1. Řešená konstrukce Statické řešení Výpočet průhybové čáry Dynamika Vlastní netlumené kmitání...

Transkript

1 . Řešená konstrukce.... Statické řešení.... Výpočet průhybové čáry Dynamika.... Vlastní netlumené kmitání..... Jacobiho metoda rovinné rotace Popis algoritmu Vynucené kmitání Řešení úlohy vlastního kmitání Kolouškovou deformační metodou Porovnání výsledků vlastních frekvencí jednotlivých metod Použitá literatura... 5 Stránka

2 . Řešená konstrukce Řešenou konstrukcí je prizmatický prut zatížený osamělým břemenem v polovině rozpětí s nedokonalým vetknutím na levé straně a pružnou podporou na straně pravé viz obr. Obr. Řešená konstrukce pro statickou úlohu. Statické řešení Neznámými deformacemi jsou: natočení levého konce prutu ϕ a (závislé na tuhosti rotační pružiny k [ knm / rad ]) a svislý posun pravého konce w b (závislý na tuhosti pružiny k [ / ] kn m ). V těchto pružinách vznikají tzv. direkční síly, které jsou přímo úměrné deformaci dané pružiny s konstantou úměrnosti k respektive k. Výpočet neznámých deformací je proveden Zjednodušenou deformační metodou (ZDM) Vektor neznámých deformací: { r} = { ϕ, w } a b T Stránka

3 Styčníkové podmínky rovnováhy: Obr. Konvence vnitřních sil a reakcí na styčníky resp. na prut Ve styčnících se sestaví podmínky rovnováhy (momentová a silová ve svislém směru) R Z M ba + M = 0 ab z + R = 0 b kϕ + M = 0 Z ba a + kw = 0 ab b Z tabulek pro ZDM vyplývá: Mab = FL 5 Zba = F 6 6 M ab EI wb = FL + ϕ a L L Z ba 5 EI wb = F+ ϕa L L Dosazením těchto výrazů zpět do soustavy obdržíme: EI EI kϕa + FL + ϕa + w 0 b = 6 L L 5 EI EI F+ ϕ a + w b + kw b = 0 6 L L Stránka

4 EI EI k + ϕa + w b = FL L L 6 EI EI 5 ϕ a + k + w b = F L L 6 Maticový zápis soustavy rovnic: EI EI + k FL L L ϕa 6 = EI EI wb 5 + k F L L 6 ze vztahu: [ K] { r} = { f } Matice tuhosti [ K] je pozitivně definitní a čtvercová a je tedy možné vypočítat vektor { f} { r} = [ K] { f } ( + EI) 5EIFL FL k L ϕ 6( ) a k k L EIk L EIk λ + + = λ wb 9EIFL 5FL ( EI + Lk ) + λ λ Pro případ, kdy k 0 k statické schéma konstrukce odpovídá prostému nosníku. lim k 0 k ( + EI) 5EIFL FL k L FL = = ϕa λ λ 6EI ( + ) 9EIFL 5FL EI Lk lim + = 0 = wb k 0 λ λ k Stránka 4

5 Pro případ, kdy k k 0 statické schéma konstrukce odpovídá konzole upnuté na levém konci. k 0 k ( + EI) 5EIFL FL k L lim = 0 = ϕa λ λ k 0 k ( + ) 9EIFL 5FL EI Lk 5FL lim + = = w λ λ 48EI b. Výpočet průhybové čáry 0; L L ; L Q Q = R F ( ) = R x az ( x) az L M( x) = Razx RM M( x) = Razx RM Fx dw( x) / az EI = R dx dx dw( x) / az EI = R + F dx dx dw( x) / az M EI = R x + R dx dx dw( x) L = / az + M + EI R x R F x dx dx dw( x) EI = Razx + RM x + C / dx dx dw L x = ( x) EI Razx RM x F C / dx dx EIw( ) R x R x C x C x 6 = az + M + + ( x) L x EIw = Razx + RMx + F + C x + C Aditivní konstanty C, C, C, C4 se určí z okrajových podmínek v každém intervalu, případně z podmínek spojitosti funkce popisující průhyb nosníku. Stránka 5

