Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická

Transkript

1 Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na

2 1. Lineární funkce s absolutní hodnotou Lineární funkce s absolutní hodnotou Jedná se o funkci lineární, tedy funkci danou rovnicí y = ax + b, která ale ve svém zápise obsahuje absolutní hodnotu. Ukázkové příklady: Příklad 1: Narýsujte graf funkce y = x - 1 Řešení: Podobně jako při řešení rovnic nebo nerovnic s absolutní hodnotou nejprve stanovíme nulové body, tj. bod, v nichž jednotlivé absolutní hodnoty nabývají nulových hodnot. V tomto případě je nulový bod pouze jeden, a jím je číslo 1. Řešení máme tedy rozděleno na dvě části: 1. x < 1 V tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty záporný, proto absolutní hodnotu odstraníme tak, že ji změníme na závorku, ale před ní bude znaménko minus. Narýsujeme tedy graf funkce y = -(x - 1), neboli y = -x + 1, ale z tohoto grafu využijeme pouze část, kde x < 1 2. x 1 V tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty nezáporný, proto ji odstraníme tak, že ji změníme na závorku. Rýsujeme tedy graf funkce y = x - 1, ale z tohoto grafu využijeme pouze část, kde x 1 Závěr: Příklad 2: Narýsujte graf funkce y = 2x - 1 Řešení: Nulovým bodem je 0,5 1. x < 0,5 Rýsujeme graf funkce y = -2x + 1 a využíváme část, kde x < 0,5 2. x 0,5 Rýsujeme graf funkce y = 2x - 1 a využíváme část, kde x 0,5 Závěr: 2

3 2. Funkce s absolutní hodnotou - procvičovací příklady 1. Načrtněte graf funkce f: y = - x Načrtněte graf funkce f: y = 2. x x Načrtněte graf funkce f: y = x - x

4 4. Načrtněte graf funkce f: y = 2x - x x Načrtněte graf funkce f: y = 2x x x Načrtněte graf funkce f: y = x Načrtněte graf funkce f: y = - x

5 8. Načrtněte graf funkce f: y = x x Načrtněte graf funkce f: y = x x x - (x - 1) Načrtněte graf funkce f: y = x Načrtněte graf funkce f: y = x - 2. x + 4-3x

6 3. Exponenciální funkce Exponenciální funkce Definice: Exponenciální funkce je funkce, která je dána rovnicí y = a x, kde a > 0 a zároveň a 1 Grafem exponenciální funkce je křivka, kterou nazýváme exponenciála (exponenciální křivka). její průběh je velmi závislý na velikosti čísla a. Je-li a > 1, pak je průběh následující: Je-li 0 < a < 1, pak je průběh následující: Je-li základ exponenciální funkce číslo 10, pak ji nazýváme dekadickou exponenciální funkcí. Má rovnici y = 10 x Je-li základem exponenciální funkce číslo e (Eulerovo číslo), pak se funkce nazývá přirozená exponenciální funkce. Má rovnici y = e x. Pozn.: Eulerovo číslo e = 2, Vlastnosti exponenciální funkce: D(f) = (- ; + ); H(f) = (0; + ) Není sudá, ani lichá. a x > 0, proto je funkce omezená zdola, shora omezená není. Je klesající pro 0 a < 1 a rostoucí pro a 1 Nemá maximum ani minimum. Je inverzní k logaritmické funkci. Je v R spojitá. 4. Exponenciální funkce - procvičovací příklady 1. Načrtněte v téže kartézské soustavě souřadnic grafy těchto funkcí: f(x) = 4 x g(x) = 4 x + 2 h(x) = 4 x

7 2. Načrtněte graf funkce y = 2 x Načrtněte graf funkce f(x) = -(2-2x ) Je dána funkce f: y = 0,5 x - 3. Načrtněte graf funkce f( x ) Je dána funkce f: y = 0,5 x - 3. Načrtněte graf funkce f( x )

8 6. Je dána funkce f: y = 0,5 x - 3 Načrtněte graf funkce f(x) Načrtněte graf funkce y = 3 2x Načrtněte graf funkce y = 0,5 x Načrtněte graf funkce y = 2 x

9 10. Načrtněte graf funkce y = 2 x - 2 -x Pro která čísla a je funkce klesající? 1370 a > Je dána funkce f: y = 2 x + 1. Načrtněte graf funkce f( x ) Načrtněte a porovnejte grafy funkcí y = 2 x a y = 2 -x Pro která čísla a je funkce rostoucí? 1369 a > 2 9

