Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti"

Transkript

1 Vlastnosti odhadů ukazatelů způsobilosti Jiří Michálek CQR při Ústavu teorie informace a automatizace AV ČR v Praze Úvod Ve výzkumné zprávě č 06 Odhady koeficientů způsobilosti a jejich vlastnosti viz [], byly odvozeny aproximace hustot rozdělení pravděpodobnosti odhadu Ĉp koeficientů C p podle typu tzv způsobilostní směrodatné odchylky Volba odhadu směrodatné odchylky sledovaného jakostního znaku obvykle v praxi úzce souvisí s použitým tvarem regulačního diagramu Jedná-li se o diagram x, R), pak je vhodné použít pro odhad směrodatné odchylky σ veličinu R/d n), kde n je rozsah logické podskupiny odebírané z procesu a R je průměrné rozpětí Analogicky při regulačním diagramu x, s), kdy směrodatná odchylka σ se odhaduje pomocí veličiny s/c 4 n), kde s je průměrná výběrová směrodatná odchylka Koeficienty d n) a C 4 n) jsou běžně tabelovány v literatuře zabývající se konstrukcí regulačních diagramů Lze uvažovat i třetí typ odhadu odvozený od výběrové směrodatné odchylky, a to / k n σ = x ij x i ), kn ) i= j= který je založen na odhadech rozptylu v podskupinách za předpokladu nezávislosti podskupin Číslo k představuje počet vzatých podskupin do výpočtu Jednotlivá měření v i-té podskupině jsou známa jako x ij, j =,,, n Tento odhad se ale bohužel v praxi ani v softwarech pro SPC) nepoužívá, i když dává velice dobré výsledky a má celou řadu výhod, např při konstrukci odhadů ukazatele C p Při odvozování aproximativních hustot se vychází z předpokladu, že v rámci každé podskupiny lze chování jakostního znaku popsat normálním rozdělením Tato rozdělení se mohou od jedné podskupiny k druhé lišit v parametru polohy, nikoliv však v parametru variability σ a skupiny musí být navzájem nezávislé Ukazatel C p totiž vyjadřuje potencionální úroveň způsobilosti dosažitelnou pouze při centrování sledovaného jakostního znaku na prostředek tolerančního rozpětí Maximálně věrohodné odhady ukazatele C p V dalším provedeme odvození maximálně věrohodných odhadů ukazatele C p pro výše uvedené tři případy:

2 a) Odhad založený na výběrovém rozpětí R: Zde je hustota odhadu Ĉp dána vyjádřením: f R x) = exp k π αu ) Cp βu x αn β n pro x 0 Jinak je f R x) = 0 Koeficienty α n, β n jsou tabelovány viz []) a závisejí na velikosti podskupiny a souvisejí s asymptotickým rozdělením výběrového rozpětí R z normálního rozdělení Uvažujme situaci, kdy máme k dispozici N výběrů složených z k odebraných podskupin, za předpokladu nezávislosti je pak sdružená hustota dána součinem kde ρ n,k = α n β n k f R x, x,, x N ) = C N p ρ N n,k exp ρ n,k i= k x C p ) Cp N x i i= Odhad ukazatelů C p založený na poměru věrohodnosti se získá hledáním maxima hustoty Snadno zjistíme, že ln f R x, x,, x n ) = N ln C p + N ln ρ n,k ρ n,k Odtud již ln fx, x,, x N ) C p = N C p ρ n,k Maximálně věrohodný odhad pak získáme řešením rovnice: N C p = ρ n,k i= i= i= ) Cp x i Tím se dostáváme ke kvadratické rovnici pro C p, a to kde ρ n,k T x, x,, x N ) = N Řešení rovnice má pak tvar ) Cp x i ) Cp x i x i = T x,, x N ) C p T x, x,, x N ) C p, i= p = T x, x,, x N ) ± x i, T x, x,, x N ) = N, i= ln i= T x, x,, x n ) + 4 T x,x,,x n) ρ n,k T x, x,, x N ) Samozřejmě uvažujeme pouze případ se znamením +, nebot záporný odhad nemá smysl, nebot vždy C p > 0