6 dw w( 0) = 0 = ( x) ϕa dx x= 0 C = 0 C = EIϕ a w dw I II I II ( x) ( x) = w = L L dx dx x= L x= L C = C C = C 4 dw w( ) = x Razx + RM x + EIϕ ax EI 6 L x w( x) = Razx RM x F EIϕ ax EI 6 6 nosníku. Numerické řešení bylo provedeno pro následující hodnoty popisující materiál a příčný řez L= 5m, EI = 57.7kNm, F = 50kN Výsledky pro k 0 k 0 0 Prubeh posouvajici sily a ohyboveho momentu Posouvajici sila Q Ohybovy moment M V= [kn] / M= [knm] x [m] Obr. Průběh posouvající síly a ohybového momentu na prostém nosníku Stránka 6

7 0 Prubeh ohybove cary w= [m] x [m] Obr. 4 Průběh ohybové čáry na prostém nosníku Stránka 7

8 Výsledky pro k k Prubeh posouvajici sily a ohyboveho momentu Posouvajici sila Q Ohybovy moment M 00 V= [kn] / M= [knm] x [m] Obr. 5 Průběh posouvající síly a ohybového momentu na konzole Stránka 8

9 0 Prubeh ohybove cary w= [m] x [m] Obr. 6 Průběh ohybové čáry na konzole Stránka 9

10 Výsledky pro k k Prubeh posouvajici sily a ohyboveho momentu Posouvajici sila Q Ohybovy moment M 0 V= [kn] / M= [knm] x [m] Obr. 7 Průběh posouvající síly a ohybového momentu na nosníku s dokonalým vetknutím a dokonalým kloubem Stránka 0

11 0 Prubeh ohybove cary w= [m] x [m] Obr. 8 Průběh ohybové čáry na nosníku s dokonalým vetknutím a dokonalým kloubem Stránka

12 Výsledky pro k = 0000 knm / rad k = 000 kn / m Prubeh posouvajici sily a ohyboveho momentu Posouvajici sila Q Ohybovy moment M V= [kn] / M= [knm] x [m] Obr. 9 Průběh posouvající síly a ohybového momentu na nosníku s nedokonalým vetknutím a nedokonalým kloubem Stránka

13 0 Prubeh ohybove cary w= [m] x [m] Obr. 0 Průběh ohybové čáry na nosníku s nedokonalým vetknutím a nedokonalým kloubem. Dynamika Dynamický výpočet je nutné provést v případě, kdy není možné zanedbat vliv setrvačných sil tzn. nepředpokládá se, že by se zatížení měnilo nekonečně pomalu jako v případě statického výpočtu.. Vlastní netlumené kmitání Obr. Konvence vnitřních sil a reakcí na styčníky resp. na prut Stránka

14 [ M]{ w } + [ K]{ w} = { 0}.. Jacobiho metoda rovinné rotace Tato metoda slouží k výpočtu všech N vlastních čísel matice [N x N]. Postupně dochází k diagonalizaci matice tuhosti a hmotnosti. Na konci iteračního cyklu tedy mimodiagonální prvky konvergují k nule a diagonální prvky konvergují k vlastním číslům daných matic. A = k+ SAS T k cosα sinα 0 S = 0 sinα cosα Popis algoritmu Nejprve je vyhledán prvek mimo diagonálu s maximální absolutní hodnotou (v celé matici) a mn. Prvky transformační matice sin α se umístí na pozice S(m,n) S(n,m) a cos α na pozice S(n,n) S(m,m). Dále se vypočte neznámá k amm a k = cotg( α ) = a mn nn a parametr t Obr. Carl Gustav Jacob Jacobi kořen t + Kt * pro K 0 t = pro K = 0 vztahy pro cosinus respektive sinus v transformační matici: s = t + t c = + t Stránka 4

