7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí"

Transkript

1 202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají spojité parciální derivace v definičním oboru, který je otevřenou množinou. Derivace složené funkce pak počítáme podle uvedeného vzorce. Jeho použití budeme ilustrovat na jednoduchých případech různého počtu proměnných. Pro řešení jednotlivých příkladů volíme příslušnou variantu vzorce. Vzorec pro derivaci složené funkce. Nechť F x, x 2,..., x n = fy, y 2,..., y m, kde y k = g k x, x 2,..., x n, a D gk, k n, b = g a, g 2 a,..., g m a D f, pak parciální derivace funkce F podle proměnných x i, i n vypočteme podle vzorce i a = m k= k b g k i a, i n, pokud jsou parciální derivace uvedené ve vzorci spojité v bodě a, resp. v bodě b. Vzorce pro nejčastější varianty složené funkce.. F x, y = fgx, y, f = ft. Složená funkce je funkcí dvou proměnných x a y, ale vnější funkce f je funkcí pouze jedné proměnné t. Parciální derivace vypočteme podle vzorce: = f t g a = f t g, kde čárkou označujeme derivaci funkce podle její proměnné. 2. F x = fgx, hx, f = fu, v. Složená funkce je funkcí jedné proměnné x a vnější funkce je funkcí dvou proměnných u a v. Derivace je obyčejnou derivací funkce jedné proměnné a vypočteme ji podle vzorce: F x = g x + h x, kde čárkou označujeme derivaci funkce podle její proměnné. 3. F x = fgx, hx, kx, f = fu, v, w. 55

2 Složená funkce je funkcí jedné proměnné x a vnější funkce je funkcí tří proměnných u, v a w. Derivaci funkce F vypočteme podle vzorce: F x = g x + h x + w k x, kde čárkou označujeme derivaci funkce podle její proměnné. 4. F x, y = fgx, y, hx, y, f = fu, v. Složená funkce je funkcí dvou proměnných x a y a její parciální derivace složené funkce vypočteme podle vzorce: = g + h a = g + h 5. F x, y = fgx, y, hx, y, kx, y, f = fu, v, w. Složená funkce je funkcí dvou proměnných x a y, vnější funkce je funkcí tří proměnných u, v a w. Parciální derivace funkce F vypočteme podle vzorce: = g + h + k w, = g + h + k w. Vzorce používáme při převodu výrazů které obsahují derivace do nových proměnných. Nejčastěji používáme vzorec 4, kdy se jedná o transformaci souřadnic v rovině, ale v některých speciálních případech se vyskytují i vzorce, 2, 3 a 5. Výpočet parciálních derivací druhého a vyšších řádů provádíme podle stejného pravidla jako počítáme derivace první. Derivujeme ale nyní výraz, který je součtem součinů činitelů, z nichž jsou někteří složenou funkcí a ostatní nikoliv. Ukážeme si podrobně tento postup na příkladě výpočtu parciální derivace druhého řádu funkce s odstavce F x, y = fgx, y, hx, y, f = fu, v. a = g + h a = g + h Budeme počítat parciální derivaci 2. Je ovšem = = 2 56 g + h =

3 g + g + h + h. Nyní použijeme vzorec na první z činitelů, jenom místo funkce F uvažujeme funkci, resp. funkci a dostaneme = a 2 f g f h g + 2 = 2 g 2 + = 2 f g f h g f 2 Obdobně vypočteme derivace 2 = 2 f 2 = 2 f g g f g f g h + g 2 f h g + 2 f 2 = h + 2 f g + 2 f h 2 h + h g + 2 h 2 2 h 2 h g + 2 h 2 2 h + 2 g + 2 h 2 2 h. Řešené příklady. Pro funkci F x, y = fu, v, u = xy, v = x y, vypočtěte první a druhé parciální derivace. Řešení. Podle vzorce pro derivaci složené funkce z odstavce 4 dostaneme: = y + y, = x + x Parciální derivace druhého řádu vypočteme obdobně jako v odstavci 6 opětovným derivováním výše získaných vztahů. Je = 2 f 2 2 y2 + 2 f y y + 2 f y 2. y y + 2 f 2 y = 2 f 2 2 y f + 2 f 2 y 2, = 2 f xy + 2 f 2 x y + 2 f y x y + 2 f x 2 2 y f xy + 2 f x 2 2 y y 2, y 2 =