3 V případě N =, což je nejčastěji se vyskytující situace v praxi např C p odhaduje na základě jediné regulační karty), pak se kde p = ρ n,k + ρ n,k + 4 Ĉp, Ĉ p = Pro zjednodušení lze odhad ĈMLE) p p = ρ n,k USL LSL 6R/d n) vyjádřit jako ρ n,k Ĉp, což znamená při k +, že pro praktické účely se odhady Ĉp a C p MLE) Při k 0 lze uvažovat, že p = Ĉp Pro N > je pak situace již komplikovanější, nebot pak moc neliší T = N i= Ĉ p,i, T = N, i= Ĉp,i kde Ĉp,i je odhad odvozený od R i /d n), tedy od i-té části logických podskupin Pokud v tomto případě budeme uvažovat N a současně k, pak lze snadno dokázat, že p Jedná se tedy o konzistentní odhad k,n C p b) Odhad založený na průměrné směrodatné odchylce s: Zde je hustota odhadu ukazatele C p dána obdobně jako v případě a) vyjádřením: f s x) = exp a ) n Cp k π b n x an C p k b n x pro x > 0 Pro x 0 je f s x) = 0 Z tvaru aproximativní hustoty ihned plyne, že její tvar se neliší od tvaru hustoty v případě a), pouze jsou zde jiné koeficienty a n, b n Tyto jsou rovněž tabelovány, dokonce je možno je vyjádřit pomocí funkce Γ ) a n = n Γ n ) Γ n ), b n = n Γ ) n Γ n Z tohoto faktu vyplývá, že maximálně věrohodný odhad počítaný pomocí s lze získat zcela stejným postupem jako v případě a) a se zcela stejnými vlastnostmi 3 )

4 c) Odhad založený na průměrném rozptylu σ k n = x ij x i ) kn ) i= j= Zde lze napsat vzorec pro odpovídající hustotu rozdělení pravděpodobnosti přesně, nebot lze její tvar odvodit od χ -rozdělení, když rozdělení v podskupinách bude normální a podskupiny navzájem nezávislé Hustota má tvar f I x) = Ckn ) p kn ) [kn )] kn ) Γ ) exp kn ) kn ) C p x x kn )+ Opět uvažujeme situaci složenou z N nezávislých dílčích úseků logických podskupin o k podskupinách Pak sdružená hustota má tvaru součinu, tedy f I x, x,, x n ) = CNkn ) p Nkn ) [kn )] Nkn ) ) Γ N kn ) exp kn ) C p x i= Ni= x kn )+ i Odtud snadno odvodíme ln f I x, x,, x N ) ) Nkn ) kn ) = Nkn ) ln C p + ln kn ) ln ) kn ) N ln Γ C pkn ) kn ) + ) ln Pak derivace logaritmu od hustoty je rovna: ln f I x, x,, x N ) C p = i= a tedy maximálně věrohodný odhad splňuje rovnici: neboli i= Nkn ) C p kk ), C p i= = C p N p = N, i= i= ) / V nejjednodušším případě, N =, pak ihned máme, že p = Ĉp při aplikaci odhadu směrodatné odchylky založeném na průměrném rozptylu 4

5 Věrohodnostní poměry a testy hypotéz o ukazateli C p Odhad založený na R: σ R = V tomto případě poměr věrohodnosti má tvar lx, x,, x n ) = Odtud snadno C ) N exp ρ n,k ln lx, x,, x n ) = N ln C c 0 R d n) i= ρ n,k = N ln c ρ n,k ) C x i ρ n,k i= i= ) C0 x i C ) ) C0 i= x i x i C C0 C ) x i Předpokládáme, že, C jsou hodnoty ukazatele C p s tím, že pro jednoduchost 0 < < C Speciálně, pro N = máme ln lx) = ln C ρ n,k C C 0 C ) x x Bohužel nelze tento věrohodnostní poměr rozepsat do tvaru lnx, x,, x N ) = Q N, C ) + K N, C ) T N x,, x N ), který by znamenal věrohodnostní funkci s monotónním poměrem věrohodností, kterého by se dalo využít např pro konstrukci nejsilnějších testů pro složené alternativy Znamená to, že tento věrohodnostní poměr se dá obecně využít pouze pro konstrukci testu jednoduché hypotézy H 0 : C p = proti jednoduché alternativě H : C P = C Nejdříve se budeme zabývat opět nejjednodušším případem N = Testujme hypotézu H 0 : C p = proti alternativě H : C p = C Klasické Neyman Pearsonovo lemma dává nejsilnější test: hypotéza H 0 se zamítá, když ln C ρ C n,kc ) C Ĉp > λ α, 0 Ĉp přičemž λ α je stanoveno tak, aby P ln C ρ C n,kc ) C Ĉp > λ α H 0 0 Ĉp = α 5