15 Prvky matice A k+ jsou dány výrazy: a = a = c a s a i m, n k + k + k k mi im mi ni a = a = c a + s a i m, n k + k + k k ni in ni mi a = a = a + t a i = n k+ k+ k k mi im nn mn a = a = a t a i = m k + k + k k mi im mm mn Numerické výsledky: Výpočet proveden pomocí skriptu v programovém prostředí MATLAB,96 Hz f = 0,65 Hz Výsledky z programu SCIA ENGINEER 008 Tab. Tabulka vlastních frekvencí vypočtené programem SCIA ENGINEER 008. Vynucené kmitání Nyní uvažujme, že na konstrukci uprostřed rozpětí působí harmonicky proměnná síla daná výrazem: F F t ( ) = sin t ( ω ) Stránka 5

16 Obr. Řešená konstrukce pro úlohu vynuceného kmitní Pohybová rovnice bude mít potom tvar: { } [ M]{ w } + [ C]{ w } + [ K]{ w} = F( t) r = { ϕ, w, ϕ, w } a b b c T 4EI 6EI EI + k 0 L L L 6EI EI EI 6EI EI EI + L L L L L L K = EI 6EI EI 4EI EI EI + L L L L L L EI EI EI 0 + k L L L 4µ L µ L µ L µ L 56µ L 56µ L µ L µ L 54µ L M = µ L µ L µ L 4µ L 4µ L µ L µ L µ L 56µ L Stránka 6

17 [ C] = α[ M] + β[ K] Za předpokladu, že nejméně je tlumen první vlastní tvar platí: ξ α = ξω β = ω Řešení úlohy vynuceného kmitání bylo provedeno Newmarkovou metodou, což je metoda numerické integrace diferenciálních rovnic. Při vhodné volbě parametrů je tato metoda nepodmíněně stabilní. w = w + tw + δ t w + δw t w = w + tw + γ tw n+ n n n n+ ( γ ) n+ n n n+ w n+ = M + γ tc + δ t K fn+ C w n+ ( γ ) tw n K wn+ tw n+ δ t w n Výpočet proveden pro tyto hodnoty: L= 5m, EI = 57.7kNm, F 50sin( 50 ) = t kn µ = 0.5 t k 0 k ξ = m Zatížení působí po dobu 0 s uprostřed rozpětí nosníku. Stránka 7

18 0.04 Vynucene kmitani Newmark vychylka w [m] cas t [s] Obr. 4 Kmitání středu nosníku 4. Řešení úlohy vlastního kmitání Kolouškovou deformační metodou Kolouškova deformační metoda je použitelné pro konstrukce s harmonicky proměnným zatížením. Její princip spočívá v tom, že koncové síly na prutech jsou vyjádřeny kombinací frekvenčních funkcí. Tyto funkce jsou závislé na způsobu podepření prutu a na tzv. nosníkovém parametru λ: λ = L 4 µω EI Obr. 5 Prof. Ing. Vladimír Koloušek, DrSc Stránka 8

19 Obr. 6 Řešená konstrukce Hodnoty uvažované pro numerický výpočet: µ = = = 0,5 t / m; EI 57,7 knm ; L 5 m; k 0 k Pro každý prut je nutné spočítat prutovou konstantu λ. Díky tomu, že se jedná o prizmatický prut a pruty jsou stejně dlouhé, platí, že λ =λ. λ = λ = λ = L 4 µω EI Z tohoto výrazu vyjádříme ω. EI λ ω = µ L Nyní stanovíme styčníkové podmínky rovnováhy ve styčníku b pro neznámý posun a natočení: Obr. 7 Síly resp. momenty působící ve styčníku b Stránka 9

