Pevnostní výpočet čelního soukolí s přímými evolventními symetrickými zuby pomocí MKP

Transkript

1 Pevnostní výpočet čelního soukolí s přímými evolventními symetrickými zuby pomocí MKP vypracoval: Martin Kopecký vedoucí práce: Ing. Martin Vrbka, Ph.D. Obor Aplikovaná mechanika Specializace Počítačová podpora konstruování 005 3

2

3 3

4

5 Čestné prohlášení strana 5 ČESTNÉ PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že tato diplomová práce byla vypracována jako původní autorská práce pod vedením vedoucího diplomové práce Ing. Martina Vrbky, Ph.D. a za použití uvedené literatury. V Brně, dne podpis 5

6

7 Poděkování strana 7 PODĚKOVÁNÍ Děkuji vedoucímu diplomové práce Ing. Martinu Vrbkovi, Ph.D. za poskytnutí zajímavého tématu diplomové práce a za cenné rady a připomínky při její tvorbě. Děkuji také všem ostatním, kteří mi při práci na diplomovém projektu i v celém studiu pomohli. 7

8

9 Anotace strana 9 ANOTACE Předmětem této diplomové práce je pevnostní výpočet čelního soukolí s přímými evolventními symetrickými zuby z hlediska únosnosti boků zubů v dotyku a únosnosti zubů v ohybu. Důraz je kladen na deformačně napěťovou analýzu zadaného čelního soukolí pomocí metody konečných prvků (MKP) v CAE systému ANSYS a celkové zvládnutí kontaktních úloh v tomto programu. Pevnostní výpočet bude proveden také dle platné normy ČSN. Výsledky z analytického řešení dle normy a numerického řešení pomocí MKP budou analyzovány a vzájemně srovnány. Jedním z důležitých cílů diplomové práce je co největší přiblížení výsledků výpočtů dle těchto dvou postupů. ANOTATION The subject of this diploma project is strain-stress analysis of spur gearing with direct involute symmetrical teeth focused on contact stress of the side of tooth and flexural stress of the tooth. The emphasis is laid on the strain-stress analysis of the teeth of assigned spur gearing through the finite element method (FEM) in CAE system ANSYS and complete mastering of contact problem in this computer program. Stress analysis will be done also according to the valid CSN standard. The results from the analytical solution according to CSN standard and from the FEM solution will be analyzed and compared. One of the most important goals of this diploma project is to come with the results from FEM solution near to the analytical solution as it is possible. 9

10

11 Obsah strana 11 OBSAH POUŽITÉ SYMBOLY A OZNAČENÍ ÚVOD PROBLEMATIKA PEVNOSTNÍCH VÝPOČTŮ ČELNÍCH OZUBENÝCH SOUKOLÍ Základní pojmy z oblasti čelních soukolí a jejich zařazení Ozubené převody Čelní ozubená kola s přímými zuby Podmínky záběru čelních ozubení Silové poměry v čelním ozubení Konstrukce čelních ozubených kol Pevnostní výpočet čelních ozubených soukolí Výpočet napětí v dotyku..... Výpočet napětí v ohybu Pevnostní výpočty dle normy METODA KONEČNÝCH PRVKŮ A JEJÍ VYUŽITÍ PŘI PEVNOSTNÍCH VÝPOČTECH ČELNÍCH SOUKOLÍ Využití metody konečných prvků při pevnostních výpočtech čelních soukolí Základní principy metody konečných prvků Výpočtový systém Lineární řešení Nelineární řešení Kontaktní úlohy FORMULACE PROBLÉMU A CÍLE DIPLOMOVÉ PRÁCE Formulace problému Parametry zadaného čelního soukolí PEVNOSTNÍ VÝPOČET ZADANÉHO SOUKOLÍ DLE NORMY ČSN Geometrie zadaného čelního soukolí Pevnostní výpočet dle normy ČSN , část Výpočet napětí v dotyku Výpočet napětí v ohybu ŘEŠENÍ HERTZOVA KONTAKTU Kontaktní úlohy Řešené varianty Analytický výpočet Numerický výpočet Tvorba geometrie a konečnoprvkové sítě Definice okrajových podmínek (vazby a zatížení) Prezentace výsledků a jejich srovnání s analytickým výpočtem

12 strana 1 Obsah 7 VÝPOČTOVÉ MODELOVÁNÍ Vytvoření modelů geometrie Import geometrie profilu zubů Tvorba modelů geometrie Model materiálu prvků Vytvoření konečnoprvkové sítě Tvorba konečnoprvkové sítě u variant D VB, D ZZ a D KZ Tvorba konečnoprvkové sítě a 3D modelu varianty 3D VB Okrajové podmínky Stanovení vazeb řešených variant Vnější vazby Vnitřní vazby Stanovení zatížení Zatížení variant D VB, D ZZ, D KZ Zatížení varianty 3D VB Volba a nastavení řešiče PREZENTACE A ANALÝZA VÝSLEDKŮ ŘEŠENÍ Varianta D VB Prezentace výsledků Analýza výsledků Citlivostní analýza koeficient tření Varianta D ZZ Prezentace výsledků Analýza výsledků Varianta D KZ Prezentace výsledků Analýza výsledků Varianta 3D VB Prezentace výsledků Analýza výsledků ZÁVĚR...80 LITERATURA...8

13 Použité symboly a označení strana 13 symbol jednotka popis POUŽITÉ SYMBOLY A OZNAČENÍ E, E red [MPa] modul pružnosti materiálu, redukovaný modul pružnosti mat. F [N] přítlačná síla (Hertzova úlohy), zátěžná síla (model soukolí) F n [N] normálná síla F t [N] obvodová síla působící v čelním řezu na roztečné kružnici F r, F bt [N] radiální síla, radiální síla přeložená do středu kola K A [-] součinitel vnějších dynamických sil K F [-] součinitel přídavných zatížení (pro výpočet na ohyb) K Fv [-] součinitel vnitřních dynamických sil (pro výpočet na ohyb) K Fα [-] součinitel podílu zatížení jednotlivých zubů (pro výpočet na ohyb) K Fβ [-] součinitel nerovnom. zatížení zubů po šířce (pro výpočet na ohyb) K H [-] součinitel přídavných zatížení (pro výpočet na dotyk) K Hv [-] součinitel vnitřních dynamických sil (pro výpočet na dotyk) K Hα [-] součinitel podílu zatížení jednotlivých zubů (pro výpočet na dotyk) K Hβ [-] součinitel nerovnom. zatížení zubů po šířce (pro výpočet na dotyk) M k [Nm] kroutící moment P [kw] výkon P [J] potenciál vnějšího zatížení R, R e [mm] poloměr koulí či válců, ekvival. poloměr u řešených Hertzových úloh T [Nm] kroutící moment UX, UY, [mm] Posuv v ose x, y, z v ANSYSu UZ W [J] energie napjatosti Y Fa [-] součinitel tvaru zubu při působení síly na hlavě zubu Y FS [-] součinitel tvaru zubu a koncentrace napětí Y Sa [-] součinitel koncentrace napětí Y Sarel [-] součinitel přídavného vrubu v patě zubu Y β [-] součinitel sklonu zubu Y ε [-] součinitel vlivu na záběru profilu (pro výpočet na ohyb) Z B [-] součinitel jednopárového záběru pastorku Z D [-] součinitel jednopárového záběru kola Z E [Mpa 1/ ] součinitel mechanických vlastností materiálů (spoluzabírajících ozubených kol) Z H [-] součinitel tvaru spoluzabírajících zubů Z β [-] součinitel vlivu sklonu zubu Z ε [-] součinitel součtové délky dotykových křivek boků zubů a [mm] osová vzdálenost b [mm] společná šířka válců, šířka nosníku b W [mm] aktivní šířka ozubení d [mm] průměr roztečné kružnice 13

