7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

Transkript

1 202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají spojité parciální derivace v definičním oboru, který je otevřenou množinou. Derivace složené funkce pak počítáme podle uvedeného vzorce. Jeho použití budeme ilustrovat na jednoduchých případech různého počtu proměnných. Pro řešení jednotlivých příkladů volíme příslušnou variantu vzorce. Vzorec pro derivaci složené funkce. Nechť F x, x 2,..., x n = fy, y 2,..., y m, kde y k = g k x, x 2,..., x n, a D gk, k n, b = g a, g 2 a,..., g m a D f, pak parciální derivace funkce F podle proměnných x i, i n vypočteme podle vzorce i a = m k= k b g k i a, i n, pokud jsou parciální derivace uvedené ve vzorci spojité v bodě a, resp. v bodě b. Vzorce pro nejčastější varianty složené funkce.. F x, y = fgx, y, f = ft. Složená funkce je funkcí dvou proměnných x a y, ale vnější funkce f je funkcí pouze jedné proměnné t. Parciální derivace vypočteme podle vzorce: = f t g a = f t g, kde čárkou označujeme derivaci funkce podle její proměnné. 2. F x = fgx, hx, f = fu, v. Složená funkce je funkcí jedné proměnné x a vnější funkce je funkcí dvou proměnných u a v. Derivace je obyčejnou derivací funkce jedné proměnné a vypočteme ji podle vzorce: F x = g x + h x, kde čárkou označujeme derivaci funkce podle její proměnné. 3. F x = fgx, hx, kx, f = fu, v, w. 55

2 Složená funkce je funkcí jedné proměnné x a vnější funkce je funkcí tří proměnných u, v a w. Derivaci funkce F vypočteme podle vzorce: F x = g x + h x + w k x, kde čárkou označujeme derivaci funkce podle její proměnné. 4. F x, y = fgx, y, hx, y, f = fu, v. Složená funkce je funkcí dvou proměnných x a y a její parciální derivace složené funkce vypočteme podle vzorce: = g + h a = g + h 5. F x, y = fgx, y, hx, y, kx, y, f = fu, v, w. Složená funkce je funkcí dvou proměnných x a y, vnější funkce je funkcí tří proměnných u, v a w. Parciální derivace funkce F vypočteme podle vzorce: = g + h + k w, = g + h + k w. Vzorce používáme při převodu výrazů které obsahují derivace do nových proměnných. Nejčastěji používáme vzorec 4, kdy se jedná o transformaci souřadnic v rovině, ale v některých speciálních případech se vyskytují i vzorce, 2, 3 a 5. Výpočet parciálních derivací druhého a vyšších řádů provádíme podle stejného pravidla jako počítáme derivace první. Derivujeme ale nyní výraz, který je součtem součinů činitelů, z nichž jsou někteří složenou funkcí a ostatní nikoliv. Ukážeme si podrobně tento postup na příkladě výpočtu parciální derivace druhého řádu funkce s odstavce F x, y = fgx, y, hx, y, f = fu, v. a = g + h a = g + h Budeme počítat parciální derivaci 2. Je ovšem = = 2 56 g + h =

3 g + g + h + h. Nyní použijeme vzorec na první z činitelů, jenom místo funkce F uvažujeme funkci, resp. funkci a dostaneme = a 2 f g f h g + 2 = 2 g 2 + = 2 f g f h g f 2 Obdobně vypočteme derivace 2 = 2 f 2 = 2 f g g f g f g h + g 2 f h g + 2 f 2 = h + 2 f g + 2 f h 2 h + h g + 2 h 2 2 h 2 h g + 2 h 2 2 h + 2 g + 2 h 2 2 h. Řešené příklady. Pro funkci F x, y = fu, v, u = xy, v = x y, vypočtěte první a druhé parciální derivace. Řešení. Podle vzorce pro derivaci složené funkce z odstavce 4 dostaneme: = y + y, = x + x Parciální derivace druhého řádu vypočteme obdobně jako v odstavci 6 opětovným derivováním výše získaných vztahů. Je = 2 f 2 2 y2 + 2 f y y + 2 f y 2. y y + 2 f 2 y = 2 f 2 2 y f + 2 f 2 y 2, = 2 f xy + 2 f 2 x y + 2 f y x y + 2 f x 2 2 y f xy + 2 f x 2 2 y y 2, y 2 =

