Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost
|
|
- Monika Vacková
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost text pro studenty Fakulty přírodovědně-humanitní a pedagogické TU v Liberci vzniklý za podpory fondu F Martina Šimůnková 29. prosince Úvod Na druhém stupni základní školy se žáci seznámí s lineárními rovnicemi a nerovnicemi. Naučí se je řešit úpravami a graficky. Na střední škole se seznámí s dalšími typy rovnic, jmenovitě kvadratickými, logaritmickými, exponenciálními a goniometrickými a dále se seznámí s kvadratickými nerovnicemi a s nerovnicemi v součinovém a podílovém tvaru. Nerovnice se studenti učí řešit úpravami, graficky a metodou založenou na intuitivním chápání spojitosti funkce. Dále se na střední škole seznámí s pojmem monotonie funkce, který má přímočarou aplikaci na řešení nerovnic. Cílem textu je 1. Zopakovat grafické řešení nerovnic a spolu s ním zopakovat kuželosečky a jejich rovnice a grafy elementárních funkcí. 2. Seznámit studenty s vlastností nabývání mezihodnot (takzvanou Darbouxovou vlastností) a vysvětlit její aplikaci na řešení nerovnic. 3. Zopakovat, co je monotonie funkce a ukázat, jak monotonii použít na řešení nerovnic. 2 Poznámka o značení Ve shodě s praxí v matematické literatuře a v rozporu se školskou matematikou označujeme uzavřené intervaly hranatými závorkami, například [1, 3]. Dále označujeme symbolem log přirozený a nikoliv dekadický logaritmus. V textu dále používáme desetinnou tečku a nikoliv čárku. 1
2 3 Nerovnice V dalších kapitolách vysvětlíme tři výše zmíněné způsoby řešení nerovnic na čtyřech konkrétních příkladech x < x2 > x 2 > 4 3x 4. x2 +5 > 5 x 4 Rovnice Ve dvou z našich tří způsobů potřebujeme znát kořeny příslušné rovnice, proto je nyní vypočteme. 1. Rovnici zlogaritmujeme, dostaneme 0.2 x = 4 xlog0.2 = log4 Vydělením rovnice číslem log 0.2 dostaneme x = log4 log 0.2 Před vyčíslením ještě upravíme log0.2 na log5. Dostaneme 2. Zlogaritmováním rovnice dostaneme x = log4 log5 3 1 x2 = 2. = (1 x 2 )log3 = log2 2
3 odkud postupně vyjádříme výraz x 2 1 x 2 = log2 log3 x 2 = 1 log2 log3 Protože je číslo na pravé straně kladné, má kvadratická rovnice dva kořeny x 1,2 = ± 1 log2. = ±0.608 log3 3. Rovnici 3x 2 = 4 3x umocníme upravíme 3x 2 = (4 3x) 2 3x 2 = 16 24x+9x 2 a kvadratickou rovnici vyřešíme. Dostaneme kořeny x 1 = 1, x 2 = 2. Při úpravách jsme rovnici umocňovali, a to je operace, která může zvětšit množinu řešení. Je tedy třeba provést zkoušku. Zjistíme tím, že rovnice s odmocninou má jeden kořen x = Rovnici x2 +5 = 5 x umocníme a upravíme postupně na x 2 +5 = (5 x) 2 x 2 +5 = x 2 10x+25 5 = 10x+25 x = 2. Provedením zkoušky zjistíme, žex = 2 je i kořenrovnice s odmocninou. 3
4 5 Grafické řešení nerovnic Poznámka: na obrázcích nejsou vyznačeny osy a jednotky, předpokládáme, že si je čtenář dokáže doplnit. Graficky vyřešíme tři ze čtyř nerovnic, pro které známe grafy obou jejich stran. Z typografických důvodů začneme poslední nerovnicí. Graf funkce l : x x 2 +5 získáme umocněním rovnice y = x 2 +5 a úpravou na rovnici hyperboly y 2 x 2 = Z rovnice před umocněním plyne y 0, grafem levé strany nerovnice je tedy větev hyperboly ležící v polorovině y 0. Na obrázku je tato větev hyperboly spolu s přímkou o rovnici y = 5 x. Z grafu vidíme, že řešením nerovnice x2 +5 > 5 x je interval (kořen rovnice, + ), tedy (2,+ ) a řešením nerovnice x2 +5 < 5 x je interval (, 2). 4