14 strana 14 Použité symboly a označení symbol jednotka popis d a, d b, d f [mm] průměr hlavové kružnice, základní kružnice, patní kružnice e [mm] zubová mezera h, h a, h f [mm] výška zubu, výška hlavy zubu, výška paty zubu k [mm] roztečná kružnice k a, k b, k f [mm] hlavová kružnice, základní kružnice, patní kružnice m [mm] modul ozubení n [min -1 ] otáčky p [mm] rozteč zubů p 0 [MPa] maximální kontaktní tlak (analytické řešení Hertzových úloh) p 0ANS [MPa] maximální kontaktní tlak (numerické řešení Hertzových úloh) p max [MPa] maximální kontaktní tlak (numerické řešení záběru soukolí) r [mm] poloměr kružnice, rameno síly s [mm] tloušťka zubu, nosníku u [-] převodové číslo w [N/mm] šířkové zatížení z [-] počet zubů Π [J] celková potenciální energie α [ ] úhel profilu zubu ε α [-] součinitel záběru profilu µ [-] Poissonovo číslo ρ 1, ρ, ρ e [mm -1 ] poloměry křivosti válců, ekvivalentní poloměr křivosti σ 1 (S1) [MPa] 1. hlavní napětí (značení v ANSYSu) σ 3 (S3) [MPa] 3. hlavní napětí (značení v ANSYSu) σ o, σ T [MPa] ohybové napětí, tlakové napětí σ F [MPa] ohybové napětí v nebezpečném průřezu paty zubu σ F ANS [MPa] hodnota ohybového napětí vypočteného dle ČSN pro srovnání s numerickým výpočtem σ 0 Flimb [MPa] mez únavy v ohybu odpovídající bázovému počtu zatěž. cyklů σ Flimb [MPa] mez únavy v ohybu materiálu σ F0 [MPa] ohybové napětí při ideálním zatížení přesných zubů (při K F = 1,0) σ H [MPa] napětí v dotyku (Hertzův tlak) ve valivém bodě σ H ANS [MPa] hodnota napětí v dotyku dle ČSN pro srovnání s numerickým výpočtem σ 0 Hlim [MPa] mez únavy v dotyku odpovídající bázovému počtu zatěž. cyklů σ Hlim [MPa] mez únavy v dotyku materiálu σ H0 [MPa] napětí v dotyku při ideálním zatížení přesných zubů (při K H = 1,0) σ red [MPa] redukované napětí dle podmínky HMH (značení v ANSYSu) (SEQV) σ z, σ zmax [MPa] stykové napětí, maximální stykové napětí Hertzova kontaktu τ [MPa] smykové napětí ω [-] Úhlová rychlost ψ bd [-] Šířkový součinitel Pozn.: Obecně platí, že u ozubení je index 1 použit pro pastorek a index pro kolo, H v indexu u výpočtů napětí v dotyku a F v indexu u výpočtů napětí v ohybu.

15 1 Úvod strana 15 1 ÚVOD 1 Nároky na ozubené převody se v současné době neustále zvyšují, zejména z hlediska výkonových parametrů a snižování hlučnosti a vibrací. Ve vývoji a konstrukci ozubených převodů se stále více uplatňují dosud nevyužívané poznatky, které spolu s novými výpočetními postupy a dokonalejší technologií výroby, vedou ke zlepšení výše uvedených hledisek. Rozvoj v oblasti navrhování, výpočtů a výroby čelních ozubených kol s evolventním profilem se odehrál v kontextu s rozvojem moderních technologií v posledních letech. Důvody, které vedly k tomuto rychlému rozvoji, lze spatřovat především v neustálém rozšiřování a zdokonalování výpočetní techniky a jejím široké uplatnění na všech pracovištích (programy pro optimalizaci návrhů geometrie ozubených kol a ke kontrole únosnosti), rozvoji a rozšiřování CNC obráběcích strojů, pokroku ve výrobě přesných nástrojů na výrobu ozubených kol s uplatněním nových technologií v kombinaci s moderními stroji (vyšší produktivita a výroba vysoce jakostních ozubených kol i nestandardních tvarů). V neposlední řadě byl významným impulsem k rozvoji produkce jakostních ozubených kol v ČR v devadesátých letech rozvoj styků s významnými odbornými pracovišti v zahraničí a rozšířená možnost nákupu výrobních strojů a nástrojů u špičkových výrobců. Jednou z důležitých součástí návrhu ozubeného soukolí jsou i výpočty únosnosti neboli výpočty pevnostní, kterými se tato diplomová práce zabývá. V současné době se můžeme setkat s několika způsoby posuzování únosnosti ozubených převodů. Cílem této diplomové práce je ukázat na zadaném čelním soukolí s přímými evolventními symetrickými zuby postup při deformačně napěťové analýze únosnosti zubů soukolí numerickým výpočtem pomocí metody konečných prvků (MKP). Použitým výpočtovým systémem je program ANSYS 8.1 ve verzi Multiphysics, úlohy jsou řešeny jako rovinné (D) i prostorové (3D). Snahou bylo zmapovat postup při tvorbě výpočtového modelu, poukázat na možné problémy, které se při takto náročné analýze mohou vyskytnout a nalézt jejich, alespoň částečné, řešení. Důležitou součástí práce je také analýza získaných výsledků, jejich vyhodnocení, prezentace a srovnání se standardním analytickým řešením pomocí platné normy ČSN. Diplomovou práci lze pomyslně rozdělit na několik celků. První část (kapitoly - 4) obsahuje úvod do problematiky ozubených soukolí, jejich pevnostních výpočtů a využití metody konečných prvků při jejich návrhu a formulace problému a cíle diplomové práce. V druhé části (kapitoly 4-7) můžeme nalézt kromě pevnostního výpočtu zadaného soukolí dle normy ČSN a vlastní deformačně napěťové analýzy stejného soukolí také praktický úvod do problematiky kontaktních úloh v systému ANSYS v podobě několika jednoduchých úloh s Hertzovým kontaktem. Třetí částí práce (kapitola 8) je prezentace a analýza provedených výpočtů, jejich srovnání a vyhodnocení. 15

16 strana 16 Problematika pevnostních výpočtů čelních ozubených soukolí PROBLEMATIKA PEVNOSTNÍCH VÝPOČTŮ ČELNÍCH OZUBENÝCH SOUKOLÍ Základní pojmy z oblasti čelních soukolí a jejich zařazení.1.1 Ozubené převody Ozubenými převody se převádí otáčivý pohyb a mechanická energie z jednoho hřídele na druhý. Jejich zařazení mezi převody je zobrazeno na obr..1. Používají se pro převody, u kterých se jedná o stálý nebo stupňovitě měnitelný převodový poměr a tam, kde se jedná o malé vzdálenosti os. Převod ozubenými může být jednoduchý nebo složený. Jednoduchý převod sestává z jednoho páru kol, zpravidla z kol malého a velkého průměru, přičemž se menší kolo nazývá pastorkem, větší kolem. U složeného převodu je v záběru více párů ozubených kol než jeden. Dvě spoluzabírající kola se také nazývají jednoduchým soukolím, je-li v záběru více párů kol, soukolím složeným. PŘEVODY PNEUMATICKÉ HYDRAULICKÉ MECHANICKÉ ELEKTRICKÉ MAGNETICKÉ KOMBINOVANÉ TVAROVÁ (BEZ SKLUZU) VAZBA TŘECÍ (SE SKLUZEM) PŘÍMÝ OHEBNÝM ČLENEM PŘENOS PŘÍMÝ OHEBNÝM ČLENEM IMPULSNÍ OZUBENÝ ZÁVITOVÝ ŘEMENOVÝ ŘETĚZOVÝ TŘECÍ KOLA ŘEMENOVÝ LANOVÝ Obr..1 Rozdělení převodů Ozubená kola se rozdělují zpravidla podle dvou hledisek, jednak podle vzájemné polohy os obou kol a jednak podle tvaru boční křivky zubů, která je průsečnicí boční plochy zubu a roztečnou, valivou anebo jinou souosou plochou ozubeného kola stejného typu (např. s roztečným válcem čelního kola). Podle vzájemné polohy os rozeznáváme soukolí pro osy rovnoběžné, různoběžné a mimoběžné. Pro osy rovnoběžné se používá čelních soukolí s vnějším nebo vnitřním ozubením. Pro osy různoběžné se používá soukolí kuželových, jejichž úhel os bývá nejčastěji 90. Pro osy mimoběžné se používají šroubová soukolí, z nich nejčastěji válcová šroubová soukolí, dále pak soukolí šneková a hypoidní.