6 není problém vyjádřit věrohodnostní poměr ve výše uvedeném tvaru, kde C = +C ) Lze totiž předpokládat, že hodnota testové statistiky bude větší, když hodnoty odhadů Ĉ p budou větší, a tím blíže k platnosti alternativy H Jde tedy o to najít hodnotu λ α tak, aby C P Ĉp < ln C C λ α H 0 = α Ĉ p Pro nalezení vhodné hodnoty λ α je nutno odvodit hustotu rozdělení veličiny C Ĉ p, při Ĉp odhadu směrodatné odchylky založené na R Pro tento cíl je nutno analyzovat průběh funkce T x) = C x Tato funkce není monotónní, je definovaná na 0, + ) a T x x) = 0 pro x = C Pro x 0, C je ostře klesající, pro x C, + ) má parabolický průběh s lim x T x) = 0 a zde T x) < 0 Je-li u 0, + ), pak rovnice T x) = u má jediný kořen + 4uc x 0 = +, pro u 0, 4C existují dva kořeny ρ n,k x = + 4uC, x = + + 4uC u u Na základě těchto faktů je pak hustota rozdělení pravděpodobnosti pro veličinu T Ĉp) rovna pro u 0 pro 0 > u 4C h T x) = f R h T x) = f R + + 4uC u + + 4uC u +f R u T + T + + 4uC u T +4uC u +4uC u ) ) +4uC u Je vidět, že vzorec pro hustotu rozdělení T Ĉp) je poměrně složitý a pro nalezení požadované hodnoty λ α podle předepsaného rizika α je nutno sáhnout k numerickému řešení Zcela analogicky lze postupovat v případě b), kdy je odhad směrodatné odchylky založen na s ) 6

7 Poněkud jiná situace nastává v případě c), kdy je odhad směrodatné odchylky odvozen od průměrného rozptylu Tento případ byl již částečně uvažován v [] Nyní provedeme úplný rozbor této situace Opět rozsah podskupiny je n, v každém úseku je uvažováno k podskupin a úseků je N Odvodíme věrohodnostní poměr: ln f Ix, x,, x n C ) f I x, x,, x n ) = Nkn ) ln C C Nkn ) C C 0) N i= Při tomto přístupu k testování hypotéz o ukazateli C p je nutno předpokládat nezávislost mezi podskupinami a popsání hodnot jakostního znaku v rámci každé podskupiny pomocí normálního rozdělení s různými středními hodnotami, ale stejným rozptylem Znamená to, že proces nemusí být zvládnut vůči parametru polohy, ale musí být zvládnut v úrovni variability kde Jak snadno vidět, logaritmus věrohodnostního poměru lze napsat do tvaru ln f Ix, x,, x n C ) f I x, x,, x n ) = K N, C ) T N x, x,, x N ) + Q N, C ), Nkn ) K N, C ) = C C 0) T N x, x,, x N ) = N Q N, C ) = i= Nkn ) ln C C0 Opět budeme předpokládat, že < C Je vidět, že logaritmus věrohodnostního poměru je lineární funkce pro každou dvojici, C Na základě obecné teorie o testech založených na monotónním poměru věrohodnosti, viz např [3], lze tvrdit, že v tomto případě existuje stejnoměrně nejsilnější test ϕx, x,, x N ) hypotézy H 0 : C p = proti složené alternativě H : C p > : ϕx, x,, x N ) = pro T N x, x,, x N ) < konst ϕx, x,, x N ) = γ pro T N x, x,, x N ) = konst ϕx, x,, x N ) = 0 pro T N x, x,, x N ) > konst Tedy hypotéza C p = se zamítá, pokud platí nerovnost T N x, x,, x N ) = N i= < konst Otevřeným problémem zůstává odvození rozdělení pravděpodobnosti pro statistiku T N za předpokladu platnosti H 0, aby bylo možno stanovit hodnotu konstanty při volbě 7