5 Na obrázku vidíme graf funkce l : x 0.2 x a přímku o rovnici y = 4. Z grafu vidíme, že řešením nerovnice x < 4 je interval (kořen rovnice, + ), tedy ( log4/log5,+ ) a řešením nerovnice 0.2 x > 4 je interval (, log4/log5). Graf levé strany nerovnice l : x 3x 2 3. získáme umocněním rovnice y = 3x 2 na rovnici paraboly y 2 = 3x 2. Parabola má vrchol v bodě [2/3,0], osu v ose x a je otevřená ve směru kladné poloosy x. Z rovnice před umocněním plyne y 0, grafem levé strany nerovnice je tedy polovina paraboly ležící v polorovině y 0. Na obrázku vidíme tuto půlku paraboly a přímku o rovnici y = 4 3x a z grafu vidíme, že řešením nerovnice 3x 2 > 4 3x je interval (kořen rovnice,+ ), tedy (1,+ ) a řešením nerovnice 3x 2 < 4 3x je interval (2/3, 1). 5
6 6 Vlastnost nabývání mezihodnot a řešení nerovnic V předchozí kapitole jsme vyřešili nerovnice graficky ve třech případech, kdy grafem levé i pravé strany byla známá křivka (přímka, půlka paraboly, jedna větev hyperboly a graf exponenciální funkce). Postup, který si ukážeme v této kapitole, můžeme použít i v případě, kdy graf nakreslit neumíme. 6.1 Postup řešení nerovnic Z definičního oboru výrazů v nerovnici vyloučíme kořeny rovnice, tím se nám tento definiční obor rozpadne na intervaly. Pro názornost uvedeme, jaké vyjdou intervaly pro naše příklady. 1. (, log4/log5) a ( log4/log5,+ ) 2. (, 1 log2/log3), ( 1 log2/log3, 1 log2/log3) a ( 1 log2/log3,+ ) 3. [2/3,1) a (1,+ ) 4. (,2) a (2,+ ) V dalším postupu vybereme z každého intervalu jeden libovolný bod a zjistíme, zda je řešením nerovnice. Opět uvedeme výsledky pro naše příklady. 1. Z intervalu (, log4/log5) vybereme číslo x = 1 a dosadíme do nerovnice. Dostaneme 5 < 4. Z intervalu ( log4/log5,+ ) vybereme číslo x = 0 a dosadíme do nerovnice. Dostaneme 1 < Z intervalu (, 1 log2/log3)vybereme číslo x = 1 a dosadíme do nerovnice. Dostaneme 1 > 2. Z intervalu ( 1 log2/log3, 1 log2/log3) vybereme číslo x = 0 a dosadíme do nerovnice. Dostaneme 3 > 2. Z intervalu ( 1 log2/log3,+ ) vybereme číslo x = 1 a dosadíme do nerovnice. Dostaneme 1 > Z intervalu [2/3,1) vybereme číslo x = 2/3 a dosadíme do nerovnice. Dostaneme 0 > 2. Z intervalu (1,+ ) vybereme číslo x = 2 a dosadíme do nerovnice. Dostaneme 2 > 2. 6
7 4. Z intervalu (,2) vybereme číslo x = 0 a dosadíme do nerovnice. Dostaneme 5 > 5. Z intervalu (2,+ ) vybereme číslo x = 3 a dosadíme do nerovnice. Dostaneme 14 > 2. V odstavci 6.3 vysvětlíme, že z platnosti či neplatnosti nerovnice v jednom bodě lze udělat závěr o její platnosti na celém intervalu. Dostaneme tak řešení našich nerovnic. 1. Nerovnice 0.2 x < 4 má řešení x ( log4/log5,+ ). 2. Nerovnice3 1 x2 > 2mářešeníx ( 1 log2/log3, 1 log2/log3). 3. Nerovnice 3x 2 > 4 3x má řešení x (1,+ ). 4. Nerovnice x 2 +5 > 5 x má řešení x (2,+ ). 