17 Problematika pevnostních výpočtů čelních ozubených soukolí strana 17 Podle boční křivky zubů mohou být čelní soukolí se zuby přímými, šikmými, šípovými, obloukovými apod., soukolí kuželová se zuby přímými, šikmými, šípovými a zakřivenými..1.1 Převody ozubenými koly mají splňovat tyto požadavky: při rovnoměrném otáčení hnacího kola se má i hnané kolo otáčet rovnoměrně, čili převodový poměr musí být během jedné otáčky konstantní na převodový poměr nesmí mít vliv tolerované výrobní úchylky od teoreticky přesné vzdálenosti os hřídelů ztráty třením a opotřebením zubů mají být co nejmenší Uvedené požadavky mají vliv na volbu profilu zubního boku. Dnes se používá převážně ozubení s evolventními boky zubů, výjimečně ve speciálních případech i cykloidními nebo kruhovými boky. Požadavku stálosti převodového poměru vyhovuje evolventa i cykloida, požadavku na necitlivost k úchylkám od teoretické vzdálenosti os vyhovuje evolventa. Výrobní nástroj je nejjednodušší pro zuby evolventní. Cykloidní zuby zase mají menší opotřebení a nižší ztráty třením. Rozdíly v účinnosti a trvanlivosti ozubení však nejsou velké a nedostatky evolventního ozubení se dají vhodnou korekcí zmírnit. Rozhodující je tedy jednoduchost výroby, takže použití evolventního ozubení převažuje. V této diplomové práci se tedy budu zabývat čelními soukolími s přímými evolventními zuby. V následujících odstavcích budou zopakovány základní pojmy z této oblasti..1. Čelní ozubená kola s přímými zuby.1. Základní vztažnou plochou čelního ozubeného kola je roztečný válec (obr..), který je u nekorigovaných kol totožný s válcem valivým. Vzájemný pohyb dvou ozubených kol se může nahradit bezskluzovým valením valivých válců po sobě. Ozubení je omezeno hlavovým a patním válcem. Část zubu mezi válcem roztečným a hlavovým se Obr.. Základní rozměry ozubeného kola nazývá hlavou zubu, část mezi válcem roztečným a patním patou zubu. 17

18 strana 18 Problematika pevnostních výpočtů čelních ozubených soukolí.1. Zubní mezera je omezena hlavovým a patním válcem a dvěma nestejnolehlými boky sousedních zubů. Vzhledem k tomu, že je ozubené kolo útvarem prostorovým a pro jeho vyšetřování je k dispozici pouze útvar rovinný (např. papír), provádí se veškerá vyšetřování v tzv. normálném řezu ozubeným kolem, to je v řezu kolmém na roztečnou boční křivku zubu. Tím se jeví u čelních kol s přímými zuby veškeré souosé válce jako souosé kružnice. Bude-li se tedy v dalším o kružnici roztečné, valivé, hlavové a patní, je třeba mít na mysli, že se ve skutečnosti jedná o válce. Základními rozměry ozubeného kola jsou rozteč p (obr..), to je vzdálenost dvou stejnolehlých boků sousedních zubů měřená na roztečné kružnici a průměr roztečné kružnice d. Vzájemný vztah mezi průměrem roztečné kružnice d ozubeného kola, mezi počtem zubů z a roztečí p vyplývá z porovnání obvodu roztečné kružnice, vyjádřeného jednou pomocí průměru d, podruhé pomocí rozteče p a počtu zubů z. Odtud p π. d = z. p resp. d = z π Poměr mezi roztečí p a π se nazývá modulem ozubení m (nebo také průměrovou roztečí). Hodnoty modulů ozubení jsou normalizovány. Základní rozměry (vše v mm) čelního nekorigovaného ozubení s přímými zuby tedy jsou: průměr roztečné kružnice: d = m.z rozteč: p = π.m teoretická tloušťka zubu a zubové mezery: p s = e = V závislosti na velikosti modulu m se určují i další rozměry běžného ozubení na základě geometrické podobnosti. výška zubu: výška hlavy zubu: výška paty zubu: h =, 5m h a = m h f = 1, 5m průměr hlavové kružnice: da = d + ha = mz + m = m( z + ) průměr patní kružnice: d = d h = mz. 1, 5m = m z, 5 f f ( ) Podmínky záběru čelních ozubení Aby bylo ozubení vytvořeno po obou stranách roztečné kružnice (obr..3) musí svírat tvořící přímka t ve valivém bodě C (bod na spojnici středů kol, který dělí vzdálenost os v převodovém poměru, resp. tečný dotykový bod roztečných kružnic obou kol) s tečnou k roztečné kružnici tzv. úhel záběru α na roztečné kružnici, který

19 Problematika pevnostních výpočtů čelních ozubených soukolí strana 19 bývá nejčastěji α = 0. Při odvalování tvořící přímky t po tzv. základní kružnici k b o poloměru r b vytváří bod C evolventu profilu zubu E průměr základní kružnice: d b mm = d. cos [ ] α Zubní bok kola 1 vnějšího ozubení (obr..4) je tvořen evolventou E 1, která vznikne valením tvořící přímky t po základní kružnici k b1 a kola evolventou E, která vznikne valením t po k b. Vzhledem k tomu, že evolventy E 1 a E končí na základních kružnicích k b1 a k b bude pod těmito kružnicemi tvořen zubní bok přechodovou křivkou, odpovídající přímo tvaru nástroje při výrobě principem dělícím, nebo Obr..3 Evolventní profil boku zubu přechodovou křivkou, odpovídající kinematice odvalování nástroje při principu výroby odvalováním. Tato přechodová křivka přechází zaoblením do patní kružnice. K záběru zubů bude docházet na tvořící přímce, to znamená, že tvořící přímka bude současně drahou záběru evolventního ozubení. Dráha záběru je tedy množinou bodů, ve kterých dochází k záběru. Poněvadž krajní možné body záběru jsou teoreticky na vrcholech zubů na hlavových kružnicích, bude dráha záběru omezena průsečíky hlavových kružnic s tvořící přímkou (body A a E, začátek a konec záběru). V obr..3 jsou také zakresleny tzv. oblouky záběru, to jsou dráhy kol na roztečných kružnicích od počátku do konce záběru jednoho páru zubů. Při tom bude oblouk záběru F 1 G 1, příslušný kolu 1, stejný jako oblouk záběru F G, příslušný kolu. Obr..4 Soukolí s vnějším ozubením Aby mohlo docházet k nepřerušovanému a klidnému záběru, musí být oblouk záběru větší než rozteč. Poměr mezi obloukem záběru a roztečí se nazývá součinitelem záběru profilu ε α. ε α [ ] = F1 CG1 F CG = p p Pro nekorigované čelní ozubení potom platí: 19

