Analýza mozkové aktivity: inverzní úloha

Transkript

1 Analýza mozkové aktivity: inverzní úloha Josef Mlynář České vysoké učení technické v Praze, Fakulta elektrotechnická mlynarj@centrum.cz Abstrakt: Práce se zabývá srovnáním vybraných metod řešení inverzního problému v procesu EEG zdrojové analýzy. Analýza schopnosti lokalizovat jeden dipól byla provedena na sférickém a reálně tvarovaném modelu hlavy pro metody Mimum norm, Weighted minimum norm a Loreta. Snahou bylo podchytit přesnost lokalizace v závislosti na hloubce dipólu. Analýza prokázala přímý vliv neúplného pokrytí povrchu EEG senzory na přesnost lokalizace. V práci je dále prezentována automatická metoda klasifikace polohy zdrojů pro redukci zdrojových pozic podle anatomických kriterií. 1. Úvod Jedním z hlavních trendů současné medicíny je zdrojová analýza dat, při které se snažíme ke změřené mozkové aktivitě odhadnout zdroje, které změřenou mozkovou aktivitu produkují. Výsledky zdrojové analýzy pomáhají osvětlit některé neurologické mechanizmy mozkové činnosti, mohou též pomoci při lokalizaci epileptických ložisek a jiné patologické aktivity. Proces analýzy mozkové aktivity lze shrnout do tří navazujících úloh: příprava modelů hlavy, řešení dopředného a inverzního problému. Modely hlavy geometrickou strukturou a vodivostními poměry aproximují reálné elektrické vlastnosti. Cílem dopředné úlohy je zjistit, jak definovaný zdroj (model zdrojové aktivity) ovlivní potenciál na povrchu modelu hlavy. Výstupem je tzv. lead field matice, která mapuje příspěvky vybrané konfigurace zdrojů k potenciálu dílčích povrchových elektrod. Posledním krokem je řešení inverzního problému, při kterém se snažíme ze změřeného potenciálu na povrchu hlavy odhadnout distribuci a amplitudu zdrojů. 2. Metody 2.1. Příprava dat pro inverzní řešení Během výpočtu lokalizačních úloh je nutné omezit prostor zdrojů, které se podílejí na modelované mozkové aktivitě. Základní redukce spočívá v anatomickém omezení uvažuje se prostor zdrojů obklopený povrchem mozku. U sférických modelů je řešení velmi jednoduché. U normalizovaných modelů lze koregistrovat zdrojové pozice s Talairachovým (indexovaným) atlasem. U individuálních modelů je tato operace složitější, vyžaduje koregistraci s individuálním snímkem anatomie a segmentaci mozkové tkáně, což mnohdy znamená interakci s uživatelem. Jinou možností je využití již připravených trojúhelníkových modelů. Proces přípravy zdrojů pak probíhá tak, že se generuje pravidelná mříž s

2 pevnou mezizdrojovou vzdáleností. Pomocí popisovaného algoritmu se klasifikuje pozice zdroje, a vyřadí se ty, které leží mimo požadovaný objem. Numerické řešení je podobné s řešením dopředného problému. Používá stejnou diskretizaci povrchu a popis jednotlivých elementů. Podobně jako dopředné řešení i klasifikace je plně automatická operace Klasifikace pozice v 3D prostoru Ukazuje se, že T (r q ) podle rovnice (1) je schopné rozlišit relaci pozice zdroje r q a uzavřené plochy S tak, jak definují požadavky (2). T (r q ) = t(r, r q ).ds(r) (1) S { 0; rq uvnitř S T (r q ) = 0; r q vně S (2) Po vzoru Gaussovy věty elektrostatického pole lze zkonstruovat jednoduché pole s extrémem v r q a výslednou rovnici normovat tak, že funkční hodnoty klasifikační funkce budou ležet v intervalu 0, Inverzní úloha t(r, r q ) = 1 4π (r r q ) r r q 3 Řešení inverzního problému není jednoznačné a perfektní. Naměřená data neobsahují dostatek informace pro perfektní lokalizaci zdrojů aktivity. Principem inverzních metod ([1], [2], [3], [4]) je minimalizace rozdílu mezi naměřenými daty a daty získanými řešením dopředné úlohy. Definujme V jako potenciál změřený elektrodami na skalpu, matici K jako lead field matici popisující příspěvek i-tého zdroje q i k potenciálu j-té elektrody V j a q jako vektor dipólových momentů generátorů. V = K.q (3) Odhadnutý vektor dipólových momentů ˆq hledáme ve tvaru (4), kde T = K inv je generalizovaná inverze obdélníkové matice K. ˆq = K inv.v = T.V (4) Chybová funkce Err vyjadřuje l2-normu rozdílu mezi skutečnými q a odhadnutými ˆq hodnotami intenzity generátorů aktivity. Err = q ˆq 2 = (I T.K).q 2 (5) Řešením minimalizační úlohy min{err} pro neznámou matici T je rovnice (6). Pzn.: [M] + značí Moore-Penrose pseudoinverzi matice M. T = W 1.K T.[K.W 1.K T ] + ; (6) Volba matice W odlišuje dílčí řešení. Pro bližší specifikaci parametrů Ω a B viz. [1]. Minimum Norm (MN): W = I Řešení (6) s požadavkem minimální kvadratické velikosti řešení. Chyba lokalizace zdrojů narůstá s hloubkou generátoru.