4 a 2 = 2 f 2 x f y x2 y f 2 x 2 y 4 + 2x y Pro funkci F x, y = ft, t = x 2 + y 2 vypočtěte první a druhé parciální derivace a transformujte rovnici F = 2 F + 2 F 2 = 0. 2 Řešení. Nejprve si vypočteme derivace prvního řádu podle vzorce z odstavce. t = 2x 2 x 2 + y = x 2 t, t = 2y 2 x 2 + y 2 = y t. Odtud plyne podle vzorce pro derivaci složené funkce, že = f t t = f t x t, = f t t = f t y t. Pro derivace druhého řádu dostaneme = f t x2 2 t + f t x = f t x2 2 t t + f t t x x 2 t t = 2 = f t x2 t 2 + f t t2 x 2 t 3, = f t x2 2 t + f t t2 y 2, 2 t 3 Po dosazení do rovnice dostaneme F = f t x2 + y 2 = f t xy t 2 f t xy t 3. t 2 + f t 2t2 x 2 + y 2 t 3 = f t + f t t. 3. Pomocí transformace u = x at, v = x + at nalezněte řěšení vlnové rovnice 2 a 2 t = 0, 2 jestliže F x, t = fu, v. Řešení. Podle vzorce pro derivace složené funkce dostaneme: = +, Pro derivace druhého řádu dostaneme 2 = 2 f f + 2 f 2, t 2 58 t = a a. = a2 2 f 2 2a2 2 f + a2 2 f 2.

5 Po dosazení do rovnice dostaneme 2 a 2 t 2 = 0 2 f = 0. Odtud dostaneme postupně pro hledané řešení: tedy fu, v = = 0 = gu, gu du + Hv = Gu + Hv, kde G a H jsou funkce reálné proměnné, které mají spojitou derivaci. Obecné řešení rovnice je dáno vzorcem rovnici F x, t = Gx at + Hx + at. 4. Do nových proměnných u a v transformujte diferenciální x + y = 0, kde x = u, y = u v. Řešení. V tomto případě můžeme transformaci souřadnic řešit a získat transformaci inverzní. Je totiž Potom dostaneme = u = x, v = x y. + a obdobně pro druhou proměnnou = + Po dosazení do rovnice dostaneme x. + y + y x 2 =. + =. 0 + x y x 2 x. = 0 u = 0. Pomocí takových transformací můžeme řešit některé parciální diferenciální rovnice. V tomto případě je původní rovnice ekvivalentní s rovnicí = 0 fu, v = gv, 59

6 kde funkce g má spojitou derivaci. Pro původní funkci dostaneme fx, y = fu, v = gv = g y x. je řešením původní par- Každá funkce tohoto tvaru, např. fx, y = sin y x ciální diferenciální rovnice. rovnici 5. Do nových proměnných u a v transformujte diferenciální x 2 y + 2 = 0, kde x = u v, y = u + v. Transformace souřadnic je zde zadána v obvyklém tvaru, totiž je dáno co dosadíme za původní souřadnice, abychom dostali vyjádření v nových souřadnicích. Pro derivace je to zdánlivě nevhodné, potřebovali bychom transformaci inverzní jako v a. Toto snadno odstraníme, jestliže si uvědomíme, že na rozdíl od transformace souřadnic je vztah mezi derivacemi v původních a nových proměnných lineární. Existují dva možné způsoby vypočtu. Pokud potřebujeme jenom derivace. řádu počítáme derivace podle nových proměnných a derivace podle původních proměnných vypočteme ze soustavy lineárních rovnic. Je tedy = + = v +. ; = + = u v Determinant soustavy je = u+v v a pokud je různý od nuly, pak 2 = v 2 u + v + v 2 u + v, Po dosazení do rovnice dostaneme tedy rovnici u2 v 2 u + v v 2 u + v = + 2 u + v + = 0. u u + v + v u + v. u + v = 0 6. Do nových proměnných u a v transformujte diferenciální x 2 y x = 0, kde u = x y, v = y x. 60