20 strana 0 Problematika pevnostních výpočtů čelních ozubených soukolí.1..1, kde: ε α [ ] = da 1 db 1 + da db πm. cos α a.sin α d a1,.. průměry hlavových kružnic pastorku a kola d b1,.. průměry základních kružnic pastorku a kola d 1 + d a =.. osová vzdálenost (pro přímé zuby) m modul ozubení α úhel záběru Součinitel záběru musí být tedy vždy větší než 1. Většinou bývá ε α > 1,, nejméně ε αmin = 1,1. Obě evolventy končí na základních kružnicích a záběr tedy nemůže pokračovat za body N 1 a N, ve kterých se tvořící přímka dotýká základních kružnic. Správný záběr je tedy omezen podmínkou, že se koncové body záběru smějí nejvýše shodovat s body N 1 a N (N 1 E, N A). Tam, kde tato podmínka není splněna, se musí ozubení upravit tzv. korekcí Silové poměry v čelním ozubení Ozubené soukolí vedle přenosu rotačního pohybu přenáší také výkon P. Proto při úhlových rychlostech kol ω 1, ω působí na kolech točivé kroutící momenty M k1 a M k (obr..5) Přitom by v ideálním ozubení bez tření bylo:, z toho, když P = M k 1ω1 = M kω ω1 M r u k = = = ω M k1 r1 M k1 = Ft r1 M k = Ft r, kde F t - síla na rozteč. průměru, která je často vstupní jmenovitou hodnotou při dimenzování Obr..5 Silové poměry ve valivém bodě ozubených kol. Při styku ve valivém bodě C nedochází k relativnímu skluzu profilu zubů a proto nevzniká ve styku třecí síla. Proto platí: Fbt F = t ;Fr = Ft tgα cos α F bt - radiální síla přeložená do středu kola a namáhající hřídel na ohyb a kroutící moment. Leží na přímce záběru. Proto je ve kterémkoliv stykovém bodě kolmá

21 Problematika pevnostních výpočtů čelních ozubených soukolí strana 1 na profily zubů. Vzhledem k tomu, že působí na konstantním rameni r b, je při stálém kroutícím momentu neproměnná v každém stykovém bodě celé dráhy záběru. Je-li záběrová úsečka AE a soukolí pracuje se součinitelem záběru ε α > 1, pak v náběhu pastorku na dráze AB budou v záběru páry zubů a stejně ve výběhu pastorku na dráze DE. Na těchto drahách budou v ideálním ozubení (přesném) stykové síly rozděleny rovnoměrně na oba páry zubů, tedy poloviční. Bod B je první stykový bod, kdy začne zabírat jen jeden zub pastorku se zubem kola, proto je nazýván vnitřním bodem osamělého záběru pastorku. Bod D je ve stejném smyslu posledním bodem záběru s názvem vnější bod osamělého záběru pastorku. Obdobná terminologie se používá pro kolo Konstrukce čelních ozubených kol Převodový poměr se volí pokud možno jako poměr dvou nesoudělných čísel, tím dosáhneme rovnoměrnějšího rozložení opotřebení všech zubů, což vede ke snížení vibrací a hlučnosti. Nejvyšší doporučitelná hodnota převodového poměru je závislá na druhu ozubení, na obvodové rychlosti, na způsobu pohonu, na uložení kol a na žádané tichosti chodu. Omezení velikostí převodových poměru vyplývá nejen z vlastností záběru při značných rozdílech velikostí spoluzabírajících kol, ale také z nárůstu rozměrů převodových soukolí vzhledem k nejmenšímu možnému počtu zubů na pastorku. Snahou konstruktéra při navrhování ozubených převodů je dosáhnout co nejmenších rozměrů konstrukce a z toho vyplývající nízké výrobní ceny. Zmenšováním počtu zubů by se dosáhlo snížení kroutících momentů a tím i rozměrů konstrukce, omezení však tvoří průměr hřídele pastorku a požadovaný nejmenší součinitel záběru. Vzhledem k tomu, že záběr ozubených kol je tím příznivější, čím delší je dráha záběru a tedy čím větší je počet zubů, volí se u motorického pohonu počet zubů pastorku raději větší, než nejmenší počty zubů dosažitelné korigováním. Na ozubená kola se používá mnoho kombinací materiálů. Většina se jich vyrábí z ocele a litiny, v posledních letech u některých zařízení tvrzených plastů. Jejich konstrukční provedení je závislé na velikosti kola, na počtu vyráběných kusů, na obvodové rychlosti apod Výše uvedené informace slouží pro zopakování základních pojmů v oblasti čelních soukolí a jako teoretický úvod pro problémy, kterými se zabývá tato diplomová práce. Podrobnější teoretické informace o geometrii a kinematice ozubení, jejich korekcích, nestandardních profilech apod. lze nalézt v literatuře 3 v kapitole Kinematika čelních a kuželových soukolí, v literatuře 1 nebo podobné odborné zaměřené literatuře.. Pevnostní výpočet čelních ozubených soukolí. Při běhu ozubeného soukolí pod zatížením vznikají v ozubení různé druhy namáhání, která mohou vést k poškození ozubení. Překročení mezní hodnoty únosnosti v ohybu při namáhání paty zubu vede k lomu zubu, překročení mezní hodnoty kontaktního napětí při namáhání boků zubů v dotyku vede k únavovému kontaktnímu porušení, tzv. dolíčkovitému opotřebení (pittingu obr..6). 1

22 strana Problematika pevnostních výpočtů čelních ozubených soukolí. Rozměry, materiál, přesnost ozubení, mazání atd. musí být navrženy tak, aby během požadovaného života nedošlo k žádné poruše. Výpočet únosnosti ozubeného kola vychází nejčastěji ze stanovení namáhání boků zubů a srovnávacích napětí v patě zubu. Výpočty tohoto typu jsou normalizovány. Ostatní typy poškození (opotřebení, zadírání) nemají únavový charakter a výpočet není běžně normalizován. Obr..6 Ukázka pittingu zubů V následujících odstavcích budou zmíněny základní postupy pro výpočet napětí v dotyku a ohybu dle užívaných norem, které vycházejí ze stejných principů (ČSN, DIN, ISO). Cílem popisu výpočtů bude především vysvětlení principů, na kterých jsou výpočty napětí založeny, s důrazem na objasnění postupů normy ČSN, která bude v této diplomové práci využita. Pro konkrétní aplikace je třeba plně využít normy nebo počítačových programů odvozených z norem, pro které se řešitel rozhodne Výpočet napětí v dotyku Výpočet napětí v dotyku (dle ČSN, DIN, ISO) vychází z výpočtu Hertzova tlaku, který byl původně vyjádřen pro shodné Poissonovo číslo µ = 0,3 vztahem F [ ] = n E.E MPa, + b E1 + E ρ1 ρ 1 σh Obr..7 Dotyk dvou válců [ MPa] [ N],E [ MPa] [ mm] dle schématu na obr..7, kde σ H... Hertzův tlak mezi dvěma válci F n. normálná síla E1... modul pružnosti materiálu válců ρ 1, ρ.. poloměry křivosti válců b [mm]. společná šířka válců Dle obr..8 je dotyk dvou válců transformován do podoby dotyku válce o poloměru ρ e s rovinou na základě podmínky, že vzdálenost válců y při odlehlosti od středu dotyku x je shodná. Pak lze poloměry křivosti dvou válců nahradit ekvivalentním poloměrem dle vztahu

23 Problematika pevnostních výpočtů čelních ozubených soukolí strana 3 1 ρ1 1 + ρ ρ + ρ = 1 1 = ρ1. ρ ρ e..1 Když oba válce budou ze stejného materiálu, nabude výše uvedený výraz tvaru σh [ MPa ] Fn 1 = 0175, E b ρe Poloměry křivosti ρ1, ρ se v bodě dotyku X (obr..9) během záběru ozubeného kola mění s tím, že jejich součet je konstantní. Na obr..10 je uveden příklad změny poloměru křivosti v jednotlivých bodech na záběrové úsečce. Jako 100% byl vzat Hertzův tlak ve valivém bodě C. Obr..8 Dotyk válce s rovinou Pro výpočet Hertzova tlaku u ozubených soukolí je tedy třeba stanovit, ve kterém bodě dotyku na záběrové úsečce se má napětí v dotyku počítat. Výpočtové napětí v dotyku (Hertzův tlak) v rozhodujícím bodě záběru vypočteme podle ČSN na základě vztahu, který je transformací uvedeného vztahu pro ozubená kola. Obr..9 Poloměry křivosti v bodě záběru σh [ MPa] = Z E.Z H.Z ε.zβ.z B,D. FtH.K H bwh.d1 u + 1. u Obr..10 Body záběru soukolí Srovnání těchto dvou vztahů vyplývá z tabulky.1. Z uvedeného srovnání je zřejmé, že výpočet Hertzových tlaků u ozubených kol zcela odpovídá původně odvozenému výrazu s tím, že definice jednotlivých činitelů ve vztahu dle ČSN je upravena podle specifických poměrů v záběru ozubených kol. Jednotlivé činitele jsou definovány v normách ČSN, DIN, ISO. Uvedený výraz je ve všech citovaných normách v podstatě shodný. 3

