byly objeveny, pomohly npříkld J. Keplerovi (německý mtemtik stronom n dvoře Rudolf II. v Prze) k objevu jeho plnetárních zákonů. Jejich význm spočívá v tom, že složitější početní operce převádí n jednodušší: násobení n sčítání (vlstnost ), dělení n odečítání (vlstnost b) mocnění n násobení (vlstnost c). Důkz: vychází z vlstností mocnin z toho, že pro,y > 0, r R, R + \{1} jsou mocninné funkce prosté. Stčí porovnt eponenty. log (. y) log ( ) y r log ( ). y y r log log ( log y log. ) r log y log log r.log log log y y

6 pokrčování

7 @146 Zlogritmujte výrz t = s + r Řešení: log t = log(s + r) Dál to nejde uprvit! Pokusy uprvit logritmus součtu je čstou chybou. Pozor n to, logritmus součtu (rozdílu) nelze uprvit jink, než součet (rozdíl) nejprve provést pk teprve určit logritmy. pokrčování

8 @1 f: y =, R, >0 Pro = 1 nám předpis dává funkci f: y = 1, což je konstntní funkce. Jkožto málo zjímvou již popsnou funkci ji v následující definici vyloučíme. Definice: Nechť (0; 1) (1; + ). Eponenciální funkce o zákldu se znčí ep je dán předpisem ep : y = Je-li = e =, , pk mluvíme o přirozené eponenciele znčíme ji ep. Poznámk: Číslo e se nzývá Eulerovo číslo je ircionální. Uvedená hodnot je jen prvních 7 desetinných míst. Číslo e je stejně důležité jko číslo Pythgorovo π. Definiční obor: celá množin reálných čísel R Symetrie: Eponenciální funkce není ni lichá ni sudá ni periodická. Pro všechny eponenciální funkce libovolného zákldu pltí ep (0) = 0 = 1 Úkol: Co to znmená pro grfy eponenciálních funkcí? výsledek

9 @15 Je číslo 1 0,7 ( ) větší nebo menší než jedn? 7 Je to funkční hodnot eponenciální funkce o zákldu 1/7, oznčme ji po jednoduchost f. 1 0,7 f : y ( ) 7 Zákld je větší než 1, jde tedy o funkci rostoucí, což znmená, že pro kždá dvě reálná čísl 1, pltí 1 < => f( 1 ) < f( ) Pro kždá dvě čísl, tedy i pro 1 = 0 = 0,7 0 < 0,7 => f(0) < f(0,7) 1 0,7 tj. 1 ( ) 7 Úkol: Závislost tlku p [P] vzduchu n ndmořské výšce h [km] lze vyjádřit přibližně vzthem h p p0 0, 88 kde p 0 = 1, P je tlk v ndmořské výšce 0 km. Vrchol Sněžky je v ndmořské výšce 1604 m. Je v Benátkách nižší nebo vyšší tlk vzduchu než n Sněžce? výsledek

10 @18 Určete zákldy eponenciálních funkcí, pro které pltí ep 4 = 16 => = ep b (-1) = => b = 1/ ep c (-1/) = ½ => c = 4 ep d (1/) = => d = 7 ep e 1 = - => tkový zákld neeistuje, neboť eponenciální funkce je vždy kldná Úkol: Pro která p je funkce p 1 g : y ( ) rostoucí? výsledek

11 @141 Úkol: N zákldě znlostí o průběhu eponenciální funkce, popište vlstnosti průběhu logritmické funkce: - definiční obor obor hodnot - význčné body, průsečíky - symptoty - monotonost - grfem je logritmická křivk, udělejte náčrtky Řešení: Grf funkce funkce k ní inverzní je symetrický kolem osy I. III. kvdrntu. eponenciální funkce y = logritmická funkce y = log definiční obor (- ; + ) (0; + ) obor hodnot (0; + ) (- ; + ) všechny grfy [0; 1] [1; 0] procházejí bodem symptot os os y monotonost (0;1) klesjící n R klesjící n R + (1; + ) rostoucí n R rostoucí n R + pokrčování

12 @144 Příkld: Zlogritmujte výrz dekdickým logritmem r d c b Řešení: b log r log( ) z podílu bude rozdíl d c log( b) log( d c součin se převede n součet 1 log( ) log( b ) log( d) log( c ) mocnění n součin 1 log log b log( d) log c Úkol: Zlogritmujte výrzy tu v ( b ) b w ( ) cd výsledek

13 @1 Všechny grfy všech eponenciálních funkcí procházejí bodem [0; 1], což je tké jediný průsečík s osou y. Ať je zákld mocniny libovolné číslo z definičního oboru stejně tk eponent mocniny, je hodnot mocniny vždy kldná. Tedy grfy všech eponenciálních funkcí jsou vždy nd osou. Asymptoty: Os je symptotou pro všechny eponenciální funkce. pokrčování

14 @16 Zákld eponenciální funkce p = p 0.0,88 h je menší než 1, proto je funkce klesjící. Což znmená, že čím výše nd mořem tím je tlk nižší. Benátky jsou u moře, vrchol Sněžky nikoli. Tedy n Sněžce je nižší tlk vzduchu než v Benátkách. Úkol: Výměn z - nás přivedl k pojmu funkce sudá (lichá) víme, že to souvisí se symetrií grfu kolem osy y (středová symetrie určená počátkem souřdnic). Eponenciální funkce není symetrická. Co tedy je ep (-)? výsledek