4 a 2 = 2 f 2 x f y x2 y f 2 x 2 y 4 + 2x y Pro funkci F x, y = ft, t = x 2 + y 2 vypočtěte první a druhé parciální derivace a transformujte rovnici F = 2 F + 2 F 2 = 0. 2 Řešení. Nejprve si vypočteme derivace prvního řádu podle vzorce z odstavce. t = 2x 2 x 2 + y = x 2 t, t = 2y 2 x 2 + y 2 = y t. Odtud plyne podle vzorce pro derivaci složené funkce, že = f t t = f t x t, = f t t = f t y t. Pro derivace druhého řádu dostaneme = f t x2 2 t + f t x = f t x2 2 t t + f t t x x 2 t t = 2 = f t x2 t 2 + f t t2 x 2 t 3, = f t x2 2 t + f t t2 y 2, 2 t 3 Po dosazení do rovnice dostaneme F = f t x2 + y 2 = f t xy t 2 f t xy t 3. t 2 + f t 2t2 x 2 + y 2 t 3 = f t + f t t. 3. Pomocí transformace u = x at, v = x + at nalezněte řěšení vlnové rovnice 2 a 2 t = 0, 2 jestliže F x, t = fu, v. Řešení. Podle vzorce pro derivace složené funkce dostaneme: = +, Pro derivace druhého řádu dostaneme 2 = 2 f f + 2 f 2, t 2 58 t = a a. = a2 2 f 2 2a2 2 f + a2 2 f 2.

5 Po dosazení do rovnice dostaneme 2 a 2 t 2 = 0 2 f = 0. Odtud dostaneme postupně pro hledané řešení: tedy fu, v = = 0 = gu, gu du + Hv = Gu + Hv, kde G a H jsou funkce reálné proměnné, které mají spojitou derivaci. Obecné řešení rovnice je dáno vzorcem rovnici F x, t = Gx at + Hx + at. 4. Do nových proměnných u a v transformujte diferenciální x + y = 0, kde x = u, y = u v. Řešení. V tomto případě můžeme transformaci souřadnic řešit a získat transformaci inverzní. Je totiž Potom dostaneme = u = x, v = x y. + a obdobně pro druhou proměnnou = + Po dosazení do rovnice dostaneme x. + y + y x 2 =. + =. 0 + x y x 2 x. = 0 u = 0. Pomocí takových transformací můžeme řešit některé parciální diferenciální rovnice. V tomto případě je původní rovnice ekvivalentní s rovnicí = 0 fu, v = gv, 59

6 kde funkce g má spojitou derivaci. Pro původní funkci dostaneme fx, y = fu, v = gv = g y x. je řešením původní par- Každá funkce tohoto tvaru, např. fx, y = sin y x ciální diferenciální rovnice. rovnici 5. Do nových proměnných u a v transformujte diferenciální x 2 y + 2 = 0, kde x = u v, y = u + v. Transformace souřadnic je zde zadána v obvyklém tvaru, totiž je dáno co dosadíme za původní souřadnice, abychom dostali vyjádření v nových souřadnicích. Pro derivace je to zdánlivě nevhodné, potřebovali bychom transformaci inverzní jako v a. Toto snadno odstraníme, jestliže si uvědomíme, že na rozdíl od transformace souřadnic je vztah mezi derivacemi v původních a nových proměnných lineární. Existují dva možné způsoby vypočtu. Pokud potřebujeme jenom derivace. řádu počítáme derivace podle nových proměnných a derivace podle původních proměnných vypočteme ze soustavy lineárních rovnic. Je tedy = + = v +. ; = + = u v Determinant soustavy je = u+v v a pokud je různý od nuly, pak 2 = v 2 u + v + v 2 u + v, Po dosazení do rovnice dostaneme tedy rovnici u2 v 2 u + v v 2 u + v = + 2 u + v + = 0. u u + v + v u + v. u + v = 0 6. Do nových proměnných u a v transformujte diferenciální x 2 y x = 0, kde u = x y, v = y x. 60