24 strana 4 Problematika pevnostních výpočtů čelních ozubených soukolí..1 Tab..1 Srovnání vztahů výraz dle Hertze upravený výraz dle ČSN zahrnutí vlivu materiálu [MPa] normálná zatěžovací síla [N] 0,175E F n Z E FtH.K H cos αt vliv poloměrů křivosti [1/mm] 1 ρ e šířka dotyku [1/mm] 1 u +1 ( ZH.Z B,D )... cos αt ( Zε.Zβ ) d1 u 1 b 1. b wh F th - Směrodatná obvodová síla v [N] pro výpočet napětí v dotyku, její hodnota závisí na použité normě a zvoleném způsobu jejího stanovení (např. ČSN způsoby A E). Nejběžnější vztah pro výpočet obvodové síly (zde pro pastorek): [ N] F th = 000T1 d1 K H - Součinitel přídavných zatížení pro výpočet napětí v dotyku, kde K H [ ] = K A.K Hv.K Hα. K Hβ K A.. Součinitel vnějších dynamických sil, zohledňuje dynamické provozní zatížení dle užití převodu. Pohybuje se v rozmezí hodnot od 1 do,5. Lze vyhledat pro určité hnací a hnané stroje (např. hnací stoje - elektromotory, spalovací motory, turbíny a hnané stroje čerpadla, lisy, obráběcí stroje apod.) K Hv. Součinitel vnitřních dynamických sil pro výpočet na dotyk, tímto jsou ve výpočtu zubů na dotyk respektovány přídavné dynamické síly, které vznikají v ozubení v důsledku jeho nepřesnosti, jeho proměnné tuhosti během záběru zubů apod. Počítá se v závislosti na parametrech soukolí dle dynamických modelů zpracovaných pro daný pohon nebo zjednodušených výpočtů dle příslušných norem. Závisí na součinitelích ε α a ε β, stupni přesnosti, obvodové rychlosti, převodu, šířkovém zatížení, součiniteli K A. K Hα Součinitel podílu zatížení jednotlivých zubů pro výpočet napětí v dotyku, respektuje vliv nerovnoměrnosti v rozdělení celkového zatížení na několik současně zabírajících párů zubů na Hertzův tlak. Je definován jako poměr největší síly působící při téměř nulových otáčkách v místě záběru uvažovaného soukolí a odpovídající největší síly v místě záběru soukolí ideálně přesného. Rozdělení celkového zatížení je závislé na geometrických parametrech, úchylkách ozubení a jeho záběhu, dále na modifikaci boků zubů, na záběrové tuhosti

25 Problematika pevnostních výpočtů čelních ozubených soukolí strana 5 ozubení, na směrodatné obvodové síle a na pásmu dotyku zatížených boků zubů. Při optimální modifikaci boků zubů (přizpůsobené působícímu zatížení), vysoké přesnosti ozubení, rovnoměrném zatížení se součinitel blíží jedné. K Hβ. Součinitel nerovnoměrnosti zatížení zubů po šířce pro výpočet napětí v dotyku, tímto součinitelem do výpočtu zahrneme okolnost, že měrné zatížení (tj. celkové působící zatížení vztažené na jednotku šířky zubu) není po celé aktivní ploše zubů rozloženo rovnoměrně. Přitom se uvažuje takové rozložení měrného zatížení, při kterém toto podél dotykových křivek směrem od jednoho čela zubu ke druhému buď trvale vzrůstá, nebo naopak trvale klesá. Součinitelem se tedy nerespektují jiné úchylky a nedostatky (konstrukční, výrobní atd.), které způsobují kolísání měrného zatížení po šířce zubu (jako např. vlnitost zubů). Dle ČSN je definován jako poměr největší (místní) síly působící na jednotku šířky zubu w max a průměrné síly působící na jednotku šířky zubu w m, tedy w K max Hβ = wm Zjednodušeně lze říci, že součinitele K A a K Hv patří k silovému působení a součinitele K Hα a K Hβ patří spíše k popisu tvarových vlastností zubů (vliv geometrie, tuhosti, přesnosti). Součinitele K Hv, K Hα a K Hβ jsou závislé na velikosti zatížení daného součinem F t.k A. Z definicí jednotlivých součinitelů pak plyne následující pořadí jejich stanovení:..1 K Hv se odvozuje od síly K Hβ se odvozuje od síly K Hα se odvozuje od síly F t.k A F t.k A.K Hv F t.k A.K Hv. K Hβ Stanovení součinitelů K Hα a K Hβ je tedy trochu závislé na způsobu výpočtu směrodatné síly F t a součinitelů dynamických sil K A a K Hv. Správné určení součinitelů je značně komplikované i pro nemodifikovaný tvar zubu vyrobený se standardním základním profilem. S použitím nestandardního základního profilu a modifikovaných tvarů zubů se většinou ve výpočtových normách nepočítá. b wh - Pracovní (aktivní) šířka ozubení v [mm] pro výpočet na dotyk (příklady na obr..11) Obr..11 Pracovní šířka ozubení 5

26 strana 6 Problematika pevnostních výpočtů čelních ozubených soukolí..1 d 1 - Průměr roztečné kružnice pastorku [mm] u - Absolutní hodnota převodového poměru počítaného soukolí (z 1 /z > 1) Z E - Součinitel mechanických vlastností materiálu spoluzabírajících kol. Pro kola ze stejných materiálů (stejný modul E a stejné Poissonovo číslo µ) platí dle ČSN vztah Z E MPa = 0, 175 [ ] E Z H - Součinitel tvaru spoluzabírajících zubů ve valivém bodě se v normách ČSN, DIN, ISO uvádí bezrozměrnou hodnotou dle vztahu Z H [ ] 1 = cos αt. cosβb tgαtw Pro čelní soukolí s přímými zuby platí, že β b = 0 a α t = α tw = α Z ε - Součinitel součtové délky dotykových křivek boků zubů Z ε 4 εα [ ] =.( 1 ε ) 3 β εβ + εα Pro přímé zuby (ε β = 0) nabývá výraz tvaru Z ε [ ] = 4 εα 3 Z β - Součinitel vlivu sklonu zubu. Dle ČSN část 1 respektuje tu část vlivu úhlu sklonu zubu, která není plně pokryta ostatními součiniteli. Dle DIN a ISO je definován jednoduše dle výrazu Z β [ ] = cosβ Z B,D - Součinitele jednopárového záběru Z B a Z D slouží u přímého ozubení pro přepočet napětí v dotyku (Hertzova tlaku) ve valivém bodě C do vnitřního bodu jednopárového záběru pastorku B, nebo kola D, je-li Z B > 1 nebo Z D > 1. Hodnotu Z D je obvykle nutno určovat pouze u soukolí s i < 1,5. Při větších převodových číslech je obvykle Z D < 1, takže rozhoduje Hertzův tlak ve valivém bodě a do výrazu pro σ H se dosazuje Z D. Stanovení hodnoty součinitele záleží na použité normě..... Výpočet napětí v ohybu Základní model výpočtu napětí v patě zubu vyplývá z představy ohybového namáhání pevně vetknutého nosníku silou dle schématu na obr..1. Ohybové napětí v místě vetknutí nosníku se vypočte ze vztahu