8 rizika druhu V nejjednodušším případě N = je situace daleko schůdnější, nebot pak se jedná o statistiku T x ) = a hypotéza H x 0 se zamítá, když Ĉ p > C kn ) 0 q α kn )), kde q α kn )) je α-kvantil rozdělení χ o kn ) stupních volnosti Odhad Ĉp je pak jediný odhad založený na k podskupinách o rozsahu n kusů V praxi je daleko vhodnější otočit role hypotézy H 0 a alternativy H Proces bude tím kvalitnější, čím ukazatel C p bude větší Ptáme se tedy, zdali platí hypotéza, že C p = C proti tomu, že C p < C Pro N = se hypotéza = C zamítá, když Ĉ p < C kn ) 0 q α kn )) Testy založené na konfidenčních intervalech V případech a) a b) nelze na základě věrohodnostního poměru zkonstruovat stejnoměrně nejsilnější test jednoduché hypotézy proti složené alternativě, protože uvažovaný věrohodnostní poměr nemá vlastnost monotonie Hustoty rozdělení pravděpodobnosti však umožňují konstrukci konfidenčních intervalů pro požadované hodnoty ukazatele C p Lze postupovat následovně: hypotéza H 0 : C p = proti alternativě H : C p se nezamítá, když odhad Ĉp parametru C p bude obsažen v intervalu q α/ < Ĉp < q α/, kde P q α/ < Ĉp < q α/ = α, kde α je riziko chyby druhu V případě odhadu C p pomocí průměrného rozpětí R to znamená, že C p + βnu α/ α n k < Ĉp < C p + βnu α/ α n k Hypotéza H 0 : C p = se nezamítá tímto testem na hladině α, když Ĉ p + β ) nu α/ < < α n k Ĉp + β ) nu α/ α n k Zde je tedy uvažován případ s pouze jedním úsekem, tedy N = Případ pro N > bude řešen později, nebot pak odvození rozdělení pravděpodobnosti testové statistiky je daleko komplikovanější 8

9 Kvalita testu se posuzuje jeho silou, tzn pravděpodobností zamítnutí hypotézy, když ona neplatí Čili jde o to určit pravděpodobnosti náhodných jevů Ĉ p + β n u α/ α n k ), Ĉp ) β n u α/ α n k za platnosti alternativy H : C p = C, a zjistit, jak tato síla testu závisí jednak na rozdílu C a jednak na vztahu pravděpodobnosti pro C p = C jako h A ) Pak pravděpodobnost přijetí alternativy je +ξn/ k 0 h A x) dx + ξn/ k h a x) dx = ξn/ k +ξn/ k h a x) dx, kde ξ n = βn α n u α/, u α je příslušný kvantil rozdělení N0, ) Snadno je vidět, že při k síla testu roste k pro každý rozsah podskupiny Alternativní hustota má tvar: h A x) = π α n β n k exp α uk β u C x ) C x Po dosazení do výše uvedených integrálů a transformaci proměnných lze psát: necht β n,k α) je pravděpodobnost chyby druhu, pak β n,k α) = βnu α/ αn k βnu α/ + αn k Φ h A x) dx = Φ αn ) C k + C ) u α/ β n αn ) C k C ) u α/ β n kde Φ ) je distribuční funkce of N0, ) a u α/ je její příslušný kvantil Odtud již ihned vidíme, že síla testu je rovna αn ) C β n,k α) = Φ k β n αn ) C +Φ k β n + C ) u α/ C u α/ Pro ilustraci uvažujme případ, když n = 5, k = 0 a α = 0, 05 Pak α 5 =, 36, β 5 = 0, 864, u 0,975 =, 96, a tudíž síla takovéhoto testu je rovna při = 4 3 a C = 5 3 přibližně 0,73 To znamená, že silou přibližně 7 % budeme detekovat proces, který je na skutečné úrovni C p =, 67 Uvažujme ještě případ téhož zadání pouze se změnou C = Pak síla testu bude rovna přibližně Φ, 54)+Φ 4, 47) = 0, 068 = 0, 938 Tedy pokud bude proces 9 )