7 Při tomto zadání můžeme počítat derivace, které jsou uvedeny v rovnici. To je možné v případě, kdy se koeficienty u derivací, které zůstanou v původních proměnných ale podaří nějakým způsobem převést do nových proměnných. Je tedy = y + y x 2, Po dosazení do rovnice dostaneme po úpravě x 2 x 2 + Rovnice má řešení ve tvaru = x + x. = 0 = 0. zu, v = gv zx, y = g y x. rovnici x 7. Do nových proměnných u a v transformujte diferenciální = 4, kde u = y 2 x, v = y + 2 x. Budeme počítat derivace podle původních proměnných a dostaneme = 2 2 x + Po dosazení do rovnice dostaneme 2 x x + + Výsledná rovnice má tvar 2 2 x, = +. 2 x x + + =. 2x x + 2 = Do nových proměnných u a v transformujte diferenciální rovnici + x y + y = 0, kde u = x y, v = x +. Ze zadání vyplývá, že budeme počítat derivace podle původních proměnných, tedy = y + y x + 2, = x + 6 x +.

8 Po dosazení do rovnice dostaneme + x y y + y Po pravě dostaneme tedy Rovnice má řešení tvaru x x + x + + x + x + = 0. x + = 0, x + = 0. zu, v = gv zx, y = g y. x + 9. Do nových proměnných u a v transformujte diferenciální rovnici x + = 0, kde x = eu+v, y = 2 u. Ukážeme si způsob výpočtu, který v těchto úlohách používáme při takto zadané transformaci, která je nejčastější. Používáme ji v případě, že používáme standardních transformacích a při výpočtu derivací vyšších řádů. Ukážeme si princip metody na tomto příkladě podrobněji. Počítejme derivace zatím obecně = +, = +. Oba vztahy jsou lineární transformací a liší se jenom hodnotou proměnné x a y. Při tomto zadání ale neznáme derivace nových proměnných u, v podle původních proměnných x, y. Ty jsou ale stále stejné pro všechny funkce zx, y. Zvolíme-li vhodně tyto funkce, dostaneme soustavu rovnic, ze které můžeme hledané derivace spočítat. Ty pak používáme při dalších výpočtech a výpočtech vyšších derivací. Šikovné je volit funkce z x, y = x a z 2 x, y = y. Pro ně dostaneme z soustavy rovnic u+v = e + eu+v, 0 = , 62 u+v 0 = e + eu+v, =

9 Z těchto soustav vypočteme neznámé derivace a dostaneme = 0, = e u v ; = 2, = 2. Po dosazení do vztahů dostaneme pro parciální derivace vzorce =. 0 + e u v, = Po dosazení dostaneme diferenciální rovnici v nových proměnných ve tvaru u+v e e u v = 0 = 0. Všimněme si dalších podstatných skutečností: a koeficienty ve vzorcích pro derivace jsou v nových proměnných; b matice soustav pro výpočet derivací jsou stejné, mění se jenom pravé strany; c podmínkou řešitelnosti soustavy je, že determinat soustavy musí být různý od nuly. Tato podmínka ale musí být pro transformaci souřadnic splněna; d derivováním vzorců pro derivace proměnných získáme jejich derivace vyšších řádů a přitom používáme jen pravidla derivování. rovnici 0. Do nových proměnných u a v transformujte diferenciální = x y2 =, kde x = tgu, y = tgu + v. Derivováním transformace podle proměnných x, y dostaneme vztahy cos 2 u + 0. cos 2 u + v cos 2 u + 0. cos 2 u + v + cos 2 u + v + cos 2 u + v =, = 0, = 0, =, 63