27 Problematika pevnostních výpočtů čelních ozubených soukolí strana 7 F.h F h σo = =. 6 = 1 b s.b s 6 F b.y.. Tento výraz v podstatě tvoří základ pro výpočet napětí v patě zubu. Aplikace tohoto modelu pro soukolí s evolventním ozubením prodělala historický vývoj, který spočíval podle obr..13 v řešení těchto základních otázek: Obr..1 Ohyb vetknut. nosníku ve stanovení šířky nebezpečného průřezu S F - S F m (Bach, Kutzbach) - parabola konstantní pevnosti (Lewis, Meritt, Tuplin, Nieman, BSI, původní ČSN) - tečna 30 k přechodové křivce (ISO, DIN, ČSN od r. 1980) ve stanovení působiště síly - na hlavě zubu (bod A s přepočtem ramene h F ČSN, ISO, DIN metoda C) - ve vnějším bodě osamělého záběru (bod B Nieman, Meritt, BSI, DIN a ISO metoda B) v zahrnutí ohybového, tlakového a smykového napětí - σ o (ISO, DIN, ČSN) - σ o ± σ T (Meritt, Tuplin, BSI) σ o σt + K. τ (Nieman) - ( ) Obr..13 Ohybový model Další principiální otázkou je zahrnutí koncentrace napětí v patě zubu do výpočtu napětí. V platných výpočtových postupech dle ČSN, ISO, DIN metoda C se provádí výpočet napětí v ohybu dle vztahu F.K σf Fa Sa Sarel Y. bwf.m [ MPa] = tf F Y. Y..Y.Y β ε Srovnání tohoto vztahu se základní představou ohybového napětí dle výše uvedeného výrazu se nachází v tab..3, která je obdobou tab... Z něho plyne, že výpočet napětí v patě zubu víceméně odpovídá ohybovému namáhání zubu s tím, že se zanedbává vliv tlakového napětí (σ T ) od radiální síly a vliv smykového napětí (τ) dle obr..13. Toto zanedbání je založeno na předpokladu, že na tahové straně zubu od ohybového momentu se zmenšuje tahové napětí, a tím se z větší části eliminuje vliv smykového napětí. Proti základnímu modelu se v normách uvažuje vliv koncentrace napětí Obr..14 Místní napětí v patě zubu 7

28 strana 8 Problematika pevnostních výpočtů čelních ozubených soukolí.. v patě zubu. Tím se přešlo v posledních úpravách norem z tzv. porovnávacího napětí v patě zubu na místní napětí. Které lze schematicky vyjádřit průběhem dle obr..14 pro průběh napětí bez přídavného vrubu. Zjednodušeně lze říci, že průběh porovnávacího ohybového napětí je vyjádřen součinitelem Y Fa a vliv koncentrace napětí v patě zubu je vyjádřen součinitelem Y Sa. Vlivem finálního opracování dochází k místnímu zvýšení koncentrace napětí, které je vyjádřeno součinitelem přídavného vrubu v patě Y Sarel. Jednotlivé činitele ve vztahu si definuje každá norma, dále budou částečně popsány. Tab.. Srovnání vztahů zatěžovací síla [N] vliv tvaru zubu [1/mm] vliv koncentrace napětí v patě zubu [-] šířka zubu [1/mm] základní model ohybového namáhání h F 6 s neuvažuje se 1 b upravený výraz dle ČSN FtF.K F.Y ε Y Fa m Y Sa Y. Y β Sarel bwf F tf - Směrodatná obvodová síla v [N] pro výpočet na ohyb, její hodnota závisí na použité normě a zvoleném způsobu jejího stanovení (např. ČSN způsoby A E), může se shodovat s obvodovou silou pro výpočet na dotyk (ČSN způsob A - vztah viz výše v podkapitole..1 na straně 4) K F - Součinitel přídavných zatížení pro výpočet na ohyb, vychází ze stejných principů jako součinitel K H, ve výpočtu na ohyb tedy respektuje přídavné dynamické síly, liší se způsobem určení jednotlivých koeficientů K F [ ] = K A.K Fv.K Fα. K Fβ, kde K A... Součinitel vnějších dynamických sil K Fv... Součinitel vnitřních dynamických sil pro výpočet na ohyb K Fα... Součinitel podílu zatížení zubů jednotlivých zubů pro výpočet na ohyb K Fβ... Součinitel nerovnoměrnosti zatížení zubů po šířce pro výpočet na ohyb Popis principu a vlastností těchto součinitelů lze nalézt na straně 4 5, v podstatě odpovídá popisu součinitelů pro výpočet na dotyk. Součinitel K A je v obou případech shodný, u ostatních je rozdíl v aplikaci buďto na dotyk nebo na ohyb a ve značení (index H dotyk a index F ohyb) b wf - pracovní (aktivní) šířka zubů kola v [mm] pro výpočet na ohyb (příklady na obr..15)

29 Problematika pevnostních výpočtů čelních ozubených soukolí strana 9.. Obr..15 Pracovní šířka ozubení pro ohyb m Modul ozubení (pro šikmé zuby normálný modul m n ) Y Fa - Součinitel tvaru zubu při působení síly na hlavě zubu, lze jej určit dle vzorce hfa.cos α Fan m [ ] n YFa = 6 SFn.cos αn m n Význam veličin vystupujích ve vztahu je vidět na obr..16, výpočet těchto hodnot je popsán např. v normě ČSN. Pro vybrané nejběžnější tvary zubů základního profilu Obr..16 Normálný řez zubem můžeme tento součinitel určit graficky v závislosti na posunutí profilu kola x a virtuálním počtu zubů z v. Přesný postup závisí na zvolené normě. Výpočet se však v současné době provádí téměř výhradně na počítači. V normě se uvádí platnost výše uvedeného vzorce pouze pro ε αv, za předpokladu, že zub nebude podřezán a že není špičatý jej lze použít i pro soukolí s ε α >. Y Sa Součinitel koncentrace napětí při záběru na hlavě zubu, tento součinitel byl stanoven empiricky na základě detailních analýz. Lze jej stanovit i graficky. Průběh Y Sa je závislý na šířce nebezpečného průřezu S Fn dle obr..15 a poloměru křivosti přechodové křivky v místě dotyku tečny 30 podle vztahu s Y [ ] Fn Sa = 1, ρfn Y FS - Součinitel tvaru zubu a koncentrace napětí, stanovuje se jako součin [ ] Fa Sa Y FS = Y Y. Vztah platí pro kola frézovaná. Norma ISO uvádí empirický vztah pro výpočet Y FS pro kola se základním profilem a norma DIN stanovuje tento součinitel pro základní profil graficky. 9