6.2 Vlastnost nabývání mezihodnot elementárních funkcí Všechny elementární funkce a tedy i funkce na stranách našich čtyř nerovnic jsou spojité. Jednou z důležitých vlastností spojitých funkcí je vlastnost nabývání mezihodnot, kterou si vysvětlíme na obrázku. x 3 x 2 x 1 Pokud je funkce spojitá na intervalu I a pro x 1 I platí f(x 1 ) > 0 a pro x 2 I platí f(x 2 ) < 0, pak mezi body x 1 a x 2 leží bod x 3, pro nějž platí f(x 3 ) = 0. Nás zajímá důsledek této vlastnosti: pokud v intervalu I neleží kořen funkce (to je bod s nulovou funkční hodnotou), pak mají všechny funkční hodnoty funkce f na intervalu I stejné znaménko. Vlastnost nabývání mezihodnot se podle francouzského matematika Jean Gastona Darbouxe nazývá Darbouxovou vlastností. Poznamenejme ještě, že podstatné je, že pracujeme s reálnými čísly a nikoliv s racionálními. Na racionálních číslech spojité funkce Darbouxovu vlastnost obecně nemají. Průsečík grafu s osou x nemusí být racionální číslo. 6.3 Aplikace Darbouxovy vlastnosti na nerovnice Každou z nerovnic můžeme převést do tvaru s nulou na pravé straně x 4 < 0 7
8 x2 2 > x 2 (4 3x) > 0 4. x2 +5 (5 x) > 0 Splnění či nesplnění nerovnice v bodě x je pak ekvivalentní s tím, že má funkční hodnota na levé straně nerovnice příslušné znaménko. Použití vlastnosti nabývání mezihodnot pak zdůvodňuje správnost našeho postupu řešení nerovnic. 7 Monotonie funkcí a ekvivalentní úpravy při řešení nerovnic Nerovnice se nabízí zlogaritmovat, nerovnice 3x 2 > 4 3x, 0.2 x < 4, 3 1 x2 > 2 x2 +5 > 5 x umocnit. V dalším prozkoumáme za jakých podmínek jsou tyto úpravy ekvivalentní, tedy za jakých podmínek se těmito úpravami nezmění množina řešení nerovnice. 7.1 Logaritmování nerovnice O logaritmické funkci při základu větším než jedna víme, že je rostoucí na svém definičním oboru, tedy na množině (0, + ). To formálně zapíšeme ( a,b (0,+ ))((a < b) (loga < logb)). Ve skutečnosti můžeme nahradit implikaci ekvivalentní (v tomto textu to nebudeme dokazovat), tedy platí ( a,b (0,+ ))((a < b) (loga < logb)). Dosazením a = 0.2 x, b = 4 dostaneme (před dosazením je třeba ověřit, že je splněn předpoklad a,b (0,+ )) ( x R)((0.2 x < 4) xlog0.2 < log4)). 8
9 Vydělením nerovnice záporným číslem log 0.2 dostaneme x > log4 log0.2 = log4 log5. Podobně můžeme zlogaritmovat nerovnici (protože má na obou stranách výrazy nabývající kladných hodnot) Dostaneme a po úpravě 3 1 x2 > 2. (1 x 2 )log3 > log2 x 2 < 1 log2 log3. Na pravé straně kvadratické nerovnice je kladný výraz, nerovnice má tedy řešení ( ) x 1 log2 log3, 1 log2. log3 7.2 Umocňování nerovnice Funkce f : x x 2 je na intervalu [0,+ ) rostoucí, což formálně zapíšeme: ( a,b [0,+ ))((a < b) (a 2 < b 2 )). Stejně jako pro logaritmování, i zde je možné nahradit implikaci ekvivalencí (ani toto nebudeme dokazovat). Platí tedy ( a,b [0,+ ))((a < b) (a 2 < b 2 )). Umocňování nerovnice je tedy ekvivalentní operace v případě, že obě strany nerovnice nabývají nezáporných hodnot. V případě nerovnice 3x 2 > 4 3x jsou obě strany nezáporné pro x I 1 := [ 2, 4 3 3]. Vyřešením umocněné nerovnice 3x 2 > (4 3x) 2 dostaneme interval (1,2) a odtud dostaneme řešení na intervalu I 1 {x I 1 : ( 3x 2 > 4 3x} = I 1 (1,2) = 1, 4 ]. 3 9