20 M Z ba ba + M = 0 bc + Z = 0 bc Tyto síly respektive momenty se vyjádří v závislosti na frekvenčních funkcích uvedených v []. Podmínky rovnováhy potom přejdou na tvar: EI EI EI EI F ϕ+ F w + F ϕ F wb = 0 L L L L 7( λ) 9( λ) b 7( λ) 9( λ) EI EI EI EI F ϕ+ F w F ϕ+ F wb = 0 L L L L 9( λ) ( λ) b 9( λ) ( λ) sinh( ) sin( ) ( λ) ( λ) ( λ) ( λ) λ λ F7( λ ) = λ cosh sin sinh cos cosh( ) cos( ) ( λ) ( λ) ( λ) ( λ) λ λ F( λ ) = λ cosh sin sinh cos Maticový zápis soustavy rovnic: EI EI + F7( λ ) 0 L L ϕ 0 = EI EI w b F ( λ ) L L dyn K Tato soustava má netriviální řešení pokud determinant matice dynamické tuhosti (K dyn ) je roven nule. dyn ( K ) det = 0 dyn EI EI EI EI det( K ) = + + F 7( λ) F( λ) = 0 L L L L Je nutné zjistit nulové body této funkce, například odečtením z grafu. Stránka 0

21 x Obr. 8 Průběh det(k dyn ) na intervalu <0;> První tři odečtené hodnoty λ: ( ) ( ) ( ) λ =,57; λ =,4; λ = 4,7 Pro tyto hodnoty je možné zpětně dopočítat vlastní kruhové frekvence ω ( ) ( ) ( ) f = ω =,89 Hz; f = ω = 5,57 Hz; f = ω = 6,0 Hz π π π Tvary vlastního kmitání Průhyb v místě x je dán vztahem: λx λx λx λx w( ) = Ccosh Csinh Ccos C4sin x L L L L Kde C C 4 jsou integrační konstanty, které je možné získat v [] a L je délka jednotlivých prutů Stránka

22 Nejprve je nutné spočítat pro každý odečtený parameter λ dynamickou matici tuhosti K dyn. Pro λ =,57 K 4, dyn = 0 4,6 Poměr neznámých ϕ a w se získá jako poměr subdeterminantů k a k. Tyto subdeterminanty vzniknou vyloučením prvního řádku a prvního sloupce respektive druhého řádku a prvního sloupce. ϕ 4 4 : w = k : k = 4,6:,56 0 =,4 0 : Integrační konstanty pak mají tvar: C LF F = + w λ + λ 7( λ) 9( λ) ϕ F9 ( ) + λ F λ ( λ) C = L w ϕ + λ λ ( ) ( ϕ ) ( w) = + C C C L C C C λ ( ϕ ) ( w) 4 = průhybem w. Podíl ϕ je zanedbatelný a proto budeme uvažovat pouze integrační konstanty související s Pro levou část konstrukce (první prut) platí, že: w ( ) = w L x ( x) Viz číslování průřezů zprava. Stránka

23 Obr. 9. tvar kmitání na prvním prutu Pro pravou pravou část konstrukce (druhý prut) platí, že: w = w ( x) ( x) Obr. 0. tvar kmitání na druhém prutu Obr. První tvar kmitání Stránka

24 Stejným postupem dostaneme další vlastní tvary kmitání nosníku Obr. Druhý tvar kmitání Obr. Třetí tvar kmitání Stránka 4

25 5. Porovnání výsledků vlastních frekvencí jednotlivých metod [Hz] Jacobiho rotace SCIA ENGINEER 008 Kolouškova metoda f,96,07,89 f 0,65 4,9 5,57 f - 97,40 6,0 Tab. Porovnání výsledků 6. Použitá literatura [] Baťa, Plachý, Trávníček: Dynamika stavebních konstrukcí [] Koloušek Vladimír: Dynamika II Obecná část [] Bittnar, Řeřicha: Metoda konečných prvků v dynamice, Technická knižnice inženýra Vypracoval Vladimír Šána v rámci řešení projektu FRVŠ 8A: Nová výuková pomůcka pro předmět Dynamika stavebních konstrukcí. Stránka 5