Odhad frekvencí a tvarů vlastního kmitání nelineárních úloh

Transkript

1 Konference ANSYS 29 Odhad frekvencí a tvarů vlastního kmitání nelineárních úloh A. Nevařil Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, ÚSM, Veveří 95, 62 Brno Abstract: Natural frequencies and modes are an important feature used in determination of dynamic response of many structures. Some structural systems exhibit geometric or material nonlinear behavior, parts of the system are in contact or their final state is dependent on their initial stress state. Modal properties of these systems are in relation with their deflection and stress state. The paper presents a procedure leading to the evaluation of natural frequencies and modes of such systems using the ANSYS programme. Furher is examined a posibility of numeric verification of modal properties determined from the linearized dependence near the proposed state. The methodology is based upon the analyses of structural response to suitably selected timevarying actuating force. The paper describes the parameters of the actuating fiction and its selection in dependence on the searched natural frequencies and modes. Keywords: natural frequencies, modes, nonlinear behavior, verification, time domain, guyed mast. 1. Úvod Frekvence a vlastní tvary kmitů jsou významnou charakteristikou využívanou při určování dynamické odezvy mnoha konstrukcí. Některé konstrukční systémy vykazují geometricky nebo materiálově nelineární odezvu (Leamy, Gotlieb, 21), kontakt částí konstrukce, případně je jejich výsledný stav výrazně závislý na jejich počáteční napjatosti. U těchto systémů jsou modální vlastnosti vázány na deformační a napjatostní stav konstrukce (Kwan, 2). Otázka nalezení frekvencí a tvarů vlastního kmitání je tedy do značné míry komplikovaná a zpravidla není možné využití standardních postupů a nástrojů programových systémů jako je např. ANSYS. 2. Postup určení modálních vlastností Pohybová rovnice diskretizovaného matematického modelu konstrukce s vlivem útlumu je v maticovém zápisu MKP popsána vztahem (Bathe, 1996) ( ) M u& + Cu& + K u = F t. (1) Vlastní tlumené kmitání konstrukce je možné matematicky popsat jako harmonické kmity nebuzené soustavy (1), tj. M u& + Cu& + K u =. (2)

2 TechSoft Engineering & SVS FEM U většiny stavebních konstrukcí je velikost útlumu malá, v tomto případě je možné vliv tlumení na vlastní frekvence a tvary kmitání konstrukce zanedbat. Za předpokladu, že netlumená soustava kmitá harmonicky s vlastní frekvencí ω ve vlastním tvaru ϕ, lze úlohu upravit na zobecněný problém vlastních čísel symetrického svazku K, M 2 ( M + K) ϕ = ω. (3) Rovnice (3) je splněna netriviálně, pouze pokud 2 det( ω M + K) =. (4) Problém (3), resp. (4), je možné řešit celou řadou metod. V současné době je tato úloha řešena v programovém prostředí ANSYS např. Lanczosovou metodou, Householderovou metodou a dalšími, viz. (ANSYS User s Manual, 25). 3. Geometricky nelineární problém Pozornost bude dále zaměřena na geometricky nelineární úlohu, která je v metodě konečných prvků s Lagrangeovskou formulací charakterizována závislostí matice tuhosti konstrukce K na poli neznámých uzlových přemístění u. Geometricky nelineární chování se projevuje např. u kotevních lan stožárů, nosných a závěsných lan mostů atd. Byla zkoumána úloha nalezení vlastních frekvencí a tvarů kmitu vysokého kotveného stožáru (Kanický, Wasgestián, 1971). Jednalo se o 294 m vysoký anténní stožár kotvený lany ve čtyřech výškových úrovních. Těleso stožáru bylo kotveno do tří směrů, kdy dvě nižší a dvě vyšší úrovně kotvení mají vždy v daném směru společný kotevní blok. Dřík byl tvořen ocelovou troubou o průměru 2,1 m a v patě byl kloubově uložen. U kotvených stožárů existuje významná vazba mezi předpětím a vlastními frekvencemi a tvary kmitů konstrukce. Následující graf prezentuje změnu nejnižší vlastní frekvence kmitání f 1 typického lanového prvku (Irvine, 1992) v závislosti na úrovni jeho předpínací síly T. 3,5 3 2,5 f 1 [Hz] 2 1, T [kn] Graf 1

3 Konference ANSYS 29 Protože je třeba zahrnout do matice tuhosti K konstrukce jak vliv předpětí kotevních lan, tak vliv jejich velkých přemístění musí modální analýza vycházet z napjatostního a deformačního stavu konstrukce po nelineární statické analýze. Odpovídající příkazová sekvence jazyka APDL je zachycena v Tab. 1. finish /solu antype,static,new nlgeom,on sstif,on nsubst,1,1,1 neqit,1 ematwrite,yes solve finish /solu Tab. 1 antype,modal upcoord,1,on pstres,on modopt,lanb,35, mxpand,35,,,yes, psolve,triang psolve,eiglanb expass,on psolve,eigexp finish Ve frekvenčním pásmu až 2 Hz bylo nalezeno 176 vlastních frekvencí s příslušnými tvary kmitání. Velký počet tvarů kmitání přísluší vlastním tvarům kmitání lan. Dvě z vypočtených vlastních frekvencí s odpovídajícími tvary kmitání jsou prezentovány na Obr. 1 a 2. Obr. 1 Obr Ověření frekvencí a tvarů vlastního kmitání K ověření vlastních frekvencí získaných z modální analýzy na přetvořeném modelu konstrukce je možné využít analýzy odezvy modelu konstrukce na buzení pseudoharmonickými silami s proměnou frekvencí. F(t) = A sin (ω t 2 ) (5) Dřík stožáru byl zatížen silou, event. silami, dle vztahu (5). Byla analyzována odezva modelu stožáru v časové oblasti na toto zatížení, viz také (Nevařil, 28). Přibližnou hodnotu vlastní frekvence kmitání lze určit na základě kmitání s rezonančním charakterem v oblasti buzení

4 TechSoft Engineering & SVS FEM blízkému některé vlastní frekvenci kmitání stožáru. Pole přemístění modelu v čase, kdy dochází k maximální výchylce, má stejný charakter jako pořadnice příslušného vlastního tvaru kmitání získané modální analýzou modelu stožáru. Odezvu modelu na buzení silou dle (5) významně ovlivňuje několik faktorů. Je to zejména působiště budící síly, velikost její amplitudy A, zvolený časový krok t a délka analyzovaného časového úseku. Poloha budící síly (nebo více budících sil) je závislá na pořadnicích vlastního tvaru kmitání, jehož příslušnou frekvenci je třeba při analýze zachytit. Zpravidla je třeba budící síly umísťovat do míst maximálních pořadnic jednotlivých kmiten daného vlastního tvaru kmitání. Volba parametrů budící síly F(t) a velikosti časového kroku t je závislá zejména na dvou faktorech, a to maximální hledané frekvenci f max a minimálním rozdílu mezi jednotlivými vlastními frekvencemi min f. Při výpočtu vhodné velikosti parametrů ω a t se uplatňují následující předpoklady: - hledané frekvence mohou být malé, tj. obvykle velké množství frekvencí leží pod hranicí 1 Hz, - dvě po sobě následující frekvence f i, f i+1 leží zpravidla velmi blízko sebe. Nejmenší rozdíl mezi vlastními frekvencemi kmitání lze zapsat vztahem ω = 2π (f i+1 f i ). (6) Pro volbu parametrů ve vztahu (5) je výhodné, aby: - konstrukce byla buzena na úhlových frekvencích ω i, ω i+1, - na každý kmit připadalo alespoň 2 bodů na křivce odezvy konstrukce, - oblast mezi frekvencemi ω i, ω i+1 byla proladěna dostatečně jemně, tj. předpokládá se alespoň 1 kmitů mezi ω i a ω i+1. Velikost amplitudy A budící síly je možné orientačně stanovit na základě statické analýzy účinku síly o velikosti A. Velikost amplitudy A budící síly neovlivňuje významně charakter odezvy modelu konstrukce, pokud není natolik velká, aby byla schopna výrazně ovlivnit napjatost, a tedy i geometrickou tuhost konstrukce. Amplituda budící síly totiž ovlivňuje velikost maximálních přemístění při kmitání konstrukce, což může ovlivňovat i napjatost konstrukce, a tedy i určované frekvence kmitání. Na základě výše stanovených pravidel byly určeny parametry buzení např. pro f i =,58 Hz, f i+1 =,62 Hz následujícími hodnotami (předpokládejme, že f max = f i+1 ): T i = 1/f i = 1,72 s T i+1 = 1/f i+1 = 1,61 s, ω i = 2π f i = 3,64 rad s -1 ω i+1 = 2π f i+1 = 3,9 rad s -1, t < min( T i /2; T i+1 /2) t =,8 s, ω = 2π (,62,58) =,26 rad s -1,

5 Konference ANSYS 29 ω,26 ω = = =,1625 rad s -2. t 1 2,8 2 Délka časového úseku nutná pro analýzu může být odhadnuta na T = ω i+1 /ω = 3,9/,1625 = 24 s. Výše uvedené principy byly použity pro sestavení makra v jazyce APDL, viz Tab. 2, které posloužilo (s různými modifikacemi parametrů) k získání odezev zobrazených v Grafech 2 a 3. /solu antype,trans,new! Vliv vlastní tíhy autot,on nlgeo,on ssti,on timint,off kbc, acel,,,9.81 time,1e-6 deltim,.35e-6,.1e-6,1e-6, solve! Statický účinek síly *afun,rad dtime=.1 Tab. 2 deltim,.2,.1,.2,off *do,i,.4,.6,dtime time,i sila=1*sin(.1625*i*i) f,981,fy,sila solve *enddo! Odezva na měnící se sílu dtime=.8 timint,on *do,i,.2,24,dtime time,i sila=1*sin(.1625*i*i) f,981,fy,sila solve *enddo,8,8,6,6,4,4,2,2 u y [m ] u y [m ] -,2 -,2 -,4 -,4 -,6 -,6 -, , Graf 2 Graf 3 V Grafech 2 a 3 je prezentována odezva konstrukce na budící síly o velikosti (7) a (8) umístěné na dřík stožáru ve smyslu 4. vlastního ohybového tvaru kmitání ve směru kolmém k lanové osnově. Velikost odezvy na buzení silami dle (8) je 1 zvětšena a obě odezvy jsou ve stejném

6 TechSoft Engineering & SVS FEM místě na dříku vyneseny v uvedených grafech. V Grafu 2 je zobrazena odezva přibližně v polovině nejnižšího pole dříku, v Grafu 3 ve vrcholu stožáru. F(t) = 1 sin (,3927 t 2 ) (7) F(t) = 1 sin (,3927 t 2 ) (8) Detailní zobrazení odezvy v časovém pásmu od 4 do 8 sekund je uvedeno v Grafu 4. Je patrná změna frekvence kmitání způsobená právě změnou velikosti přemístění, tj. vlivem geometrické nelinearity úlohy. Obdobně je možné v Grafu 5 sledovat opětovný přechod kmitání na frekvenci kmitání shodnou s úlohou buzenou dle (8), tj. vliv velkých přemístění již v této frekvenční oblasti není pro tuto úlohu významný.,8,25,6,2,15,4,1,2,5 -,2 -,5 -,1 -,4 -,15 -,6 -,2 -,8 -, Graf 4 Graf 5 V čase, kde dochází k významnému nárůstu amplitud jednotlivých kmitů, se frekvence buzení zřejmě blíží některé vlastní frekvenci kmitání stožáru. Na základě periody těchto kmitů lze odhadnout patřičnou vlastní frekvenci kmitání konstrukce. Přemístění dříku stožáru spolu s detaily jednotlivých oblastí rezonančního kmitání jsou zobrazena na následujících Grafech 6 až 9. Grafy jsou následovány Obr. 3 až 6 zobrazujícími pole celkového přemístění dříku stožáru, v čase, kdy tato veličina nabývá maximální hodnoty v dané oblasti rezonančního kmitání a tvaru vlastního kmitání dříku získaného z modální analýzy.,15,8,1,6,4,5,2 -,5 -,2 -,4 -,1 -,6 -,15 -, ,43 43,63 43,83 44,3 44,23 44,43 44,63 44,83 45,3 45,23 45,43 Graf 6 Graf 7

7 Konference ANSYS 29 Obr. 3 f,495 Hz Obr. 4 Pro kmitání s frekvencí f =,5 Hz je zobrazen v Grafu 7 jeden kmit z Grafu 6 odezvy mezi první a druhou nejnižší úrovní kotvení ve směru kolmém k lanové osnově. Obdobný princip je použit i v případě kmitání s frekvencí 1,93 Hz.,6,15,4,1,2,5 -,2 -,5 -,4 -,1 -,6 -, , , , , , ,45 Graf 8 Graf 9 Obr. 5 f 1,887 Hz Obr. 6

8 TechSoft Engineering & SVS FEM 5. Závěr V příspěvku je popsán postup vedoucí k nalezení frekvencí a tvarů vlastního kmitání nelineárních úloh programovým systémem ANSYS. Dále je zkoumána možnost numerického ověření modálních vlastností konstrukce určených linearizací nelineární závislosti v okolí návrhového stavu. Metodika je založena na rozboru odezvy konstrukce v čase na vhodně zvolené silové buzení. Je podán popis parametrů budící funkce a jejich volby v závislosti na hledaných frekvencích vlastního kmitání a nalezení tvarů kmitu. Ověření vlastních frekvencí kmitání buzením stožáru časově proměnným zatížením potvrdilo zvolené vlastní frekvence a tvary kmitání získané z modální analýzy. Shoda ve vlastních tvarech kmitání je velmi dobrá. Odchylky ve frekvencích kmitání jsou způsobeny zejména hustým spektrem vlastních frekvencí kmitání, kdy dochází k rychlé změně frekvence kmitání z jedné vlastní frekvence na frekvenci druhou. Reference 1. ANSYS User s Manual, Revision 1., SAS IP, Inc., Bathe J. K., Finite Element Procedures Englewood Cliffs, USA, Prentice Hall Irvine M. H., Cable Structures, New York, USA, Dover Publications, Inc., p. ISBN Kanický V., Wasgestián I., Výzkumná zpráva č. 494/71, TV Střední Slovensko (Suchá hora), TV Východní Slovensko (Dubník) ÚTAM Brno, Kwan A. S. K., A simple technique for calculating natural frequencies of geometrically nonlinear prestressed cable structures, Computers and Structures, 2, No. 74, pp Leamy M. J., Gotlieb O., Nonlinear Dynamics of a Taut String with Material Nonlinearities, Journal of Vibration and Acoustics, 21, No. 123, pp Nevařil A., Dynamika kotvených stožárů, Příloha Konstrukce, 28, č. 2, s. XXI XXVI. ISSN Poděkování Tento výsledek byl získán za finančního přispění MŠMT ČR, v rámci řešení vědeckovýzkumného záměru MSM Progresivní spolehlivé a trvanlivé nosné stavební konstrukce.