Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b b2 2.
|
|
- Ivana Kolářová
- před 9 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1 se nzývá reálná část komplexního čísl znčí se Re, číslo se nzývá imginární část komplexního čísl znčí se Im Množinu všech komplexních čísel znčíme C Z lgebrického tvru komplexního čísl je zřejmé, že reálná čísl jsou speciálním přípdem čísel komplexních: reálné číslo ztotožňujeme s komplexním číslem + i0, tj s komplexním číslem, 0) Komplexní číslo, jehož imginární část je různá od nuly, se nzývá imginární imginární číslo tvru 0, ), kde 0, se nzývá ryze imginární 7 Operce s komplexními čísly Dvě komplexní čísl jsou si rovn, jsou-li si rovn jko uspořádné dvojice: 1 + i = b 1 + ib 1 = b 1 = b V množině C jsou definovány tytéž lgebrické operce jko v množině R, nvíc je pk pro kždé komplexní číslo definováno číslo komplexně sdružené Pro libovolná komplexní čísl = 1 + i, b = b 1 + ib jsou tyto operce definovány tkto: Součet: Rozdíl: Součin: + b = 1 + i ) + b 1 + ib ) = 1 + b 1 ) + i + b ) b = 1 + i ) b 1 + ib ) = 1 b 1 ) + i b ) b = 1 + i ) b 1 + ib ) = 1 b 1 b ) + i 1 b + b 1 ) Komplexní čísl tedy násobíme jko dvojčleny s tím, že použijeme vzth i = 1 Podíl pro b 0 ): b = 1 + i b 1 + ib = 1 + i )b 1 ib ) b 1 + b = 1b 1 + b ) + i b 1 1 b ) b 1 + b Komplexně sdružené číslo: = 1 + i = 1 i Absolutní hodnot modul): = 1 + = Absolutní hodnot komplexního čísl je tedy nezáporné reálné číslo = 0 právě když = 0 Pro sčítání násobení komplexních čísel pltí stejný komuttivní, socitivní distributivní zákon jko pro sčítání násobení reálných čísel Stejné vlstnosti má i bsolutní hodnot Pro komplexně sdružené číslo pltí vzthy: + b = + b, b = b, ) = b b 65
2 66 Kpitol 7 Poznámk N rozdíl od reálných čísel komplexní čísl nejsou uspořádná ni je nelze rozumně uspořádt, tj nelze je uspořádt tk, by se toto uspořádání vzth nerovnosti) chovlo rozumně vzhledem ke sčítání násobení 7 Grfické znázornění komplexních čísel Gussov rovin Z definice komplexního čísl plyne, že komplexní číslo = 1 + i můžeme grficky znázornit jko bod 1, ] roviny Tím je dáno vzájemně jednoznčné zobrzení množiny 8 všech komplexních čísel n množinu 9 všech bodů roviny Gussov rovin je rovin, v níž tkto zobrzujeme komplexní čísl Reálná čísl se přitom zobrzují n vodorovnou osu ryze imginární n svislou Os, n niž se zobrzují reálná čísl, se nzývá reálná os os, n niž se zobrzují ryze imginární čísl, se nzývá imginární os Je zřejmé, že body přiřzené číslům, jsou symetrické podle počátku souřdné soustvy) body, jsou symetrické podle reálné osy viz obr 71) Im Im = 1, ] = 1 +i 1 ϕ O 1 Re O 1 Re = 1, ] = 1, ] Obr 71 Obr 7 7 Goniometrický exponenciální tvr komplexního čísl Je-li C, 0, pk = cos ϕ + i sin ϕ), kde ϕ viz obr 7) je velikost orientovného úhlu, který svírá průvodič bodu s polopřímkou kldných reálných čísel Uvedené vyjádření čísl se nzývá goniometrický tvr Položíme-li potom můžeme zpst ve tvru e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ, = e iϕ Toto vyjádření se nzývá exponenciální tvr čísl 75 Argument komplexního čísl Číslo ϕ z 7 se nzývá rgument komplexního čísl Množinu všech rgumentů čísl oznčujeme rg
