Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body

Transkript

1 Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVTA (LDF, ) 60 minut Jméno: Součet Koeficient Body. [6 bodů] a) Definujte pojem primitivní funkce. Co musí platit, aby F (x) byla funkce primitivní k funkci f(x)? Uveďte obecnou definici a jednoduchý příklad. b) Je primitivní funkce k dané funkci f dána jednoznačně? Pokud ne, uveďte příklad funkce f a dvou jejích různých primitivních funkcí. 2. [0 bodů] Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = f(x) v bodě x = x 0 a odvoďte z něj vzorec pro Newtonovu Raphsonovu metodu. K čemu tato metoda slouží? 5. [6 bodů] etodou per-partés vypočtěte neurčitý integrál x cos(x) dx. 6. [8 bodů] Vypočtěte dvojný integrál x dx dy, kde množina je vyznačena na obrázku. y 3. [6 bodů] Vypočtěte následující derivace ( x ln x) = (2e x2 + ) = (xe x ) = y = x 2 x 4. [8 bodů] áme oplotit pozemek tvaru obdélníka, jehož jedna strana leží podél dlouhé zdi a zbývající tři strany jsou tvořeny plotem. Celkový obsah obdélníka je 00m 2. Je-li délka kratší strany x, je celková délka plotu dána vzorcem L = 2x + 00 x. Pro které x je délka plotu nejkratší? (Průsečíky na osách si dopočítejte, pokud jsou pro výpočet nutné.) 7. [6 bodů] Vyřešte rovnici 6 + e 2(x ) = 0 Požadavek: alespoň 20 bodů z 50 možných. Opravené písemky je možné si prohlédnout dnes od :00 do :5. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. A 2 x = arcsin x 2 A x 2 + A 2 dx = A arctan x A x x 2 ± B = ln + x 2 ± B A 2 x 2 dx = 2A ln x A x + A

2

3 Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVTA (LDF, ) 60 minut Jméno: Součet Koeficient Body. [8 bodů] a) Definujte pojmy rostoucí funkce a klesající funkce. b) Uveďte, jak souvisí rostoucí a klesající funkce s derivací. c) Pomocí pojmů růst a klesání funkce (případně pomocí derivace) zformulujte podmínku, které je dostatečná pro to, aby v bodě x 0 nastalo lokální maximum. d) Uveďte příklad funkce, která má v bodě x 0 lokální minimum, ale nemá v tomto bodě derivaci. 2. [8 bodů] a) Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = f(x) v bodě x 0. b) Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce z = f(x, y) v bodě (x 0, y 0 ). c) Napište vzorec pro lineární aproximaci funkce y = f(x) v okolí bodu x [6 bodů] Vypočtěte následující derivace a) (x 2 sin(x)) = b) (cos(x 2 + )) = c) ( ) x = x [8 bodů] Je dána funkce y = x4 x + a její derivace y = x3 (3x + 4). Najděte intervaly (x + ) 2 monotonie a lokální extrémy této funkce. 5. [6 bodů] Substituční metodou vypočtěte neurčitý integrál x cos(x 2 ) dx. 6. [8 bodů] Vyřešte diferenciální rovnici y = xy. 7. [6 bodů] Vyřešte rovnici 5 2e 2(x ) = 0 Požadavek: alespoň 20 bodů z 50 možných. Opravené písemky je možné si prohlédnout dnes od 0:5 do 0:30. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. A 2 x = arcsin x 2 A x 2 + A 2 dx = A arctan x A x x 2 ± B = ln + x 2 ± B A 2 x 2 dx = 2A ln x A x + A

4

5 Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVTA (LDF, ) 60 minut Jméno: Součet Koeficient Body. [4 bodů] V následující tabulce do každého z šesti prázdných políček s otazníkem doplňte funkci (obrázek nebo funkční předpis), která má požadované vlastnosti. Pokud taková funkce neexistuje, stručně napište proč. (Tabulku překreslete na papír s dostatečně velkými políčky.) Pokud je to možné, volte příklad tak, aby x 0 = 0. v bodě x 0 je lokální extrém v bodě x 0 není lokální extrém f (x 0 ) existuje a f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) existuje a f (x 0 ) 0?????? f (x 0 ) neexistuje 2. [5 bodů] Z derivace součinu funkcí odvoďte vzorec pro metodu per-partés. 3. [6 bodů] Vypočtěte následující derivace ( a) e x+) = 4. [5 bodů] Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = x + v bodě x = [6 bodů] Pomocí metody per-partés vypočtěte integrál x ln x dx. 6. [8 bodů] Do roztoku pro hydroponicky pěstované rostliny jsou dodávány živiny konstantní rychlostí c. Rostliny tyto živiny odčerpávají z roztoku rychlostí úměrnou množství těchto živin. Napište matematický model modelující množství živin v roztoku. Objem roztoku považujte za konstatnní. b) c) ( x 2 cos(x) ) = ( ) e x = x 7. [6 bodů] Vyřešte rovnici 5 2 ln x 3 = 0. Požadavek: alespoň 20 bodů z 50 možných. Výsledky budou zaslány hromadným em na adresu studentů přihlášených na termín. Opravené písemky je možné si prohlédnout v pátek v době 9:00 9:30 v B2. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. A 2 x = arcsin x 2 A x 2 + A 2 dx = A arctan x A x x 2 ± B = ln + x 2 ± B A 2 x 2 dx = 2A ln x A x + A

6

7 Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVTA (LDF, ) 60 minut Jméno: Součet Koeficient Body. [0 bodů] a) Definujte pojmy rostoucí funkce a klesající funkce. b) Uveďte, jak souvisí rostoucí a klesající funkce s derivací. c) Definujte pojem prostá funkce a uveďte příklad jedné funkce která je prostá na R a jedné funkce která není prostá na R. d) Definujte pojem inverzní funkce. Uveďte příklad funkce definované na R, ke které je možno sestrojit inverzní funkci na R a příklad funkce definované na R, ke které není možno sestrojit inverzní funkci na R. 2. [6 bodů] a) Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = f(x) v bodě x 0 a určete pomocí něj tečnu ke grafu funkce y = x 2 v bodě x =. b) Napište vzorec pro střední hodnotu funkce f(x) na intervalu (a, b) a vypočtěte střední hodnotu funkce y = sin x na intervalu ( 0, π 2 ). 3. [6 bodů] Vypočtěte následující derivace a) ( x + 2 sin(x)) = b) ( x + sin(2x)) = c) ( ) x sin(2x) = 4. [8 bodů] Je dána funkce y = x 4 (x + ) a její derivace y = x 3 (5x + 4). a) Najděte intervaly monotonie a lokální extrémy této funkce. b) Potvrďte výpočtem, že derivace je zadána správně. 5. [6 bodů] Substituční metodou vypočtěte neurčitý integrál sin(ln x) dx. x 6. [8 bodů] Vypočtěte dvojný integrál y dx dy, kde množina je vyznačena na obrázku. y y = x 2 (Průsečíky na osách si dopočítejte, pokud jsou pro výpočet nutné.) 7. [6 bodů] Vyřešte rovnici 4 = e 2x+3 x Požadavek: alespoň 20 bodů z 50 možných. Opravené písemky je možné si prohlédnout dnes od 2:00 do 2:5 v B44. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. A 2 x = arcsin x 2 A x 2 + A 2 dx = A arctan x A x x 2 ± B = ln + x 2 ± B A 2 x 2 dx = 2A ln x A x + A

8

9 Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVTA (LDF, ) 60 minut Jméno: Součet Koeficient Body. [0 bodů] a) Definujte pojem rostoucí funkce. b) Definujte pojem spojitá funkce (spojitost v bodě, např. v bodě a). c) Napište rovnici tečny ke grafu funkce a odvoďte z něj vzorec pro Newtonovu Raphsonovu metodu. K čemu se tato metoda používá? 2. [8 bodů] a) Napište vzorec pro výpočet určitého integrálu pomocí neurčitého (Newtonova Leibnizova věta). b) Napište vzorec pro výpočet neurčitého integrálu pomocí určitého (integrál jako funkce horní meze). 3. [6 bodů] Vypočtěte následující derivace ( ) a) x(x + x) = b) (2 + sin(3x)) = 4. [8 bodů] Je dána funkce y = x5 x + 2 a její derivace y = 2x4 (2x + 5) (x + 2) 2. Najděte intervaly monotonie a lokální extrémy této funkce. 5. [6 bodů] Vypočtěte neurčitý integrál (x + )e x dx. 6. [6 bodů] Vypočtěte dvojný integrál x 2 dx dy, kde množina je vyznačena na obrázku. y x x + y = (Průsečíky na osách si dopočítejte, pokud jsou pro výpočet nutné. Dvě strany trojúhelníku jsou rovnoběžné se souřadnými osami) c) ( ) sin 2 = (x) 7. [6 bodů] Vyřešte rovnici 2 + ln(3x ) = 0 Požadavek: alespoň 20 bodů z 50 možných. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu. Informace o tom, kdy a kam se přijít podívat na písemky a nechat si zapsat známku podá dozor u termínu. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. A 2 x = arcsin x 2 A x 2 + A 2 dx = A arctan x A x x 2 ± B = ln + x 2 ± B A 2 x 2 dx = 2A ln x A x + A

10

11 Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVTA (LDF, ) 60 minut Jméno: Součet Koeficient Body. [0 bodů] a) Definujte pojem rostoucí funkce. Kdy řekneme, že funkce f je spojitá? b) Definujte pojem inverzní funkce. Kdy řekneme, že funkce f je inverzní k funkci f? c) Napište rovnici tečny ke grafu funkce a odvoďte z něj vzorec pro Newtonovu Raphsonovu metodu. K čemu se tato metoda používá? 2. [8 bodů] a) Napište vzorec pro integrování metodou per partés. b) Ukažte použití tohoto vzorce na jednoduchém příkladě. c) Ukažte,jak je možno odvodit vzorec pro metodu per partés z derivace součinu. 3. [6 bodů] Vypočtěte následující derivace ( a) x 2 sin(2x)) ) = b) (2e x ) = c) ( ) ln( + x + ) = 4. [6 bodů] Vhodnou substitucí vypočtěte neurčitý integrál 3xe x2 dx. 5. [8 bodů] Gigantická sněhová koule o poloměru 0,8m taje tak, že se její objem zmenšuje rychlostí 0,m 3 /min. Jak rychle klesá její poloměr? Vzorce pro objem a povrch koule o poloměru r jsou V = 4 3 πr3, S = 4πr 2 6. [6 bodů] Vypočtěte dvojný integrál x dx dy, kde množina je vyznačena na obrázku. Návod: při úpravách před druhou integrací může být užitečný vzorec x a x b = x a+b. y x x + y = (Průsečíky na osách si dopočítejte, pokud jsou pro výpočet nutné. Dvě strany trojúhelníku jsou rovnoběžné se souřadnými osami) 7. [6 bodů] Vyřešte rovnici 2 5e 3x+ = 0 Požadavek: alespoň 20 bodů z 50 možných. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu. Informace o tom, kdy a kam se přijít podívat na písemky a nechat si zapsat známku podá dozor u termínu. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. A 2 x = arcsin x 2 A x 2 + A 2 dx = A arctan x A x x 2 ± B = ln + x 2 ± B A 2 x 2 dx = 2A ln x A x + A

12

13 Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVTA (LDF, ) 60 minut Jméno: Součet Koeficient Body. [5 bodů] V některých specializovaných případech je možno zapsat dvojný integrál jako součin dvou jednoduchých integrálů. Charakterizujte tyto případy. Přesněji: napište, jak musí vypadat integrační oblast, jak musí vypadat integrovaná funkce a jak vypadá výsledný vzorec. 2. [7 bodů] Zformulujte Bolzanovu větu. 3. [8 bodů] a) Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = f(x) v bodě x 0 a určete pomocí něj tečnu ke grafu funkce y = x 2 v bodě x =. b) Napište vzorec pro střední hodnotu funkce f(x) na intervalu (a, b) a vypočtěte ( střední hodnotu funkce y = sin x na intervalu 0, π ) [8 bodů] Je dána funkce y = x4 a její derivace x + y = x3 (3x + 4). Najděte intervaly monotonie a (x + ) 2 lokální extrémy této funkce. 7. [6 bodů] Vypočtěte dvojný integrál x y dx dy, kde množina je vyznačena na obrázku. y y = x 2 c) Napište definici inverzní funkce. Co musí platit abychom řekli, že funkce y = f (x) je inverzní funkcí k y = f(x)? 4. [5 bodů] Vypočtěte následující derivace x a) b) ( ) sin x + = ( 2x + 3e x2) = 5. [6 bodů] Vhodnou substitucí vypočtěte neurčitý cos x integrál sin 2 x dx. 8. [5 bodů] Vyřešte rovnici e x 2 ln(3) = 0 Požadavek: alespoň 20 bodů z 50 možných. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu. Informace o tom, kdy a kam se přijít podívat na písemky a nechat si zapsat známku podá dozor u termínu. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. A 2 x = arcsin x 2 A x 2 + A 2 dx = A arctan x A x x 2 ± B = ln + x 2 ± B A 2 x 2 dx = 2A ln x A x + A

14