7 Při tomto zadání můžeme počítat derivace, které jsou uvedeny v rovnici. To je možné v případě, kdy se koeficienty u derivací, které zůstanou v původních proměnných ale podaří nějakým způsobem převést do nových proměnných. Je tedy = y + y x 2, Po dosazení do rovnice dostaneme po úpravě x 2 x 2 + Rovnice má řešení ve tvaru = x + x. = 0 = 0. zu, v = gv zx, y = g y x. rovnici x 7. Do nových proměnných u a v transformujte diferenciální = 4, kde u = y 2 x, v = y + 2 x. Budeme počítat derivace podle původních proměnných a dostaneme = 2 2 x + Po dosazení do rovnice dostaneme 2 x x + + Výsledná rovnice má tvar 2 2 x, = +. 2 x x + + =. 2x x + 2 = Do nových proměnných u a v transformujte diferenciální rovnici + x y + y = 0, kde u = x y, v = x +. Ze zadání vyplývá, že budeme počítat derivace podle původních proměnných, tedy = y + y x + 2, = x + 6 x +.

8 Po dosazení do rovnice dostaneme + x y y + y Po pravě dostaneme tedy Rovnice má řešení tvaru x x + x + + x + x + = 0. x + = 0, x + = 0. zu, v = gv zx, y = g y. x + 9. Do nových proměnných u a v transformujte diferenciální rovnici x + = 0, kde x = eu+v, y = 2 u. Ukážeme si způsob výpočtu, který v těchto úlohách používáme při takto zadané transformaci, která je nejčastější. Používáme ji v případě, že používáme standardních transformacích a při výpočtu derivací vyšších řádů. Ukážeme si princip metody na tomto příkladě podrobněji. Počítejme derivace zatím obecně = +, = +. Oba vztahy jsou lineární transformací a liší se jenom hodnotou proměnné x a y. Při tomto zadání ale neznáme derivace nových proměnných u, v podle původních proměnných x, y. Ty jsou ale stále stejné pro všechny funkce zx, y. Zvolíme-li vhodně tyto funkce, dostaneme soustavu rovnic, ze které můžeme hledané derivace spočítat. Ty pak používáme při dalších výpočtech a výpočtech vyšších derivací. Šikovné je volit funkce z x, y = x a z 2 x, y = y. Pro ně dostaneme z soustavy rovnic u+v = e + eu+v, 0 = , 62 u+v 0 = e + eu+v, =

9 Z těchto soustav vypočteme neznámé derivace a dostaneme = 0, = e u v ; = 2, = 2. Po dosazení do vztahů dostaneme pro parciální derivace vzorce =. 0 + e u v, = Po dosazení dostaneme diferenciální rovnici v nových proměnných ve tvaru u+v e e u v = 0 = 0. Všimněme si dalších podstatných skutečností: a koeficienty ve vzorcích pro derivace jsou v nových proměnných; b matice soustav pro výpočet derivací jsou stejné, mění se jenom pravé strany; c podmínkou řešitelnosti soustavy je, že determinat soustavy musí být různý od nuly. Tato podmínka ale musí být pro transformaci souřadnic splněna; d derivováním vzorců pro derivace proměnných získáme jejich derivace vyšších řádů a přitom používáme jen pravidla derivování. rovnici 0. Do nových proměnných u a v transformujte diferenciální = x y2 =, kde x = tgu, y = tgu + v. Derivováním transformace podle proměnných x, y dostaneme vztahy cos 2 u + 0. cos 2 u + v cos 2 u + 0. cos 2 u + v + cos 2 u + v + cos 2 u + v =, = 0, = 0, =, 63

