Řešení nelineárních rovnic

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Řešení nelineárních rovnic"

Kamil Janda
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 Řešení nelineárních rovnic Metody sečen (sekantová a regula falsi) Máme dva body x 1 a x mezi nimiž se nachází kořen Nový bod x 3 volíme v průsečíku spojnice bodů x 1, f x 1 a x, f x (sečny) s osou x ERRBISPAS k minulé hodině Sekantová metoda v následujícím kroku vždy používáme body x, x 3 Ohraničení kořene tedy nemusí zůstat zachováno a není zaručena konvergence V blízkosti kořene je ale rychlejší Pro konvergenci platí lim k1 =C k 1618 k Regula falsi zachovává ohraničení kořene, v následujícím kroku tedy vezme x 3 a takový z bodů x 1, x, aby platilo f x 3 f x 1 0 nebo f x 3 f x 0 Konvergence je tedy zaručena Metoda je pomalejší než sekantová, ale je stále superlineární (tzn k1 =C k m, kde m1 ) Na obrázku nahoře, je naznačen problém, se kterým se mohou metody používající sečnu setkat Pokud je interval velký a krajní body jsou daleko od kořene, může být konvergence těchto metod velmi pomalá Brentova metoda založena na přepínání mezi metodou půlení intervalu a superlineární metodou Pokud jsme daleko od kořene, používá se metoda půlení intervalu ke zmenšení intervalu ohraničujícího kořen Jako superlineární metoda se používá metoda Inverzní kvadratické interpolace

2 Řešíme rovnici f x=0 s ohraničením kořene v intervalu x 1, x K funkci f x=y uděláme funkci inverzní x=gy a tu nahradíme na tomto intervalu Lagrangeovým interpolačním polynomem druhého řádu (tzn použijeme navíc jeden vnitřní bod intervalu y 1, y například hodnotu ve středu intervalu x 1, x, y 3 ) Položíme pak x=l 0 (hledáme x takové, že f x=y=0 ) a z této rovnice vyjádříme x přibližné řešení rovnice Dále můžeme postupovat např tak, že nové x zvolíme za jeden z krajních bodů intervalu, ohraničujícího kořen, a jako druhý zvolíme jeden z bodů x 1, x tak, aby zůstalo ohraničení kořene zachováno a postupujeme stejně jako na začátku Lagrangeův polynom na bodech y 1, y, y 3 vyjádříme v bodě y=0 y y y x=l y=x 1 y 1 y y 1 x y y y y x y y y 3 y 3 y 3 y y y 3 x=l 0=x 1 y 1 y y 1 x y 1 y 3 y y x y 1 y 3 y 3 y 3 y Vztah se dá ještě rozepsat do podoby x=x 3 P Q ( x 3 bylo zvoleno jako střed intervalu x 1, x ) R= y 3, S= y 3, T = y 1, Q=T 1R 1S 1, y y 1 y P=S [T R T x x 3 1 Rx 3 x 1 ] (ze skript) Příklady v PASCALU DEMZBRENPAS, DEMZB1PAS Newton-Raphsonova metoda (metoda tečen) Využívá první derivaci funkce, hodí se pokud jsme schopni tuto derivaci rychle počítat Řešíme f x=0 a pohybujeme se u okolí bodu x řešení rovnice Pak můžeme f x nahradit Taylorovým rozvojem v okolí bodu x=x i f x= f x i = f x i f ' x i =0 Z toho tedy plyne, že = f x i f ' x i Proto volíme x i1 =x i =x i f x i Pro přesnost řešení se dá odvodit přibližný f ' x i vztah i1 f '' x i 1 a jde tedy o metodu kvadratickou, velmi rychlo v blízkosti f ' x i