3 Komplexní čísl 67 Pltí ϕ rg, ψ R = ψ rg ψ = ϕ + kπ, kde k Z), tj rgument komplexního čísl je určen jednoznčně ž n celistvý násobek π Odtud plyne, že množin rg obshuje jedinou hodnotu ϕ s vlstností ϕ π, π ; toto ϕ nzýváme hlvní hodnotou rgumentu znčíme Arg Je pk rg = {ψ; ψ = Arg + kπ, k Z} Poznámk: V definici hlvní hodnoty rgumentu nepnuje všeobecná shod, tk místo v intervlu π, π se Arg někdy bere v intervlu 0, π) Určení rgumentu Je-li = 1 + i = cos ϕ + i sin ϕ), 0, pk cos ϕ = 1, sin ϕ = 76 Násobení dělení komplexních čísel v exponenciálním tvru Pro násobení dělení komplexních čísel v exponenciálním tvru pltí formule b = b e iϕ+ψ) = e iϕ, b = b e iψ = b = b eiϕ ψ), b 0 Z uvedených vzorců je ptrný tento geometrický význm násobení komplexních čísel: geometrické zobrzení, které odpovídá násobení komplexním číslem, je stejnolehlost se středem v počátku koeficientem složená s otočením o úhel Arg Anlogickou geometrickou interpretci má dělení 77 Umocňování odmocňování komplexních čísel Ze vzorců pro násobení dělení komplexních čísel v exponenciálním tvru ihned plyne Moivreov vět Pro kždé ϕ R kždé n Z pltí: cos ϕ + i sin ϕ) n = cos nϕ + i sin nϕ, tj e iϕ ) n = e iϕn Obecněji z 76 plyne vzorec pro celočíselnou mocninu komplexního čísl: 0 = e iϕ, n Z = n = n e iϕn Je-li n přirozené číslo, pk n -tá odmocnin n z komplexního čísl je komplexní číslo z definovné vzthem z = n z n = Je-li 0, existuje právě n různých hodnot odmocniny Zřejmě je n 0 = 0 n tyto hodnoty jsou dány vzorcem = e iϕ = n = n e iϕ+kπ)/n = n cos ϕ + kπ + i sin ϕ + kπ ), n n k = 0, 1,,, n 1 Grfické znázornění n -té odmocniny Ze vzorce pro n -tou odmocninu plyne, že n = n e iϕ/n n 1,
4 68 Kpitol 7 kde n 1 = e i kπ/n, k = 0, 1,, n 1 Čísl n 1 tvoří vrcholy prvidelného n -úhelník vepsného do kružnice se středem v počátku poloměrem 1, s jedním vrcholem v bodě 1, 0] Čísl n tedy tvoří vrcholy prvidelného n -úhelník, který ϕ dostneme z předchozího otočením o úhel n stejnolehlostí se středem v počátku s koeficientem n 78 Řešené příkldy 1 V exponenciálním tvru vyjádřete komplexní čísl: ) = 1 + i, b) b = 1 + i Řešení: Použijeme vzorce z odstvců 7, 7 75: ) = =, sin ϕ = 1, cos ϕ = 1, tedy ϕ = π = = e iπ/ b) b = 1 + =, sin ϕ = V lgebrickém tvru vyjádřete komplexní čísl:, cos ϕ = 1, tedy ϕ = π = b = ei π/ ) = e iπ/, b) b = cos π 6 + i sin π ) 6 Řešení: V přípdě ) nejprve převedeme exponenciální tvr n goniometrický, dlší postup je v obou přípdech stejný zřejmý: ) = cos π + i sin π ) ) = + i = + i ) b) = + i1 = + i Určete, z jkých podmínek je součet dvou komplexních čísel ) číslo reálné, b) číslo ryze imginární Řešení: Jsou-li = 1 +i, b = b 1 +ib dvě komplexní čísl, potom pro jejich součet c = c 1 +ic podle 7 pltí c 1 + ic = 1 + b 1 ) + i + b ) Odtud plyne: ) Číslo c je reálné, právě když + b = 0, tj b = b) Číslo c je ryze imginární, právě když 1 + b 1 = 0, tj b 1 = 1 Nechť = 1 i, b = + 7i Vypočtěte + b, b, b, Řešení: Podle vzthů z odstvce 7 je: + b = 1 + ) + i + 7) = + 5i b = 1 ) + i 7) = 9i b b = 1 i) + i7) = + 1) + i 6 + 7) = 17 + i b = 1 i 1 i) 7i) 1i + 1i = + 7i 7i) = = i