10 15. Načrtněte graf funkce y = 2 x + 2 -x Načrtněte graf funkce Načrtněte v téže kartézské soustavě souřadnic grafy těchto funkcí: f(x) = 0,4 x g(x) = 0,4 -x h(x) = f( x ) Je dána funkce f: y = 2 x + 1. Načrtněte graf funkce f(x)

11 19. Je dána funkce f: y = 2 x + 1. Načrtněte graf funkce f( x ) Načrtněte graf funkce y = 0,5 x Logaritmická funkce Logaritmická funkce Definice: Logaritmická funkce je funkce, která je dána rovnicí y = log a x. Jedná se o funkci inverzní k exponenciální funkci o stejném základu. Pozn.: Inverzní funkci získáme záměnou x a y v předpisu funkce. Grafy funkce a funkce k této funkci inverzní jsou souměrné podle osy I. a III. kvadrantu. Pozn.: Zápis y = log a x vyjadřuje totéž jako zápis x = a y Graf logaritmické funkce se nazývá logaritmická křivka (logaritma). Průběh grafu logaritmické funkce v závislosti na velikosti a: 11

12 Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Definiční obor D(f) =(0; + ) Obor hodnot H(f) = R Není sudá, ani lichá Není zdola ani shora omezená. Pro 0 < a < 1 je klesající Pro a > 1 je rostoucí. Funkce nemá maximum ani minimum. Pro x (0; + ) je spojitá. Při konstrukci grafu logaritmické funkce postupujeme zpravidla tak, že k zadané rovnici logaritmické funkce vytvoříme rovnici funkce k ní exponenciální. Graf vzniklé exponenciální funkce snadno narýsujeme a pak sestrojíme graf souměrný podle osy I. a III. kvadrantu. 6. Logaritmická funkce - procvičovací příklady 1. Určete definiční obor funkce f: 1460 D(f) = <10; + ) 2. Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf. f: y = log 4 x D(f) = (0; + ) Určete definiční obor funkce f: 1462 D(f) = (- ; -1) ( 2; + ) 12

13 4. Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf. f: y = log 4 x D(f) = (0; + ) Urči definiční obor funkce: 1432 D(f) = (4; + ); a > 0, a 1 6. Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf. f: y = log 4 x D(f) = R \ {0} Načrtněte graf funkce f: y = 2. log x a určete definiční obor funkce. D(f) = (0; + ) Načrtni graf funkce f: y = log 2 (x + 2)

14 9. Urči definiční obor funkce: 1439 D(f) = (2; 9) 10. Načrtni graf funkce f: y = log 2 x Je dána funkce f: y = log 1/3 (x + 2). Načrtni graf funkce f(x) Načrtněte graf funkce f: y = log x 2. D(f) = R \ {0} Načrtni graf funkce:

15 14. Určete definiční obor funkce f: y = log (-x 2 + 6x - 9) D(f) = { } 15. Urči definiční obor funkce D(f) = (- ; -3) ( 5; + ); a > 0, a Načrtněte graf funkce f: y = log (x + 2) - 3 a určete definiční obor funkce. D(f) = (-2; + ) Urči definiční obor funkce y = log a (2x +3) D(f) = (-1,5; + ); a > 0, a Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf. f: y = log 4 x D(f) = R \ {0} Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf. f: y = -log 4 x D(f) = (0; + )

16 20. Urči definiční obor funkce 1433 D(f) = (-1; 1); a > 0, a Je dána funkce f: y = log 2 (x - 4). Načrtněte graf funkce f(x) Načrtněte graf funkce f: y = log 2 (x - 4) Urči definiční obor funkce f: y = log (2x 2 + 4x - 6) D(f) = (- ; -3) 1; Načrtni graf funkce f: y = log 2 (x + 2) Urči definiční obor funkce: 1434 D(f) = (0; 3); a > 0, a 1 16

17 26. Načrtněte graf funkce f: y = ln (x - 1) Načrtněte graf funkce f: y = 1 - log x Určete definiční obor funkce: 1459 D(f) = <1; + ) 29. Je dána funkce f: y = log 2 (x - 4). Načrtněte graf funkce f( x ) Je dána funkce f: y = log 2 (x - 4). Načrtněte graf funkce f( x )

18 31. Je dána funkce f: y = log 1/3 (x + 2). Načrtni graf funkce f( x ) Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf. f: y = log 4 (-x) D(f) = (- ; 0) Je dána funkce f: y = log 1/3 (x + 2). Načrtni graf funkce f( x )

19 Obsah 1. Lineární funkce s absolutní hodnotou 2. Funkce s absolutní hodnotou - procvičovací příklady 3. Exponenciální funkce 4. Exponenciální funkce - procvičovací příklady 5. Logaritmická funkce 6. Logaritmická funkce - procvičovací příklady