10 Odtud snadno dostaneme derivace funkcí u a v = cos2 u, = 0, = cos2 u, = cos2 u + v. Po dosazení do rovnice dostaneme její tvar v nových proměnných + tg 2 u Jestliže použijeme vzorce cos 2 x = dostaneme rovnici ve tvaru cos 2 u + + tg 2 u + v cos2 u + v =. cos 2 x sin 2 x + cos 2 x = + tg 2 x + = =. Odtud můžeme získat řešení rovnice ve tvaru zu, v = du = u + F v zx, y = arctg x + F arctg y arctg x, jestliže z transformace vypočteme u = arctg x, u + v = arctg y. Transformace do polárních souřadnic Polární souřadnice ρ, ϕ jsou v rovině zavedeny transformačními rovnicemi x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, kde ρ 0,, ϕ α, α + 2π. Při převodu diferenciálních rovnic do polárních souřadnic se nám vyplatí si spočítat transformační vztahy pro derivace, které opakovaně používáme. Derivováním transformačních rovnic dostaneme soustavy rovnic cos ϕ ρ sin ϕ =, sin ϕ + ρ cos ϕ = 0, cos ϕ sin ϕ ρ sin ϕ = 0, + ρ cos ϕ =. 64

11 Determinant soustav je = ρ cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = ρ 0. Soustavy mají jediné řešení a třeba pomocí Cramerova pravidla dostaneme vzorce pro transformaci derivací ve tvaru = cos ϕ, = sin ϕ, ρ = sin ϕ,. Vypočtěte parciální derivace. řádu pro funkci F x, y = fρ, ϕ, kde ρ, ϕ jsou polární souřadnice. Podle vzorce pro derivaci složené funkce dostaneme = +, = Po dosazení derivací ze vzorců dostaneme = cos ϕ + sin ϕ, ρ + = = cos ϕ ρ.. sin ϕ + 2. Pro funkci F x, y = fρ, ϕ transformujte rovnici x + y = 0. cos ϕ ρ. K přepisu rovnice použijeme vztahů pro derivace složené funkce a dostaneme rovnici ve tvaru sin ϕ cos ϕ ρ cos ϕ cos ϕ + + ρ sin ϕ sin ϕ + = 0 ρ ρ Po úpravě dostaneme ρ = 0. Tato rovnice má obecné řešení ve tvaru fρ, ϕ = gϕ. 3. Pro funkci F x, y = fρ, ϕ transformujte rovnici y x = 0. 65

12 K přepisu rovnice použijeme vztahů pro derivace složené funkce a dostaneme rovnici ve tvaru sin ϕ cos ϕ ρ sin ϕ cos ϕ + ρ cos ϕ sin ϕ + = 0 ρ ρ Po úpravě dostaneme = 0. Tato rovnice má obecné řešení ve tvaru F x, y = fρ, ϕ = gρ = g x 2 + y Pro funkci F x, y = fρ, ϕ transformujte rovnici x + y + y x =. K přepisu rovnice použijeme vztahů pro derivace složené funkce a dostaneme rovnici ve tvaru sin ϕ ρ cos ϕ + sin ϕ cos ϕ + + ρ cos ϕ ρsin ϕ cos ϕ sin ϕ + =. ρ Po úpravě a s využitím vztahu cos 2 α + sin 2 α = dostaneme rovnici ve tvaru ρ =. 5. Pro funkci F x, y = fρ, ϕ transformujte rovnici =. K přepisu rovnice použijeme vztahů pro derivace složené funkce a dostaneme rovnici ve tvaru 2 sin ϕ 2 cos ϕ cos ϕ + + sin ϕ + =. ρ ρ Po úpravě a s využitím vztahu cos 2 α + sin 2 α = dostaneme rovnici ve tvaru =. ρ 2 66