3 kořene Konvergence není u této metody zaručena Kořeny polynomů Máme polynom f x=a n x n a n 1 x n 1 a 1 xa 0 =0, kde a n 0 Ohraničení kořene a 0 všechny kořeny jsou v mezikruží B a 0 x 1 A, kde a n A=max { a n 1, a n,, a 0 } a B=max { a n, a n 1,, a 1 } pokud a n 0 a a n k je první záporný koeficient v polynomu, platí pro všechna x i 0 (kladné kořeny), že x i R=1 k A a n A=max a j, a j 0 j, kde Druhý bod lze po substitucích využít i k dalším odhadům: substituce y= 1, odhad minimálního kladného kořene x substituce y= x omezí v absolutní hodnotě největší záporný kořen substituce y= 1 x omezí v absolutní hodnotě nejmenší záporný kořen Sturmova věta Sturmova posloupnost polynomů ja následující : f 0 x= f x, f 1 x= f ' x, f i1 x= zbytek po dělení f i 1 x f i x Poslední člen posloupnosti f k je konstantní Např f x=4 x 3 x 4 x 3=0 f 0 x=4 x 3 x 4 x 3 f 1 x=3 x x 1 f x=6 x 9 f 3 x= 1 Věta: Nechť aglebraická rovnice má pouze jednoduché kořeny Potom počet reálných kořenů na intervalu, je roven počtu znaménkových změn ve Sturmově posloupnosti

4 f 0,, f k Pro násobné kořeny dostaneme f k =0 Pokud chceme použít Sturmovu větu, dělíme rovcnici polynomem f k 1 a na novou rovnici už můžeme Sturmovu větu použít K příkladu nahoře f 3 = 1, tedy neexistují násobné kořeny x 0 sgn f 0 x + + sgn f 1 x sgn f x sgn f 3 x n zmen 1 1 Počet znaménkových změn v bodech a je jedna Zadaný polynom má tedy na tomto intervalu jeden reálný kořen Totéž platí i o intervalu 0, Hledání kořene Mullerova metoda Opět v bodech x i, x i 1, x i interpolujeme zadaný polynom polynomem kvadratickým Lagrangeovým s ekvidistantními uzly t 3t 4 t t 3 L x=y i y i 1 t t 4y, zde volíme t= x x i x i x i 1 Hledáme L x=0=at B tc Na tuto rovnici nejdříve použijeme substituci u= 1 t a dostaneme AB uc u =0 s kořeny [ u 1, = B± B 4 AC C ] x=x i x i x i 1 t=x i x i x i 1, kde C B± B 4 AC volíme + nebo tak, aby byla maximální absolutní jmenovatele

5 Postup pro počítání koeficientů A, B, C viz slidy Laguerrova metoda Polynom P n x= x x 1 x x x x n má logaritmus ln P n x =ln x x 1 ln x x n Definujeme G= P ' n = d lnp x n P n dx H=[ P ' ] n P n P '' n P n = 1 x x 1 1 x x n, = d lnp n x = 1 dx x x 1 1 x x n Nyní položíme a=x x 1 a pro ostatní kořeny přibližně b~x x i Pak G= 1 a n 1, H = 1 b a n 1 a pro a máme tedy vztah b n a= G±n 1nH G Znaménko ve výrazu pro a opět volíme tak, aby byl jmenovatel v absolutní hodnotě největší Můžeme dostat komplexní mezivýsledky Hledání dalších kořenů polynomů Sníží se stupeň polynomu vydělením Soustavy nelineárních rovnic

6 Obecně velmi obtížné, pokud je to možné, převedeme na úlohu hledání extrému f x=0, pokud je V x f i = x i pro všechna i, hledáme extrém potenciálu Prostá iterace Soustavu f x=0 převedeme na tvar x= x, tzn f 1 x 1,, x n =0 x 1 = 1 x 1,, x n f n x 1,, x n =0 x n = n x 1,, x n Iterační vzorec pro hledání kořene je pak x k1 = x k Postačující podmínka konvergence je, aby zobrazení bylo kontrahující na okolí řešení Pokud existují všechny parciální derivace v okolí řešení, lze podmínku zapsat J x q1, kde J je Jakobián Newton Raphsonova metoda PRMNLPAS Podobná jako v 1D x k1 =x k [Jf x k ] 1 f x k Při dobrém odhadu intervalu metoda konverguje DEMNEWTPAS, DEMNEWTPAS, DEMNEWTAPAS

Podobné dokumenty

Nelineární rovnice. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze

Nelineární rovnice. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze Nelineární rovnice Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Ohraničení kořene Hledání kořene Soustava Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Hledáme bod x, ve kterém je splněno pro zadanou funkci