10 skutečně nezpůsobilý s C p =, pak při tomto zadání tento test tuto nezpůsobilost detekuje s pravděpodobností 93,8 % Všimněme si dosti značného rozdílu mezi uvažovanými příklady Lze se ptát, kolik podskupin je nutno uvažovat, aby síla u prvního příkladu se zvýšila ze 7 % na 95 % Aby tomu tak bylo, musí být chyba druhu β n,k α) maximálně 5 %, tedy hledáme k takové, aby β 5,k 0, 05) 0, 05 Protože k bude muset být rozhodně nad 0, je možno hodnotu Φ αn ) C k + C ) u α/ β n nahradit, a tudíž je nutno volit k tak, aby bylo αn ) C Φ k C ) u α/ β n tedy 0, 95, Φ, 69 0, 5 k, 45 ) 0, 95, Φ 0, 673 k, 45 ) 0, 95 Když zvolíme k = 38, pak riziko řádu bude 0,955 Z toho plyne, že pro detekci procesu na úrovni C p =, 67 je nutno uvažovat cca podskupin o 5ti výrobcích v každé podskupině Zcela analogicky lze spočítat sílu testu založeného na konfidenčních intervalech pro C p v případě statistiky průměrné směrodatné odchylky s Pouze místo koeficientů α n, β n se objeví koeficienty a n, b n, které jsou rovněž tabelovány Porovnejme tyto testy s nejsilnějším testem založeným na průměrném rozptylu Máme tedy opět k dispozici k podskupin o rozsahu n kusů Pak odpovídající hustota rozdělení pravděpodobnosti má tvar pro x > 0 f I x) = Cs s s/ s/ Γ ) exp s C s x x s+, s = kn ) a f I x) = 0 jinak Testujeme hypotézu C p = proti obecné alternativě C p Není problém ukázat, že hustota f I ), viz [], je odvozena od vztahu Ĉ p kn ) P λ < < µ = P χ kn ) kn )) <, µ λ kde χ kn )) je náhodná veličina s χ -rozdělením s kn ) stupni volnosti Odtud již snadno zjistíme, že s pravděpodobností α je C kn ) 0 q α/ kn )) < Ĉp < C kn ) 0 q α/ kn )), 0

11 kde q α/ kn )) a q α/ kn )) jsou příslušné kvantily od χ -rozdělení s kn ) stupni volnosti Odtud již snadno zjistíme, že chyba druhu testu C p = proti alternativě C p je dána výrazem β n,k α) = kn ) q α/ kn )) kn ) q α/ kn )) f I x) dx, kde parametr C v hustotě f I ) představuje alternativní možnost, že C p = C Výše uvedená chyba druhu se dá snadno spočítat, a to pomocí distribuční funkce χ -rozdělení s kn ) stupni volnosti Platí totiž, že β n,k α) = C q α/ s) C qα/ s) u s s/ Γ ) exp s u du, kde pro jednoduchost s = kn ) Pak síla studovaného testu při alternativě C p = C je dána výrazem β n,k α) = H s C ) q α/ s) + Hs C ) q α/ s), kde H s ) je distribuce rozdělení χ o s stupních volnosti, q α/ s) a q α/ s) jsou kvantily χ -rozdělení o s stupních volnosti Když se nyní vrátíme k příkladům s n = 5, k = 0, α = 0, 05, pak zjistíme, že síla výše uvažovaného testu je pro C = 5 3, = 4 3 β 5,0 0, 05) = H 80, 5 0, 36) + H 80, 5 7, 560) Distribuční funkci H kn ) ) rozdělení χ k ) lze snadno vyjádřit pomocí distribuční funkce H kn ) rozdělení χ kn )), totiž Pak síla testu je dána hodnotou H kn )x) = H kn )x ) β 5,0 0, 05) = H 8066, 65) + H 8089, 30) = + 0, 7766 = 0, 7766 Z toho vyplývá, že test založený na průměrném roztylu je o něco silnější nežli testy založené na průměrném rozpětí či průměrné směrodatné odchylce

12 Literatura [] J Michálek: Odhady koeficientů způsobilosti a jejich vlastnosti, Výzkumná zpráva č 05, ÚTIA AV ČR, červen 00 [] J Michálek: Statistické testy koeficientů způsobilosti, Výzkumná zpráva č 54, ÚTIA AV ČR, prosinec 005 [3] E L Lehman: Testing statistical hypothesis, ruský překlad, Izdatelstvo Nauka, Moskva 964

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

Akademie věd České republiky Ústav teorie informace a automatizace RESEARCH REPORT. Hustoty rozdělení pravděpodobnosti pro odhady ukazatele C pk

Akademie věd České republiky Ústav teorie informace a automatizace RESEARCH REPORT. Hustoty rozdělení pravděpodobnosti pro odhady ukazatele C pk Akademie věd České republiky Ústav teorie informace a automatizace Academy of Sciences of the Czech Republic Institute of Information Theory and Automation RESEARCH REPORT Jiří Michálek: Hustoty rozdělení