13 Derivace 2. řádu Transformujte diferenciální rovnici do nových souřadnic u a v u a v 6. Transformujte diferenciální rovnici do nových souřadnic 4xy 2 z 2y = 0, kde x = uv, y = u v. Budeme postupovat jako při výpočtu derivací. řádu. Nejdříve vypočteme derivace nových souřadnic podle původních. Dostaneme = v + u, 0 = v + u v 2, 0 = v + u, = v + u v 2, Determinant matice sousrav je roven = 2u a pomocí Cramerova pravidla snadno v vypočteme = 2v, = 2u, Odtud dostaneme pro derivace prvního řádu = v 2, = v2 2u. = 2v + 2u, = v 2 + v 2 2u. Derivace 2. řádu vypočteme derivováním vztahů. Výraz je součtem a každý sčítanec je součinem. První činitel derivujeme jako funkci složenou shodně jako v a druhý jako konkrétní funkci. Příslušné derivace máme spočítány ve vzorcích. Je tedy = = 2 v z = 2v + v 2 2u 2v + + 2v v 2 2 2v 2 2u + z = 2 z z 2 v 2 4u + 2u + v z v 2 2 2u 2u + 4u + v 4u 2. Při dosazení do rovnice použijeme vztahů 4xy = 4u 2 a dostaneme = 2u v 2u 2 2 = u 2 2 z 2 v2 2 z 2 + u v u + v = 0 u2 2 z 2 v2 2 z 2 = 0. 67

14 7. Transformujte diferenciální rovnici do nových souřadnic s a t x 2 2 z + = 0, kde x = sin s, y = t. Budeme postupovat jako při výpočtu derivací. řádu. Nejdříve vypočteme derivace nových souřadnic podle původních. Dostaneme = s t + 0. cos s, 0 = 0. s + t, 0 = cos s s = 0. s + t, + 0. t, Soustavy jsou rovnice pro neznámé derivace a z nich dostaneme s = cos s, t = 0, Odtud dostaneme pro derivace prvního řádu = s cos s, s = 0, = t. t =. Derivace 2. řádu vypočteme derivováním vztahů. Výraz je součinem, kde první činitel derivujeme jako funkci složenou shodně jako v a druhý jako konkrétní funkci. Příslušné derivace máme spočítány ve vzorcích. Je tedy = 2 z t s cos s. Při dosazení do rovnice použijeme vztahů x 2 = sin 2 s = cos s a dostaneme u a v sin 2 2 z s t cos s + t = 0 2 z s t + t = 0 8. Transformujte diferenciální rovnici do nových souřadnic + 2y = 0, kde x = u, y = u v. 2 x Budeme postupovat jako při výpočtu derivací. řádu. Nejdříve vypočteme derivace nových souřadnic podle původních. Dostaneme = + 0., 0 = v + u, 68 0 = + 0., = v + u,

15 Determinant matice sousrav je roven = u a pomocí Cramerova pravidla snadno vypočteme =, = v u, Odtud dostaneme pro derivace prvního řádu = + v u, = 0, = = u. Derivace 2. řádu vypočteme derivováním vztahů. Výrazy jsou obecně součtem a každý sčítanec je součinem. První činitel derivujeme jako funkci složenou shodně jako v a druhý jako konkrétní funkci. Příslušné derivace máme spočítány ve vzorcích. Je tedy 2 z = 2 2 z + 2 z 2 u = 2 z + = 2 z + 2 z 2 u 2 z + 2 z 2v u 2 u 2 z v 2 u v u + v 2 2 u + 2 v u + 2v u 2. v. u u v. 0 u 2 u v u = = 2 z u + 2 z v 2 u + 2 u. 2 Při dosazení do rovnice použijeme vztahů 2y x = 2v a dostaneme + 2 z 2 2v u + 2v u + 2 z 2 v2 u 2v2 2 u 2 + u 2 v = 2v u 2v = 0 2 u 2 v2 2 u 2 = Transformujte diferenciální rovnici do nových souřadnic u a v + y x = 0, kde x = v2, y = u e v. Budeme postupovat jako při výpočtu derivací. řádu. Nejdříve vypočteme derivace nových souřadnic podle původních. Dostaneme = v, 0 = e v + u ev, 69 0 = 0. = e v + 2v, + u ev,