30 strana 30 Problematika pevnostních výpočtů čelních ozubených soukolí.. Y Sarel - Součinitel přídavného vrubu v patě zubu. Zejména u broušených soukolí se zvyšuje přechodová křivka brusného kotouče resp. konec broušení se vyskytuje v blízkosti nebezpečného průřezu. Velikost tohoto součinitele je ve všech normách definována shodně dle vztahu 13, Y Sarel [ ] = < tg 13, 06, ρg Obr..17 Součinitel Y Sarel Součinitel tedy závisí na přídavku na broušení t g a poloměru ρ g (viz obr..17), který je dán poloměrem hrany brusného kotouče a technologií broušení. Je-li hodnota vzdálenosti x B dostatečná (cca > 0,1m n ), není nutno tento součinitel zohledňovat. Y β - Součinitel sklonu zubu, tímto součinitelem respektujeme rozdíl v namáhání paty zubu mezi reálným soukolím se šikmými zuby a náhradním soukolím s virtuálním počtem přímých zubů, pro které se výpočet provádí. Tím se zahrnuje vliv linie dotyku reálného soukolí se šikmými zuby, která probíhá šikmo po bocích zubů na namáhání v patě zubu. Hodnota Y β se pohybuje v rozmezí 0,75-1 a vypočte se dle vztahu Y β [ ] β = 1 εβ 10, kde β je úhel sklonu zubů a ε β trvání záběru krokem. Pro přímé zuby je tedy tento součinitel roven nule. Y ε - Součinitel vlivu záběru profilu. Tímto součinitelem se přepočítává působiště normálné síly z bodů A, E na hlavě zubů do vnějšího bodu osamělého záběru (body B, D) virtuálního soukolí s ε α <. V ČSN je hodnota součinitele dána vztahy 08, εα Y [ ] = 0, + pro ε β < 1 ; [ ] ε 1 Y ε = pro ε β 1 εα Normy DIN a ISO používají vztah odlišný, jinak také musíme uvažovat pokud ε α. Pro ε α = body A a B splynou a platí Y ε = 0,5 = 1/ε α. Podrobnější informace o principech pevnostních výpočtů a určení součinitelů jsou uvedeny například v literatuře 1 v kapitolách 4. Rychlosti a síly mezi boky zubů čelního ozubeného soukolí, 5. Provozní zatížení ozubených kol a 7. Výpočet napětí u ozubených kol, v literatuře 3 v kapitole Pevnostní výpočet čelních a kuželových soukolí a především také v samotných normách, které obsahují pevnostní výpočet čelních soukolí.

31 Problematika pevnostních výpočtů čelních ozubených soukolí strana Pevnostní výpočty dle normy..3 Z principů a vztahů uvedených v kapitolách..1 a.. vychází většina platných norem. Pomocí těchto se provádí pevnostní výpočty ozubení v praxi. V našem regionu jsou nejčastěji používány normy ČSN (Česká státní norma), DIN 3990 (Deutsches Institut für Normung) či norma ISO (International Organization for Standardization) Norma ČSN Pevnostní výpočet čelních a kuželových ozubených kol z roku 1988 má 5 částí. Samotný pevnostní výpočet se nachází v 3. (Kontrolní výpočet čelních ozubených kol) a 4. části (Návrhový a zjednodušený kontrolní výpočet čelních ozubených kol). Třetí část obsahuje kompletní výpočet, část čtvrtá potom, jak je patrné z názvu, poněkud zjednodušený výpočet, který nedosahuje takové přesnosti, pro jednoduché nemodifikované soukolí však dostatečný. V současné době se již většinou používají normy zpracované do počítačových programů. Na trhu se vyskytuje velké množství produktů od malých specializovaných prográmků až po pevnostní výpočty jako součásti komplexních automatizovaných návrhů ozubených převodů v nástavbách velkých CAD systémů. 31

32 strana 3 3 Metoda konečných prvků a její využití při pevnostních výpočtech čelních soukolí 3 3 METODA KONEČNÝCH PRVKŮ A JEJÍ VYUŽITÍ PŘI PEVNOSTNÍCH VÝPOČTECH ČELNÍCH SOUKOLÍ Využití metody konečných prvků při pevnostních výpočtech čelních soukolí Výpočet napětí v dotyku i ohybu, který byl popsán v kapitole, je ve své podstatě výpočet smluvní. Řada součinitelů byla stanovena empiricky pro základní profil. Na druhé straně prodělala tato metoda pevnostního výpočtu dlouholetý vývoj a je podepřena rozsáhlými zkušenostmi a experimenty. V technické praxi se však vyskytují případy, kdy užití standardních výpočtů může vzbudit u uživatele oprávněné obavy o věrohodnost výsledků. Potom je tedy vhodné použít výpočtu, který vychází z jiných základů a lze jím lépe postihnout odlišnosti od tvaru zubu a tělesa ozubeného kola proti předpokladům, daných příslušnými standardy. K tomu je mimořádně vhodná metoda konečných prvků (MKP), kterou lze doporučit především v těchto případech: Tvar zubů soukolí se výrazně odlišuje od standardu (výška zubu, úhel, modifikace příčná i podélná) Tvar kola neodpovídá předpokladům, za kterých byly realizovány zkoušky při tvorbě norem (například slabý věnec) Stav napjatosti v patě zubu je ovlivněn konstrukčními vruby, které souvisejí například se zástavbou ozubeného kola Soukolí musí být naprosto bezpečně dimenzováno, protože na jeho funkci závisejí lidské životy (např. raketová a letecká technika, zvedací zařízení atd.) nebo když by havárie způsobila nedozírné škody Vysoká sériovost nebo cena umožní realizovat poměrně nákladný postup výpočtu, náročný na počítačové vybavení Metodu lze však samozřejmě užít na tvarově jednoduchá ozubení standardního profilu. S využitím MKP by měly v budoucnu počítat i normy pevnostních výpočtů Základní principy metody konečných prvků Hlavní část diplomové práce se zabývá deformačně-napěťovou analýzou čelního soukolí numerickým přístupem. K řešení byla použita metoda konečných prvků. Tato numerická metoda byla vyvinuta jako inženýrská metoda pro řešení problémů pružnosti v kosmickém a jaderném inženýrství v padesátých letech. Rozvoj MKP souvisí s nástupem počítačových technologií, které jsou ideální k numerickým výpočtům. MKP vychází z variačního principu. Je-li použito deformační varianty MKP je východiskem Langrangeův variační princip, kde nezávislými funkcemi pružnosti jsou posuvy. Můžeme jej formulovat následovně: Mezi všemi funkcemi posuvů, které zachovávají spojitost tělesa a splňují geometrické okrajové podmínky, se realizují ty, které udílejí celkové potenciální energii Π stacionární hodnotu.

33 3 Metoda konečných prvků a jejich využití při pevnostních výpočtech čelních soukolí strana 33 Lze dokázat, že uvedená stacionární hodnota existuje, je jednoznačná a představuje zároveň minimum Π. Π lze vyjádřit jako 3. Π = W P, kde W je energie napjatosti tělesa 1 W = σ T.ε. dv Ω a P je potenciál vnějšího zatížení T T P = u. o.dv + u. p.ds Ω Γ V uvedených vztazích vystupují sloupcové matice posuvů u T = [ u, v, w ] T přetvoření ε = [ ε x, ε y, ε z, γ xy, γ yz, γ zx ] T napětí σ = [ σ x, σ y, σ z, τ xy, τ yz, τ zx ] objemového zatížení o T = [ ox,o y,oz ] plošného zatížení p T = [ p x, p y, p z ] Základní myšlenkou je diskretizace spojitého problému. Obecně je však Π závislé na spojitých funkcích u, v, w, z nichž každá reprezentuje nekonečné množství hodnot v nekonečně mnoha bodech řešené oblasti. Abychom úlohu mohli řešit numericky, je nutno každou z funkcí vyjádřit v závislosti na konečném počtu parametrů. V MKP se aproximační funkce posuvů vyjadřují přibližně jako součet předem daných, známých funkcí u ~ i, v ~ j, w ~ k, označovaných jako bázové funkce. Ty jsou násobeny neznámými koeficienty: l m n u = ai.u ~ i;v = b j.v ~ j ;w = ck. w ~ k i= 1 j= 1 k = 1 Dosazením této aproximace do výrazu pro celkovou potenciální energii přejdeme od vyjádření funkcionálu Π (u,v,w), závislého na funkcích, k vyjádření Π (a 1,a,a 3,...), závislému na konečném počtu parametrů. Podmínka stacionární hodnoty Π vede pak na soustavu rovnic pro určení těchto neznámých parametrů: Π = 0 a 1 M a1,a, K,cn Π = 0 c n Řešením soustavy získáme parametry a 1, a, a 3,... a tím i aproximace hledaných funkcí posuvů. Uvedený obrat je společný více numerickým metodám, pro MKP je p 33