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní ..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 24 Příklad (25 bodů) Spočtěte Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A M x 2 dxdy, kde M = {(x, y) R 2 ;

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Testování hypotéz Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr

Více

Q-diagramy. Jiří Michálek ÚTIA AVČR

Q-diagramy. Jiří Michálek ÚTIA AVČR Q-diagramy Jiří Michálek ÚTIA AVČR Proč Q-diagramy? Nevýhody Shewhartových diagramů velikost regulačních mezí závisí na rozsahu logické podskupiny nehodí se pro krátké výrobní série normálně rozdělená

Více

8. Normální rozdělení

8. Normální rozdělení 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá

Více

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005) Příklad 1 Ze zásilky velkého rozsahu byl náhodně vybrán soubor obsahující 1000 kusů. V tomto souboru bylo zjištěno 26 kusů nekvalitních. Rozhodněte, zda je možné s 99% jistotou tvrdit, že zásilka obsahuje

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost

Více

Normální rozložení a odvozená rozložení

Normální rozložení a odvozená rozložení I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI Josef Křepela, Jiří Michálek OSSM při ČSJ Červen 009 Hodnocení způsobilosti atributivních znaků jakosti (počet neshodných jednotek) Nechť p je pravděpodobnost

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

MATEMATICKÁ STATISTIKA.   Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,

Více

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina.

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina. Parametrické metody odhadů z neúplných výběrů 2 1 Metoda maximální věrohodnosti pro cenzorované výběry 11 Náhodné cenzorování Při sledování složitých reálných systémů často nemáme možnost uspořádat experiment

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO

Více

Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad

Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Odhady parametrů Úkolem výběrového šetření je podat informaci o neznámé hodnotě charakteristiky základního souboru

Více

Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení

Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení. O životnosti 75W žárovky (v hodinách) je známo, že má normální rozdělení s = 5h. Pro náhodný výběr 0 žárovek byla stanovena průměrná životnost

Více

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistickou hypotézou se rozumí určité tvrzení o parametrech rozdělení zkoumané náhodné veličiny (µ, σ 2, π,

Více

7. Analýza rozptylu.

7. Analýza rozptylu. 7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA

MATEMATICKÁ STATISTIKA MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat

Více

Testy. Pavel Provinský. 19. listopadu 2013

Testy. Pavel Provinský. 19. listopadu 2013 Testy Pavel Provinský 19. listopadu 2013 Test a intervalový odhad Testy a intervalové odhady - jsou vlastně to samé. Jiný je jen úhel pohledu. Lze přecházet od jednoho k druhému. Například: Při odvozování

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 8. KAPITOLA STATISTICKÉ TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ 22.11.2016 Opakování: CLV příklad 1 Zadání: Před volbami je v populaci státu 52 % příznivců

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Vícerozměrná rozdělení

Vícerozměrná rozdělení Vícerozměrná rozdělení 7. září 0 Učivo: Práce s vícerozměrnými rozděleními. Sdružené, marginální, podmíněné rozdělení pravděpodobnosti. Vektorová střední hodnota. Kovariance, korelace, kovarianční matice.

Více

Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013

Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013 Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika Podrobnější rozpis okruhů otázek pro třetí část SZZ Verze: 13. června 2013 1 Úvodní poznámky 6 Smyslem SZZ by nemělo být toliko

Více

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3! Výsledky příkladů na procvičení z NMSA0 Klasická pravděpodobnost. 5. ( 4( 43 ( 49 3. 8! 3! 0! = 5 Poslední změna (oprava:. května 08 4. (a! + 3! + ( n+ n! = n k= ( k+ /k! = n k=0 ( k /k!; (b n k=0 ( k

Více

5. T e s t o v á n í h y p o t é z

5. T e s t o v á n í h y p o t é z 5. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení f x = 1 2 exp x 2 2 2 f(x) je funkce hustoty pravděpodobnosti, symetrická vůči poloze maxima x = μ μ střední hodnota σ směrodatná odchylka (tzv. pološířka křivky mezi inflexními

Více

12. cvičení z PST. 20. prosince 2017

12. cvičení z PST. 20. prosince 2017 1 cvičení z PST 0 prosince 017 11 test rozptylu normálního rozdělení Do laboratoře bylo odesláno n = 5 stejných vzorků krve ke stanovení obsahu alkoholu X v promilích alkoholu Výsledkem byla realizace

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších

AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model y i = β 0 + β 1 x i1 + + β k x ik + ε i (1) kde y i

Více

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy

Více

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme

Více

6. ZÁKLADY STATIST. ODHADOVÁNÍ. Θ parametrický prostor. Dva základní způsoby odhadu neznámého vektoru parametrů bodový a intervalový.