15 @19 Pro která p je funkce p 1 g : y ( ) rostoucí? Řešení: g je funkce eponenciální. O tom, zd je rostoucí rozhoduje zákld, který musí být větší než 1. Tedy musí pltit p 1 1 Sndno vyřešíme tuto nerovnici, která pltí pro kždé p >. Funkce g je tedy rostoucí pro p (; + ). Poznámk: Zákldní vlstnosti eponenciální funkce získáme připomenutím porovnáním s vlstnostmi mocnin: 1) +y =. y ep (+y) = ep.ep y ).y = ( ) y ep (.y) = (ep ) y ) 0 = 1 ep 0 = 1 4) 1 = ep 1 = První vlstnost se dá volně vyslovit tk, že eponenciální funkce převádí operci sčítání n operci násobení místo sečíst čísl y pk nlézt funkční hodnotu, můžeme nejprve nlézt funkční hodnoty eponenciely pro čísl y pk výsledné hodnoty vynásobit. Že je to neekonomické (z jednoduššího plus dělt obtížnější krát), je prvd. Uvádíme to jen pro kontrst s následující funkcí. Úkol: Doplňte následující tvrzení tk, by to byl prvdivý výrok. Eponenciální funkce je... proto k ní eistuje... funkce. výsledek

16 @14 Příkld: Určete definiční obor následujících funkcí. Užijte k tomu náčrtků funkcí v rgumentu logritmů. f : y log(4 ) g : y ln( Řešení: Definičním oborem logritmů jsou pouze čísl kldná. Uděláme si rychlý náčrtek funkce v rgumentu odečteme z něj, kdy je grf nd osou. ) Pokud bychom nevyužili náčrtku grfu rgumentů řešili úlohu lgebricky, řešili bychom nerovnice 4 > > (-; ) pro < 0 < 0 < < / (- ; 0) (/; + ) pro > 0 > 0 > > / pokrčování

17 @145 Zlogritmujte výrzy Řešení: log v 1 (log log w (log tu v ( b ) b w ( ) cd 1 log t log u) (log b log ) 1 log b log c log d) Úkol: Zlogritmujte výrz t = s + r výsledek

18 @147 Úvh: Mějme mocninu u = t Zlogritmujme ji přirozeným logritmem ln u = t ln Lze tedy vždycky npst (eponenciel logritmus o zákldu e jsou funkce inverzní) t = u = e ln u = e t ln Závěr 1: Kždou eponencielu o libovolném zákldu ep (t) = t eponencielu o zákldu e = ep(t ln ) lze převést n Přidejme definici u = t t = log u u = t = e t ln = e log u ln = e ln u = u porovnáním eponentů dostneme ln( u) ln( )log u či jink log ( u) ln( u) ln( ) Závěr : Kždý logritmus o libovolném zákldu lze převést n logritmus přirozený. Tyto dv závěry uvádíme proto, že přirozený logritmus eponenciel o zákldu e mjí velký význm jk v různých oblstech teorie mtemtiky, tk ve fyzice, chemii, rcheologii dlších oborech. Přirozenost těchto funkcí je mj. v tom, že mjí nejjednodušší derivci 1 ( e )' e (ln )' pokrčování

19 @888 Ještě shrnutí do tlsu funkcí 9 eponenciální funkce název: eponenciální funkce o zákldu z předpis: y z, z>0, z 1 zřzení: ptří do skupiny eponenciálních funkcí definiční obor: množin všech reálných čísel R obor hodnot: množin kldných reálných čísel R grf: křivk: eponenciel symptoty: má jednu symptotu, kterou je os funkce inverzní: eponenciální funkce je prostá, funkcí inverzní je logritmická funkce o zákldu z y log derivce: y z ln z, speciální přípd pro z=e: ( e ) e užití: velmi čsté v ekonomii, fyzice stronomii poznámk: kždou eponenciální funkci o zákldu z lze převést n eponenciální funkci o zákldu e - Eulerovo číslo: y z e ln z zvláštní přípd: pro z=e je derivce funkce rovn stejné funkci grfy všech eponenciálních funkcí procházejí bodem [0; 1] z 10 logritmická funkce název: logritmická funkce o zákldu z předpis: y log z, z>0, z 1 zřzení: ptří do skupiny eponenciálních funkcí definiční obor: množin kldných reálných čísel R obor hodnot: množin všech reálných čísel R

20 grf: grfy logritmické funkce eponenciální funkce jsou zrcdlové podle osy 1.. kvdrntu křivk: eponenciel (někdy se uvádí logritmická křivk) symptoty: má jednu symptotu, kterou je os y funkce inverzní: logritmická funkce je prostá, funkcí inverzní je eponenciální funkce o zákldu z derivce: y 1 ln z y z, speciální přípd pro z=e: (ln ) 1 užití: velmi čsté v ekonomii, fyzice stronomii poznámk: funkce dekdického přirozeného logritmu je vydáván v tbulkách; logritmus převádí násobení n sčítání, mocnění n násobení; byl to nástroj, který pomohl Keplerovi s výpočtem pohybu plnet zformulování jeho pohybových zákonů kždou logritmickou funkci o zákldu z lze převést n logritmickou funkci o zákldu e - ln Eulerovo číslo: y log z ln z zvláštní přípd: některé zákldy mjí zvláštní pojmenování z=10 dekdický logritmus y=log z = e přirozený logritmus y=ln grfy všech logritmických funkcí procházejí bodem [1; 0] KONEC LEKCE