10 K vyřešení nerovnice na R zbývá vyřešit ji na R \ I 1, tedy na množině (, 2 3 ) (4,+ ). 3 Na intervalu I 2 := (, 2 ) nemá levá strana nerovnice smysl a tedy 3 žádné x I 2 není kořenem nerovnice. Na intervalu I 3 := ( 4,+ ) je levá strana nerovnice nezáporná zatímco 3 pravá záporná. Protože libovolné nezáporné číslo je větší než libovolné záporné, formálně zapsáno ( a 0)( b < 0)(a > b), je nerovnice splněna pro každé x I 3. Zjistili jsme, že na I 1 je řešením nerovnice interval (1, 4 3 ], na I 2 nemá nerovnice žádný kořen a všechna čísla z intervalu I 3 jsou řešením nerovnice. Výsledkem našeho výpočtu tedy je {x R : 3x 2 > 4 3x} = (1, 4 3 ] I 3 = (1,+ ). Vyřešme nyní nerovnici x2 +5 > 5 x. Její levá strana je nezáporná pro všechna reálná x, pravá strana pro x 5. NaintervaluI 1 = (,5]jetedyumocněnínerovniceekvivalentní úpravou. Po umocnění dostaneme nerovnici a po její úpravě nerovnici která má řešení x 2 +5 > (5 x) 2 5 > 25 10x, x > 2. průnik s intervalem I 1 = (,5] je interval (2,5]. NaintervaluI 2 = (5,+ )jelevástrananerovnicekladnáapravázáporná, proto jsou všechna čísla z I 2 řešením nerovnice. Výsledke našeho výpočtu je {x R : x 2 +5 > 5 x} = (2,+ ). 10
11 8 Další neřešené příklady Následující příklady řešte všemi třemi výše uvedenými způsoby, tedy graficky, pomocí vlastnosti nabývání mezihodnot a úpravami. Přitom grafy kreslete nikoliv pomocí tabulky funkčních hodnot, ale ze znalosti průběhu daných funkcí. Jsou to přímky, části kuželoseček a grafy exponenciálních funkcí známého průběhu. Všechna tři řešení proved te nezávisle na sobě a porovnejte výsledky. V případě odchylky hledejte chybu. Doporučujeme nejdříve se zamyslet nad výsledky, provést nějakou zkoušku a zjistit tak, který z výsledků má šanci na to být správný (a mít tak tip na postup, ve kterém začnete chybu hledat). 1. x2 +3 > 3x x 1 x 3. 2x+ 12 2x 4 Návod na grafické řešení: nerovnici upravte do tvaru, ve kterém bude snadnější nakreslit grafy stran nerovnice x > x > x > 12 11
1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice
Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí
14. Exponenciální a logaritmické rovnice
@148 14. Exponenciální a logaritmické rovnice Rovnicím, které obsahují exponencielu resp. logaritmus, říkáme exponenciální resp. logaritmické rovnice. Při řešení exponenciálních a logaritmických rovnic
Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem
4 Určete definiční obor elementární funkce g jestliže g je definována předpisem a) g ( x) = x 16 + ln ( x) x 16 ( x + 4 )( x 4) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly
Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar
Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na
KFC/SEM, KFC/SEMA Rovnice, nerovnice
KFC/SEM, KFC/SEMA Rovnice, nerovnice Požadované dovednosti: Řešení lineárních rovnic a nerovnic Řešení kvadratických rovnic Řešení rovnic s odmocninou Řešení rovnic s parametrem Řešení rovnic s absolutní
----- Studijní obory. z matematiky. z matematiky. * Aplikovaná matematika * Matematické metody v ekonomice
Minimum Maximum Minimum Maximum Studijní obory z matematiky z matematiky z matematiky z matematiky * Aplikovaná matematika * Matematické metody v ekonomice * Obecná matematika Navazující magisterský studijní
Funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Logaritmus. Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým. umocníme základ a, abychom dostali číslo.