6. ZÁKLADY STATIST. ODHADOVÁNÍ. Θ parametrický prostor. Dva základní způsoby odhadu neznámého vektoru parametrů bodový a intervalový. 6. ZÁKLADY STATIST. ODHADOVÁNÍ X={X 1, X 2,..., X n } výběr z rozdělení s F (x, θ), θ={θ 1,..., θ r } - vektor reálných neznámých param. θ Θ R k. Θ parametrický prostor. Dva základní způsoby odhadu neznámého

Více

Problematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Problematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Problematika analýzy rozptylu Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému Již umíte testovat shodu dvou středních hodnot prostřednictvím t-testů. Otázka: Jaké předpoklady musí být splněny, abyste mohli použít

Více

8 Coxův model proporcionálních rizik I

8 Coxův model proporcionálních rizik I 8 Coxův model proporcionálních rizik I Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí formulovat Coxův model proporcionálních rizik 2. Student rozumí významu regresních koeficientů modelu 3. Student zná

Více

Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I

Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I Statistika a spolehlivost v lékařství Charakteristiky spolehlivosti prvků I Příklad Tahová síla papíru používaného pro výrobu potravinových sáčků je důležitá charakteristika kvality. Je známo, že síla

Více

Statistická analýza jednorozměrných dat

Statistická analýza jednorozměrných dat Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem

Více

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje

Více

5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodnot náhodného výběru z rozdělení určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozdělení, tak aby co nejlépe odpovídaly hodnotám výběru. Formulujme

Více

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného

Více

12. cvičení z PSI prosince (Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem)

12. cvičení z PSI prosince (Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem) cvičení z PSI 0-4 prosince 06 Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem) Z realizací náhodných veličin X a Y s normálním rozdělením) jsme z výběrů daného rozsahu obdrželi

Více

Intervalová data a výpočet některých statistik

Intervalová data a výpočet některých statistik Intervalová data a výpočet některých statistik Milan Hladík 1 Michal Černý 2 1 Katedra aplikované matematiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova 2 Katedra ekonometrie Fakulta informatiky a

Více

Náhodné vektory a matice

Náhodné vektory a matice Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 27 Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii přednáška 8. Statistické usuzování, odhady

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii přednáška 8. Statistické usuzování, odhady PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii přednáška 8 Statistické usuzování, odhady Výběr od deskripce k indukci Deskripce dat, odhad parametrů Usuzování = inference = indukce Počítá se s náhodným

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

pravděpodobnosti, popisné statistiky

pravděpodobnosti, popisné statistiky 8. Modelová rozdělení pravděpodobnosti, popisné statistiky Rozdělení pravděpodobnosti Normální rozdělení jako statistický model Přehled a aplikace modelových rozdělení Popisné statistiky Anotace Klasickým

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testy hypotéz na základě více než 2 výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testy hypotéz na základě více než 2 výběrů Na analýzu rozptylu lze pohlížet v podstatě

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,

Více

Vyhodnocování způsobilosti a výkonnosti výrobního procesu

Vyhodnocování způsobilosti a výkonnosti výrobního procesu Vyhodnocování způsobilosti a výkonnosti výrobního procesu Jiří Michálek CQR 2009 Vyhodnocování způsobilosti a výkonnosti výrobního procesu Jiří Michálek Centrum pro jakost a spolehlivost ve výrobě CQR

Více

Aproximace binomického rozdělení normálním

Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Příklad Sybilla a Kassandra tvrdí, že mají telepatické schopnosti, a chtějí to dokázat následujícím pokusem: V jedné

Více

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B. Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná

Více

Příklady ke čtvrtému testu - Pravděpodobnost

Příklady ke čtvrtému testu - Pravděpodobnost Příklady ke čtvrtému testu - Pravděpodobnost 6. dubna 0 Instrukce: Projděte si všechny příklady. Každý příklad se snažte pochopit. Pak vymyslete a vyřešte příklad podobný. Tím se ujistíte, že příkladu

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz. Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení

Více

1 Odvození poptávkové křivky

1 Odvození poptávkové křivky Odvození poptávkové křivky Optimalizační chování domácností (maximalizace užitku) vzhledem k rozpočtovému omezení. Nejprve odvodíme deterministický model, který potom rozšíříme o stochastické prvky. Odvozené

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 10 Vytvořeno v rámci projektu 963/011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly

Více

Statistika. Teorie odhadu statistická indukce. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) .