5 Komplexní čísl 69 5 Určete bsolutní hodnotu modul) komplexního čísl = i 1 + i Řešení: Podle vzthu z 7 pro dělení komplexních čísel = i i)1 i) 8i + i = = = i i Podle definice bsolutní hodnoty komplexního čísl viz 7) je 1 = = 5 6 V goniometrickém tvru vyjádřete komplexní číslo: ) z = i i, + ib b) z =, b 0,, b R + b) + b )i Řešení: V obou přípdech nejprve číslo z vyjádříme v lgebrickém tvru potom použijeme vzthy z 7 75: ) tedy z = i i = 1 + i i = i = i i = = 1, ϕ = π, z = 1 e i π/ = cos π + i sin π b) z = + ib + ib) + b) + b)i] = + b) + b )i + b) + b ) = + b + b b + ib + b + b) + b ) = i i 1 = = =, ϕ = π, tedy z = eiπ/ = cos π + i sin π ) 7 Vynásobte komplexní čísl Výsledek npište v lgebrickém tvru = 1 cos π + i sin π ), b = cos π i sin π )
6 70 Kpitol 7 Řešení: Obě čísl převedeme do exponenciálního tvru, pk je s použitím vzorce pro součin z 76 vynásobíme výsledek postupně převedeme do goniometrického lgebrického tvru: = 1 e iπ/, b = cos π ) + i sin π )) = e iπ/, b = 1 e iπ/ e iπ/ = e iπ/ π/) = e iπ/, b = e iπ/ = cos π ) + i sin π )) ) = i = i 8 Vyjádřete v lgebrickém tvru podíl b = cos π i sin π ) komplexních čísel, b = cos π + i sin π ) Řešení: Postupujeme stejně jko v předcházejícím příkldu, tj vyjádříme dná čísl v exponenciálním tvru, potom použijeme vzorec pro podíl z 76 výsledek uprvíme do goniometrického lgebrického tvru: = e iπ/, b = e i π/, b = e iπ/ e i π/ = ei π/ π/) = e iπ = cos π) + i sin π)) = 1 + i0) = 9 Vypočtěte i 5, i 5, i, i 6 Řešení: Při výpočtu využijeme operce násobení komplexních čísel skutečnosti, že i = 1, i = 1 : 10 Vypočtěte i) i 5 = i i = 1 i = i i = i, i = i 0 i = 1 1) = 1, i 5 = i i = 1 i = i, i 6 = 1 Řešení: Komplexní číslo je v lgebrickém tvru, jeho mocninu vypočteme pomocí binomické věty z odst 511: ) ) ) ) i) = l i) l = i + i i + i = l 1 l=0 = 16 8i + 6 1) i) + 1 = 7 i 11 Vypočtěte z 6, je-li z = cos π i sin π ) Řešení: Přejdeme k exponenciálnímu tvru z = e iπ/ použijeme Moivreovu větu: z 6 = e iπ/) 6 = 6 e i 6π/ = 6e i π/ = 6 cos ) π + i sin )) π = 6i 1 Vypočtěte 1 i) 8 Řešení: Číslo 1 i převedeme n exponenciální tvr podle 7 75 potom použijeme Moivreovu větu: 1 i = =, cos ϕ = 1, sin ϕ = 1 = ϕ = 1 π, 1 i = e iπ/, 1 i) 8 = e iπ/ ) 8 = ) 8 e i 8π/ = 16e πi = 16
7 Komplexní čísl 71 1 Určete z, je-li: ) z = 7e i π/, b) z = 1 i Řešení: ) Výpočet provedeme postupem popsným v odst 77: Tedy: z = 7e iπ/+kπ/) = e iπ/9+kπ/), k = 0, 1, z = e i π/9 pro k = 0, z = e i 8π/9 pro k = 1, z = e i 1π/9 pro k = b) Dné komplexní číslo nejprve převedeme n exponenciální tvr, viz odst 7 75, potom opět použijeme postup popsný v odst 77: Tedy: z = 1 i = e iπ/, z = e i π/9+kπ/), k = 0, 1, z = e iπ/9 pro k = 0, z = e i 5π/9 pro k = 1, z = e i 11π/9 pro k = 1 Vypočtěte 1 Řešení: 1 = e i 0 = e i kπ/, k = 0, 1,, Tedy: e i 0 π = 1 pro k = 0, e iπ/ = cos π 1 = + i sin π = i pro k = 1, e iπ = cos π + i