34 strana 34 3 Metoda konečných prvků a její využití při pevnostních výpočtech čelních soukolí 3. typický způsob konstrukce bázových funkcí, které jsou definovány vždy jen na malé podoblasti řešeného tělesa Výpočtový systém Pro numerické výpočty byl zvolen konečnoprvkový programový systém ANSYS Multiphysics, verze 8.1. Jedná se o velký výpočtový systém, který nabízí plnou kontrolu nad problémem i pro náročné úlohy. Systém umožňuje řešit kromě strukturálních problémů také teplotní analýzy, akustické problémy, elektromagnetická pole a proudění. U strukturálních problémů lze řešit jak lineární, tak i nelineární úlohy (geometrická nelinearita, materiálová nelinearita, kontakt). Základní struktura ANSYSu: Preprocessing slouží k vytvoření geometrického modelu, zadání jeho mechanických charakteristik a dále pro tvorbu konečnoprvkové sítě na geometrickém modelu. Solution zde se zadávají počáteční a okrajové podmínky (vazby, zatížení) modelu, výběr a nastavení řešiče a provádí se zde samotný výpočet. Postprocessing umožňuje analyzovat výpočet, poskytuje výstupy řešení prostřednictvím tabulek, grafů, obrázků a animací. Proces řešení z hlediska rychlosti výpočtu je silně závislý na výkonu výpočetní techniky. Doba lineárního řešení se řídí pouze hustotou konečnoprvkové sítě. Je-li síť příliš jemná je řešení přesnější, ale doba výpočtu je delší. Doba výpočtu se několikanásobně prodlouží u nelineárního řešení, které může být způsobeno geometrickou nelinearitou, materiálovou nelinearitou a kontaktem Lineární řešení Při řešení lineárních úloh se nevyskytují žádné komplikace, protože je vždy zaručena existence a jednoznačnost řešení. Přesnost řešení lze zvýšit zjemněním konečnoprvkové sítě, úměrně tomu se však zvyšuje doba výpočtu Nelineární řešení Pro správné vyřešení nelineární úlohy musíme zajistit její konvergenci. Na rozdíl od úloh lineárních zde není zaručena existence ani jednoznačnost řešení. Pokud úloha nekonverguje, příčina nemusí být u nás, ale fyzikálně přípustné řešení neexistuje. Konvergenci úlohy ovlivňuje typ nelineární úlohy a použité metody. U nelineárních úloh je zatížení rozloženo do několika přírůstků. Na konci každého vyřešeného přírůstku zatížení dojde k aktualizaci matice tuhosti, a to tak, aby nová matice tuhosti postihla změny v důsledku nelinearit. Mezi metody řešení patří: metoda přímé iterace a Newton-Raphsonova metoda, která používá vyvažující iterace. Newton-Raphsonova (N-R) metoda je trojího typu: úplná N-R metoda, kde si v každé iteraci vytváří novou matici tuhosti, modifikovaná N-R metoda, která

35 3 Metoda konečných prvků a jejich využití při pevnostních výpočtech čelních soukolí strana 35 používá pouze počáteční matici tuhosti, kombinace obou předchozích typů je N-R je aktualizace matice tuhosti jen občas Kontaktní úlohy Kontaktní úlohy způsobují vysokou nelinearitu řešení, jehož doba výpočtu se oproti lineárnímu řešení několikanásobně prodlužuje. Při modelování kontaktu se používá speciálních kontaktních prvků, které se vkládají mezi stýkající se povrchy (na stykové plochy). Prvky si hlídají kinematické relace mezi posuvy a na základě změny posuvů se skokově mění tuhost takového prvku. Mohou nastat dva případy: buď je kontakt otevřený povrchy jsou v kontaktu nebo je kontakt uzavřený povrchy nejsou v kontaktu. O tom jaký nastane případ rozhoduje tzv. kontaktní tuhost KN, která významně ovlivňuje konvergenci řešení kontaktní úlohy. Určení správné velikosti KN je velice problematické a ne vždy se ji podaří stanovit ihned. Kontaktní tuhost má také vliv na přesnost výpočtu. Nejideálnější pro přesnost výpočtu je stanovit kontaktní tuhost co největší, tak aby ještě úloha konvergovala. Vysoká kontaktní tuhost způsobí, že výpočet bude příliš pomalý. Je-li kontaktní tuhost příliš malá, výpočet probíhá rychleji, ale dochází k prostupu (penetraci) těles. Důsledkem toho je výpočet nepřesný. Zvolíme-li kontaktní tuhost velmi vysokou, řešení bude divergovat. Vyspělé řešiče, které obsahují novější verze systému ANSYS, již však dokáží s kontaktní tuhostí pracovat automaticky bez nutnosti většího zásahu uživatele. Na konvergenci kontaktní úlohy má také vliv volba pokroků (substep) a vyvažujících iterací. Zvyšováním velikosti pokroků a vyvažujících iterací se zlepší konvergence úlohy, ale výpočet trvá déle

36 strana 36 4 Formulace problému a cíle diplomové práce 4 4 FORMULACE PROBLÉMU A CÍLE DIPLOMOVÉ PRÁCE Formulace problému Diplomová práce se zabývá pevnostními výpočty čelních soukolí. Zejména pak problematikou deformačně napěťové analýzy zadaného čelního soukolí s přímými evolventními symetrickými zuby pomocí MKP se zaměřením na únosnost boků zubů v dotyku a pat zubů v ohybu. Cílem diplomové práce je vytvoření vhodného postupu tvorby výpočtového modelu, nastavení parametrů samotného výpočtu a srovnání numerického přístupu pomocí MKP s analytickým dle normy ČSN. Problematika numerického řešení kontaktních úloh v systému ANSYS byla zvládnuta na několika jednoduchých úlohách s Hertzovým kontaktem, výsledky jsou srovnány s analytickým řešením dle Hertzových vztahů. Úlohy jsou řešeny ve D, výhodně lze totiž využít rotační (osové) symetrie či možnost zvolit druh problému (rovinná deformace, rovinná napjatost, rovinná napjatost s tloušťkou). Pro deformačně napěťovou analýzu ozubení bylo zvoleno soukolí se základním profilem (přímé evolventní symetrické zuby). Pro následné srovnání numerického výpočtu s analytickým dle normy je to výhodné, protože pevnostní výpočet dle normy je pro základní profil dobře zvládnut a můžeme tedy porovnávat numerický výpočet s odpovídajícími hodnotami. Pro analytický výpočet bude použita norma ČSN , část 4. - Návrhový a zjednodušený kontrolní výpočet čelních ozubených kol. Tato část obsahuje zkrácený pevnostní výpočet, který je však pro naši aplikaci dostačující. Důležitým momentem při tvorbě výpočtového modelu je tvorba geometrie zubu. Profil musí odpovídat skutečnému základnímu profilu pro zadané soukolí. Správným výsledkům musí předcházet také odpovídající zatížení kroutícím momentem a použití vhodných vazeb. Při vlastním výpočtu bude použita statická deformačně napěťová analýza, která neuvažuje rychlé dynamické děje při zatěžování soukolí (např. rozjezd). Pro analýzu únosnosti zubů bylo vytvořeno několik modelů. Pro D úlohy modely tři soukolí v poloze, kdy dochází k záběru ve valivém bodě a také modely soukolí na počátku a na konci záběru. A pro 3D úlohy pak model soukolí v poloze, kdy dochází k záběru ve valivém bodě. Řešení deformačně napěťové analýzy pomocí MKP lze rozdělit do těchto částí: 1. Analýza a stanovení vstupních údajů Vytvoření modelu geometrie (včetně importu základního profilu) Určení materiálových charakteristik Stanovení vazeb soustavy Stanovení zatížení soustavy Výběr prvků a vytvoření konečnoprvkové sítě. Proces řešení Výběr vhodného řešiče a nastavení jeho parametrů Nelineární řešení (kontaktní úlohy) 3. Analýza výsledků Vyhodnocení jednotlivých variant řešení Stanovení závěrů