Statistika. Teorie odhadu statistická indukce. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) . Statistika Teorie odhadu statistická indukce Intervalový odhad µ, σ 2 a π Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 21. února 2012 Statistika

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 5. Odhady parametrů základního souboru Mgr. David Fiedor 16. března 2015 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Osnova 1 Úvod, pojmy Vztahy mezi výběrovým a základním

Více

Nestranný odhad Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada

Nestranný odhad Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada Nestranný odhad 1 Parametr θ Máme statistický (výběrový) soubor, který je realizací náhodného výběru 1, 2, 3,, n z pravděpodobnostní distribuce, která je kompletně stanovena jedním nebo více parametry

Více

Dva případy chybného rozhodnutí při testování: a) Testační statistika padne mimo obor přijetí nulové H hypotézy O, tj.

Dva případy chybného rozhodnutí při testování: a) Testační statistika padne mimo obor přijetí nulové H hypotézy O, tj. Uvedeme obecný postup statistického testování:. Formulace nulové H 0a alternativní hpotéz H A.. Volba hladin významnosti α.. Volba testační statistik např... Určení kritického oboru testové charakteristik.

Více

Pearsonůvχ 2 test dobré shody. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Pearsonůvχ 2 test dobré shody. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Př. : Ve vjezdové skupině kolejí byly sledovány počty přijíždějících vlaků za hodinu. Za 5 dní (tedy 360 hodin) přijelo celkem 87 vlaků. Výsledky sledování jsou uvedeny v tabulce.

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 9. Korelační analýza Mgr. David Fiedor 20. dubna 2015 Analýza závislostí v řadě geografických disciplín studujeme jevy, u kterých vyšetřujeme nikoliv pouze jednu vlastnost

Více

Charakteristika datového souboru

Charakteristika datového souboru Zápočtová práce z předmětu Statistika Vypracoval: 10. 11. 2014 Charakteristika datového souboru Zadání: Při kontrole dodržování hygienických norem v kuchyni se prováděl odběr vzduchu a pomocí filtru Pallflex

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt

Více

- funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte. V obou případech vyzkoušejte Taylorovy řady

- funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte. V obou případech vyzkoušejte Taylorovy řady Vzorové řešení domácího úkolu na 6. 1. 1. Integrály 1 1 x2 dx, ex2 dx spočítejte přibližně následují metodou - funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte.

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie

Více

Základní statistické metody v rizikovém inženýrství

Základní statistické metody v rizikovém inženýrství Základní statistické metody v rizikovém inženýrství Petr Misák Ústav stavebního zkušebnictví Fakulta stavební, VUT v Brně misak.p@fce.vutbr.cz Základní pojmy Jev souhrn skutečností zobrazujících ucelenou

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Na základě náhodného výběru, který je reprezentativním vzorkem základního souboru (který přesně neznáme, k němuž se ale daná statistická hypotéza váže), potřebujeme ověřit,

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Statistická analýza dat v psychologii. Věci, které můžeme přímo pozorovat, jsou téměř vždy pouze vzorky. Alfred North Whitehead

Statistická analýza dat v psychologii. Věci, které můžeme přímo pozorovat, jsou téměř vždy pouze vzorky. Alfred North Whitehead PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 8 Statistické usuzování, odhady Věci, které můžeme přímo pozorovat, jsou téměř vždy pouze vzorky. Alfred North Whitehead Barevná srdíčka kolegyně

Více

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň

Více

Interpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,

Více

Jednofaktorová analýza rozptylu

Jednofaktorová analýza rozptylu Jednofaktorová analýza rozptylu David Hampel Ústav statistiky a operačního výzkumu, Mendelova univerzita v Brně Kurz pokročilých statistických metod Global Change Research Centre AS CR, 5 7 8 2015 Tato

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

Náhodné (statistické) chyby přímých měření

Náhodné (statistické) chyby přímých měření Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně

Více