sin π = 1 pro k =, e i π/ = cos π + i sin π = i pro k = Body komplexní roviny odpovídjící těmto čtyřem hodnotám jsou podle 77 vrcholy čtverce vepsného do kružnice se středem v počátku poloměrem 1, přičemž jedním vrcholem je bod 1, 0] 15 Určete 8 6i bez převodu n exponenciální goniometrický) tvr Řešení: Odmocninu hledáme ve tvru x + iy, tj řešíme rovnici 8 6i = x + iy Umocněním této rovnice porovnáním reálných imginárních částí levé prvé strny tkto získné rovnice dostneme soustvu rovnic x y = 8, xy = 6 Z předpokldu x 0 vyjádříme z druhé rovnice y =, dosdíme do první rovnice dostneme x bikvdrtickou rovnici x + 8x 9 = 0 Protože rovnice w + 8w 9 = 0 má kořeny w 1 = 1, w = 9, reálnými kořeny této rovnice jsou čísl x 1 = 1, x = 1 Těmto hodnotám odpovídjí hodnoty y 1 =, y = Rovnici 8 6i = x + iy tedy vyhovují komplexní čísl z1 = 1 i, z = 1 + i
8 O: 7 Kpitol 7 16 Řešte binomickou rovnici z 6 = 6 Kořeny vyjádřete v lgebrickém tvru grficky znázorněte v Gussově rovině z 1 Im z Re z 1 z 1 z 6 z 5 Obr 7 Řešení: Postupujeme stejně jko v příkldech 1 1: z 6 = 6 z = 6 6 = 6 6e iπ = e iπ/6+kπ/), k = 0, 1,,,, 5 Dostáváme tedy šest různých hodnot: k = 0 : z 1 = e iπ/6 = cos π 6 + i sin π ) = + i, 6 k = 1 : z = e iπ/ = cos π + i sin π ) = i, k = : z = e i 5π/6 = cos 56 π + i sin 56 ) π = + i, k = : z = e i 7π/6 = cos 76 π + i sin 76 ) π = i, k = : z 5 = e i π/ = cos π + i sin ) π = i, k = 5 : z 6 = e i 11π/6 = cos i sin 116 ) π = i Kořeny z 1, z, z, z, z 5, z 6 rovnice z 6 = 6 přesněji řečeno, jejich obrzy v Gussově rovině) tvoří vrcholy prvidelného šestiúhelník vepsného do kružnice se středem v počátku poloměrem, jehož jeden vrchol je bod, 1] viz obr 7) 79 Neřešené příkldy 1 Určete exponenciální tvr komplexního čísl: ) 5; b) i; c) 1 i 5e iπ ; e iπ/ ; e i π/]
9 Komplexní čísl 7 Určete lgebrický tvr komplexního čísl: ) 5 ei π/ ; b) e iπ/ ; c) e iπ 5 ] i; 1 + i ; Vypočtěte: i 5 ; i 5 ; i ; i ; i 6 i; i; 1; 1; 1] Vypočtěte: ) 1 + i) + i) i)1 + i); b) 1 + i 1 + i 5 Vypočtěte součin čísel z 1 = e iπ/6 z = e i π/ 6 Vypočtěte podíl z 1 z, je-li z 1 = e iπ, z = e iπ/6 6i; 5 1 ] 5 i ] 6 e i 11π/1 e i 5π/6 ] 7 Pomocí binomické věty vypočtěte: + i ) i] 8 Pomocí Moivreovy věty vypočtěte: 1 + i) ] 9 Vypočtěte: ) 1 i; 6 e i5π/1+kπ/), k = 0, 1,,,, 5 ] b) 6 1 ± i ], ±i, ± i 10 Řešte binomickou rovnici: ) z = 16; b) z 6 = 1 i zk = e i kπ/, k = 0, 1,, ] zk = 1 e i π/+kπ/), k = 0, 1,,,, 5 ]
3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90
ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceSymbolicko - komplexní metoda I Opakování komplexních čísel z matematiky
Symbolicko - komplexní metod I pkování komplexních čísel z mtemtiky Použité zdroje: Blhovec,.: Elektrotechnik II, Informtorium spol.s r.o., Prh 005 Wojnr, J.: Zákldy elektrotechniky I, Tribun EU s.r.o.,
Víceje jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.
10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány
Vícem n. Matice typu m n má
MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme
VíceMatice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra
Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA
Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním
Vícex + F F x F (x, f(x)).
I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných
VíceLINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceDiferenciální počet. Spojitost funkce
Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici
Více( a) Okolí bodu
0..5 Okolí bodu Předpokldy: 40 Pedgogická poznámk: Hodin zjevně překrčuje možnosti většiny studentů v 45 minutách. Myslím, že nemá cenu přethovt do dlší hodiny, příkldy s redukovnými okolími nejsou nutné,
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
Více8. Elementární funkce
Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF RNDr. Petr Rádl RNDr. Bohumil Černá RNDr. Ludmil Strá 0 Petr Rádl, 0 ISBN 97-0-77-9- OBSAH Předmluv... Poždvky k přijímcí zkoušce z mtemtiky..
VíceJak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:
.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto
VíceLineární nerovnice a jejich soustavy
teorie řešené úlohy cvičení tipy k mturitě výsledky Lineární nerovnice jejich soustvy Víš, že pojem nerovnice není opkem pojmu rovnice? lineární rovnice má většinou jediné řešení, kdežto lineární nerovnice
VíceR n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na
Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.
Více4. Determinanty. Výpočet: a11. a22. a21. a12. = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31. a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33
. Determinnty Determinnt, znčíme deta, je číslo přiřzené čtvercové mtici A. Je zveden tk, by pro invertibilní mtici byl nenulový pro neinvertibilní mtici byl roven nule. Výpočet: = + = + + - - - + + +
VícePŘEDNÁŠKA 1 MNOŽINY ČÍSEL
PŘEDNÁŠKA 1 MNOŽINY ČÍSEL 1.1 Základní poznatky o množinách 2 Množinou budeme rozumět souhrn libovolných objektů. Množinu považujeme za určenou, je-li možno o každém objektu jednoznačně rozhodnout, zda
VíceM - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D
M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně
Více2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem
2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice
Víceoznačme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
Více2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]
- FUNKCE A ROVNICE Následující zákldní znlosti je nezbytně nutné umět od okmžiku probrání ž do konce studi mtemtiky n gymnáziu. Vyždováno bude porozumění schopnost plikovt ne pouze mechnicky zopkovt. Některé
VíceM - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VíceAž dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním
Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož
Více3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru
Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém
VícePři výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu
Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je
Více( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.
Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou
Více3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I
..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku
Více( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled
řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo
VíceV předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
Více56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25
56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou
Více+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c
) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším
VíceINTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL
INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci
VíceObr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou
MĚŘENÍ PARAMETRŮ OPTICKÝCH SOUSTAV Zákldním prmetrem kždé zobrzovcí soustvy je především její ohnisková vzdálenost. Existuje několik metod k jejímu určení le téměř všechny jsou ztíženy určitou nepřesností
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
VíceKřivkový integrál prvního druhu verze 1.0
Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její
VíceHledání hyperbol
759 Hledání hyperol Předpokldy: 756, 757, 758 Pedgogická poznámk: Některé příkldy jsou zdlouhvější, pokud mám dosttek čsu proírám tuto následující hodinu ěhem tří vyučovcích hodin Př : Npiš rovnici hyperoly,
VíceNEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.
NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:
VíceSpojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu
10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí
VíceJsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.
Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce
VíceŘíkáme, že přímka je tečnou elipsy. p T Přímka se protíná s elipsou právě v jednom bodě.
7.5. Elips přímk Předpokldy: 7504, 7505, 7508 Př. : epiš všechny možné vzájemné polohy elipsy přímky. Ke kždému přípdu nkresli obrázek. Z obrázků je zřejmé, že existují tři přípdy vzájemné polohy kružnice
VíceZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,
ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE
Technická niverzit v Liberci Fklt přírodovědně-hmnitní pedgogická Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky NLYTICKÁ GEOMETRIE Pomocný čební text Petr Pirklová Liberec, listopd 2015 NLYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH
VíceM - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy 2P a 2VK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy P a VK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu dovoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
Více1.2 Množina komplexních čísel... 10
Obsh Číselné množiny reálné funkce 5. Množin reálných čísel...................................... 5. Množin kompleních čísel.....................................3 Reálné funkce jedné reálné proměnné..............................
Více3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE
.. LOGARITMICKÁ FUNKCE V této kpitole se dovíte: jk je definován ritmická funkce (ritmus) jké má ákldní vlstnosti; důležité vorce pro práci s ritmickou funkcí; co nmená ritmovt odritmovt výr. Klíčová slov
VíceKomplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0
Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny
VíceHyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná
Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem
VíceKonzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia
- - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin
Více(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a
Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:
VíceZáklady teorie matic
Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie
Více13. Exponenciální a logaritmická funkce
@11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
VícePřehled základních vzorců pro Matematiku 2 1
Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,
Více26. listopadu a 10.prosince 2016
Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální
Více1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice
Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme
VíceP2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách
P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel
VíceDERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE
DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická
VíceZkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.
1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)
Víceje parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné
1. Prciální derivce funkce více proměnných. Prciální derivce funkce dvou proměnných. Je-li funkce f f(, ) definován v množině D f R 2 bod ( 1, 2 ) je vnitřním bodem množin D f, pk funkce g 1 (t) f(t, 2
VíceTechnická univerzita v Liberci. Pedagogická fakulta. Katedra matematiky a didaktiky matematiky. Matematika I. (Obor: Informatika a logistika)
Technická univerzit v Liberci Pedgogická fkult Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky Mtemtik I (Obor: Informtik logistik) Václv Finěk Kpitol Zákldní pojmy Cílem této kpitoly je vysvětlit význm zákldních pojmů
VíceVIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu
VíceZápadočeská univerzita v Plzni SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky SBÍRKA ÚLOH Z MATEMATIKY FUNKE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ Josef MAŠEK Plzeň 996 vydání 3 Předmluva k vydání Tento učební text navazuje
VíceObecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)
KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1
VíceSeznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.
.. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).
Více3. Kvadratické rovnice
CZ..07/..08/0.0009. Kvdrtické rovnice se v tetice oznčuje lgebrická rovnice druhého stupně, tzn. rovnice o jedné neznáé, ve které neznáá vystupuje ve druhé ocnině (²). V zákldní tvru vypdá následovně:
Více( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?
1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno
VícePříklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
VíceLogaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice
Logritmická funkce. 4 Logritmická funkce, ritmus, ritmická rovnice - získá se jko funkce inverzní k funkci eponenciální, má tvr f: = Pltí: > 0!! * * = = musí být > 0, > 0 Rozlišujeme dv zákldní tp: ) >
VíceKomplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice
VíceVýpočet obsahu rovinného obrazce
Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh
VíceZákladní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami
/ Zákldní pojmy: Číselné obory vzthy mezi nimi ČÍSELNÉ MNOŽINY Zákony pro počítání s číselnými množinmi. Přirozená čísl vyjdřují počet prvků množiny N. Celá čísl změn počtu prvků dné množiny, přírůstky
VíceZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.
VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
Více6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.
KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou
Více1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2.
1. Těleso komplexních čísel Definice. Množinou komplexních čísel rozumíme množinu R 2. Množinu komplexních čísel znčíme C. N množině C definujeme operce sčítání + jko v R 2 násobení. předpisem (x, y).(u,
Více6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace
Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,
Více55. ročník matematické olympiády
. ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě
Vícea i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11
Mticový počet zákldní pojmy Mtice je obdélníkové schém tvru 2...... n 2 22. 2n A =, kde ij R ( i =,,m, j =,,n ) m m2. mn ij R se nzývjí prvky mtice o mtici o m řádcích n sloupcích říkáme, že je typu m/n
VíceII. INTEGRÁL V R n. Obr. 9.1 Obr. 9.2 Integrál v R 2. z = f(x, y)
. NTEGRÁL V R n Úvod Určitý integrál v intervlu, b Pro funki f :, b R jsme definovli určitý integrál jko číslo, jehož hodnot je obshem obrze znázorněného n obrázíh. Pro funki f : R n R budeme zvádět integrál
Více1.1 Numerické integrování
1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme
VíceSvazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:
vz je lgebr ( M ; ) vzy = se dvěm binárními opercemi tková že pro libovolné prvky b c M pltí následující podmínky xiomy svzu: ( b) c = ( b c) ( b) c = ( b c) b = b b = b ( ) ( ) b = b =. Operce se nzývá
VíceTrigonometrie - Sinová a kosinová věta
Trigonometrie - Sinová kosinová vět jejih užití v Tehniké mehnie Dn Říhová, Pvl Kotásková Mendelu rno Perspektiv krjinného mngementu - inove krjinářskýh disipĺın reg.č. Z.1.7/../15.8 Osh 1 Goniometriké
VíceSYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1
SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 (Souřdnicové výpočty) 1 ročník bklářského studi studijní progrm G studijní obor G doc Ing Jromír Procházk CSc listopd 2015 1 Geodézie 1 přednášk č7 VÝPOČET SOUŘADNIC JEDNOHO
VíceKOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy
KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících
VíceLaboratorní práce č.8 Úloha č. 7. Měření parametrů zobrazovacích soustav:
Truhlář Michl 7.. 005 Lbortorní práce č.8 Úloh č. 7 Měření prmetrů zobrzovcích soustv: T = ϕ = p = 3, C 7% 99,5kP Úkol: - Změřte ohniskovou vzdálenost tenké spojky přímou Besselovou metodou. - Změřte ohniskovou
VíceKomplexní čísla a funkce
Komplexní čísla a funkce 2. kapitola. Kvadratická rovnice a odmocnina z komplexního čísla In: Jiří Jarník (author): Komplexní čísla a funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1967. pp. 20 34. Persistent URL:
VíceSouhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A
Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/
VíceProjekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol BINOMICKÉ
VíceAlgebraické výrazy - řešené úlohy
Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
Víceintegrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.
Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
Více