10 Odtud snadno dostaneme derivace funkcí u a v = cos2 u, = 0, = cos2 u, = cos2 u + v. Po dosazení do rovnice dostaneme její tvar v nových proměnných + tg 2 u Jestliže použijeme vzorce cos 2 x = dostaneme rovnici ve tvaru cos 2 u + + tg 2 u + v cos2 u + v =. cos 2 x sin 2 x + cos 2 x = + tg 2 x + = =. Odtud můžeme získat řešení rovnice ve tvaru zu, v = du = u + F v zx, y = arctg x + F arctg y arctg x, jestliže z transformace vypočteme u = arctg x, u + v = arctg y. Transformace do polárních souřadnic Polární souřadnice ρ, ϕ jsou v rovině zavedeny transformačními rovnicemi x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, kde ρ 0,, ϕ α, α + 2π. Při převodu diferenciálních rovnic do polárních souřadnic se nám vyplatí si spočítat transformační vztahy pro derivace, které opakovaně používáme. Derivováním transformačních rovnic dostaneme soustavy rovnic cos ϕ ρ sin ϕ =, sin ϕ + ρ cos ϕ = 0, cos ϕ sin ϕ ρ sin ϕ = 0, + ρ cos ϕ =. 64

11 Determinant soustav je = ρ cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = ρ 0. Soustavy mají jediné řešení a třeba pomocí Cramerova pravidla dostaneme vzorce pro transformaci derivací ve tvaru = cos ϕ, = sin ϕ, ρ = sin ϕ,. Vypočtěte parciální derivace. řádu pro funkci F x, y = fρ, ϕ, kde ρ, ϕ jsou polární souřadnice. Podle vzorce pro derivaci složené funkce dostaneme = +, = Po dosazení derivací ze vzorců dostaneme = cos ϕ + sin ϕ, ρ + = = cos ϕ ρ.. sin ϕ + 2. Pro funkci F x, y = fρ, ϕ transformujte rovnici x + y = 0. cos ϕ ρ. K přepisu rovnice použijeme vztahů pro derivace složené funkce a dostaneme rovnici ve tvaru sin ϕ cos ϕ ρ cos ϕ cos ϕ + + ρ sin ϕ sin ϕ + = 0 ρ ρ Po úpravě dostaneme ρ = 0. Tato rovnice má obecné řešení ve tvaru fρ, ϕ = gϕ. 3. Pro funkci F x, y = fρ, ϕ transformujte rovnici y x = 0. 65

12 K přepisu rovnice použijeme vztahů pro derivace složené funkce a dostaneme rovnici ve tvaru sin ϕ cos ϕ ρ sin ϕ cos ϕ + ρ cos ϕ sin ϕ + = 0 ρ ρ Po úpravě dostaneme = 0. Tato rovnice má obecné řešení ve tvaru F x, y = fρ, ϕ = gρ = g x 2 + y Pro funkci F x, y = fρ, ϕ transformujte rovnici x + y + y x =. K přepisu rovnice použijeme vztahů pro derivace složené funkce a dostaneme rovnici ve tvaru sin ϕ ρ cos ϕ + sin ϕ cos ϕ + + ρ cos ϕ ρsin ϕ cos ϕ sin ϕ + =. ρ Po úpravě a s využitím vztahu cos 2 α + sin 2 α = dostaneme rovnici ve tvaru ρ =. 5. Pro funkci F x, y = fρ, ϕ transformujte rovnici =. K přepisu rovnice použijeme vztahů pro derivace složené funkce a dostaneme rovnici ve tvaru 2 sin ϕ 2 cos ϕ cos ϕ + + sin ϕ + =. ρ ρ Po úpravě a s využitím vztahu cos 2 α + sin 2 α = dostaneme rovnici ve tvaru =. ρ 2 66

