GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/

Transkript

1 Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/ IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma : Diferenciální a integrální počet

2 Autor: Název: Lumír Svoboda Geometrický a fyzikální význam derivace Datum vytvoření: Cílová skupina: 4. ročník gymnázia Vzdělávací obor: Matematika Anotace: Prezentace se zabývá standardní aplikací první derivace funkce v bodě, totiž nalezení tečny a normály grafu funkce a také určováním okamžité rychlosti změny fyzikálních veličin.

3 Odpovězte na otázky: 1. Jaký je geometrický význam derivace funkce v bodě? 2. Napište směrnicový tvar rovnice tečny a normály t grafu funkce podle následujícího obrázku f (obecně). n

4 3. Na obrázku je znázorněn graf závislosti dráhy na čase pro pohyb hmotného bodu. Co vyjadřují výrazy a) s(t) s(t 0 ) b) t t 0 lim t t 0 s(t) s(t 0 ) t t 0

5 Odpovědˇ: 1. Derivace funkce v bodě x 0 je číslo, které vyjadřuje směrnici tečny ke grafu funkce v bodě T [x 0, y 0 ]. 2. Protože f (x 0 )=k t =tg α= y y 0, lze rovnici x x 0 y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ) nebo y= f (x 0 )(x x 0 )+ y 0 považovat za rovnici tečny ke grafu v bodě T. Normála je přímka kolmá k tečně v bodě T a jelikož pro směrnice kolmých přímek platí k t k n = 1, můžeme směrnice normály vyjádřit číslem 1 f (x 0 ) a rovnice normály je y y 0 = 1 f (x 0 ) ( x x 0 )

6 3.a) Výraz s(t) s(t 0 ) = Δ s t t 0 Δ t =v p vyjadřuje velikost průměrné rychlosti na úseku dráhy Δ s, jemuž odpovídají body A, B a který hmotný bod urazí za dobu Δ t. s(t) s(t b) Výraz lim 0 ) Δ s = lim je vztahem pro t t 0 t t 0 Δ t 0 Δ t =v velikost okamžité rychlosti hmotného bodu v čase t 0. Limita je vlastně definicí derivace funkce s(t) v bodě t 0, okamžitá rychlost v libovolné čase je tedy derivací dráhy podle času. Zápis: v=s (t)= ds dt Okamžitá rychlost je vektorová veličina a má vždy směr tečny k trajektorii hmotného bodu v daném bodě.

7 Úlohy: 1. Napište rovnici tečny a normály ke grafu funkce f : y= 8 x v bodě x 0 =2 2. V kterém bodě křivky y= x 2 + x+ 2 je tečna a) rovnoběžná s osou x b) rovnoběžná s osou 1. a 3. kvadrantu 3. Závislost dráhy na čase je dána vztahem s(t)=2 t 2 + 5t. Vypočtěte velikost okamžité rychlosti v čase t=3 s. 4. Obecná rovnice harmonického kmitání má tvar y= y m sin(ωt+ φ 0 ). Odvod te rovnici pro okamžitou rychlost harmonického kmitání. 5. Jak rychle se mění tlak p s objemem V ideálního plynu při izotermickém ději, je-li p=k /V,k je konstanta.

8 Řešení: 1. V rovnicích tečny t : y y 0 = f (x 0 )( x x 0 ) a normály n : y y 0 = 1 f (x x 0 =2, y 0 = f (x 0 )= 8 0 ) ( x x ) =1 y = f ( x)=[8(x 2 + 4) 1 ] = 8( x 2 + 4) 2 2 x= f (x 0 )= 16 2 ( ) 2= 1 2. určíme 16 x ( x 2 + 4) 2 Dosadíme a obvykle upravíme na obecný tvar přímky t : y 1= 1 2 (x 2) n : y 1=2(x 2) x+ 2 y 4=0 2 x y 3=0

9 2.a) Tečna rovnoběžná s osou x má směrnici rovnu nule, (k t =tg 0 =0), stačí proto řešit rovnici f ( x)=0 : ( x 2 + x+ 2) =0 2 x+ 1=0 x 0 = 1 2, y 0= =9 4, T [ 1 2, 9 4] Protože funkce f je kvadratická a grafem je parabola, jediný bod s požadovanou vlastností je současně vrcholem paraboly. b) Stejný postup s tím, že osa y=x má směrnici k t =tg 45 =1, 2 x+ 1=1 x 0 =0, y 0 =2, T [0,2 ] 3. Zderivujeme dráhu s(t) podle proměnné t (času) v(t)=s (t)=4 t+ 5 a dosadíme t=3 s, takže v=17 m s 1

10 4. V rovnici y= y m sin(ωt+ φ 0 ) jsou y m, ω, φ 0 (amplituda výchylky, úhlová frekvence, počáteční fáze) konstanty, derivujeme y podle t jako složenou funkci v= y = dy dt = y m cos(ωt+ φ 0 ) ω=ω y m cos(ωt+ φ 0 ), v m =ω y m je amplituda rychlosti. 5. Hledanou rychlost změny tlaku určíme jako derivaci funkce p= f (V ) podle proměnné V p = f (V )= ( k ) = k nebo V V 2 kde dp dv = d ( k ) dv V = k V 2

11 Zdroje: [1] HRUBÝ, Dag a Josef KUBÁT. Matematika pro gymnázia: Diferenciální a integrální počet. Praha: Prometheus, ISBN [2] PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. Praha: Prometheus, ISBN [3] Grafy sestrojil Lumír SVOBODA v programu GeoGebra verze 4.2