Základy matematiky pro FEK

Transkript

1 Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/ / 14

2 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru f : y = a x + b jsme schopni podle směrnice a rozpoznat, zda funkce je klesající nebo rostoucí. U lineárních funkcí je rychlost růstu nebo poklesu pro všechna x shodná a je vyjádřena právě číslem a. Hodnota čísla a nám pak vyjadřuje, o kolik vzroste f, pokud x vzroste o x. Matematicky můžeme tuto závislost zapsat jako f = a x. U nelineárních funkcí může být rychlost růstu nebo poklesu v různých bodech různá, proto číslo vyjadřující tento růst nebo pokles musí být vždy vztaženo ke konkrétnímu bodu x 0, ze kterého vycházíme. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/ / 14

3 Diferenční podíl a derivace a jejich geometrická interpretace Definice: Diferenční podíl Diferenční podíl funkce f v bodě x 0 je poměr přírůstků (diferencí) f funkce f a přírůstku (diference) x argumentu x. f x = f (x 0 + x) f (x 0 ) x x 0 Diferenční podíl udává směrnici sečny P 0 P, kde bod P 0 = [x 0, f (x 0 )] a bod P = [x, f (x)]. Kladné hodnoty diferenčního podílu odpovídají rostoucí funkci. Záporné hodnoty diferenčního podílu odpovídají klesající funkci. U lineárních funkcí je diferenční podíl pro všechny body x 0 a pro všechny diference x stejný a odpovídá parametru a z funkčního předpisu f (x) = a x + b. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/ / 14

4 Ilustrace diferenčního podílu f / x f(x 0 + x) f f(x 0 ) x x 0 x 0 + x Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/ / 14

5 Derivace funkce f v bodě x 0 Definice derivace funkce v bodě x 0 Existuje-li vlastní limita f lim x 0 x = lim f (x 0 + x) f (x 0 ) f (x) f (x 0 ) = lim x 0 x x x0 x x 0 říkáme, že funkce f má v bodě x 0 derivaci. Tuto limitu označujeme f (x 0 ) nebo d f d x (x 0) nebo d f d x x0 nebo f x (x 0) nebo f x0 nebo f (x 0 ). x Derivaci funkce v bodě získáme limitním přechodem diferenčního podílu pro x 0. Při definici derivace již nepotřebujeme znát velikost diference x, protože uvažujeme diferenci limitně bĺızkou nule. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/ / 14

6 Derivace funkce f v bodě x 0 udává směrnici tečny křivky dané rovnicí y = f (x) v bodě P 0 = [x 0, f (x 0 )]. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/ / 14 Ilustrace derivace funkce f (x) 4 f(x) f (x)

7 Derivace funkce na intervalu Stejně jako u spojitosti rozšíříme pojem derivace v bodě x 0 na uzavřený interval. Pak mluvíme o funkci, která má derivace ve všech bodech intervalu nebo zkráceně o diferencovatelné funkci. Definice: derivace funkce na intervalu - diferencovatelná funkce Funkce f je diferencovatelná na uzavřeném intervalu a; b právě tehdy, když má derivaci v každém vnitřním bodě intervalu a v krajních bodech má derivaci zleva resp. zprava. Funkce, jejíž funkční hodnota v každém bodě x (a, b) je f (x) se nazývá derivace funkce f na intervalu (a, b). Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/ / 14

8 Vztah diferencovatelnosti a spojitosti Věta o vztahu diferencovatelnosti a spojitosti Jestliže funkce f má derivaci v x 0, pak je funkce v bodě x 0 spojitá. Obrácená implikace neplatí. Funkce spojitá v bodě x 0 funkce má v bodě x 0 vlastní derivaci. Například funkce f (x) = x je spojitá v bodě x 0 = 0, ale nemá v tomto bodě derivaci. Existence derivace v bodě x 0 je silnější vlastnost než spojitost. Spojité funkce, které nemají v bodě x 0 derivaci, mají v tomto bodě hrot, ve kterém nelze nakreslit tečnu. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/ / 14

9 Ilustrace funkcí, které mají/nemají v bodě x 0 derivaci Funkce, které mají v bodě x 0 derivaci x x x0 Funkce, které nemají v bodě x 0 derivaci x x x0 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/ / 14

10 Derivace vyšších řádů Stejným postupem jako první derivaci zavedeme derivace vyšších řádů. Pokud první derivace odpovídá přírůstku (diferenci) funkce, pak druhá derivace popisuje přírůstek přírůstku a tak dále. Definice derivace druhého řádu Existuje-li vlastní limita f (x) f (x 0 ) lim = f (x 0 ) x x 0 x x 0 říkáme, že funkce f má v bodě x 0 druhou derivaci. Tuto limitu označujeme f (x 0 ) nebo d 2 f d x 2 (x 0 ) nebo 2 f (x x 2 0 ) nebo 2 f x 2 x0 nebo f (x 0 ). d 2 f d x 2 x0 nebo Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/ / 14

11 Přehled derivací elementárních funkcí I. (x n ) = nx n 1 pro n N (x n ) = nx n 1 pro n N, x 0 (x a ) = ax a 1 pro a R, x > 0 (a x ) = a x ln a pro a > 0 speciálně (e x ) = e x (log a x) = 1 x ln a pro x > 0, a > 0, a 1 speciálně (ln x) = 1 x Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/ / 14

12 Přehled derivací elementárních funkcí II. (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tgx) = 1 cos 2 x (cotgx) = 1 sin 2 x pro x (2k + 1) π 2 ; k Z pro x kπ; k Z (arcsin x) = 1 1 x 2 pro x < 1 (arccos x) = 1 1 x 2 pro x < 1 (arctgx) = 1 1+x 2 (arccotgx) = 1 1+x 2 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/ / 14

13 Pravidla pro derivování Věta: základní pravidla pro derivování Necht u, v, f, g, u 1, u 2,... jsou diferencovatelné funkce proměnné x. Pak platí (1) (konst) = 0 (2) (u 1 + u ) = u 1 + u (3) (u v) = u v + u v (4) ( u v ) = u v uv v 2 pro v(x) 0 (5) (f (g(x))) = f (g(x))g (x) (derivace složené fce) Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/ / 14

14 Pravidla pro derivování II Věta: pravidla pro derivování Necht u, v, f, g, u 1, u 2,... jsou diferencovatelné funkce proměnné x. Pak platí (6) (ln f (x)) = f (x) f (x) pro f (x) > 0 (7) (f g ) = ( e g ln(f )) = f g (g ln (f ) + g 1f ) f pro f (x) > 0 (8) jestliže x = g(y) je inverzní funkce k funkci y = f (x) a existuje-li v bodě c derivace f (c) 0, pak v bodě d = f (c) existuje g (d) a platí g (d) = 1 f (c) Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/ / 14