13 Derivace 2. řádu Transformujte diferenciální rovnici do nových souřadnic u a v u a v 6. Transformujte diferenciální rovnici do nových souřadnic 4xy 2 z 2y = 0, kde x = uv, y = u v. Budeme postupovat jako při výpočtu derivací. řádu. Nejdříve vypočteme derivace nových souřadnic podle původních. Dostaneme = v + u, 0 = v + u v 2, 0 = v + u, = v + u v 2, Determinant matice sousrav je roven = 2u a pomocí Cramerova pravidla snadno v vypočteme = 2v, = 2u, Odtud dostaneme pro derivace prvního řádu = v 2, = v2 2u. = 2v + 2u, = v 2 + v 2 2u. Derivace 2. řádu vypočteme derivováním vztahů. Výraz je součtem a každý sčítanec je součinem. První činitel derivujeme jako funkci složenou shodně jako v a druhý jako konkrétní funkci. Příslušné derivace máme spočítány ve vzorcích. Je tedy = = 2 v z = 2v + v 2 2u 2v + + 2v v 2 2 2v 2 2u + z = 2 z z 2 v 2 4u + 2u + v z v 2 2 2u 2u + 4u + v 4u 2. Při dosazení do rovnice použijeme vztahů 4xy = 4u 2 a dostaneme = 2u v 2u 2 2 = u 2 2 z 2 v2 2 z 2 + u v u + v = 0 u2 2 z 2 v2 2 z 2 = 0. 67

14 7. Transformujte diferenciální rovnici do nových souřadnic s a t x 2 2 z + = 0, kde x = sin s, y = t. Budeme postupovat jako při výpočtu derivací. řádu. Nejdříve vypočteme derivace nových souřadnic podle původních. Dostaneme = s t + 0. cos s, 0 = 0. s + t, 0 = cos s s = 0. s + t, + 0. t, Soustavy jsou rovnice pro neznámé derivace a z nich dostaneme s = cos s, t = 0, Odtud dostaneme pro derivace prvního řádu = s cos s, s = 0, = t. t =. Derivace 2. řádu vypočteme derivováním vztahů. Výraz je součinem, kde první činitel derivujeme jako funkci složenou shodně jako v a druhý jako konkrétní funkci. Příslušné derivace máme spočítány ve vzorcích. Je tedy = 2 z t s cos s. Při dosazení do rovnice použijeme vztahů x 2 = sin 2 s = cos s a dostaneme u a v sin 2 2 z s t cos s + t = 0 2 z s t + t = 0 8. Transformujte diferenciální rovnici do nových souřadnic + 2y = 0, kde x = u, y = u v. 2 x Budeme postupovat jako při výpočtu derivací. řádu. Nejdříve vypočteme derivace nových souřadnic podle původních. Dostaneme = + 0., 0 = v + u, 68 0 = + 0., = v + u,

15 Determinant matice sousrav je roven = u a pomocí Cramerova pravidla snadno vypočteme =, = v u, Odtud dostaneme pro derivace prvního řádu = + v u, = 0, = = u. Derivace 2. řádu vypočteme derivováním vztahů. Výrazy jsou obecně součtem a každý sčítanec je součinem. První činitel derivujeme jako funkci složenou shodně jako v a druhý jako konkrétní funkci. Příslušné derivace máme spočítány ve vzorcích. Je tedy 2 z = 2 2 z + 2 z 2 u = 2 z + = 2 z + 2 z 2 u 2 z + 2 z 2v u 2 u 2 z v 2 u v u + v 2 2 u + 2 v u + 2v u 2. v. u u v. 0 u 2 u v u = = 2 z u + 2 z v 2 u + 2 u. 2 Při dosazení do rovnice použijeme vztahů 2y x = 2v a dostaneme + 2 z 2 2v u + 2v u + 2 z 2 v2 u 2v2 2 u 2 + u 2 v = 2v u 2v = 0 2 u 2 v2 2 u 2 = Transformujte diferenciální rovnici do nových souřadnic u a v + y x = 0, kde x = v2, y = u e v. Budeme postupovat jako při výpočtu derivací. řádu. Nejdříve vypočteme derivace nových souřadnic podle původních. Dostaneme = v, 0 = e v + u ev, 69 0 = 0. = e v + 2v, + u ev,

16 Determinant matice soustav je roven = 2v e v a pomocí Cramerova pravidla snadno vypočteme = u 2v, = 2v, Odtud dostaneme pro derivace prvního řádu = u 2v + 2v, = e v, = 0. = e v. Derivace 2. řádu vypočteme derivováním vztahů. Výraz je součinem, kde první činitel derivujeme jako funkci složenou shodně jako v a druhý jako konkrétní funkci. Příslušné derivace máme spočítány ve vzorcích. Je tedy = 2 z 2 2 e 2v. Při dosazení do rovnice použijeme vztahů 2 x = 2v a dostaneme 2 e 2v + u e v e v + 2 v u a v u 2v = 0 2 z 2v 2 e 2v + = Transformujte diferenciální rovnici do nových souřadnic 4 2 z + 2x = 0, kde x = v, y = 2 u + v2. Budeme postupovat jako při výpočtu derivací. řádu. Nejdříve vypočteme derivace nových souřadnic podle původních. Dostaneme = 0. +., 0 = v, 0 = 0. +., = v, Determinant matice soustav je roven = 2 a pomocí Cramerova pravidla snadno vypočteme = v, =, Odtud dostaneme pro derivace prvního řádu = v +, 70 = 2, = = 0. 2.

17 Derivace 2. řádu vypočteme derivováním vztahů. Výraz je součinem, kde první činitel derivujeme jako funkci složenou shodně jako v a druhý jako konkrétní funkci. Příslušné derivace máme spočítány ve vzorcích. Je tedy = 2 z Při dosazení do rovnice použijeme vztahů x = v a dostaneme v v + = 0 2 z = 0. Neřešené příklady.. Úloha: Pro F x, y = fρ, ϕ, x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, vyjádřete a x + y b x y [a c b c d F = 2 F ρ 2 d 2 f F f + ] ρ 2 2 ρ 2. Úloha: Vypočtěte první a druhé parciální derivace funkce F x, y = fu, v, u = x 2 + y, v = x y. [ = 2x +, =, 2 [ 2 F = 2x 2 f + 2x 2 f 2 f, 2 F Úloha: Vypočtěte první a druhé parciální derivace funkce F x, y = fu, v, u = x + 2 y, v = x 2 y. [ = +, = [ 2 F = 2 f y 2 f y, 2 F y = 4x 2 2 f 2 + 4x 2 f + 2 f 2 y, 2 F ] = 2 f f + 2 f 2 ] = 2 f f + 2 f = 2 f f + 2 f 2 y Úloha: Pro funkci F x, y = ft, t = x 2 + y 2 transformujte rovnice a y x = 0 2 ] 2y y, ] b x + y = 0 [a 0 = 0, b tf t = 0] 5. Úloha: Pro funkci F x, y, z = ft, t = x 2 + y 2 + z 2 transformujte rovnici F = + 2 F + 2 F = Úloha: Pro funkci F x, y = ft, t = x 2 y 2 transformujte rovnice a y + x = 0 b F = 2 F F 2 = 0 [ F = f t + f t 2 t ] [a 0 = 0, b f t = 0] 7

18 7. Úloha: Pro funkci F x, y = ft, t = x 2 + y 2 transformujte rovnice a y x = 0 b F = 2 F F 2 = 0 [a 0 = 0, b 4tf t + 4f t = 0] 72

VI. Derivace složené funkce.

VI. Derivace složené funkce. VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

Derivace funkcí více proměnných

Derivace funkcí více proměnných Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,

Více

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt

Více

5. cvičení z Matematiky 2

5. cvičení z Matematiky 2 5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými

Více

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní

Více

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

1 Polynomiální interpolace

1 Polynomiální interpolace Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více

Změna koeficientů PDR při změně proměnných

Změna koeficientů PDR při změně proměnných Změna koeficientů PR při změně proměnných Oldřich Vlach oto pojednání doplňuje přednášku M. Šofera na téma Nalezení složek tenzoru napjatosti pro případ rovinné úlohy s povrchem zatíženým kontaktním tlakem

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

y = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).

y = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1). III Diferenciál funkce a tečná rovina Úloha 1: Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) f(x, y) = 3x 3 x y + 5xy 6x + 5y + 10, a = (1, 1) Řešení Definičním oborem funkce

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2, 4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných

Více

14. přednáška. Přímka

14. přednáška. Přímka 14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Tečny a tečné roviny 1 / 16 Matematika 1 pro PEF PaE 7. Tečny a tečné roviny Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Tečny a tečné roviny Tečny a normály grafů funkcí jedné proměnné / 16 Tečny a normály

Více

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta Věta 26. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál (je diferencovatelná v x 0 ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1

Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1 ODR - okrajová úloha Teorie (velmi stručný výběr z přednášek) Okrajová úloha 2. řádu Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

Implicitní funkce. 2 + arcsin(x + y2 ) = arccos(y + x 2 ), [0, 0] , 5] stacionární bod?

Implicitní funkce. 2 + arcsin(x + y2 ) = arccos(y + x 2 ), [0, 0] , 5] stacionární bod? Implicitní funkce V následujících úlohách ukažte, že uvedená rovnice určuje v jistém okolí daného bodu [ 0, y 0 ] implicitně zadanou funkci proměnné. Spočtěte první a druhou derivaci této funkce v bodě

Více

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) 2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h

Více

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme

Více

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné:   s1a64/cd/index.htm. KMA/MAT1 Přednáška a cvičení č. 11 30. listopadu 2017 [KS] Jaromír Kuben Petra Šarmanová: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: http://homel.vsb.cz/ s1a64/cd/inde.htm. 1

Více

M - Kvadratické rovnice

M - Kvadratické rovnice M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce

Více

l, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky

l, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky Kinematické řešení čtyřkloubového mechanismu Dáno: Cíl: l, l, l 3, l, ω 1 konst Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj analyticky určete úhlovou rychlost ω 1 a úhlové zrychlení

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce. KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27, Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více

I. 4. l Hospitalovo pravidlo

I. 4. l Hospitalovo pravidlo I. 4. l Hospitalovo pravidlo 235 I. 4. l Hospitalovo pravidlo Věta (l Hospitalovo pravidlo). Buď 0 R. Nechť je splněna jedna z podmínek 0 f() 0 g() 0, 0 g() +. Eistuje-li (vlastní nebo nevlastní) 0 0 f

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ). III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření

Více

Co jsme udělali: Au = f, u D(A)

Co jsme udělali: Au = f, u D(A) Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................

Více

Diferenciální rovnice 3

Diferenciální rovnice 3 Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty

Více

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou 1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Derivace funkce Otázky

Derivace funkce Otázky funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.

Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat. .. Integrace metodou per partes.. Integrace metodou per partes Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme poznali, že integrování součtu funkcí lze provést jednoduše, známe-li integrály jednotlivých

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

Kapitola 7: Integrál.

Kapitola 7: Integrál. Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci

Více

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R.

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R. Řešené příklady k extrémům funkcí více proměnných 8 Určete všechny lokální extrémy funkce fx y x + arctg x + y + y x y R Řešení Funkci f si vyjádříme jako součet f + f kde f x x + arctg x x R f y y + y

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16 Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.

Více

21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic

21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic 21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2014/15 21.1 Základní termíny Definice Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {0}, j

Více

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s. 3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0. Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice

M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.

Více

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y = Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Požadavky ke zkoušce

Požadavky ke zkoušce Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 2 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a

Více