16 Determinant matice soustav je roven = 2v e v a pomocí Cramerova pravidla snadno vypočteme = u 2v, = 2v, Odtud dostaneme pro derivace prvního řádu = u 2v + 2v, = e v, = 0. = e v. Derivace 2. řádu vypočteme derivováním vztahů. Výraz je součinem, kde první činitel derivujeme jako funkci složenou shodně jako v a druhý jako konkrétní funkci. Příslušné derivace máme spočítány ve vzorcích. Je tedy = 2 z 2 2 e 2v. Při dosazení do rovnice použijeme vztahů 2 x = 2v a dostaneme 2 e 2v + u e v e v + 2 v u a v u 2v = 0 2 z 2v 2 e 2v + = Transformujte diferenciální rovnici do nových souřadnic 4 2 z + 2x = 0, kde x = v, y = 2 u + v2. Budeme postupovat jako při výpočtu derivací. řádu. Nejdříve vypočteme derivace nových souřadnic podle původních. Dostaneme = 0. +., 0 = v, 0 = 0. +., = v, Determinant matice soustav je roven = 2 a pomocí Cramerova pravidla snadno vypočteme = v, =, Odtud dostaneme pro derivace prvního řádu = v +, 70 = 2, = = 0. 2.

17 Derivace 2. řádu vypočteme derivováním vztahů. Výraz je součinem, kde první činitel derivujeme jako funkci složenou shodně jako v a druhý jako konkrétní funkci. Příslušné derivace máme spočítány ve vzorcích. Je tedy = 2 z Při dosazení do rovnice použijeme vztahů x = v a dostaneme v v + = 0 2 z = 0. Neřešené příklady.. Úloha: Pro F x, y = fρ, ϕ, x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, vyjádřete a x + y b x y [a c b c d F = 2 F ρ 2 d 2 f F f + ] ρ 2 2 ρ 2. Úloha: Vypočtěte první a druhé parciální derivace funkce F x, y = fu, v, u = x 2 + y, v = x y. [ = 2x +, =, 2 [ 2 F = 2x 2 f + 2x 2 f 2 f, 2 F Úloha: Vypočtěte první a druhé parciální derivace funkce F x, y = fu, v, u = x + 2 y, v = x 2 y. [ = +, = [ 2 F = 2 f y 2 f y, 2 F y = 4x 2 2 f 2 + 4x 2 f + 2 f 2 y, 2 F ] = 2 f f + 2 f 2 ] = 2 f f + 2 f = 2 f f + 2 f 2 y Úloha: Pro funkci F x, y = ft, t = x 2 + y 2 transformujte rovnice a y x = 0 2 ] 2y y, ] b x + y = 0 [a 0 = 0, b tf t = 0] 5. Úloha: Pro funkci F x, y, z = ft, t = x 2 + y 2 + z 2 transformujte rovnici F = + 2 F + 2 F = Úloha: Pro funkci F x, y = ft, t = x 2 y 2 transformujte rovnice a y + x = 0 b F = 2 F F 2 = 0 [ F = f t + f t 2 t ] [a 0 = 0, b f t = 0] 7

18 7. Úloha: Pro funkci F x, y = ft, t = x 2 + y 2 transformujte rovnice a y x = 0 b F = 2 F F 2 = 0 [a 0 = 0, b 4tf t + 4f t = 0] 72