3 Obrázek 1: Výsledek klasifikačního algoritmu. Na obrázku jsou zobrazeny zdroje (černé body), klasifikované jako intracerebrální a část povrchu mozkové tkáně. Weighted Minimum Norm (WMN): W = Ω 2 - matice Ω 2 normuje výkon, jakým se na elektrodách projeví různě hluboké zdroje. Tímto opatřením se koriguje závislost chyby na hloubce generátoru. Loreta: W = Ω.B T.B.Ω - matice B je prostorový laplacian mezi jednotlivými zdroji. Inverze způsobí upřednostnění vyhlazených řešení. Fyziologickým opodstatněním pro použití Lorety je skutečnost, že neuronová aktivita je v blízkých korových strukturách mnohdy korelovaná (současná aktivace neuronové populace). 3. Experimenty a výsledky 3.1. Klasifikace zdrojových pozic Algoritmus klasifikace zdrojů byl testován a) na sférickém trojúhelníkovém modelu za účelem ověření přesnosti b) na reálném modelu mozkové tkáně za účelem ověření robustnosti vůči různým tvarům obklopující plochy. Pro tyto experimenty byla vygenerovaná kulová plocha s průměrem 15 cm. V případě realisticky tvarované plochy byl model v reálném měřítku, složen z 1280 trojúhelníků. Prahováním klasifikační funkce T (r q ) podle rovnice (1) na 0.5 byly rozděleny zdrojové pozice do 2 skupin (uvnitř a vně plochy). Chyba klasifikace souvisí s počtem trojúhelníků, jimiž je plocha aproximována. V případě sférického objemu byl testovací zdroj posouván podle x-ové osy od středu do dvojnásobku poloměru sféry. Chyba špatně klasifikovaných zdrojů nepřesáhla 1 mm, což je v relaci s velikostí aproximujících elementů. Ověření klasifikační funkce na reálném modelu je zobrazeno na obrázku 1. Zdroje jsou rozmístěné v pravidelné kubické mřížce bodů a pokrývají celý objem klasifikační vrstvy. Zdroje klasifikované jako intracerebrální jsou na obrázku vyznačeny černými body. Všechny zdroje byly klasifikovány úspěšně. Vzhledem ke skutečnosti, že výpočet klasifikační funkce používá stejné diskretizace a velmi podobného popisu, je klasifikace časově velmi efektivní.

4 3.2. Lokalizace inverzních metod Uvedené tři metody byly vzájemně porovnány a) na sférickém modelu, za účelem srovnání přesnosti lokalizace a porovnání omezujících vlastností. b) na reálném modelu za účelem prověření pozorovaných vlastností a vlivu reálného tvaru modelu na přesnost lokalizace. Zdroje byly rozmístěny v pravidelné kubické mřížce (vzdálenost mezi zdroji: 7mm). V případě jednovrstvého sférického modelu byla lead field matice sestavena pro kouli s poloměrem r = 75 mm, konduktivitou σ = 0.33 s/m. Elektrody (111 senzorových pozic) byly rozmístěné po povrchu hraniční sféry projekcí reálných koordinát na sférický povrch. Tím je možné postihnout vliv částečného pokrytí povrchu na přesnost lokalizace. Zdrojové pozice jsou omezené objemem sféry. V případě reálného modelu byl soubor zdrojů omezen objemem mozku, z důvodů výrazné chyby lokalizace byly dále redukovány zdroje v oblasti mozečku. Pro každou zdrojovou pozici zdroje r qi, každou j-tou {x, y, z} orientaci a jednotkovou amplitudu generátoru byl spočten potenciál V = K. q ij na všech elektrodách. Ze získaného skalpového potenciálu byly odhadnuty amplitudy zdrojů ˆq = T.V. Zdroj s maximální amplitudou max(ˆq) je považován za ohnisko odhadnuté aktivity. V chybových mapách je srovnána chyba lokalizace počítaná pro ij-tý zdroj jako Err(i) = q ij max(ˆq). Rozsah barevné škály (0..9) voxelů Rozsah barevné škály (0..80) mm Obrázek 2: Minimum norm: Chybová mapa lokalizace dipólu na sférickém (vlevo) a reálném (vpravo) modelu hlavy. Po řádcích jsou zobrazeny koronální, sagitální a transversální řez Zhodnocení schopnosti lokalizace U metody Minimum norm lze (podle očekávání) pozorovat (obr. 2.) výrazný nárůst chyby s rostoucí hloubkou testovaného dipólu. Metoda Weighted minimum norm by měla závislost chyby na hloubce korigovat. Podle pokusů (obr. 3.) se chyba snížila, z 9 voxelů na cca 3-4 voxely. V kvalitativním srovnání Loreta (obr. 4.) lokalizuje nejpřesněji. Chyba je největší v hraniční oblasti. Na hranici zdrojové množiny není prostorový laplacian plně