Logaritmus Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým umocníme základ a, abychom dostali číslo. Platí tedy: logax = y a y = x ( Dekadický logaritmus základ 10 označení
Funkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce
Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro
Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)
Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic
Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních
6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou
@06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou
Nerovnice. Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková
Nerovnice Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů
Logaritmické a exponenciální funkce
Kapitola 4 Logaritmické a exponenciální funkce V této kapitole se budeme zabývat exponenciálními a logaritmickými funkcemi. Uvedeme si definice vlastnosti a vztah mezi nimi. 4.1 Exponenciální funkce Exponenciální
Mocninná funkce: Příklad 1
Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
Lineární funkce, rovnice a nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je
obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].
Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y
Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
= - rovnost dvou výrazů, za x můžeme dosazovat různá čísla, tím měníme
- FUNKCE A ROVNICE Následující základní znalosti je nezbytně nutné umět od okamžiku probrání až do konce kapitoly (většinou do napsání čtvrtletní písemné práce, na výjimky z tohoto pravidla bude upozorněno).
M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA
M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento
3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE
3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE V této kapitole se dozvíte: jak je definována eponenciální a logaritmická rovnice a nerovnice a jaká je základní strategie jejich řešení. Klíčová slova
Řešené příklady ze starých zápočtových písemek
Řešené příklady ze starých zápočtových písemek Úloha. Najděte všechna reálná řešení rovnice log x log x 3 = log 6. Řešení. Nebot logaritmus je definovaný pouze pro kladné hodnoty dostáváme ihned podmínku
M - Příprava na pololetní písemku č. 1
M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno pro třídy 3SA, 3SB. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
Logaritmus, logaritmická funkce, log. Rovnice a nerovnice. 3 d) je roven číslu: c) -1 d) 0 e) 3 c) je roven číslu: b) -1 c) 0 d) 1 e)
Logaritmus, logaritmická funkce, log. Rovnice a nerovnice ) Výraz log log +log není správná 0 - žádná z předchozích odpovědí ) Číslo log 8 6 je rovno číslu: ) Výraz log log +log - 0 ) Číslo log 6 6 je
Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především
ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ ÚLOH ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY CIFRIK C. Úloha 1 [kvadratická rovnice s kořeny y_1=x_1^2+x_2^2, y_2=x_1^3+x_2^3]
37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII
37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná
) je definovaná pro libovolné kladné reálné číslo x a nabývá všech hodnot ( H f
Exponenciální funkce (daná předpisem Exponenciální a logaritmická funkce a jejich vlastnosti x y a, kde x R, a R 1 libovolné reálné číslo x a nabývá pouze kladných hodnot ( H f R ) je definovaná pro ).
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 2. Spojitost funkce 2.2. Spojitost funkce v intervalu 2 Spojitost funkce v intervalu Od spojitosti funkce v bodě přejdeme ke spojitosti funkce v intervalu. Nejprve
Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková
Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů
Extrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.
Logaritmická rovnice
Ročník:. Logaritmická rovnice (čteme: logaritmus z x o základu a) a základ logaritmu x argument logaritmu Vzorce Použití vzorců a principy počítání s logaritmy jsou stejné jako u logaritmů základních,
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Kvadratická funkce Autor: Kubešová
POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY
TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy
55. ročník matematické olympiády
. ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.7/1.5./4.8 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.
@021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské
CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné
MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technoiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná
KVADRATICKÉ FUNKCE. + bx + c, největší hodnotu pro x = a platí,
KVADRATICKÉ FUNKCE Definice Kvadratická funkce je každá funkce na množině R (tj. o definičním ooru R), daná ve tvaru y = ax + x + c, kde a je reálné číslo různé od nuly,, c, jsou liovolná reálná čísla.
Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován:
1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou :. ) Určete, pro která R není daný výraz definován: 3) Určete obor hodnot funkce Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) f : y 4 3. 4 8 5 1 4) Vyšetřete vzájemnou
ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů
ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a
1 Extrémy funkcí - slovní úlohy
1 Extrémy funkcí - slovní úlohy Příklad 1.1. Součet dvou kladných reálných čísel je a. Určete 1. Minimální hodnotu součtu jejich n-tých mocnin.. Maximální hodnotu součinu jejich n-tých mocnin. Řešení.
CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0
Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy
Konvexnost, konkávnost
20. srpna 2007 1. f = x 3 12x 2. f = x 2 e x 3. f = x ln x Příklad 1. Určete intervaly, na kterých je funkce konvexní a konkávní a určete inflexní body f = x 3 12x Příklad 1. f = x 3 12x Řešení: Df = R
Základy matematiky pracovní listy
Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší
LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU
LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU je lineární rovnice, ve které se vyskytuje jeden nebo více výrazů v absolutní hodnotě. ABSOLUTNÍ HODNOTA x reálného čísla x je
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
Derivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice
7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice Předpoklady: kružnice, 505, 7103, 730 Pedagogická poznámka: Pro tuto hodinu (a mnoho dalších hodin v kapitole o kuželosečkách) je rozhodující, aby studenti uměli
Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06
Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické
Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí. Definičním oborem kvadratické funkce je množina reálných čísel.
Kvadratická funkce Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax 2 + bx + c Číslo a je různé od nuly, b,c jsou libovolná reálná čísla. Definičním oborem kvadratické funkce je
M - Příprava na 1. čtvrtletku - třída 3ODK
M - Příprava na 1. čtvrtletku - třída ODK Souhrnný studijní materiál k přípravě na čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo října až prosince 007. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven
1.13 Klasifikace kvadrik
5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její
Matematika I. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie mdg.vsb.cz
Matematika I Úvod Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D iveta.cholevova@vsb.cz A 829, 597 324 146 Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. jaroslav.drobek@vsb.cz, A 837, 597 324 101 Mgr. Arnošt Žídek arnost.zidek@vsb.cz, A
Funkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL.
Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Jméno a příjmení(čitelně): varianta č. 90 Přezdívka(nepovinné): Zde pište své výsledky Napište rovnici přímky procházející
EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol EXPONENCIÁLNÍ
Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3
Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme
Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině
Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině V následujícím textu se budeme postupně zabývat kružnicí, elipsou, hyperbolou a parabolou, které souhrnně označujeme jako kuželosečky. Současně budeme
Sbírka úloh z matematiky
Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika
Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru
Variace 1 Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz
VZOROVÝ TEST PRO 1. ROČNÍK (1. A, 3. C)
VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 3. C) Zjednodušte daný příklad. (a 2 3 b 3 4) 2 (a 2 b 3 8) 3 max. 3 body 2 Ve které z následujících možností je uveden správný postup usměrnění daného zlomku a správný výsledek?
4.3.2 Goniometrické nerovnice
4 Goniometrické nerovnice Předpoklady: 40 Pedagogická poznámka: Nerovnice je stejně jako rovnice možné řešit grafem i jednotkovou kružnicí Oba způsoby mají své výhody i nevýhody a jsou v podstatě rovnocenné
Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti
Maturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
Goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u
M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK
M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK Souhrnný studijní materiál k přípravě na 2. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo listopadu až ledna. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen,
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy 2P a 2VK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy P a VK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu dovoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
Funkce. y = x + 4 [x; x + 4] Vynásob číslo 2 x 2 * x
Funkce Definice funkce: Funkce je zobrazení z množiny A reálných čísel do množiny B reálných čísel a to takové, že každému prvku z množiny A je přiřazen právě jeden prvek z množiny B. Toto zobrazení můžeme
c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007
20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =
Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky
Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
Použití substituce pro řešení nerovnic II
.7. Použití substituce pro řešení nerovnic II Předpoklad: 7, 7, 7 Pedagogická poznámka: Platí to samé, co pro předchozí hodinu. Skvělé cvičení na orientaci v příkladu, přehledný zápis a schopnost řešit
x 0; x = x (s kladným číslem nic nedělá)
.. Funkce absolutní hodnota Předpoklady: 08, 07 x - zničí znaménko čísla, všechna čísla změní na nezáporná Jak vyjádřit matematicky? Pomocí číselné osy: x je vzdálenost obrazu čísla na číselné ose od počátku.
CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23
CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :
MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)
MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo
Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =
Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší
KFC/SEM, KFC/SEMA Elementární funkce
Elementární funkce Požadované dovednosti: lineární funkce kvadratická funkce mocniná funkce funkce s asolutní hodnotou lineárně lomená funkce exponenciální a logaritmická funkce transformace grafu Lineární
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
Digitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných