Lineární stabilita a teorie II. řádu

Transkript

1 Lineární stabilita a teorie II. řádu Sestavení podmínek rovnováhy na deformované konstrukci Konstrukce s a bez počáteční imperfekce Výpočet s malými vs. s velkými deformacemi ANKC-C 1

2 Zatěžovacídráhy [Šejnoha, Bittnarová, 2003] ANKC-C 2

3 Teorie ideálního prutu Vycházíme z diferenciální rovnice ohybové čáry: EIw = M = w( x) Aproximace: ( ) sin ( ) Rovnice z 2 πx π π sin 2 l l l w x = A w x = A 2 π πx EI + Asin 0 2 = l l x l x má netriviální řešení pro 2 π EI = = l 2 crit Eulerovo kritické břemeno ANKC-C 3

4 Teorie ideálního prutu Hledání kritického břemene přímého prutu je z matematického hlediska problémem vlastních čísel: EIw = w w + w= 0 EI 2 w + α w= 0 Řešení tohoto problému je nekonečně mnoho, nás však zajímá nejmenší hodnota crit, při níž dojde ke ztrátě stability konstrukce ANKC-C 4

5 Vzpěrnédélky Zavádíme tzv. vzpěrnou délku L cr crit = 2 π EI L 2 cr l L cr = l 0,7l 0,5l 2l L cr = π EI crit ANKC-C 5

6 Lineární stabilita Rozšíření hledání kritického břemene na celou konstrukci Výpočet vzpěrných délek jednotlivých prutů v konstrukci a jejich namáhání Kritické zatížení je dáno λ-násobek zadaného referenčního zatížení Různé tvary vybočení téže konstrukce při stejném zatížení -hledáme tvar s nejnižším kritickým břemenem l L cr = 2l L cr = l L cr = 0,7l ANKC-C 6

7 Výpočet součinitele kritického zatížení Vycházíme z rovnováhy na elementu deformovaného prutu: N w N Q l Q N Ql = N w Q= w l N N Příčné síly Q závisí na osové síle N. Protože N = λ N ref,, je i velikost Q funkcí součinitele λ. Tyto doplňkové příčnésíly se přičtou do matice tuhosti prutu K. ANKC-C 7

8 EA EA l l 12EI 6EI 12EI 6EI l l l l 6EI 4EI 6EI 2EI l l l l l K = EA EA l l 12EI 6EI 12EI 6EI l l l l 6EI 2EI 6EI 4EI l l l l Matice tuhosti prutu v ohybu K Matice geometrické tuhosti K G (matice počátečních napětí K σ ) ( ) Rovnici rovnováhy potom píšeme ve tvaru: K λk r = 0 G Tato soustava s nulovou pravou stranou má netriviální řešení pouze pokud je singulární, tedy když je její determinant roven nule: det( K λk ) G = 0 Tento výraz je polynom proměnné λ, jeho nejmenší kořen je součinitel kritického zatížení. Reálně se řeší iterativně jako zobecněný problém vlastních čísel ANKC-C 8

9 Příklad 1 ANKC-C 9

10 KonzistentníKσ ANKC-C 10

11 KonzistentníKσ ANKC-C 11

12 Příklad 2 ANKC-C 12

13 ANKC-C 13

14 ANKC-C 14

15 Příklad 3 ANKC-C 15

16 Lineární statika ANKC-C 16

17 Lineární stabilita Neplatí superpozice! ANKC-C 17

18 Imperfektníprut x Počáteční stav w 0 imperfektní tvar, vnitřní síly nulové Pro moment platí Diferenciální rovnice ohybové čáry ve tvaru: 0 Zvětšení vnitřních sil a průhybů vlivem stability: w = w { λ stabilitní zvětšení λ < 4(5)-konstrukce je nebezpečně štíhlá 4(5) < λ < 10 - uplatnění stabilitního zvětšení λ > 10 z -konstrukce není náchylná ke ztrátě stability l δ 0 δ w 0 w EIw + w= EIw λ = crit ANKC-C 18

19 Imperfektníprut Průhyb ideálního prutu se při zatěžování nemění, po dosažení crit skokem zdeformuje nade všechny meze crit Deformace imperfektního prutu při zatěžování vzrůstá, při dosažení hodnoty crit také nekontrolovatelně vzroste crit δ δ 0 δ ANKC-C 19

20 Řešeníodezvy konstrukcípomocíteorie 2. řádu Řešíme soustavu rovnic ve tvaru ( K K ) r = 0 Tato soustava není lineární, protože K G = K G (N) a N = N(r), tedy matice soustavy je funkcí řešení. Soustavu musíme řešit iterativně. Vyjdeme z tvaru Iterace: Postup výpočtu: 1) Kr = f + fekv; fekv = K G r i + 1 i i Kr = f + K G r Kr = f r, N, KG G 2) 3) ( ) ( ) N ( ) Kr + = f + K r, K = K r = K r r i 1 i i i i i i G G G G i + 1 i r <ε Konvergenční kritérium 4) i = i+ 1 Zpět na začátek ANKC-C 20

21 Příklad 4 ANKC-C 21

22 Příklad 4 ANKC-C 22

23 Stabilita pomocí tabulek (Dcv.) ANKC-C 23

24 Literatura Byly použity slidy z přednášek a cvičení [1] Doc. Dana Rypla z předmětu SM50 [2] Prof. Petra Konvalinky z předmětu ANKC-K [3] Doc. Pavla Kuklíka z předmětu ANKC-C a jeden obrázek ze skript PP20 [Šejnoha, Bittnarová, 2003] ANKC-C 24

25 Pomůcky ANKC-C 25

26 Pomůcky ANKC-C 26

27 Prosba. V případě, že v textu objevíte nějakou chybu nebo budete mít námět na jeho vylepšení, ozvěte se prosím na matej.leps@fsv.cvut.cz. Datum poslední revize: Verze: 001 ANKC-C 27