5 definovaný a chyba lokalizace podkorových zdrojů je způsobena pravděpodobně tím. Ve srovnání se zbylými dvěma metodami je Loreta nejpřesnější, maximální chyba lokalizace je okolo 2-3 voxelů. Všechny srovnávané metody mají největší lokalizační chybu v prostoru, který není pokryt elektrodami. Snížená schopnost lokalizace v těchto oblastech je patrná ve všech demonstračních obrázcích. Se zmenšením plochy pokryté elektrodami lokalizační schopnost rovněž klesá. Má-li se zhodnotit lokalizace na reálném modelu, je nutné poznamenat, že chybně odhadnuté dipóly (často centrální) bývají mylně lokalizovány v hlubších anatomických oblastech (mozeček, prodloužená mícha, spodní strana frontálních laloků). Je proto účelné omezit prostor možných dipólů tak, aby nezasahoval do těchto oblastí. 4. Závěry Práce se zabývá srovnáním metod řešení inverzního problému v procesu EEG zdrojové analýzy. Metody MN a WMN jsou ve srovnání s Loretou méně přesné, přesnost lokalizace Lorety je vykoupena vyhlazeným řešením. Všechny metody vykazují chybu v prostoru, který není pokryt elektrodami. Se zmenšením plochy pokryté elektrodami lokalizační schopnost metod klesá. U reálných modelů dochází často k parazitní aktivitě zdrojů v hlubších anatomických oblastech (mozeček, prodloužená mícha, spodní strana frontálních laloků). Je proto účelné omezit prostor možných dipólů tak, aby nezasahoval do těchto oblastí. V práci je dále prezentována automatická metoda intra-/extracerebrální klasifikace polohy zdrojů. Metoda je přesná a tvarově robustní. Narozdíl od koregistračního postupu nevyžaduje interakci s uživatelem, existuje-li model klasifikační vrstvy. Rozsah barevné škály (0..8) voxelů Rozsah barevné škály (0..80) mm Obrázek 3: Weighted MN: Chybová mapa lokalizace dipólu na sférickém (vlevo) a reálném (vpravo) modelu hlavy. Po řádcích jsou zobrazeny koronální, sagitální a transversální řez.

6 Rozsah barevné škály (0..5) voxelů Rozsah barevné škály (0..80) mm Obrázek 4: Loreta: Chybová mapa lokalizace dipólu na sférickém (vlevo) a reálném (vpravo) modelu hlavy. Po řádcích jsou zobrazeny koronální, sagitální a transversální řez. Poděkování Teoretická část práce byla podporována Grantovou agenturou České republiky ( H085) a vývoj software byl podporován Transdisciplinárním výzkumným záměrem v biomedicínckém inženýrství 2 (MSM ). Reference [1] Pascual-Marqui, R.D.: Review of Methods for Solving the EEG Inverse Problem. International Journal of Boielectromagnetism, vol.1, no.1, pages 75-86, 1999; Printed Issue ISSN , Internet Issue ISSN [2] Pascual-Marqui, R.D.; Esslen, M.; Lehmann, D.: Functional imaging with low resolution brain electromagnetic tomography (LORETA): review, new comparisons, and new validation., Japanese Journal of Clinical Neurophysiology, vol 30, pages 81-94, 2002 [3] Rahola, L.; Tissari, S.: Iterative solution of dense linear systems arising from the electrostatic integral equation in MEG., Physics in Medicine and Biology 47, pages , 2002 [4] Babiloni, F.; Babiloni, C.; Carduci, F.; Romani, G.L.; Rossini, P.M.; Angleone, L.M.; Cincotti, F.: Multimodal integration of high-resolution EEG and functional magnetic resonance imaging data: a simulation study., NeuroImage 19, pages 1-15, 2003